SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ

PROF. DR. NAZMİYE YAHNİOĞLU

nazmiye@yildiz.edu.tr

www.yildiz.edu.tr/~nazmiye

ÖZET:

Çeşitli örnekler çözüldü:

1. Süreksizliklere göre bölgenin ayrıklaştırılması, 2. Doğal sınır koşullarının SEY işlemlerinde göz önüne alınması,3. Örnek eleman yolu ile SEY çözümleri,4. Farklı dereceden Şekil Fonksiyonlarının birlikte kullanılması

öğrenildi.

EKSENEL KUVVET ETKİSİNDEKİ ÇUBUKLAR

Bu bölümde bazı Elastisite teorisi problemleri ele alınacak ve bu problemlerin Sonlu Elemanlar yöntemi ile modellenmesi ve çözümü verilecektir.

),,,,,(

.değaçı

122313

.değşekilnormal

332211 şekil değiştirme

V Hacmi, S yüzeyine sahip elastik bir cisim için;

)z,y,x(x)x,x,x(xx 321 koordinat

)f,f,f(ff zyx hacimsel kuvvet (örn. ağırlık)

)T,T,T(TT zyx yüzey kuvveti (örn. sürtünme)

)u,u,u(u)u,u,u(uu 321zyx yer değiştirme

),,,,,(

igerilmelerkayma

122313

gerilmelernormal

332211 gerilme

Her kesitte iç kuvvetlerin bileşkeleri

Şekilde verilen cisimden seçilecek sonsuz küçük bir hacim elemanı üzerinde, statikten bilinen denge şartı (bileşke kuvvetin sıfırlığı) kullanılarak, elastisite teorisine ait denge denklemleri elde edilir.

Denklemler

0Fdx

di

j

ij

İ;j=1,2,3

1311 121F 0

x y z

1312 22

2F 0x y z

13 23 33

3F 0x y z

Denge Denklemleri:

Bünye Denklemleri (Hooke Yasası):

ijij DLineer Durumda Geometrik İlgiler (Şekil Değiştirme-Yerdeğiştirme Bağıntıları):

x

u111

y

u222

z

u333

x

u

y

u

2

1 2112

x

u

z

u

2

1 3113

y

u

z

u

2

1 3223

i

j

j

iij dx

du

dx

du

2

1İ;j=1,2,3

Sınır Koşulları:

0uu uSx jiji nT TSx 321 n,n,nnn

ve

Boyut Düşürme

0Fdx

di

j

ij

i;j=1,2

11 121F 0

x y

12 22

2F 0x y

Denge Denklemleri:

Bünye Denklemleri (Hooke Yasası):

ijij DLineer Durumda Geometrik İlgiler (Şekil Değiştirme-Yer Değiştirme Bağıntıları):

x

u111

y

u222

x

u

y

u

2

1 2112

Düzlem Şekil Değiştirme Varsayımı:Cismin bir doğrultudaki boyutu, bunadik diğer iki doğrultudaki boyutundançok çok büyükse (örneğin z ekseni)bu durumda,

Düzlem Gerilme Varsayımı:Cismin bir doğrultudaki boyutu, bunadik diğer iki doğrultudaki boyutundançok çok küçükse (örneğin z ekseni) bu durumda,

0zz 0xz 0yz zz 0 xz 0 yz 0 alınır. alınır.

Boyut Düşürme

Bununla beraber yine, bazı hallerde 2-boyutlu problem yerine bunu 1-boyutlu ele almak yeterli olabilir. Bunun için, aşağıdaki varsayımlar kabul edilir:

1. Her nokta ancak ve ancak tek bir doğrultuda, örneğin “1” ekseni doğrultusunda, hareket edebilir.

2. Her noktada bilinmeyen 1 tanedir (serbestlik derecesi 1’dir).

Yukarıda verilen düzlem şekil değiştime/düzlem gerilme durumlarının uygulanabilmesi için aşağıdaki üç şartın gerçeklenmesi gerekir:

1. z doğrultusunda sadece düzgün yayılı yük etki etmeli,2. Hacimsel kuvvetler z’den bağımsız olmalı,3. z doğrultusunda düzgün yayılı olmayan başka kuvvet etki etmemeli.

dF 0

dx

E

dx

du

11 11 1; ; u u

E-Young/Elastisite Modülü

Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi

V V

M

1kkk

T

S

TTT P)x(uTdSufdVudV2

1

dxdAdydzdxdVdA

dxdS dx, L bölgesinde; dA, A bölgesinde değişmekte

L A L A

M

1kkk

T

L

TTT P)x(uTdxufdAdxudAdx2

1

fonksiyonelde bütün büyüklükler A serbest değişkeninden bağımsız olduğundanbu değişkene göre integral alınırsa

M

1kkk

LLL

P)x(uuTdxAufdxdxA2

1bulunur.

Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği

Fonksiyonelde yerine yazılırsa;

N

1iii )x(q)x(u

N

1i

ii

N

1iii dx

)x(dq)x(q

dx

d

dx

duN

i ii 1

q B

N

1iiiBqEE

ii

dB

dx

M

1kk

N

1ikii

L

N

1iii

L

N

1iii

L

N

1jjj

N

1iii p)x(qdxqTdxqAfdxBqEBqA

2

1

M

1k

N

1ikkii

N

1i Lii

N

1i Lii

N

1i

N

1j Ljjii p)x(qdxqTdxqAfdxBqEBqA

2

1

i

N

1i

F

M

1kkki

Li

Li

N

1i

N

1j

K

Ljiji qp)x(dxTdxAfdxEBABqq

2

1

iij

Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği

veya

N

1iii

N

1i

N

1jjiji qFqKq

2

1L

jiij dxEBABK

M

1mmki

Li

Lii p)x(dxTdxAfF

ii

dB

dx

Ritz tekniği gereği bilinmeyenlere göre türev alınarak sıfıra eşitlenirse:

0dq

d

i

i

N

1jjij FqK

Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği

Örnek eleman için:

Yukarıdaki ifadelerde bütün büyüklükler serbest değişkenden bağımsız ise:

1

1

eleke

)e(klij d

2

hBEBAKK

dx

d

d

dN

dx

)(dNB kk

k

1

1

eke

1

1

ekee

)e(ki d

2

hNTd

2

hNfAFF

1

1

elkee

)e(kl d

2

hBBEAK

1

1

eke

1

1

ekee

)e(k d

2

hNTd

2

hNfAF

Yukarıdaki ifadelerde bütün büyüklükler serbest değişkenden bağımsız ise:

lineer şekil fonksiyonları kullanılarak eleman matrisleri hesaplanırsa :

11

11

h

EA

e

ee)(eK

1

1

2

hT

1

1

2

hfA e

ee

ee)(eF

Uygulamalar

Şekilde arkaya doğru kalınlığı bir birim olan ve düşey kesit alanı lineer değişen bir yapı elemanı verilmektedir Bu yapı elemanını I) Sabit kesit alanlı, II) Değişken kesit alanlı olacak şekilde sonlu elemanlar ile modelleyerek;

a. Eleman matrislerini, b. Her bir nodda yer değiştirmeleri, c. Her sonlu elemanda gerilme

fonksiyonunu,d. Mesnet reaksiyonunu bulunuz.

2cm/N3.0f N30P1

N15P2 GPa200E

5.5,4xcm/N5.0

4,1xcm/N5.1

1,0xcm/N5.0

T2

2

2;

;;

Verilenler

I. Sabit kesit alanlı modelleme

baxA 10A x 8

11

Düşey kesit alanı için;

Eleman verileri/matrisleriSonlu

Elm. No eA

( 2cm )

eE

(GPa) 1ex

( cm ) ex

( cm ) e1ee xxh

( cm ) ef

( 3cmN )

eT

( 2cmN ) 1 1183 200 1 0 1 0.3 -0.5

2 1163 200 4 1 3 0.3 -1.5

3 2281 200 5.5 4 1.5 0.3 0.5

11

111009.15

11

11

h

EA 7

1

11)1(K

1

1881.0

1

1

2

hTEA 1

111)1(F

Eleman matrisleri:

11

1110818.3 7)2(K

1

1327.0)2(F

11

1110909.4 7)3(K

1

1203.1)3(F

Eleman verileri/matrisleri (devam)

Genel sistem:

203.1

15203.1327.0

30327.0881.0

881.0

q

q

q

q

909.4909.400

909.4909.4818.3818.30

0818.3818.309.1509.15

0009.1509.15

10

4

3

2

1

7

İndirgenmiş sistem:

203.1

53.18

208.31

10

q

q

q

909.4909.40

909.4181.11818.3

0818.3908.187

4

3

2

Çözüm:

0q1 7

2 10243,3q 73 10887.7q

74 10133.8q

; cm ; cm ;

Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:

2211)1( NqNqu

2

1q2

1

2)1()1(

)1(

h

q

dx

d

d

du

dx

du

(1) (1) 7 21 2E 2 10 q 6.486 N cm

2. Sonlu Eleman için:

(2)2 1 3 2u q N q N

(2) (2)(2) 3 2

2

q qdu du d

dx d dx h

2

1q

2

1q 32

2

2

237)2(2

)2( cmN096.3h

qq102E

3. Sonlu Eleman için:

2413)3( NqNqu

2

1q

2

1q 43

4

34)3()3(

)3(

h

qq

dx

d

d

du

dx

du

2

4

347)3(3

)3( cmN328.0h

qq102E

Mesnet Reaksiyonu

881.0q09.15q09.1510R 217

1

=-49.817N

II. Değişken kesit alanlı modelleme

82

)xx(h

11

108x

11

10A e1ee

)xx(11

58)xx(

11

58

)xx(11

58)xx(

11

58

h

E

e1ee1e

e1ee1e

e

e)e(K

1

1

2

hT

16)xx(11

10h

33

10

16)xx(11

10h

33

10

4

fh ee

e1ee

e1eeee)e(F

,

II. Değişken kesit alanlı modelleme (devam

484.3

15893.3123.0

30532.0859.0

905.0

q

q

q

q

909.4909.400

909.4909.4818.3818.30

0818.3818.309.1509.15

0009.1509.15

10

4

3

2

1

7

Genel sistem:

İndirgenmiş sistem:

Çözüm:

484.3

016.19

391.31

10

q

q

q

909.4909.40

909.4727.8818.3

0818.3909.186

4

3

2

72 10571,3q 7

3 10464.9q 64 10017.1q cm, 0q1 cm, cm

Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:

2211)1( NqNqu

2

1q2

1

2)1()1(

)1(

h

q

dx

d

d

du

dx

du

(1) (1) 7 21 2E 2 10 q 7.142 N cm

2. Sonlu Eleman için:

(2)2 1 3 2u q N q N

(2) (2)(2) 3 2

2

q qdu du d

dx d dx h

2

1q

2

1q 32

(2) (2) 7 23 22

2

q qE 2 10 3.928 N cm

h

3. Sonlu Eleman için:

2413)3( NqNqu

2

1q

2

1q 43

4

34)3()3(

)3(

h

qq

dx

d

d

du

dx

du

(3) (3) 7 24 33

4

q qE 2 10 0.942 N cm

h

Mesnet Reaksiyonu

881.0q09.15q09.1510R 217

1 =-54.767N

Örnek 2.

Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göreverilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıylamodelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz.

GPa72EAl GPa200EÇe

m05.0r1 m025.0r2

N100P

Verilenler

Eleman verileri/matrisleri

Sonlu Elm. No

iA

( 2m )

iE (GPa)

1ix ( m )

ix ( m )

i1ii xxh ( m )

if

( 3mN )

iT

( 2mN ) 1 2)05.0( 72 0.3 0 0.3 0.0 0.0

2 2)025.0( 72 0.5 0.3 0.2 0.0 0.0

3 2)025.0( 200 0.6 0.5 0.1 0.0 0.0

11

11106.0 9)1(K

11

1110225.0 9)2(K

11

111025.1 9)3(K

0

0)1(F

0

0)2(F

0

0)3(F

Eleman verileri/matrisleri

0.0

0.0

P20.0

0.0

q

q

q

q

25.125.100

25.125.1225.0225.00

0225.0225.06.06.0

006.06.0

10

4

3

2

1

9

Genel sistem:

İndirgenmiş sistem:

Çözüm:

0.0

0.0

200

10

q

q

q

25.125.10

25.1475.1225.0

0225.0825.0

10 9

4

3

29

0q1 72q 1.061 10 m 7

3q 1.061 10 m 74q 1.061 10 m

Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:

2211)1( NqNqu

2

1q2

(1) (1)(1)

21

du du d 1 2q

dx d dx 2 h

(1) (1) 2 21E 254.639 10 N m

2. Sonlu Eleman için:

(2)2 1 3 2u q N q N

(2) (2)(2) 32

2

qqdu du d 20

dx d dx 2 2 h

2

1q

2

1q 32

(2) (2) 7 23 22

2

q qE 2 10 0 N m

h

3. Sonlu Eleman için:

2413)3( NqNqu

2

1q

2

1q 43

(3) (3)(3) 3 4

4

q qdu du d 20

dx d dx 2 2 h

(3) (3) 23E 0 N m

Mesnet Reaksiyonu

9 21 1 2R 10 0.6 q q 0 0.6366 10 N

Örnek 3.

Şekilde verilen yapı elemanı yarıçapı lineer değişen bir parça ile sabit yarıçaplı ve dairesel kesit alanlı iki parçadan oluşmaktadır. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıylamodelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz.

2r 1cm1r 4cm

N100P

Verilenler

27 cmN10E

20,12xcmN5.0

12,0x0.0T 2

Örnek 3 (devam)

1)12(r12x

4)0(r0xiçinbax)x(r

16

x14)x(r

2

35)(r

293025

4)(A

Eleman verileri/matrisleri

0

0)1(F

Sonlu Elm. No

eA

( 2cm )

eE

( 2cmN )

1ex

(cm) ex

(cm) e1ee xxh

(cm) ef

( 3cmN )

eT

( 2cmN )

1 )(A

2930254

710 12 0 12 0.0 0.0

2 2)1( 710 20 12 8 0.0 -0.5

11

1110583.0 7)1(K

11

1110125.0 7)2(K

1

12)2(F

Eleman verileri/matrisleri

Genel sistem:

İndirgenmiş sistem:

Çözüm:

0q1

17

2

3

0.583 0.583 0 q 0

10 0.583 0.583 0.125 0.125 q 2

0 0.125 0.125 q 2 2P

27

3

q0.708 0.125 210

q0.125 0.125 198

52q 1.070 10 cm 5

3q 6.11 10 cm

Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:

2211)1( NqNqu

2

1q2

(1) (1)(1)

21

du du d 1 2q

dx d dx 2 h

(1) (1) 21E 8.9 N cm

2. Sonlu Eleman için:

(2)2 1 3 2u q N q N

(2) (2)(2) 32

2

qqdu du d 20

dx d dx 2 2 h

2

1q

2

1q 32

(2) (2) 7 2 23 22

2

q qE 10 0.637x10 N cm

h

Mesnet Reaksiyonu

71 1 2R 10 0.583 q q 0 62.381 N

Örnek 4.

Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. x=0.5m de yay bağlı olupbu noktadaki sınır koşulu ile verilmektedir.

Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz.

2r 0.025m1r 0.05m

N100P

Verilenler

E 72GPa10k 10 N m

0)6.0(kudx

)6.0(duEA

Eleman verileri/matrisleri

0

0)1(F(1) 9 1 1

0.6 101 1

K

(2) 9 1 10.225 10

1 1

K (2) 0

0

F

Sonlu Elm. No

eA

( 2m )

eE

(GPa) 1ex

(m) ex

(m) e1ee xxh

(m) ef

( 3mN )

eT

( 2mN ) 1 2)05.0( 72 0.3 0 0.3 0.0 0.0

2 2)025.0( 72 0.5 0.3 0.2 0.0 0.0

3 2)025.0( 200 0.6 0.5 0.1 0.0 0.0

11

111025.1 9)3(K

0

0)3(F

Eleman verileri/matrisleri

Genel sistem:

İndirgenmiş sistem:

Çözüm:

0q1

82q 8.162 10 m 8

3q 1.636 10 m

0.0

0.0

P20.0

0.0

q

q

q

q

c25.125.100

25.125.1225.0225.00

0225.0225.06.06.0

006.06.0

10

4

3

2

1

9

0.0

0.0

200

10

q

q

q

c25.125.10

25.1475.1225.0

0225.0825.0

10 9

4

3

29 910kc

94q 4.613 10 m

Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:

2211)1( NqNqu

2

1q2

(1) (1)(1)

21

du du d 1 2q

dx d dx 2 h

(1) (1) 2 21E 195.887x10 N m

2. Sonlu Eleman için:

(2)2 1 3 2u q N q N

(2) (2)(2) 32

2

qqdu du d 20

dx d dx 2 2 h

2

1q

2

1q 32

(2) (2) 2 22E 234.936x10 N m

2413)3( NqNqu

4

43)3()3(

)3(

h

2

2

q

2

q

dx

d

d

du

dx

du

(3) (3) 2 23E 234.94x10 N m

Mesnet Reaksiyonu

91 1 2R 10 0.6 q q 0 48.972 N

4 4R kq 46.13N

Örnek 5.

Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. Verilen yapı elemanı yarıçapı ile verilmektedir. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz.

2r 1cm1r 4cm

P 5kN

Verilenler

E 70GPa

2r(x) a bx

Örnek 5 (devam)

1)20(r20x

4)0(r0xiçinbxa)x(r 2

2x

400

34)x(r

2

)xx(h

400

34)(r i1ii 2)(r)(A

Eleman verileri/matrisleri

0

0)1(F(1) 5 1 1

98.787 101 1

K

(2) 5 1 138.412 10

1 1

K (2) 0

0

F

Sonlu Elm. No

iA

( 2m )

iE

( 2mN )

1ix (m)

ix (m)

i1ii xxh (m)

if

( 3mN )

iT

( 2mN )

1 2)(r)(A 7107.2 10 0 10 0.0 0.0

2 2)(r)(A 7107.2 20 10 10 0.0 0.0

11

1110412.38 5)2(K

Eleman verileri/matrisleri

Genel sistem:

İndirgenmiş sistem:

Çözüm:

0q1

32q 0.322 10 m 3

3q 1.149 10 m

10000

0

0

q

q

q

412.38412.380

412.38412.38787.98787.98

0787.98787.98

10

3

2

15

10000

0

q

q

412.38412.38

412.38199.13710

3

25

Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:

2211)1( NqNqu

2

1q2

(1) (1)(1)

21

du du d 1 2q

dx d dx 2 h

(1) (1) 21E 225.4 N cm

2. Sonlu Eleman için:

(2)2 1 3 2u q N q N

(2) (2)(2) 32

2

qqdu du d 20

dx d dx 2 2 h

2

1q

2

1q 32

(2) (2) 22E 579.6 N cm

Mesnet Reaksiyonu

51 2R 98.819 10 q 0 9988.15N