View
20
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a Ia, Etapa a Ia, Etapa a Ia, Etapa a IIIII----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a IIIIIIII----aaaa
I. 1. CalculaŃi:
(2p) a) =−− 999900
(3p) b) =−+−+− 114116118120122124
2. AflaŃi suma numerelor a, b şi c dacă:
(4p) 312321231123 =−=−=+ cba
II. 1. ScrieŃi numărul 36 ca produs de:
(1p) a) 2 factori diferiŃi de 1
(1p) b) 3 factori diferiŃi de 1
(2p) c) 4 factori diferiŃi de 1
(2p) d) 5 factori, cu suma acestor factori egală cu 15
(3p) 2. În imaginea alăturată, Ana a desenat două linii drepte şi şapte cerculeŃe. Ea scrie în cerculeŃe numerele naturale de la 1 la 7, fără a le repeta, astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie să fie 15. Ce număr a scris Ana în fiecare cerculeŃ?
III. (4p) 1. Începând de luni dimineaŃă, Zâna Florilor pictează în fiecare zi floricele în grădina sa, astfel: dimineaŃa două flori, la prânz trei flori, iar seara o floare. Câte flori pictează timp de 7 zile? Câte flori a pictat în total, dacă în dimineaŃa celei de-a zecea zi, înainte de a începe lucrul, mai avea de pictat în grădină doar 8 flori? În ce zi a săptămânii a terminat de pictat toate florile?
(5p) 2. Un joc pe calculator se desfăşoară astfel: la fiecare nivel, se afişează pe monitor un dreptunghi mare, ca în figura de mai jos. După primele 3 niveluri au fost afişate următoarele dreptunghiuri:
Nivelul 1 Nivelul 2 Nivelul 3
a) Ce dreptunghi va fi afişat pe ecran la nivelul 5? b) Care va fi suma tuturor numerelor afişate pe ecran în cerculeŃele din mijloc, după primele 9 niveluri? c) La al câtelea nivel va apărea pentru prima dată pe ecran numărul 19? Justificare!
IV. (4p) 1. Dacă Andrei ar mai avea 5 timbre, ar putea aşeza câte 7 timbre pe fiecare din cele 8 pagini ale albumului său. El primeşte de la bunicul său câteva timbre şi constată că acum poate aşeza câte 9 timbre pe fiecare pagină. Câte timbre avea Andrei la început? Câte timbre a primit de la bunicul său?
(5p) 2. Alexandru a construit trei castele şi a folosit în total 200 de piese Lego roşii şi albastre. Primul castel este construit din 55 de piese, toate roşii. Pentru al doilea castel a folosit 76 de piese, din care 25 sunt albastre, iar al treilea castel este construit numai din piese albastre. Din câte piese Lego albastre a construit Alexandru cel de-al treilea castel?
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul
maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2ore.
1 2 3 6
7
2 3 5 10
3 4 7 14
7
7
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a Ia, Etapa a Ia, Etapa a Ia, Etapa a IIIII----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a IIIIIIIIIIII----aaaa
I. (3p) 1) Figurile geometrice ascund cifre diferite. DescoperiŃi care este cifra corespunzătoare fiecărei figuri geometrice, pentru a se putea obŃine rezultatele următoare:
– : – : = 1
× – – – = 4
: + + + : = 20
× – – – : = 23
= ? = ? = ? = ?
(3p) 2) AflaŃi toate numerele naturale de 3 cifre diferite, de forma abc , ştiind că 248 =++× cba .
(3p) 3) AflaŃi diferenŃa dintre cel mai mare număr natural de 3 cifre cu produsul cifrelor egal cu 8 şi cel mai mic număr natural de 3 cifre diferite cu produsul cifrelor egal cu 8.
II. (3p) 1) Tata Spiri şi mama Duşa au 3 perechi de gemeni. Care e vârsta fiecărui copil, ştiind că produsul vârstelor tuturor copiilor este 36? (vârsta fiecărui copil este exprimată în ani, numere naturale)
(3p) 2) Mica Sirenă a scris pe nisip toate numerele de la 1 la 8, inclusiv. AjutaŃi-o să împartă aceste numere în 3 grupe cu sume egale.
(3p) 3) UrsuleŃul Beni-Ben a numerotat căsuŃele animalelor din Pădurea Veselă cu numere consecutive crescător, începând de la 1. În scrierea numerelor căsuŃelor, ursuleŃul a folosit cifra 3 de 42 de ori. Numărul ultimei
căsuŃe e de forma 5ab . Câte căsuŃe sunt în Pădurea Veselă?
III. (5p) 1) Corbul, lupul şi vulpea sunt prieteni. Suma vârstelor celor trei prieteni este de 56 de ani. Corbul e cu 16 ani mai în vârstă decât lupul, iar lupul este cu 2 ani mai mare decât vulpea.
a) CâŃi ani are fiecare? b) Cu câŃi ani în urmă corbul avea vârsta de 3 ori mai mare decât a lupului?
(4p) 2) AflaŃi un număr, ştiind că triplul sfertului dublului său este 12.
IV. (4p) 1) Alice citeşte o carte care are 120 de pagini. În prima zi citeşte o pagină, în a doua zi două pagini, astfel încât în fiecare zi citeşte cu o pagină mai mult decât în ziua precedentă. În câte zile termină de citit cartea?
(5p) 2) Peter-Pan are 3 săculeŃi cu smaralde (S1, S2, S3). În fiecare săculeŃ este un număr de smaralde. Din primul săculeŃ pune în cel de-al doilea tot atâtea smaralde câte vede că sunt deja în al doilea. Apoi, din S2 pune în S3 tot atâtea smaralde câte sunt în S3. La sfârşit, din S3 pune în S2 tot atâtea smaralde câte conŃine acum S2.
Acum, în primul săculeŃ sunt 38 de smaralde, în al doilea 8, iar în al treilea 36. Câte smaralde erau la început în fiecare săculeŃ? Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din
oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2ore.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matemational de Matemational de Matemational de Matematicicicică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a a, Etapa a a, Etapa a a, Etapa a IIIIIIII----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a IVIVIVIV----aaaa
I. (3p) 1) CalculaŃi: =×− 9478100000
=×−×+ 0403:20152015:201520152015:2015
(3p) 2) Formele geometrice ascund numere naturale diferite:
+ = + +
+ + = +
+ + = 1488 = ?
(3p) 3) Fie numărul 888888=N . Calculează BA− unde: A este cel mai mic număr natural mai mare decât N şi este format din 6 cifre distincte, B este cel mai mare număr natural mai mic decât N şi este format din 6 cifre distincte.
II. (3p) 1) AflaŃi toate numerele naturale de forma abcd cu dcba <<< şi 18=+++ dcba .
(3p) 2) DeterminaŃi perechile de numere naturale a şi b ştiind că diferenŃa lor este 194, iar câtul împărŃirii numărului a la b este 10, iar restul nenul.
(3p) 3) Într-o cutie sunt 27 de cuburi roşii, 20 de cuburi verzi şi 15 cuburi albastre. Care este numărul maxim de cuburi pe care trebuie să le scot din cutie, fără să mă uit, pentru a fi sigur că în cutie rămân cel puŃin câte 10 cuburi din fiecare culoare?
III. (4p) 1) Mă gândesc la un număr. Îl înjumătăŃesc, apoi măresc rezultatul cu 3. Triplez noul rezultat şi îl măresc cu 6. Împart la 4 ultimul rezultat şi obŃin numărul la care m-am gândit iniŃial. Care este acela?
(2p) 2) Calculează suma cifrelor rezultatului 96...99...9996996966 +++++ 9 (în ultimul număr din adunare, cifra 9 se repetă de 9 ori).
(3p) 3) Cei 7 pitici ai Albei ca Zăpada au vârste exprimate prin ani numere naturale diferite (nu există gemeni). Dacă adunăm diferenŃele dintre vârsta celui mai mare pitic şi vârsta fiecăruia dintre ceilalŃi pitici (deci 6 diferenŃe) obŃinem suma 21. AflaŃi vârsta fiecărui pitic, ştiind că suma vârstelor celor 7 pitici este 126 ani.
IV. (5p) 1) Ioana şi Mihai sunt colegi de clasă. Ioana are de 4 ori mai multe colege decât colegi, iar Mihai are de 5 ori mai multe colege decât colegi.
CâŃi elevi sunt în acea clasă?
(4p) 2) În tabara de la munte elevii se organizează pe echipe. La primul concurs, echipele sunt formate din câte 2 băieŃi şi 2 fete iar 1 băiat şi 2 fete nu participă la concurs. La al doilea concurs se formează echipe de câte 5 băieŃi şi 5 fete, şi 3 băieŃi şi 4 fete nu participă la concurs.
Câte fete şi câŃi băieŃi sunt în tabară dacă tabăra poate găzdui maxim 34 elevi? Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din
oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2 ore şi 30 minute.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a Ia, Etapa a Ia, Etapa a Ia, Etapa a IIIII----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a VVVV----aaaa
I. Se consideră numărul
���cifre 2015
99...99...999999 ++++=n
(3p) a) Să se afle suma cifrelor lui n;
(3p) b) Să se afle ultimele 4 cifre ale lui n;
(3p) c) Să se arate că numărul n nu este pătrat perfect.
II. (3p) a) Să se afle ce resturi se pot obŃine împărŃind un pătrat perfect la 8.
(3p) b) Să se stabilească dacă numărul 2015 se poate scrie ca o sumă de 3 pătrate perfecte.
(3p) c) Să se scrie 2015 ca o sumă de 5 pătrate perfecte.
Prof. M. Goşoniu
III. (4p) a) ArătaŃi că nu există numere naturale care împărŃite la 5 dau restul 2 şi împărŃite la 10 dau restul 3.
(5p) b) AflaŃi restul împărŃirii numărului.
73875149 23 +++ nnn
prin 37, unde Nn∈
prof. Vasile Tarciniu, Odobeşti, Vrancea
IV. (9p) Să se arate că orice număr natural nenul n admite un multiplu care se scrie folosind toate cifrele
sistemului zecimal, fiecare cifră folosindu-se de acelaşi număr de ori.
Prof. Traian Preda
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2 ore şi 30 minute.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a VIVIVIVI----aaaa
I. Se consideră DOECODBOCAOB ∠∠∠∠ ,,, şi EOA∠ , unghiuri în jurul unui punct având măsurile
exprimate în grade 12 ,9 ,6 ,3 , ++++ aaaaa .
(3p) a) Să se afle măsurile celor 5 unghiuri.
(3p) b) Să se afle măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOB∠ şi BOC∠ .
(3p) c) Să se determine ( )AODm ∠ .
II. (4p) a) Dacă numerele prime p,q,r şi numerele naturale nenule x,y,z verifică simultan condiŃiile:
px < , qy < , rz < , Zy
q
x
p∈+ , Z
z
r
y
q∈+ , atunci zyx ==
Prof. Ion NeaŃă, Slatina
(5p) b) ArătaŃi că există o infinitate de numere nenule n astfel încât toate fracŃiile 1
,2
1,...
1
2,
1 nn
nn
−−
să
fie ireductibile.
Prof. Gheorghe Stoica
III. Se consideră triunghiul ABC cu ][][ ACAB ≡ şi punctele )(ABM ∈ , )(ACN ∈ astfel încât
][][ ANAM ≡ .
(3p) a) Să se arate că ACMABN ∆≡∆ ;
(3p) b) Să se arate că CMNBMN ∆≡∆ ;
(3p) c) Dacă }{PCMBN =∩ , să se arate că AT[ este bisectoarea unghiului BAC.
Prof. M. Goşoniu
IV. (9p) Se dau n numere naturale consecutive, 3≥n , din care se scot două numere x şi y cu yx > . Să se
determine numerele naturale n, x, y ştiind că media aritmetică a celor 2−n numere rămase este egală
cu y.
Prof. Traian Preda
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2 ore şi 30 minute.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etaa, Etaa, Etaa, Etapa a IIpa a IIpa a IIpa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a VIVIVIVIIIII----aaaa
I. Să se calculeze:
(4p) a)
+++⋅
++−
++⋅
+++4
1
3
1
2
11
5
1
4
1
3
1
4
1
3
1
2
1
5
1
4
1
3
11 .
(5p) b) −
++++⋅
+++++2014
1...
4
1
3
1
2
1
2015
1
2014
1...
4
1
3
11
+++++⋅
++++−2014
1...
4
1
3
1
2
11
2015
1
2014
1...
4
1
3
1
II. (3p) 1. a) Să se găsească *, Nba ∈ a.î. 22 43 ba + să fie raŃional.
(3p) b) Să se arate că numerele 22 43 ba + şi 22 34 ba + nu pot fi simultan raŃionale.
(3p) 2. Să se arate că ecuaŃia:
baab
ya
b
xb
a
yb
a
x+=
−
−+
−
−
are soluŃii în mulŃimea numerelor naturale ( *, Nba ∈ ).
Prof. Gheorghe Stoica, Petroşani
III. (9p) În dreptunghiul ABCD, notăm cu O intersecŃia diagonalelor, cu M mijlocul laturii [AB] şi cu N
mijlocul segmentului [OD]. Să se demonstreze că patrulaterul ABCD este pătrat dacă şi numai dacă
triunghiul MNC este dreptunghic isoscel (cu �90)ˆ( =Nm )
Prof. Traian Preda
IV. (9p) Fie triunghiul isoscel ABC cu ][][ ACAB = , ( ) �20=∠BACm , ( )ACM ∈ . Dacă ][][ BCAM = , aflaŃi
măsura unghiului ABM.
Prof. Ion NeaŃă şi Ion Burcă, Slatina
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din
oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a VIIIVIIIVIIIVIII----aaaa
I. (4p) a) Să se arate că pentru orice *Nn∈ , avem:
( ) 1
11
11
1
+−=
+++ nnnnnn
(5p) b) Să se arate că numărul
2025202420242025
1...
3223
1
22
1
+++
++
+=r este raŃional.
II. (4p) a) Să se arate că oricare ar fi ( )∞∈ ,0,, cba , are loc inegalitatea:
2
3≥
++
++
+ ba
c
ac
b
cb
a.
(5p) b) Se dau numerele a şi b strict pozitive. Să se determine minimul expresiei:
( )( ) ( )( ) ( )( )bxaybyax
z
bxazbzax
y
byazbzay
xE
+++
+++
++=
222
ştiind că ( )∞∈ ,0,, zyx
Prof. Marcel ChiriŃă
III. (4p) a) Trei dintre lungimile diagonalelor feŃelor unui paralelipiped dreptunghic sunt numere prime
distincte. Să se demonstreze că lungimea diagonalei paralelipipedului este un număr iraŃional.
(5p) b) Să se demonstreze că un paralelipiped dreptunghic nu poate avea lungimile diagonalelor a 3 feŃe
exprimate prin trei puteri distincte care au aceeaşi bază.
Prof. Traian Preda
IV. (9p) Pe planul patrulaterului convex ABCD cu AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, 060)( =∠Am , se ridică
perpendiculara 2
3aMB = . Dacă are loc relaŃia
( ) ( ) abcddcbaabcddabcdabcdabc 282 ≤+++++++ , să se afle distanŃa de la punctul M la
dreapta AC.
Prof. Ion NeaŃă, Slatina
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Ar“Ar“Ar“Arhimede”himede”himede”himede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a IXIXIXIX----aaaa
I. Să se demonstreze că
(4p) a). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222222222442448888 2abcddcbadcbadcbadcba +−+−+−+−=+++ ,
Rdcba ∈,,, .
(5p) b) Numărul
( )882 baN += se poate scrie ca suma a 3 pătrate de numere întregi, pentru orice Zba ∈, .
Gheorghe Stoica
II. Fie ABCD un patrulater convex.
(4p) a).Să se determine punctul M din plan astfel încât suma
|||||||||||||||| MDMCMBMA +++
să fie minimă.
(5p) b) Notăm cu p lungimea perimetrului patrulaterului ABCD şi cu d1 şi d2 lungimile diagonalelor
patrulaterului.
Să se arate că
( ) 21212 ddpdd +>>+ .
Georgeta Alexandrescu
III. (9p) Să se detrmine cel mai mare număr natural n cu proprietatea că există x şi y numere reale cu
următoarele proprietăŃi:
1. Zyx kk ∈+ , pentru orice },...,2,1{ nk∈
2. Zyx nn ∉+ ++ 11
Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu
IV. (9p) Fie *Qa∈ . Să se determine toate funcŃiile QQf →: cu proprietatea că
( ) yaxyfxaff +=+ )()( , Qyx ∈,
Dan Popescu, Mihai Piticari
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XXXX----aaaa
I. Să se rezolve ecuaŃiile exponenŃiale:
(4p) a) 2121 333444 ++++ ++=++ xxxxxx
(5p) b) ( )( ) ( )( ) 08191649342 =−−+−− xxxx
II. Se consideră funcŃiile: RRgf →:, , ||)( xxxf = , Rx∈ şi
=
∈=
0pentru ,0
pentru ,||)(
*
x
Rxx
x
xg
Să se calculeze
(3p) a) gf �
(3p) b) fg �
(3p) c) 1−f şi 1−g
Iuliana Turcu
III. Să se determine soluŃiile pozitive ale ecuaŃiilor:
(4p) a) ( ) 3lg2lg1 xx =+
(5p) b) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )xxxxxx 3232322
32
2 loglog2log24logloglog3loglog ++=++
Marius Drăgan, Niculai Stanciu
IV. (9p) Fie Czzzz ∈4321 ,,, cu următoarele proprietăŃi:
a) 1|||||||| 4321 ==== zzzz
b) Zzzzz nnnn ∈+++ 4321 , ( ) }4,3,2,1{ ∈∀ n .
Atunci
Zzzzz nnnn ∈+++ 4321 , ( ) 1 ≥∀ n
Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din
oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XIXIXIXI----aaaa
I. Să se rezolve ecuaŃiile:
(4p) a) 0
111
111
111
111
=
x
x
x
x
; (5p) b) 0
12332
64452
1312
=
+++
+++
++
xxx
xxx
xxx
II. Considerăm şirurile de numere reale
23
1...
23
1
23
11
2 +++
++
++=
nna , 1≥n
nnb
3
1...
3
1
3
11
2++++= , 1≥n
Să se demonstreze că:
(3p) a) 1 , ≥< nba nn
(3p) b) 2
3lim =
∞→n
nb
(3p) c) 4
6
4
5<< na , 2≥n
Marcel ChiriŃă
III. Fie ( )njiijaA≤≤
=,1
o matrice 33× cu elemente numere întregi. Considerăm matricile EAB += 2 ,
32 IAC += ,
=
111
111
111
E . Să se arate că:
(4p) a) Toate elementele matricilor nB , 1≥n sunt numere impare.
(5p) b) Cdet este un număr impar.
IV. (9p) Fie ( ) 1≥nnx un şir de numere strict pozitive cu proprietatea că +∞=∞→ n
xn
nlim
Să se demonstreze că +∞=+++
∞→n
n
n nx
xxx 222
21 ...
lim
Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.
Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matemational de Matemational de Matemational de Matematicicicică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”
EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555
Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XXXXIIIIIIII----aaaa
I. Fie ba <<0 şi 1
... 11
+++++
=−−
n
babbaax
nnnn
n , 1≥n
Să se demonstreze că:
(4p) a) ∫−=
b
a
nn dtt
abx
1, 1 )( ≥∀ n
(5p) b) nmnm xxx 222 ⋅≤+ , 1, ≥nm
Gheorghe Stoica
II. Fie nnnnS 15...2̂1̂ +++= , 1≥n în 16Z .
Să se calculeze:
(3p) a) 1S
(3p) b) 12 +kS , 1≥k
(3p) c) kS4 , 1≥k
III. Fie * , Nnk ∈ . Să se arate că:
(4p) a) ∫ =+
2/
00
cossin
2cosπdx
xx
xnn
(5p) b) Există Raaa k ∈,...,, 21 distincte cu proprietatea că ∫ =+
⋅⋅2/
021 0cossin
cos...coscosπdx
xx
xaxaxann
k
Marius Drăgan
IV. (9p) Fie G un grup necomutativ de ordin impar.
Notăm } )( ,|{)( GyyxxyGxGZ ∈∀=∈=
Să se demonstreze că
( )GZG 9≥
Am notat cu |A| cardinalul mulŃimii A.
Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu
Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.
Recommended