View
214
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Sto lat teorii ruchów Browna
P. F. Góra
Instytut Fizyki im. Mariana SmoluchowskiegoUniwersytet Jagiellonski
XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich, Warszawa, 2005
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
1827: Odkrycie ruchów Browna
Robert Brown(1773–1858)
botanik szkocki
While examining the form of theseparticles immersed in water, I observedmany of them very evidently inmotion. . . These motions were such asto satisfy me, after frequently repeatedobservations, that they arose neitherfrom currents in the fluid, nor from itsgradual evaporation [konwekcja], butbelonged to the particle itself.
Brown nie był pierwszy — juz przed nim obserwowanomikroskopowe ruchy czasteczek organicznych, aleprzypisywano je jakiejs sile zyciowej.
Brown obserwował ruchy zywych pyłków, obumarłychpyłków i zawiesiny nieorganicznej.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
1827: Odkrycie ruchów Browna
Robert Brown(1773–1858)
botanik szkocki
While examining the form of theseparticles immersed in water, I observedmany of them very evidently inmotion. . . These motions were such asto satisfy me, after frequently repeatedobservations, that they arose neitherfrom currents in the fluid, nor from itsgradual evaporation [konwekcja], butbelonged to the particle itself.
Brown nie był pierwszy — juz przed nim obserwowanomikroskopowe ruchy czasteczek organicznych, aleprzypisywano je jakiejs sile zyciowej.
Brown obserwował ruchy zywych pyłków, obumarłychpyłków i zawiesiny nieorganicznej.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Dziwny charakter ruchów Browna
I Ruch bardzo nieregularnyI Trajektoria w róznych skalach czasowych
wyglada podobnie
I Trajektoria nie zalezy od historii
Próby opisu w jezyku predkosci zawiodły.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Dziwny charakter ruchów Browna
I Ruch bardzo nieregularnyI Trajektoria w róznych skalach czasowych
wyglada podobnie
I Trajektoria nie zalezy od historii
Próby opisu w jezyku predkosci zawiodły.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Dziwny charakter ruchów Browna
I Ruch bardzo nieregularnyI Trajektoria w róznych skalach czasowych
wyglada podobnie
I Trajektoria nie zalezy od historii
Próby opisu w jezyku predkosci zawiodły.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Dziwny charakter ruchów Browna
I Ruch bardzo nieregularnyI Trajektoria w róznych skalach czasowych
wyglada podobnie
I Trajektoria nie zalezy od historii
Próby opisu w jezyku predkosci zawiodły.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Dwie prace, które wszystko wyjasniły
Albert Einstein(1879–1955)
A. Einstein, Über die von dermolekularkinetischen Theorie derWärme geforderte Bewegung von inruhenden Flüssigkeiten suspendiertenTeilchen, Ann. Phys. 17, 549–560(1905).
MarianSmoluchowski(1872–1917)
M. von Smoluchowski, Zur kinetischenTheorie der BrownschenMolekularbewegung und derSuspensionen, Ann. Phys. 21,756–780 (1906).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Annus mirabilis
I Albert Einstein w roku 1905 opublikował czteryznaczace prace:
I dwie prace dotyczace szczególnej teoriiwzglednosci
I wyjasnienie efektu fotoelektrycznegoI wyjasnienie ruchów Browna
I Einstein wiedział, ze ruchy Browna saobserwowane, ale nie znał szczegółowychdanych doswiadczalnych
I Einstein samodzielnie wymyslił obserwacyjnewłasnosci ruchów Browna!
I Smoluchowski dobrze znał dane doswiadczalneI Smoluchowski otrzymał swoje wyniki przed
Einsteinem, ale opublikował je dopiero podwrazeniem pracy Einsteina
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Annus mirabilis
I Albert Einstein w roku 1905 opublikował czteryznaczace prace:
I dwie prace dotyczace szczególnej teoriiwzglednosci
I wyjasnienie efektu fotoelektrycznegoI wyjasnienie ruchów Browna
I Einstein wiedział, ze ruchy Browna saobserwowane, ale nie znał szczegółowychdanych doswiadczalnych
I Einstein samodzielnie wymyslił obserwacyjnewłasnosci ruchów Browna!
I Smoluchowski dobrze znał dane doswiadczalneI Smoluchowski otrzymał swoje wyniki przed
Einsteinem, ale opublikował je dopiero podwrazeniem pracy Einsteina
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Mechanizm mikroskopowy
I Ruch wywołany jest zderzeniami z czasteczkamirozpuszczalnika — ruchy Browna saobserwowalna manifestacja ruchów cieplnych
I Pomiedzy kazdymi kolejnymi zarejstrowanymipołozeniami nastapiło bardzo wiele zderzenelementarnych
I Proces zderzen mozna (w dobrym przyblizeniu)opisywac jako ciagły w czasie
I Trajektorie sa nigdzie nierózniczkowalneI Ruchu nie da sie scharakteryzowac poprzez
predkosc!I Heurystyczne wyprowadzenie równania dyfuzjiI 〈x〉 = 0,
⟨x2⟩ = 2Dt
I D = kBT/(Mγ) — twierdzeniefluktuacyjno-dysypacyjne
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Hipoteza atomistyczna
I Sto lat temu niechetnie — i nie przez wszystkich— przyjmowana hipoteza. . .
I Ruchy Browna dowodem na ruch cieplnyczesteczek mikroskopowych — bardzo waznyargument na rzecz atomizmu.
I Pomiary odległosci przebytej przez czastkibrownowskie — nie zas nie predkosci tychczasteczek! — pozwalały wyznaczyc liczbeAvogadra.
I Pomiarów dokonał Jean–Baptiste Perrin(nagroda Nobla 1926).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna
Dwie prace
Annus mirabilis
Mechanizm mikroskopowy
Hipoteza atomistyczna
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Dwa tysiace lat wczesniej. . .
Titus Lucretius Carus (ok. 97 pne – ok. 55 pne),De Rerum Natura, Liber Secundus(Lukrecjusz, O naturze wszechrzeczy, ksiega II)pisał, ze
Ruch drobinek kurzu widocznych w strudze swiatław ciemnym pomieszczeniu wywołany jest ruchamiatomów.
To nie sa ruchy Browna — sa to ruchymakroskopowe, wywołane konwekcja i turbulencja —ale starozytni atomisci byli blisko. . .
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Opis matematyczny
I Ruch cieplny mozna modelowac poprzez białyszum Gaussowski — proces stochastyczny ξ(t)taki, ze 〈ξ(t)ξ(t ′)〉 = 2Dδ(t − t ′).
I Smoluchowski: Biały szum Gaussowskiznakomitym modelem fluktuacji układówmakroskopowych w stanie równowagitermodynamicznej.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Równanie Langevina
Paul Langevin(1872–1946)
P. Langevin, Comptes Rendus del’Academie des Sciences (Paris), 146,530 (1908).
dvdt
= −γv + ξ(t) (1)
lub bardziej ogólnie
dxdt
= −d U(x , t)dt
+ ξ(t) (2)
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Równanie Fokkera–PlanckaRównaniu Langevina
x = A(x) + ξ(t) (3)
(ξ(t) jest GWN) odpowiada nastepujace równanie nazalezna od czasu gestosc prawdopodobienstwa:
∂P(x , t)∂t
= − ∂
∂x(A(x) P(x , t)) + D
∂2
∂x2 P(x , t) (4)
Równanie to, wprowadzane przez Einsteina,Smoluchowskiego, Fokkera i Plancka, w pełni scislewyprowadził dopiero Kołmogorow (1931). Jest onodzis najwazniejszym narzedziem słuzacym do opisudynamiki z siłami stochastycznymi.
Po prawej stronie równania (3) szum jest dodawanydo funkcji zmiennej x .
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Całka stochastyczna
Rozwazmy równanie Langevina, w którym szum jestsprzezony multiplikatywnie (parametrycznie) zezmienna dynamiczna:
x = A(x) + C(x) ξ(t) (5)
Okazuje sie, ze powyzsze równanie nie ma sensu,jezeli jakos nie dointerpretujemy szumu,a w szczególnosci całki stochastycznej:
t+∆t∫t
C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ =? (6)
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Całka stochastyczna
Rozwazmy równanie Langevina, w którym szum jestsprzezony multiplikatywnie (parametrycznie) zezmienna dynamiczna:
x = A(x) + C(x) ξ(t) (5)
Okazuje sie, ze powyzsze równanie nie ma sensu,jezeli jakos nie dointerpretujemy szumu,a w szczególnosci całki stochastycznej:
t+∆t∫t
C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ =? (6)
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Ito czy Stratonowicz?
I K. Ito, Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519 (1944):
t+∆tZt
C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ = C(x(t))
t+∆tZt
ξ(t ′) dt ′ (7)
I R. L. Stratonovich, SIAM J. Control 4, 362 (1966):
t+∆tZt
C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ = C
x(t) + x(t + ∆t)2
t+∆tZt
ξ(t ′) dt ′
(8)
I Te interpretacje prowadza niekiedy do róznych wyników.
I Matematycy uzywaja niemalze wyłacznie interpretacjiIto.
I Fizyk potrzebuje fizycznych argumentówprzemawiajacych za jedna badz druga interpretacja.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Ito czy Stratonowicz?
I K. Ito, Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519 (1944):
t+∆tZt
C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ = C(x(t))
t+∆tZt
ξ(t ′) dt ′ (7)
I R. L. Stratonovich, SIAM J. Control 4, 362 (1966):
t+∆tZt
C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ = C
x(t) + x(t + ∆t)2
t+∆tZt
ξ(t ′) dt ′
(8)
I Te interpretacje prowadza niekiedy do róznych wyników.
I Matematycy uzywaja niemalze wyłacznie interpretacjiIto.
I Fizyk potrzebuje fizycznych argumentówprzemawiajacych za jedna badz druga interpretacja.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Ito czy Stratonowicz?
I K. Ito, Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519 (1944):
t+∆tZt
C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ = C(x(t))
t+∆tZt
ξ(t ′) dt ′ (7)
I R. L. Stratonovich, SIAM J. Control 4, 362 (1966):
t+∆tZt
C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ = C
x(t) + x(t + ∆t)2
t+∆tZt
ξ(t ′) dt ′
(8)
I Te interpretacje prowadza niekiedy do róznych wyników.
I Matematycy uzywaja niemalze wyłacznie interpretacjiIto.
I Fizyk potrzebuje fizycznych argumentówprzemawiajacych za jedna badz druga interpretacja.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematycznyRównanie Langevina
Równanie Fokkera–Plancka
Całka stochastyczna
Ito czy Stratonowicz?
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zmiana zmiennych w interpretacji Ito
Po przyjeciu którejs interpretacji, równaniu (5)odpowiada równanie Fokkera-Plancka postaci
∂P(x , t)∂t
= − ∂
∂xA(x)P +
12∂2
∂x2 [C(x)]2 P (9)
Przypuscmy, ze w równaniu (5) dokonamy zmianyzmiennych y = φ(x) Jak zmieni sie równanieFokkera-Plancka?
Stratonowicz: A(y) = A(x(y))dφdx , C(y) = C(x(y))dφ
dx .
Ito: A(y) = A(x(y))dφdx + 1
2 [C(x(y))]2 d2φdx2 ,
C(y) = C(x(y))dφdx .
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Procesy stochastyczne dzisiaj
I Teoria procesów stochastycznych waznym działemmatematyki.
I Metoda Monte Carlo: Procesy stochastyczne jakonarzedzie modelowania zjawisk
I fizycznych i chemicznych,I technicznych,I biologicznych i ekologicznych,I społecznych i ekonomicznych.
I Na poziomie fundamentalnym wciaz dyskutuje siepochodzenie szumów, zwłaszcza w obszarzekwantowym.
I Nie w pełni poznana jest rola, charakter ipochodzenie fluktuacji nierównowagowych.
I W wielu zastosowaniach praktycznych szumprzeszkadza — jak pozbyc sie szkodliwego wpływuszumów?
I Szumy moga dawac takze efekty konstruktywne!
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie KramersaPrzejscia wywoływane szumem
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zagadnienie KramersaH. A. Kramers, Physica 7, 284 (1940).Teoria reakcji chemicznych aktywowanychtermicznie.
kf = Mωbγ
ωw2π e−βEa
kf — stała szybkosci reakcji“do przodu”
−→ Teoria szybkosci reakcji
P. Hänggi, P. Talkner, and M. Borkovec, Rev. Mod. Phys. 62, 251 (1990)E. Pollak and P. Talkner, Chaos 15, 026116 (2005)
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie KramersaPrzejscia wywoływane szumem
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Przejscia wywoływane szumemW. Horsthemke and R. Lefever Noise-Induced Transitions.Theory and Applications in Physics, Chemistry, andBiology, Springer, 1984.
Ene
rgia
(sw
obod
na)
parametr
I Przejscia do obszarów niedostepnych w inny sposób,
I Destabilizacja jednych punktów stałych, stabilizacja innych,
I Stabilizacja niestabilnych orbit,
I Podtrzymywanie sygnałów przez szum,
I Synchronizacja wywołana szumem
I i wiele innych.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — jak todziała
Rezonans stochastyczny dzisiaj
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Rezonans stochastyczny
Rezonans stochastyczny — szum moze wzmacniacsygnał!
L. Gammaitoni, P. Hänggi, P. Jung, and F. Marchesoni, Rev. Mod. Phys.70, 223 (1998)
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — jak todziała
Rezonans stochastyczny dzisiaj
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Przykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — wzrost stosunku wyjsciowegosygnału do szumu przy zwiekszeniu poziomu szumu.
x = −U ′(x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10)
Ene
rgia
(sw
obod
na)
parametr
Pierwsze pełne opracowanie teoretyczne: B. McNamaraand K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 39, 4854 (1989).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — jak todziała
Rezonans stochastyczny dzisiaj
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Przykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — wzrost stosunku wyjsciowegosygnału do szumu przy zwiekszeniu poziomu szumu.
x = −U ′(x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10)
Ene
rgia
(sw
obod
na)
parametr
Pierwsze pełne opracowanie teoretyczne: B. McNamaraand K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 39, 4854 (1989).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — jak todziała
Rezonans stochastyczny dzisiaj
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Przykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — wzrost stosunku wyjsciowegosygnału do szumu przy zwiekszeniu poziomu szumu.
x = −U ′(x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10)
Ene
rgia
(sw
obod
na)
parametr
Pierwsze pełne opracowanie teoretyczne: B. McNamaraand K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 39, 4854 (1989).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — jak todziała
Rezonans stochastyczny dzisiaj
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Przykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — wzrost stosunku wyjsciowegosygnału do szumu przy zwiekszeniu poziomu szumu.
x = −U ′(x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10)
Ene
rgia
(sw
obod
na)
parametr
Pierwsze pełne opracowanie teoretyczne: B. McNamaraand K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 39, 4854 (1989).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — jak todziała
Rezonans stochastyczny dzisiaj
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Przykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — wzrost stosunku wyjsciowegosygnału do szumu przy zwiekszeniu poziomu szumu.
x = −U ′(x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10)
Ene
rgia
(sw
obod
na)
parametr
Pierwsze pełne opracowanie teoretyczne: B. McNamaraand K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 39, 4854 (1989).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — jak todziała
Rezonans stochastyczny dzisiaj
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Rezonans stochastyczny — jak to działa
P(ω) = Pback(ω) + PΩ δ(ω − Ω) (11)
D/2 = 0.5 D/2 = 1.0 D/2 = 4.0
SNR = 10log10PΩ
Pback(ω = Ω)
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny
Rezonans stochastyczny — jak todziała
Rezonans stochastyczny dzisiaj
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Rezonans stochastyczny dzisiaj
I Reakcje biochemiczne (np. ATP–aza)I Modele klimatu (epoki lodowcowe, El Niño,. . . )I Detektory — naturalne i sztuczneI Zastosowania biomedyczne (korektory postawy,
otoskleroza,. . . )I Modele populacyjne i społeczneI itd
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zebatka brownowska (Brownian ratchet)
I Wariant demonaMaxwella, wymyslonyprzez Smoluchowskiegoi spopularyzowany przezFeynmanna:
I Przypadkowy ruch cieplnyzostaje zamieniony naukierunkowany ruchzebatki
I Sprezyna takze fluktuuje, zwalniajac zebatke!I Urzadzenie takie moze wykonac dowolnie wielka prace,
ale. . .I . . . poniewaz czas oczekiwania na odpowiednio wielka
fluktuacje gwałtownie rosnie, moc takiego urzadzenia dazydo zera.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zebatka brownowska (Brownian ratchet)
I Wariant demonaMaxwella, wymyslonyprzez Smoluchowskiegoi spopularyzowany przezFeynmanna:
I Przypadkowy ruch cieplnyzostaje zamieniony naukierunkowany ruchzebatki
I Sprezyna takze fluktuuje, zwalniajac zebatke!I Urzadzenie takie moze wykonac dowolnie wielka prace,
ale. . .I . . . poniewaz czas oczekiwania na odpowiednio wielka
fluktuacje gwałtownie rosnie, moc takiego urzadzenia dazydo zera.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Jesli “rozprostujemy” zebatke, dostaniemy potencjałokresowy, ale o złamanej symetrii zwierciadlanej.Dodajmy zewnetrzna siłe okresowa, kołyszacazebatka:
Dodajmy biały szum gaussowski i otrzymamytransport , mimo iz srednia siła działajaca na czastkeznika!M. O. Magnasco, Phys. Rev. Lett. 71, 1477 (1993).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Jesli “rozprostujemy” zebatke, dostaniemy potencjałokresowy, ale o złamanej symetrii zwierciadlanej.Dodajmy zewnetrzna siłe okresowa, kołyszacazebatka:
Dodajmy biały szum gaussowski i otrzymamytransport , mimo iz srednia siła działajaca na czastkeznika!M. O. Magnasco, Phys. Rev. Lett. 71, 1477 (1993).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Jesli “rozprostujemy” zebatke, dostaniemy potencjałokresowy, ale o złamanej symetrii zwierciadlanej.Dodajmy zewnetrzna siłe okresowa, kołyszacazebatka:
Dodajmy biały szum gaussowski i otrzymamytransport , mimo iz srednia siła działajaca na czastkeznika!M. O. Magnasco, Phys. Rev. Lett. 71, 1477 (1993).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Jesli “rozprostujemy” zebatke, dostaniemy potencjałokresowy, ale o złamanej symetrii zwierciadlanej.Dodajmy zewnetrzna siłe okresowa, kołyszacazebatka:
Dodajmy biały szum gaussowski i otrzymamytransport , mimo iz srednia siła działajaca na czastkeznika!M. O. Magnasco, Phys. Rev. Lett. 71, 1477 (1993).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Jesli “rozprostujemy” zebatke, dostaniemy potencjałokresowy, ale o złamanej symetrii zwierciadlanej.Dodajmy zewnetrzna siłe okresowa, kołyszacazebatka:
Dodajmy biały szum gaussowski i otrzymamytransport , mimo iz srednia siła działajaca na czastkeznika!M. O. Magnasco, Phys. Rev. Lett. 71, 1477 (1993).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Flashing ratchet
Zamiast “kołysac” potencjałem, mozemy właczaci wyłaczac potencjał.
I Swobodna dyfuzja przy wyłaczonym potencjale
I Dzieki asymetrii potencjału, wiecej czastek zostajeprzerzuconych “do przodu” niz “do tyłu”
I Działa nawet przy pewnym nachyleniu w “zła” strone
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Jeszcze o zebatkach
I Obecnosc szumu jest konieczna do tego, abyzebatka działała
I Zebatka nie łamie II zasady termodynamiki —energia jest dostarczana z zewnatrz, wiekszoscjest rozpraszana
I Najwiekszy transport odpowiada rezonansowistochastycznemu
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Motory molekularne
I Nanotechnologia i biotechnologia opieraja sie namozliwosci kontrolowania i wytwarzania niezwykle małychmechanizmów.
I Marzenie: Zbudujmy nanoroboty, które beda naprawiacmikrouszkodzenia w ludzkim ciele “od wewnatrz”.
I Wielu marzycieli i projektantówzapomina, iz na poziomiemolekularnym fluktuacje termiczneodgrywaja ogromna role.
I Na poziomie molekularnym siłefluktuacji mozna porównac do siłyhuraganu na poziomie makro.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Motory molekularne (c.d.)
A jednak natura jakos sobie z tym radzi. . .
Bardzo dobrym modelem działania wielu naturalnych motorówmolekularnych sa zebratki brownowskie!
Np. kinezyny, pompy molekularne itp.
R. Dean Astumian, Making Molecules Into Motors, Sci. Am., July2001, 51Prace motoru molekularnego mozna porównac do wpychaniasamochodu pod góre w czasie huraganu, bez uzycia silnika
1. Samochód ma koła zablokowane cegła, która mocnodociskamy do podłoza
2. Czekamy az wiatr popchnie samochód pod góre
3. Szybko przesuwamy cegłe
4. GOTO 1
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska
Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne
Flashing ratchet
Jeszcze o zebatkach
Motory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Motory molekularne (c.d.)
A jednak natura jakos sobie z tym radzi. . .
Bardzo dobrym modelem działania wielu naturalnych motorówmolekularnych sa zebratki brownowskie!
Np. kinezyny, pompy molekularne itp.
R. Dean Astumian, Making Molecules Into Motors, Sci. Am., July2001, 51Prace motoru molekularnego mozna porównac do wpychaniasamochodu pod góre w czasie huraganu, bez uzycia silnika
1. Samochód ma koła zablokowane cegła, która mocnodociskamy do podłoza
2. Czekamy az wiatr popchnie samochód pod góre
3. Szybko przesuwamy cegłe
4. GOTO 1
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalneGry Parrondo
Paradoks orzechów brazylijskich
Ujemna ruchliwosc
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zjawiska paradoksalne wywołaneszumem
Statystyka matematyczna i teoria procesówstochastycznych prowadza do wielu zjawisk“paradoksalnych” — wyników scisłychmatematycznie, ale sprzecznych z intuicja.
Nie inaczej jest z procesami fizycznymi, w którychszumy odgrywaja istotna role.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalneGry Parrondo
Paradoks orzechów brazylijskich
Ujemna ruchliwosc
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Paradoksalne gry Parrondo
Rozwazmy dwie “gry” nierzetelnymi monetami. Podaneliczby oznaczaja prawdopodobienstwa zwyciestwa i
przegranej; kto zwycieza, dostaje złotówke, kto przegrywa,płaci złotówke.
Gra AZwyciestwo Przegrana
1/2 − ε 1/2 + ε
Gra B(uzywamy dwu rodzajów monet)
Czy biezacy kapitał jest wielokrotnoscia 3?Nie Tak
Zwyciestwo Przegrana Zwyciestwo Przegrana3/4 − ε 1/4 + ε 1/10 − ε 9/10 + ε
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalneGry Parrondo
Paradoks orzechów brazylijskich
Ujemna ruchliwosc
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Paradoksalne gry Parrondo
Kazda z tych gier prowadzi na dłuzsza mete doprzegranej.
Jesli jednak bedziemy losowo — lub w pewnymregularnym cyklu — zmieniac gry, na dłuzsza mete
wygramy!
I Potencjał stale wyłaczony— czastka sie stacza
I Potencjał stale właczony— czastka sie stacza
I Potencjał naprzemienniewłacza sie i wyłacza —czastka wspina sie do góry
Juan Parrondo wymyslił swoje “gry” jako ilustracje efektuzebatkowego!
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalneGry Parrondo
Paradoks orzechów brazylijskich
Ujemna ruchliwosc
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Paradoks orzechów brazylijskichW czasie długich transportów morskich z AmerykiPołudniowej do Europy, skrzynie, w którychtransportowano orzechy, były bardzo mocno wstrzasane.Intuicja podpowiada, iz w rezultacie rózne rodzajeorzechów powinny byc równo wymieszane, jednak wrzeczywistosci po otwarciu skrzyni na wierzchuznajdowano najwieksze i najciezsze orzechy brazylijskie.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalneGry Parrondo
Paradoks orzechów brazylijskich
Ujemna ruchliwosc
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Paradoks orzechów brazylijskich
Szczegółowe wytłumaczenie tego paradoksu jest bardzozłozone:
A. Kudrolli, Rep. Prog. Phys. 67, 57 (2004)
Niewielkie róznice pomiedzy róznymi rodzajami“orzechów” powoduja, iz jedne tona, inne wydobywaja siena powierzchnie.
→ Fizyka układów ziarnistych
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalneGry Parrondo
Paradoks orzechów brazylijskich
Ujemna ruchliwosc
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Ujemna ruchliwosc
Zwykła odpowiedz — układ w równo-wadze
Ujemna ruchliwosc — układ nierów-nowagowy
Efekt zebatkowy
Siła oznaczac moze srednia siłe
R. Eichhorn, P. Reimann, P. Hänggi, Physica A 325, 101 (2003)A. Ros, R. Eichhorn, J. Regtmeier, T. T. Duong, P. Reimann and D.Anselmetti, Nature 436, 928 (2005)R. Eichhorn, P. Reimann, B. Cleuren and C. Van den Broeck, Chaos 15,026113 (2005)
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalneGry Parrondo
Paradoks orzechów brazylijskich
Ujemna ruchliwosc
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Ujemna ruchliwosc
Co jest potrzebne do zrealizowania ujemnej ruchliwosci?
I “Pułapki” na czastki (→ asymetria)
I Dyfuzja (→ ruchy Browna)
Duza siła działa w prawo — wie-kszosc czasteczek nie zdazy dyfuzyj-nie uciec do wyjscia — zostaja uwie-zionePrzełaczamy siłe — słabsza siładziała w lewo — wiekszosc czaste-czek zdoła uciec na lewo
Niewielkie zmiany w parametrach czasteczek (masa,lepkosc) moga spowodowac, iz niektóre beda wykazywacruchliwosc dodatnia, inne ujemna — orzechy brazylijskie!
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
Fluktuacje nierównowagowe
Co sie dzieje, gdy szum nie jest generowany przezukład w stanie równowagi termodynamicznej, azatem gdy nie da sie go modelowac przez biały szumgaussowski?
A Gaussowskie szumy koloroweB Anomalna dyfuzjaC Jeszcze inne rodzaje szumów, o których tu nie
wspominamy
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
A. Gaussowskie szumy koloroweNiech fluktuacje zadane beda przez gaussowski szumkolorowy:
〈ξ(t)ξ(t ′)〉 = f (|t − t ′|), (12)
na przykład
〈ξ(t)ξ(t ′)〉 =2Dτ
exp (−|t − t ′|/τ) .
Tego typu szumy słuza do modelowania układów“z pamiecia”.
I Wazne w modelowaniu układów biologicznych
I Niesłychanie wazne w analizie szeregów czasowych,w cyfrowej obróbce sygnałów itp
I W rezonansie stochastycznym wywołuja efektyrezonansowe nie tylko przy zmianie natezeniaszumu, ale takze przy zmianie parametru(parametrów) charakteryzujacych “pamiec”
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
B. Anomalna dyfuzja
W (uogólnionym) bładzeniu przypadkowym⟨x2⟩ ∼ tα
0 < α < 1 α = 1 α > 1subdyfuzja dyfuzja superdyfuzja
I półprzewodnikiamorficzne
I transport wukładachporowatych iperkolujacych
I transport wgeometriachfraktalnych
I transportturbulentny
I kolektywnytransport napowierzchniach
I ruch bakteriiI zjawiska
ekonomiczne
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
B. Anomalna dyfuzja
W (uogólnionym) bładzeniu przypadkowym⟨x2⟩ ∼ tα
0 < α < 1 α = 1 α > 1subdyfuzja dyfuzja superdyfuzja
Ruch z przeszko-dami
Układy silnie nie-równowagoweLoty Lévy’ego
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
Subdyfuzja — najprostszy model
Zwykła dyfuzja: Układ skacze w lewo lub w prawo zustalonym krokiem czasowym (co kazde cyknieciezegara)
Subdyfuzja: Układ oczekuje na wykonanie kroku.Czasy oczekiwania losowane sa z pewnego rozkładuprawdopodobienstwa ψ(t).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
Subdyfuzja — najprostszy model
Zwykła dyfuzja: Układ skacze w lewo lub w prawo zustalonym krokiem czasowym (co kazde cyknieciezegara)
Subdyfuzja: Układ oczekuje na wykonanie kroku.Czasy oczekiwania losowane sa z pewnego rozkładuprawdopodobienstwa ψ(t).
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
Subdyfuzja — najprostszy model
E. W. Montroll, H. Scher, J. Stat. Phys. 9, 101 (1973):
ψ(t) ∼ t−1−α, 0 < α < 1.
Sredni czas oczekiwania na przeskok jest rozbiezny .
Sredni kwadrat przemieszczenia⟨x2⟩ ∼ tα.
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
Subordynacja
Ilosc kroków wykonanych od zera do czasu tfluktuuje.
P(x , t) =∞∑
n=0
W (x ,n)χn(t)
I P(x , t) — prawdopodobienstwo, ze czastka poczasie t znajdzie sie w punkcie x
I W (x ,n) — prawdopodobienstwo, ze czastkaznajdzie sie w punkcie x po wykonaniu n kroków
I χn(t) — prawdopodobienstwo, ze czastka wczasie t wykona n kroków
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
Continuous Time Random Walk (CTRW)
I Normalna dyfuzja: w kazdej chwili czastkawykonuje krok, którego długosc losowana jest zrozkładu Gaussa
I Subdyfuzja: czastka wykonuje kroki odługosciach losowanych z rozkładu Gaussa, aleczeka na wykonanie kroku; czas oczekiwanialosowany z rozkładu typu ψ(t) ∼ t−1−α
I Superdyfuzja: w kazdej chwili czasu czastkawykonuje krok, którego długosc losowana jest zrozkładu Lévy’ego (rozkładu α-stabilnego)
I Mozliwe sa bardzo długie krokiI Dyfuzja paradoksalna: Robimy długie kroki, ale
tez długo czekamy
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe
B. Anomalna dyfuzja
Subdyfuzja — najprostszy model
Subordynacja
CTRW
Opis matematyczny
Zamiast podsumowania
Opis matematyczny
Opis matematyczny sub- i superdyfuzji:
Ułamkowe równanie Fokkera-Plancka
→ pochodne ułamkowe!
Ralf Metzler, Joseph Klafter, Phys. Rep. 339, 1(2000)
Sto lat teorii ruchówBrowna
P. F. Góra
Odkrycie ruchów Browna
Wyjasnienie teoretyczne
Opis matematyczny
Procesy stochastycznedzisiaj
Zagadnienie Kramersa
Rezonans stochastyczny
Zebatki brownowskie imotory molekularne
Zjawiska paradoksalne
Fluktuacjenierównowagowe
Zamiast podsumowania
Zamiast podsumowania:Teoria ruchów Browna dzisiaj
I Rezonans stochastyczny, zebatki brownowskie,motory molekularne, synchronizacja wywołanaszumem — dwa lata temu. . .
I Fluktuacje nierównowagoweI Anomalny transportI Fizyka układów ziarnistychI Teoria predkosci reakcjiI Procesy stochastyczne a mechanika kwantowaI Modelowanie (prawie) wszystkiego
Recommended