Su, C.J., and Judd, K.L.: Constrained optimization...

Su, C.J., and Judd, K.L.: Constrained optimization approaches to estimation of structural models, Econometrica, Vol. 80, pp. 2213-2230, 2012.

集中理論談話会 #152014/6/28(土)

D2浦田 淳司

2

論文目次・概要

1. Introduction2. MPEC Approach to Estimation3. Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models

3.1 Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models3.2 Maximum-Likelihood Estimation

4. Monte Carlo Experiments5. Conclusion

構造推定にあたって，NFXP法(Rust(1987))は，不動点の繰り返し計算を行うために計算負荷が高い．そこで，均衡制約条件付き数理計画問題(MPEC)を用いて等価な定式化を行い，計算負荷を低減させた手法を提案する．

+ NPLとの比較++ TRcの式(論文とは関係なし)

背景：NFXP法(構造推定アプローチ)

3

Rust, J.(1988) Statistical Models of Discrete Choice Processes, Transportation Research Part B, Vol. 22(2), pp. 125-158.

構造推定パラメータθ

を求める

Outer

期待価値関数E

Vθ

の不動点を求める

Inner

θ

ごとの繰り返し計算が負荷⇒

MP

EC

の導入

1. Introduction

均衡条件，尤度の最大化

4

観測可能な状態 �選択結果 d意思決定者i (1 � � � �)構造パラメータ �：コスト，利益などを示す内生変数 σ：意思決定者の政策関数．構造パラメータ�の関数となる．

σは均衡条件を通じて，�に拠る． �, σ � 0

�を所与としたときの，∑���を(1)式を満たすσの集合と定義する���� ≔ �σ: �, σ � 0�

�����は∑���の要素であり，期待価値関数とし，一意に定まる．また，∑���は�と1対1対応する．L��, �� � ; ��を観測データXの対数尤度とし，尤度最大化パラメータは次と定義

(1)

2. MPEC approach to estimate

提案手法（MPEC)を用いた推定法を説明（2章）

(3)

MPECによる定式化

5

NFXPアルゴリズムでは，次を繰り返す．outer loop: 尤度関数を最大化する構造パラメータ�を求めるinner loop: パラメータ�を所与とし，すべての����� ∈ ∑���の中から不動点解�����を求める

2. MPEC approach to estimate

やりたいことは，構造パラメータ�を推定する際に，内生変数σが�から算出されたものであればよい⇒均衡制約条件(1)を用いた制約付き最適化問題として定義する

0),();,(1

max),(

=σθσθσθ

htosubjectXLM

(4)

定理1：(3)式と(4)式の等価性を示す��は尤度最大化の(3)式で定義され，(4)式の解は��̅, ���とする．��∗ � � !"#max'(�)� *��, ������と定義する．また， *���, ��∗�����= *��̅, ���となる．このとき， �� � �̅となる．証明：��̅, ���は(1)式を満足し， �� ∈ ∑ �̅であるため，(3)式より，*���, ��∗����� ≥ *��̅, ���．��∗ �� ∈ ∑����であるため，制約条件(1)を満たし，(4)式より， *���, ��∗����� � *��̅, ���．モデルが特定され，解が１つであるため， �� � �̅となる．

NFXP法：Bus-Engine Replacement Problem

6

τ期バスの状態

observed state x τ

unobserved state ε τ意思決定d τ

1 (エンジンの交換)0 (エンジン補修により運行)

τ-1期 τ+1期1期 … …

Rust, J.(1987) のバスエンジン補修/交換の問題を例にして，NFXP法を説明（3章）

ある期の効用関数u

c:補修コストθ1:補修パラメータRC: 交換コストθ2, θ3:状態推移パラメータ状態xの推移確率（一次マルコフ性を仮定）

),;,,|,( 3211 θθεε ttttt dxxp ++

3. Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models

NFXP法：将来期待効用の最大化

7

将来の価値関数は，時間割引を考慮した効用の最大化となる

)1,0(∈β時間割引率　

(6)

最適意思決定は無限期間先までを考慮しており，期によらず一定である

(7)

)','( εx次期状態　

↑今期と次期の状態により，価値関数を定義

3. Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models

NFXP法：期待価値関数・選択確率

8

仮定：推移確率の条件つき独立性(CI)

);,|'();'|'(),;,,|','( 332232 θθεθθεε dxxpxpdxxp =

CIの仮定を用いて，期待価値関数を次で定義する．

選択肢の期待価値関数（(7)式からεを除いて）

これを期待価値関数の定義式に戻す

εを極値分布とし，ロジット型の条件付き選択確率を導出（θ � �-., θ/, θ0�がパラメータ）

(8)

(9)

3. Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models

NFXP法： Fixed-Point Solution

9

(7)式と極値分布により，Fixed-Point equationは次となる

(10)

今期の状態xをK分割，次期の状態x’をJ分割して，表記．

(11)

(12)

で，結局この式に落ち着く．不動点の求解．

(11)式に代入

※ この式が定義されている

(13)

3. Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models

背景：NFXP法(構造推定アプローチ)

10

Rust, J.(1988) Statistical Models of Discrete Choice Processes, Transportation Research Part B, Vol. 22(2), pp. 125-158.

構造推定パラメータθ

を求める

Outer

期待効用E

Vθ

の不動点を求める

Inner

θ

ごとの繰り返し計算が負荷⇒

MP

EC

の導入

3. Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models

NFXP法：最尤法によるパラメータ推定

11

バス会社iの尤度

M社の全体尤度 (14)

対数尤度

(15)

対数尤度最大化により，θ � �-., θ/, θ0�を求める(16)

3. Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models

MPECによる定式化

123. Single-Agent Dynamic Discrete-Choice Models

(13)式，(16)式を等価な均衡制約条件付き最適化問題と定式化．

(18)

（等価であることの証明は定理1より）

NFXPが不動点の算出プロセスを毎回解いているのに比べて，Bellmanの等式を一度評価すればよいので，計算負荷は小さい．

計算精度の比較

134. Monte Carlo Experiments

・250回計算の平均をとり，パラメータの平均，分散を比較・βが大きい場合は，NFXPと同じ結果であるなど，両者の精度の差はほぼない

計算時間の比較

14

・MPECのほうがNFXPよりも計算時間は短い(AMPLで180倍以上，MATLABで3倍以上)

4. Monte Carlo Experiments

＋NPL(擬似最尤推定法)との比較

15

Aguirregabiria and Mira(2002)

・計算速度はパラメータが4つの場合は，NPLは9倍速い・MPEC型はNFPXと等価であるが，NPLは漸近等価．

まとめ

165. Conclusion

まとめ・構造モデルの推定にMPECを用いる手法を提案・シングルエージェントの動的離散選択モデルで実証・標準的なソフトウェアで計算可能であり，NFXPよりも早い

今後の課題・動的離散選択ゲームにも適用可能かを検証する

つづく?

所感・コロンブスの卵的？・等価性と計算性の両方をカバー

TRｃの式1(Nested Dynamic Discrete Choice)

17

( )( ) ( )( )∑

+==

' ,'

,

,

,,,,, lnexp

lnexp)()(exp);,();,|();|(

L tL

tL

tL

tgtgtgtgttgt R

R

R

SSuSLPSLdPSdP

σσσβυ

θθθ

( )( )

),()()(),(),(

),|()(),(

)()(exp

,,,

,1,1,,

,,,

,

tgtttttgttgt

S tgttgtgtgt

Lg tgtgtL

SdLdSduSdv

SdSpSSd

SSuR

tg

βυεσε

υυ

σβυ

+++=

=

+=

∑

∑

++

∈

root

a1-a2

Intra A

Pair Set g

Pair ij

a1-a3 a2-a3 a1-b1 a1-b2 a1-b3 …

…

a3-b3 b1-b2 b1-b3 b2-b3

Inter A&B Intra B

making pair Non-makeNest L

選択確率（時刻t, Pair Set g）

ログサム

将来価値

価値関数

(1)

(2)

(3)

(4)

Network Utility (5)

t期でintra g内のリンクが形成

rain5,

dis2,,

inter1,

intra1,1,,,

inter,4

interintra,3

intradam,

dam,1,

),(

1)(),(

)),1,1(()(

lnln||1

)( ,

ttgt

gijij

gttgtgt

tgtgtgttgttg

tggtgggij

tjtig

lttg

xSdu

xN

dSSdu

kkldSdS

kkxxN

mdS tg

θ

θ

θδθδθ

=

+=

++==

++

−=

∑

∑

∈

−−−

∈

形成なし効用

(6)

(7)

(8)

形成あり効用

時間割引率 スケールパラメータ

推移確率

選択結果上位ネスト パラメータ

interintra

,

, gg

g

tg

N

l

m

δδ dam,

rain

dis

inter,

intra, ,

ti

t

ij

tgtg

x

x

x

kk形成による利他差の縮小

g内の一定時間以内の形成数

g内のpair数

gがintraかinterか

g内の形成数

ij間距離

当該時間帯の雨量

iのダメージ

利他差 同調性(集中性)

危険度

形成コスト

TRc の式

18

Pair Utility

Majority Tuning

Choice

Future Utility

Observed

Latent

Network Utility

Spatial StochasticChoice Set

Pair AltruismPair Cost

++. Omakeb) Dividing Intra and Inter Pairs by basic groups

Intra Pairs of BIntra Pairs of A

Inter Pairs of A & B

a1

a2

a3

b1

b3

b2

pair

node

nest

non-maket-1

1−ts

time

state

t

ts

time

state

t+1

1+ts

time

state

non-make

non-make

t+2

2+ts

time

state

non-make

new pair previous pair

A B

a1

a2

a3b1

b3

b2

a) Dividing Basic Group

効用関数

DP

空間的準拠集団形成

同調

TRｃの式2 (Tuning Effect)

19

( )( ) ( )( )∑

+==

' ,'

,

,

,,,,, lnexp

lnexp)()(exp);,();,|();|(

L tL

tL

tL

tgtgtgtgttgt R

R

R

SSuSLPSLdPSdP

σσσβυ

θθθ選択確率（時刻t, Pair Set g）

Network Utility

tg

tggtgggij

tjtig

lttg

kO

kkxxN

mdS tg

,1

inter,4

interintra,3

intradam,

dam,1,

ln'

lnln||1

)( ,

θ

θδθδθ

+=

++

−= ∑

∈

( )( ) ( ) ( )tL

tgtg

tL

tgtg

R

SSu

R

SSu

,

,,

,

,, )(exp)(exp

)()(exp σβυσ

σβυ=

+

( )[ ]( ) ( )[ ]

( )( )[ ]( ) ( ) 23

',23

1',

23

1',

21

1,

21

1,

lnexp

expln'exp

ln'exp

OOkOOk

OOk

OOk

OOk

tgtg

tg

tg

tg

σθσθ

σθ

σ

σ

θ

θ

==

=

=

+=

適応度モデルノード12のリンク形成確率

( )∑

=j jj

iii k

kvP

ηη

20

ご清聴ありがとうございました．