Upload
barbra
View
264
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ. PROF. DR. NAZMİYE YAHNİOĞLU [email protected] www.yildiz.edu.tr/~nazmiye. ÖZET:. Çeşitli örnekler çözüldü: Süreksizliklere göre bölgenin ayrıklaştırılması, Doğal sınır koşullarının SEY işlemlerinde göz önüne alınması, Örnek eleman yolu ile SEY çözümleri, - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
ÖZET:
Çeşitli örnekler çözüldü:
1. Süreksizliklere göre bölgenin ayrıklaştırılması, 2. Doğal sınır koşullarının SEY işlemlerinde göz önüne alınması,3. Örnek eleman yolu ile SEY çözümleri,4. Farklı dereceden Şekil Fonksiyonlarının birlikte kullanılması
öğrenildi.
EKSENEL KUVVET ETKİSİNDEKİ ÇUBUKLAR
Bu bölümde bazı Elastisite teorisi problemleri ele alınacak ve bu problemlerin Sonlu Elemanlar yöntemi ile modellenmesi ve çözümü verilecektir.
),,,,,(
.değaçı
122313
.değşekilnormal
332211 şekil değiştirme
V Hacmi, S yüzeyine sahip elastik bir cisim için;
)z,y,x(x)x,x,x(xx 321 koordinat
)f,f,f(ff zyx hacimsel kuvvet (örn. ağırlık)
)T,T,T(TT zyx yüzey kuvveti (örn. sürtünme)
)u,u,u(u)u,u,u(uu 321zyx yer değiştirme
),,,,,(
igerilmelerkayma
122313
gerilmelernormal
332211 gerilme
Her kesitte iç kuvvetlerin bileşkeleri
Şekilde verilen cisimden seçilecek sonsuz küçük bir hacim elemanı üzerinde, statikten bilinen denge şartı (bileşke kuvvetin sıfırlığı) kullanılarak, elastisite teorisine ait denge denklemleri elde edilir.
Denklemler
0Fdx
di
j
ij
İ;j=1,2,3
1311 121F 0
x y z
1312 22
2F 0x y z
13 23 33
3F 0x y z
Denge Denklemleri:
Bünye Denklemleri (Hooke Yasası):
ijij DLineer Durumda Geometrik İlgiler (Şekil Değiştirme-Yerdeğiştirme Bağıntıları):
x
u111
y
u222
z
u333
x
u
y
u
2
1 2112
x
u
z
u
2
1 3113
y
u
z
u
2
1 3223
i
j
j
iij dx
du
dx
du
2
1İ;j=1,2,3
Sınır Koşulları:
0uu uSx jiji nT TSx 321 n,n,nnn
ve
Boyut Düşürme
0Fdx
di
j
ij
i;j=1,2
11 121F 0
x y
12 22
2F 0x y
Denge Denklemleri:
Bünye Denklemleri (Hooke Yasası):
ijij DLineer Durumda Geometrik İlgiler (Şekil Değiştirme-Yer Değiştirme Bağıntıları):
x
u111
y
u222
x
u
y
u
2
1 2112
Düzlem Şekil Değiştirme Varsayımı:Cismin bir doğrultudaki boyutu, bunadik diğer iki doğrultudaki boyutundançok çok büyükse (örneğin z ekseni)bu durumda,
Düzlem Gerilme Varsayımı:Cismin bir doğrultudaki boyutu, bunadik diğer iki doğrultudaki boyutundançok çok küçükse (örneğin z ekseni) bu durumda,
0zz 0xz 0yz zz 0 xz 0 yz 0 alınır. alınır.
Boyut Düşürme
Bununla beraber yine, bazı hallerde 2-boyutlu problem yerine bunu 1-boyutlu ele almak yeterli olabilir. Bunun için, aşağıdaki varsayımlar kabul edilir:
1. Her nokta ancak ve ancak tek bir doğrultuda, örneğin “1” ekseni doğrultusunda, hareket edebilir.
2. Her noktada bilinmeyen 1 tanedir (serbestlik derecesi 1’dir).
Yukarıda verilen düzlem şekil değiştime/düzlem gerilme durumlarının uygulanabilmesi için aşağıdaki üç şartın gerçeklenmesi gerekir:
1. z doğrultusunda sadece düzgün yayılı yük etki etmeli,2. Hacimsel kuvvetler z’den bağımsız olmalı,3. z doğrultusunda düzgün yayılı olmayan başka kuvvet etki etmemeli.
dF 0
dx
E
dx
du
11 11 1; ; u u
E-Young/Elastisite Modülü
Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi
V V
M
1kkk
T
S
TTT P)x(uTdSufdVudV2
1
dxdAdydzdxdVdA
dxdS dx, L bölgesinde; dA, A bölgesinde değişmekte
L A L A
M
1kkk
T
L
TTT P)x(uTdxufdAdxudAdx2
1
fonksiyonelde bütün büyüklükler A serbest değişkeninden bağımsız olduğundanbu değişkene göre integral alınırsa
M
1kkk
LLL
P)x(uuTdxAufdxdxA2
1bulunur.
Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği
Fonksiyonelde yerine yazılırsa;
N
1iii )x(q)x(u
N
1i
ii
N
1iii dx
)x(dq)x(q
dx
d
dx
duN
i ii 1
q B
N
1iiiBqEE
ii
dB
dx
M
1kk
N
1ikii
L
N
1iii
L
N
1iii
L
N
1jjj
N
1iii p)x(qdxqTdxqAfdxBqEBqA
2
1
M
1k
N
1ikkii
N
1i Lii
N
1i Lii
N
1i
N
1j Ljjii p)x(qdxqTdxqAfdxBqEBqA
2
1
i
N
1i
F
M
1kkki
Li
Li
N
1i
N
1j
K
Ljiji qp)x(dxTdxAfdxEBABqq
2
1
iij
Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği
veya
N
1iii
N
1i
N
1jjiji qFqKq
2
1L
jiij dxEBABK
M
1mmki
Li
Lii p)x(dxTdxAfF
ii
dB
dx
Ritz tekniği gereği bilinmeyenlere göre türev alınarak sıfıra eşitlenirse:
0dq
d
i
i
N
1jjij FqK
Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği
Örnek eleman için:
Yukarıdaki ifadelerde bütün büyüklükler serbest değişkenden bağımsız ise:
1
1
eleke
)e(klij d
2
hBEBAKK
dx
d
d
dN
dx
)(dNB kk
k
1
1
eke
1
1
ekee
)e(ki d
2
hNTd
2
hNfAFF
1
1
elkee
)e(kl d
2
hBBEAK
1
1
eke
1
1
ekee
)e(k d
2
hNTd
2
hNfAF
Yukarıdaki ifadelerde bütün büyüklükler serbest değişkenden bağımsız ise:
lineer şekil fonksiyonları kullanılarak eleman matrisleri hesaplanırsa :
11
11
h
EA
e
ee)(eK
1
1
2
hT
1
1
2
hfA e
ee
ee)(eF
Uygulamalar
Şekilde arkaya doğru kalınlığı bir birim olan ve düşey kesit alanı lineer değişen bir yapı elemanı verilmektedir Bu yapı elemanını I) Sabit kesit alanlı, II) Değişken kesit alanlı olacak şekilde sonlu elemanlar ile modelleyerek;
a. Eleman matrislerini, b. Her bir nodda yer değiştirmeleri, c. Her sonlu elemanda gerilme
fonksiyonunu,d. Mesnet reaksiyonunu bulunuz.
2cm/N3.0f N30P1
N15P2 GPa200E
5.5,4xcm/N5.0
4,1xcm/N5.1
1,0xcm/N5.0
T2
2
2;
;;
Verilenler
I. Sabit kesit alanlı modelleme
baxA 10A x 8
11
Düşey kesit alanı için;
Eleman verileri/matrisleriSonlu
Elm. No eA
( 2cm )
eE
(GPa) 1ex
( cm ) ex
( cm ) e1ee xxh
( cm ) ef
( 3cmN )
eT
( 2cmN ) 1 1183 200 1 0 1 0.3 -0.5
2 1163 200 4 1 3 0.3 -1.5
3 2281 200 5.5 4 1.5 0.3 0.5
11
111009.15
11
11
h
EA 7
1
11)1(K
1
1881.0
1
1
2
hTEA 1
111)1(F
Eleman matrisleri:
11
1110818.3 7)2(K
1
1327.0)2(F
11
1110909.4 7)3(K
1
1203.1)3(F
Eleman verileri/matrisleri (devam)
Genel sistem:
203.1
15203.1327.0
30327.0881.0
881.0
q
q
q
q
909.4909.400
909.4909.4818.3818.30
0818.3818.309.1509.15
0009.1509.15
10
4
3
2
1
7
İndirgenmiş sistem:
203.1
53.18
208.31
10
q
q
q
909.4909.40
909.4181.11818.3
0818.3908.187
4
3
2
Çözüm:
0q1 7
2 10243,3q 73 10887.7q
74 10133.8q
; cm ; cm ;
Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:
2211)1( NqNqu
2
1q2
1
2)1()1(
)1(
h
q
dx
d
d
du
dx
du
(1) (1) 7 21 2E 2 10 q 6.486 N cm
2. Sonlu Eleman için:
(2)2 1 3 2u q N q N
(2) (2)(2) 3 2
2
q qdu du d
dx d dx h
2
1q
2
1q 32
2
2
237)2(2
)2( cmN096.3h
qq102E
3. Sonlu Eleman için:
2413)3( NqNqu
2
1q
2
1q 43
4
34)3()3(
)3(
h
dx
d
d
du
dx
du
2
4
347)3(3
)3( cmN328.0h
qq102E
Mesnet Reaksiyonu
881.0q09.15q09.1510R 217
1
=-49.817N
II. Değişken kesit alanlı modelleme
82
)xx(h
11
108x
11
10A e1ee
)xx(11
58)xx(
11
58
)xx(11
58)xx(
11
58
h
E
e1ee1e
e1ee1e
e
e)e(K
1
1
2
hT
16)xx(11
10h
33
10
16)xx(11
10h
33
10
4
fh ee
e1ee
e1eeee)e(F
,
II. Değişken kesit alanlı modelleme (devam
484.3
15893.3123.0
30532.0859.0
905.0
q
q
q
q
909.4909.400
909.4909.4818.3818.30
0818.3818.309.1509.15
0009.1509.15
10
4
3
2
1
7
Genel sistem:
İndirgenmiş sistem:
Çözüm:
484.3
016.19
391.31
10
q
q
q
909.4909.40
909.4727.8818.3
0818.3909.186
4
3
2
72 10571,3q 7
3 10464.9q 64 10017.1q cm, 0q1 cm, cm
Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:
2211)1( NqNqu
2
1q2
1
2)1()1(
)1(
h
q
dx
d
d
du
dx
du
(1) (1) 7 21 2E 2 10 q 7.142 N cm
2. Sonlu Eleman için:
(2)2 1 3 2u q N q N
(2) (2)(2) 3 2
2
q qdu du d
dx d dx h
2
1q
2
1q 32
(2) (2) 7 23 22
2
q qE 2 10 3.928 N cm
h
3. Sonlu Eleman için:
2413)3( NqNqu
2
1q
2
1q 43
4
34)3()3(
)3(
h
dx
d
d
du
dx
du
(3) (3) 7 24 33
4
q qE 2 10 0.942 N cm
h
Mesnet Reaksiyonu
881.0q09.15q09.1510R 217
1 =-54.767N
Örnek 2.
Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göreverilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıylamodelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz.
GPa72EAl GPa200EÇe
m05.0r1 m025.0r2
N100P
Verilenler
Eleman verileri/matrisleri
Sonlu Elm. No
iA
( 2m )
iE (GPa)
1ix ( m )
ix ( m )
i1ii xxh ( m )
if
( 3mN )
iT
( 2mN ) 1 2)05.0( 72 0.3 0 0.3 0.0 0.0
2 2)025.0( 72 0.5 0.3 0.2 0.0 0.0
3 2)025.0( 200 0.6 0.5 0.1 0.0 0.0
11
11106.0 9)1(K
11
1110225.0 9)2(K
11
111025.1 9)3(K
0
0)1(F
0
0)2(F
0
0)3(F
Eleman verileri/matrisleri
0.0
0.0
P20.0
0.0
q
q
q
q
25.125.100
25.125.1225.0225.00
0225.0225.06.06.0
006.06.0
10
4
3
2
1
9
Genel sistem:
İndirgenmiş sistem:
Çözüm:
0.0
0.0
200
10
q
q
q
25.125.10
25.1475.1225.0
0225.0825.0
10 9
4
3
29
0q1 72q 1.061 10 m 7
3q 1.061 10 m 74q 1.061 10 m
Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:
2211)1( NqNqu
2
1q2
(1) (1)(1)
21
du du d 1 2q
dx d dx 2 h
(1) (1) 2 21E 254.639 10 N m
2. Sonlu Eleman için:
(2)2 1 3 2u q N q N
(2) (2)(2) 32
2
qqdu du d 20
dx d dx 2 2 h
2
1q
2
1q 32
(2) (2) 7 23 22
2
q qE 2 10 0 N m
h
3. Sonlu Eleman için:
2413)3( NqNqu
2
1q
2
1q 43
(3) (3)(3) 3 4
4
q qdu du d 20
dx d dx 2 2 h
(3) (3) 23E 0 N m
Mesnet Reaksiyonu
9 21 1 2R 10 0.6 q q 0 0.6366 10 N
Örnek 3.
Şekilde verilen yapı elemanı yarıçapı lineer değişen bir parça ile sabit yarıçaplı ve dairesel kesit alanlı iki parçadan oluşmaktadır. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıylamodelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz.
2r 1cm1r 4cm
N100P
Verilenler
27 cmN10E
20,12xcmN5.0
12,0x0.0T 2
Örnek 3 (devam)
1)12(r12x
4)0(r0xiçinbax)x(r
16
x14)x(r
2
35)(r
293025
4)(A
Eleman verileri/matrisleri
0
0)1(F
Sonlu Elm. No
eA
( 2cm )
eE
( 2cmN )
1ex
(cm) ex
(cm) e1ee xxh
(cm) ef
( 3cmN )
eT
( 2cmN )
1 )(A
2930254
710 12 0 12 0.0 0.0
2 2)1( 710 20 12 8 0.0 -0.5
11
1110583.0 7)1(K
11
1110125.0 7)2(K
1
12)2(F
Eleman verileri/matrisleri
Genel sistem:
İndirgenmiş sistem:
Çözüm:
0q1
17
2
3
0.583 0.583 0 q 0
10 0.583 0.583 0.125 0.125 q 2
0 0.125 0.125 q 2 2P
27
3
q0.708 0.125 210
q0.125 0.125 198
52q 1.070 10 cm 5
3q 6.11 10 cm
Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:
2211)1( NqNqu
2
1q2
(1) (1)(1)
21
du du d 1 2q
dx d dx 2 h
(1) (1) 21E 8.9 N cm
2. Sonlu Eleman için:
(2)2 1 3 2u q N q N
(2) (2)(2) 32
2
qqdu du d 20
dx d dx 2 2 h
2
1q
2
1q 32
(2) (2) 7 2 23 22
2
q qE 10 0.637x10 N cm
h
Mesnet Reaksiyonu
71 1 2R 10 0.583 q q 0 62.381 N
Örnek 4.
Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. x=0.5m de yay bağlı olupbu noktadaki sınır koşulu ile verilmektedir.
Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz.
2r 0.025m1r 0.05m
N100P
Verilenler
E 72GPa10k 10 N m
0)6.0(kudx
)6.0(duEA
Eleman verileri/matrisleri
0
0)1(F(1) 9 1 1
0.6 101 1
K
(2) 9 1 10.225 10
1 1
K (2) 0
0
F
Sonlu Elm. No
eA
( 2m )
eE
(GPa) 1ex
(m) ex
(m) e1ee xxh
(m) ef
( 3mN )
eT
( 2mN ) 1 2)05.0( 72 0.3 0 0.3 0.0 0.0
2 2)025.0( 72 0.5 0.3 0.2 0.0 0.0
3 2)025.0( 200 0.6 0.5 0.1 0.0 0.0
11
111025.1 9)3(K
0
0)3(F
Eleman verileri/matrisleri
Genel sistem:
İndirgenmiş sistem:
Çözüm:
0q1
82q 8.162 10 m 8
3q 1.636 10 m
0.0
0.0
P20.0
0.0
q
q
q
q
c25.125.100
25.125.1225.0225.00
0225.0225.06.06.0
006.06.0
10
4
3
2
1
9
0.0
0.0
200
10
q
q
q
c25.125.10
25.1475.1225.0
0225.0825.0
10 9
4
3
29 910kc
94q 4.613 10 m
Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:
2211)1( NqNqu
2
1q2
(1) (1)(1)
21
du du d 1 2q
dx d dx 2 h
(1) (1) 2 21E 195.887x10 N m
2. Sonlu Eleman için:
(2)2 1 3 2u q N q N
(2) (2)(2) 32
2
qqdu du d 20
dx d dx 2 2 h
2
1q
2
1q 32
(2) (2) 2 22E 234.936x10 N m
2413)3( NqNqu
4
43)3()3(
)3(
h
2
2
q
2
q
dx
d
d
du
dx
du
(3) (3) 2 23E 234.94x10 N m
Mesnet Reaksiyonu
91 1 2R 10 0.6 q q 0 48.972 N
4 4R kq 46.13N
Örnek 5.
Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. Verilen yapı elemanı yarıçapı ile verilmektedir. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz.
2r 1cm1r 4cm
P 5kN
Verilenler
E 70GPa
2r(x) a bx
Örnek 5 (devam)
1)20(r20x
4)0(r0xiçinbxa)x(r 2
2x
400
34)x(r
2
)xx(h
400
34)(r i1ii 2)(r)(A
Eleman verileri/matrisleri
0
0)1(F(1) 5 1 1
98.787 101 1
K
(2) 5 1 138.412 10
1 1
K (2) 0
0
F
Sonlu Elm. No
iA
( 2m )
iE
( 2mN )
1ix (m)
ix (m)
i1ii xxh (m)
if
( 3mN )
iT
( 2mN )
1 2)(r)(A 7107.2 10 0 10 0.0 0.0
2 2)(r)(A 7107.2 20 10 10 0.0 0.0
11
1110412.38 5)2(K
Eleman verileri/matrisleri
Genel sistem:
İndirgenmiş sistem:
Çözüm:
0q1
32q 0.322 10 m 3
3q 1.149 10 m
10000
0
0
q
q
q
412.38412.380
412.38412.38787.98787.98
0787.98787.98
10
3
2
15
10000
0
q
q
412.38412.38
412.38199.13710
3
25
Gerilme Fonksiyonu1. Sonlu Eleman için:
2211)1( NqNqu
2
1q2
(1) (1)(1)
21
du du d 1 2q
dx d dx 2 h
(1) (1) 21E 225.4 N cm
2. Sonlu Eleman için:
(2)2 1 3 2u q N q N
(2) (2)(2) 32
2
qqdu du d 20
dx d dx 2 2 h
2
1q
2
1q 32
(2) (2) 22E 579.6 N cm
Mesnet Reaksiyonu
51 2R 98.819 10 q 0 9988.15N