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Conteúdo
1 Noção de Sucessão 2
2 Limite de uma Sucessão 2
3 Sucessões Limitadas 3
4 Propriedades dos Limites 4
5 Limites In�nitos 85.1 Propriedades dos Limites In�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Sucessões Monótonas 12
7 Subsucessões 14
8 Resultados úteis no cálculo de limites 16
9 Sucessões de�nidas por recorrência 179.1 O Método de Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 Exercícios Propostos 21
11 Exercícios Complementares 25
1 18/Outubro/2000
1 Noção de Sucessão
De�nição 1 Chama-se sucessão de números reais a qualquer aplicaçãou do conjunto N; dos inteiros positivos, em R, a qual pode ser representadapor (un)n2N, (un)n ou simplesmente por (un). A un chama-se o termo geralda sucessão.
São exemplos de sucessões de números reais:
u : Nn�!�!
Run=
n+3n
; v : Nn�!�!
Rvn=e�n
2e t : N
n�!�!
Rtn=
3psinn:
Exemplo 1 A progressão aritmética de razão r e primeiro termo a;cujos termos são a; a+ r; a+ 2r; : : :, é de�nida por:
un = a+ (n� 1) r , 8n2N:
Exemplo 2 A progressão geométrica de razão r e primeiro termo a;cujos termos são a; ar; ar2; : : :, é de�nida por:
un = arn�1 , 8n2N:
2 Limite de uma Sucessão
De�nição 2 Diz-se que o número real a é limite da sucessão (un) ; ouque (un) converge ou tende para a; e escreve-se
limn!+1
un = a ou un ! a ou abreviadamente limun = a
se para qualquer � > 0 existe p 2 N tal que para qualquer n > p , jun � aj < �.Isto é
un ! a sse 8� > 0 9 p 2 N : n > p) jun � aj < � .
Ou seja, un ! a sse para qualquer � > 0, existe uma ordem a partir daqual todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo ]a� �; a+ �[.
De�nição 3 Uma sucessão (un) diz-se convergente se existe um númeroreal a tal que un ! a. Uma sucessão que não é convergente diz-se diver-gente.
2 18/Outubro/2000
Exemplo 3 Dada a sucessão de termo geral un = 12n+3
, mostremos, porde�nição, que limun = 0; ou seja que
8� > 0 9p 2 N : n > p) jun � 0j < �:
Seja � > 0;
jun � 0j < � ,���� 1
2n+ 3
���� < � , 1
2n+ 3< � ,
pois 2n+3; �>0
, 2n+ 3 >1
�, 2n >
1
�� 3, n >
1
2
�1
�� 3�:
Considere-se p 2 N tal que p � 12
�1�� 3�. Então para n > p tem-se que�� 1
2n+3� 0�� < �.
As sucessões ((�1)n)n e (2n+ 3)n são divergentes.
Proposição 1 (Unicidade do limite) O limite de uma sucessão quandoexiste é único.
De�nição 4 Uma sucessão que converge para zero diz-se um in�nitésimo.
Da de�nição de limite de uma sucessão, conclui-se imediatamente que:
un converge para a sse un � aé um in�nitésimo.
Observação 1 Assim como de�nimos as noções de sucessão e sucessão con-vergente nos reais, podemos também de�nir estas noções nos complexos ouem qualquer corpo onde esteja de�nida uma relação de ordem que seja com-patível com as operações (por exemplo, nos racionais). Em qualquer umadestas situações, podemos fazer um estudo análogo ao que aqui será feitopara o caso dos reais.
3 Sucessões Limitadas
Recordemos que sendo A um subconjunto de R e a e b reais, diz-se que b éum majorante de A se qualquer elemento de A for menor ou igual a b ediz-se que a é um minorante de A se qualquer elemento de A for maior ouigual a a. Diz-se que um subconjunto de R émajorado (ou limitado supe-riormente) se tiver majorantes, minorado (ou limitado inferiormente)se tiver minorantes e limitado se for majorado e minorado. Um conjuntoque não seja limitado diz-se ilimitado.
3 18/Outubro/2000
De�nição 5 Uma sucessão (un) diz-se limitada se o conjunto dos seus ter-mos, fu1; u2; u3; : : : ; un; : : :g ; é limitado, ou seja se,
9L;M 2 R 8n 2 N; L � un �M .
Note-se que a condição anterior é equivalente à seguinte:
9M 2 R+ 8n 2 N; junj �M .
Por exemplo as sucessões de termos gerais un = (�1)n, vn = sin2 n ewn =
1nsão limitadas.
Proposição 2 Toda a sucessão convergente é limitada.
Observação 2 O recíproco desta proposição não se veri�ca. Considere-se,por exemplo, a sucessão ((�1)n)n. Esta sucessão é limitada mas não é con-vergente.
Proposição 3 Se (un) é um in�nitésimo e (vn) é uma sucessão limitadaentão (un:vn) é um in�nitésimo.
Exemplo 4 Consideremos a sucessão de termo geral
vn =sin2 (n+ 1)
2n+ 3:
A sucessão�sin2 (n+ 1)
�é limitada pois 0 � sin2 (n+ 1) � 1; 8n2N .
Pela proposição anterior, a sucessão de termo geral vn =sin2(n+1)2n+3
convergepara zero, uma vez que é o produto do in�nitésimo
�1
2n+3
�pela sucessão
limitada�sin2 (n+ 1)
�.
4 Propriedades dos Limites
Proposição 4 Não se altera o limite de uma sucessão convergente modi�-cando um número �nito de termos da sucessão.
Proposição 5 Se os termos de uma sucessão são todos iguais a uma certaconstante, então a sucessão tem por limite essa constante.
Por exemplo, aplicando os dois resultados anteriores conclui-se que a
sucessão de termo geral vn =�
1nn � 7
2 n > 7converge para 2.
4 18/Outubro/2000
Proposição 6 Se (un) e (vn) são sucessões convergentes tais que, a partirde certa ordem, un � vn , então limun � lim vn.
Observação 3 Note-se que o resultado anterior não se veri�ca para desigual-dades estritas, isto é, não é verdade que sendo (un) e (vn) sucessões conver-gentes tais que, para qualquer n 2 N; un < vn, se tenha necessariamente quelimun < lim vn.Por exemplo, sendo un = � 1
ne vn = 0, tem-se que un < vn para qualquer
n 2 N, e no entanto limun = lim vn = 0:
Proposição 7 (Propriedades operatórias) Sejam(un) e (vn) sucessões taisque un ! a e vn ! b, com a; b 2 R. Então:
1. un + vn ! a+ b;
2. cun ! ca, sendo c 2 R;
3. un:vn ! ab;
4. se b 6= 0 e vn 6= 0;8n2N então unvn! a
b;
5. se p 2 N; upn ! ap;
6. junj ! jaj ;
7. se p 2 N e un � 0;8n2N então ppun ! p
pa;
8. se p 2 N e p é ímpar então ppun ! p
pa:
Exemplo 5 Considerem-se as sucessões cujos termos gerais são:
un =1
n
e
vn =
�� 1nn � 7
�2 n > 7:
Como un ! 0 e vn ! �2 tem-se:
un + vn ! �2; un:vn ! 0; v2n ! 4; 4pun ! 0; � �un ! 0; jvnj ! 2;
unvn! 0 e 3
pvn ! 3
p�2:
5 18/Outubro/2000
Observação 4 A sucessão (junj) pode ser convergente sem que (un) sejaconvergente. Por exemplo, (�1)n é divergente mas j(�1)nj = 1! 1.No entanto é verdade que
un ! 0 sse junj ! 0;
o que é consequência imediata da de�nição de limite de uma sucessão.
Teorema 8 (Sucessões enquadradas) Sejam (un), (vn) e (wn) sucessõestais que, a partir de certa ordem, un � vn � wn.Se un ! a e wn ! a; então vn ! a.
Exemplo 6 Vimos, no exemplo 4 , que a sucessão�sin2(n+1)2n+3
�é um in-
�nitésimo. Podemos chegar à mesma conclusão aplicando o teorema dassucessões enquadradas:
0 � sin2 (n+ 1) � 1; 8n2N ) 0 � sin2 (n+ 1)
2n+ 3� 1
2n+ 3; 8n2N ;
como o limite da sucessão nula é 0 e lim 12n+3
= 0; então lim sin2(n+1)2n+3
= 0.
Exemplo 7 Considere-se a sucessão de termo geral
un =1
n2 + 1+
1
n2 + 2+ � � �+ 1
n2 + n:
Vamos mostrar que un ! 0, para o que utilizaremos o teorema das sucessõesenquadradas.Facilmente se veri�ca que un � 0; 8n2N. Por outro lado temos que:1
n2 + 1+
1
n2 + 2+ � � �+ 1
n2 + n� 1
n2 + 1+
1
n2 + 1+ � � �+ 1
n2 + 1=
=n
n2 + 1:
Tem-se assim,0 � un �
n
n2 + 1:
Como o limite da sucessão nula é 0 e lim nn2+1
= 0, pelo teorema das sucessõesenquadradas conclui-se que limun = 0.
Observação 5 Convém observar que para calcular o limite da sucessão determo geral un = 1
n2+1+ 1n2+2
+� � �+ 1n2+n
não é possível aplicar as propriedadesoperatórias dos limites, visto estas serem válidas apenas quando o número deparcelas é �xo, o que não acontece neste caso. Embora no caso do exemploanterior esse raciocínio, apesar de ser errado, conduzisse ao valor certo dolimite, isso já não se veri�ca no exemplo que se segue.
6 18/Outubro/2000
Exemplo 8 Considere-se a sucessão de termo geral
wn =n
n2 + 1+
n
n2 + 2+ � � �+ n
n2 + n:
Embora todas as parcelas desta soma tendam para zero, vamos mostrar,utilizando o teorema das sucessões enquadradas, que wn ! 1.Usando um raciocínio similar ao do exemplo anterior, tem-se que
n
n2 + 1+
n
n2 + 2+ � � �+ n
n2 + n� n
n2 + 1+
n
n2 + 1+ � � �+ n
n2 + 1=
=n:n
n2 + 1;
isto é,
wn �n2
n2 + 1:
Por outro lado,
n
n2 + 1+
n
n2 + 2+ � � �+ n
n2 + n� n
n2 + n+
n
n2 + n+ � � �+ n
n2 + n=
= nn
n2 + n=
n2
n2 + n=
n
n+ 1
ou seja,wn �
n
n+ 1:
Portanto,n
n+ 1� wn �
n2
n2 + 1:
Como,
limn
n+ 1= lim
nn
nn+ 1
n
= 1
e
limn2
n2 + 1= lim
n2
n2
n2
n2+ 1
n2
= 1;
pelo teorema das sucessões enquadradas conclui-se que
limwn = lim
�n
n2 + 1+
n
n2 + 2+ � � �+ n
n2 + n
�= 1:
7 18/Outubro/2000
5 Limites In�nitos
De�nição 6 Diz-se que uma sucessão (un) tem limite mais in�nito outende para mais in�nito e, escreve-se,
limun = +1 ou un ! +1;
se, para todo o número L positivo existe uma ordem p tal que para n > p; uné maior do que L.Ou seja, un ! +1 sse para qualquer real positivo existe uma ordem a
partir da qual todos os termos da sucessão são maiores do que esse real.Simbolicamente,
un ! +1, 8L > 0 9p 2 N : n > p) un > L:
Se �un ! +1 diz-se que (un) tem limite menos in�nito ou tende paramenos in�nito e escreve-se
limun = �1 ou un ! �1:
Isto é,un ! �1, 8L < 0 9p 2 N : n > p) un < L:
Finalmente, se junj ! +1 diz-se que (un) tem limite in�nito ou tendepara in�nito e escreve-se
limun =1 ou un !1:
Isto é,un !1, 8L > 0 9p 2 N : n > p) junj > L:
De�nição 7 Uma sucessão com limite in�nito diz-se um in�nitamentegrande. Caso o limite seja +1 ou �1 a sucessão dir-se-á um in�nita-mente grande positivo ou in�nitamente grande negativo, respectiva-mente.
Por exemplo:- a sucessão de termo geral un = 2n3 + 1 é um in�nitamente grande
positivo;- a sucessão de termo geral vn = �2n3 + 1 é um in�nitamente grande
negativo;- a sucessão de termo geral wn = (�1)n n3+1 é um in�nitamente grande
(sem sinal determinado).Uma sucessão diz-se propriamente divergente se tende para mais in-
�nto ou para menos in�nto. Uma sucessão diz-se oscilante se não for con-vergente nem propriamente divergente.Em resumo, as sucessões classi�cam-se do seguinte modo:
8 18/Outubro/2000
� convergentes (limite �nito);
� divergentes
8<:propriamente divergentes (limite +1 ou �1)
oscilantes (nos restantes casos).
5.1 Propriedades dos Limites In�nitos
Proposição 9 Sendo(un) e (vn) duas sucessões tem-se que:
1. se un ! +1 e, a partir de certa ordem, un � vn, então vn ! +1;
2. se un ! �1 e, a partir de certa ordem, vn � un, então vn ! �1:
Exemplo 9 Mostremos que
un =pn2 + 2n! +1:
Temos que un =pn2 + 2n �
pn2 para n � 1 e como
pn2 = n ! +1,
então pelo resultado anterior conclui-se quepn2 + 2n! +1:
Proposição 10 (Propriedades operatórias) Sendo (un) e (vn) duas su-cessões tem-se que:
1. se un ! +1 e vn ! +1 então un + vn ! +1;
2. se un ! �1 e vn ! �1 então un + vn ! �1;
3. se un ! +1 (resp. �1) e vn ! a; com a 2 R; então un + vn ! +1(resp. �1);
4. se un !1 e vn ! a; com a 2 R; então un + vn !1;
5. se un ! +1 (resp. �1) e vn ! b; com b 2 R+; então un:vn ! +1(resp. �1);
6. se un ! +1 (resp. �1) e vn ! c; com c 2 R�; então un:vn ! �1(resp. +1);
7. se un !1 e vn !1 então un:vn !1:
Observação 6 Muitas vezes estas propriedades são indicadas num modomais abreviado, que a seguir exempli�camos para o caso das alíneas 1 e 7:
(+1) + (+1) = +1 e 1:1 =1:
9 18/Outubro/2000
Os símbolos
1+1; 1�1; (+1)� (+1) ; (+1) + (�1) ;0:1; 0: (+1) ; 0: (�1)
são designados por símbolos de indeterminação. Isto quer apenas dizerque nestes casos o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor,depende das sucessões envolvidas.Por exemplo, consideremos as sucessões de termos gerais
un = 2n2 + 1; vn = n
3 + 3 e wn = n3 + 2:
Como (un) ; (vn) ; e (wn) tendem para+1; as sucessões (vn � wn) e (un � wn)correspodem a situações de indeterminação, sendo no entanto fácil estudá-lasquanto à convergência. De facto:
� lim (vn � wn) = lim [(n3 + 3)� (n3 + 2)] = 1;
� lim (un � wn) = lim [(2n2 + 1)� (n3 + 2)] = lim (�n3 + 2n2 � 1) == lim�n3
�1� 2
n+ 1
n3
�= �1:
Proposição 11 Sendo (un) uma sucessão de termos diferentes de zero, tem-se que:
1. se un !1 então 1un! 0 (isto é, o inverso de um in�nitamente grande
é um in�nitésimo);
2. se un ! 0 então 1un! 1 (isto é, o inverso de um in�nitésimo é um
in�nitamente grande).
De�nição 8 Se uma sucessão (un) tende para a e, a partir de certa ordem,un > a diz-se que (un) tende para a por valores superiores e escreve-seun ! a+: Analogamente, se uma sucessão (un) tende para a e, a partir decerta ordem, un < a diz-se que (un) tende para a por valores inferiorese escreve-se un ! a�:
É fácil ver que
se un ! 0+�resp. 0�
�então
1
un! +1 (resp. �1) :
Por exemplo, vimos que a sucessão de termo geral
vn =sin2 (n+ 1)
2n+ 3
10 18/Outubro/2000
é um in�nitésimo. Pela proposição anterior podemos concluir que�1vn
�é um
in�nitamente grande. Reparando que vn > 0; para qualquer n 2 N, podemosmesmo a�rmar que
�1vn
�é um in�nitamente grande positivo.
Combinando os dois últimos resultados tem-se:
Proposição 12 Se (un) e (vn) são duas sucessões, tendo a última os termostodos diferentes de zero, então:
1. se vn !1 e (un) tem limite �nito, unvn! 0;
2. se vn ! 0 e (un) tem limite in�nito ou �nito e diferente de zero,unvn!1;
Tal como no caso anterior, estas propriedades são por vezes representadasdo seguinte modo:
a
1 = 0 ,10=1 e
a
0=1, se a 6= 0:
Os símbolos0
0,11 e
�1�1
são também símbolos de indeterminação, pois tal como na situação an-terior, o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende dassucessões envolvidas.Consideremos novamente as sucessões de termos gerais
un = 2n2 + 1; vn = n
3 + 3 e wn = n3 + 2:
Todas tendem para +1; pelo que as sucessões unvn; vnune vnwncorrespondem
a situações de indeterminação do mesmo tipo. No entanto, facilmente sedeterminam os seus limites que são, respectivamente, 0; +1 e 1. De facto,
unvn=2n2 + 1
n3 + 3=
2n2
n3+ 1
n3
n3
n3+ 3
n3
=2n+ 1
n3
1 + 3n3
! 0
e analogamente se prova para os restantes casos.
Observação 7 Usando o raciocínio anterior, facilmente se prova que sendoP (n) = a0 + a1n+ � � �+ apnp , com ap 6= 0; e Q (n) = b0 + b1n+ � � �+ bqnq ,com bq 6= 0; polinómios de graus p e q, respectivamente, tem-se que:
� limP (n) =�+1 ; se ap > 0�1 ; se ap < 0;
� lim P (n)Q(n)
=
8<:1 , se p > q0 , se p < qapbq
, se p = q:
11 18/Outubro/2000
6 Sucessões Monótonas
De�nição 9 Uma sucessão (un) diz-se crescente (em sentido lato) se un+1 �un, para todo o n 2 N.Dir-se-á estritamente crescente se un+1 > un , para todo o n 2 N.Uma sucessão (un) diz-se decrescente (em sentido lato) se un+1 � un ,
para todo o n 2 N.Dir-se-á estritamente decrescente se un+1 < un , para todo o n 2 N.Uma sucessão (un) diz-se monótona se for crescente ou decrescente e
estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente de-crescente.
Exemplo 10 Consideremos a sucessão de termo geral
un =1pn2 + n
:
É claro que esta sucessão é decrescente, uma vez que o numerador é cons-tantemente igual a 1 e o denominador é positivo e crescente. De facto,
(n+ 1)2+(n+ 1) > n2+n; pelo queq(n+ 1)2 + (n+ 1) >
pn2 + n , donde
(sendo números positivos) se conclui que 1p(n+1)2+(n+1)
< 1pn2+n
: Portanto,
un+1 < un ,8n 2 N; pelo que (un) é estritamente decrescente.
Exemplo 11 Para veri�car que a sucessão
an =pn2 � n
é estritamente crescente, podemos recorrer ao estudo da diferença an+1 � anou do quociente an+1
an. Isto é, ver que an+1 � an > 0 para qualquer n 2 N;
ou que an+1an
> 1 para qualquer n 2 N (note-se que an+1an
> 1 é equivalente aan+1 > an porque an > 0, 8n2N).Intuitivamente deve ser claro que esta sucessão é crescente, pois no seu
termo geral a parcela n2 cresce mais rapidamente que a parcela n e a raizquadrada é uma função crescente.Assim,
an+1 � an =q(n+ 1)2 � (n+ 1)�
pn2 � n =
pn2 + n�
pn2 � n =
=
�pn2 + n�
pn2 � n
� �pn2 + n+
pn2 � n
��pn2 + n+
pn2 � n
� =
=2np
n2 + n+pn2 � n
> 0 ,8n2N:
12 18/Outubro/2000
Analogamente poderíamos mostrar que, para qualquer n > 1;
an+1an
=
q(n+ 1)2 � (n+ 1)
pn2 � n
=
rn2 + n
n2 � n =rn+ 1
n� 1 > 1 :
Como a1 = 0 e, para qualquer n > 1;an+1an
> 1; com an > 0, conclui-se quean+1 > an:Portanto, a sucessão an =
pn2 � n é estritamente crescente.
Observe-se que no caso do exemplo anterior torna-se mais fácil averiguara desigualdade an+1
an> 1.
Teorema 13 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.Mais precisamente, toda a sucessão crescente e majorada tem limite (igual
ao supremo do conjunto dos seus termos) e toda a sucessão decrescente eminorada tem limite (igual ao ín�mo do conjunto dos seus termos).
Re�ra-se que o supremo de um conjunto é o menor dos seus majorantese o ín�mo é o maior dos seus minorantes.
Exemplo 12 Consideremos novamente a sucessão do exemplo anterior supondon > 1. Como
an =pn2 � n > 0 e an < an+1 vem que
1
an>
1
an+1:
Portanto, a sucessão�1an
�; de�nida para n > 1; é monótona decrescente e,
como é limitada�pois 0 � 1p
n2�n �1p2;8n > 1
�; conclui-se que tem limite
�nito.
Proposição 14 Toda a sucessão monótona tem limite �nito ou in�nito.
Assim, dada uma sucessão monótona, tem-se um de dois casos:
� a sucessão é limitada e, portanto, tem limite �nito, visto que é conver-gente;
� a sucessão não é limitada, e neste caso tem limite +1 ou �1 conformeé crescente ou decrescente.
A sucessão (an) do exemplo anterior é monótona crescente e não é limi-tada, pelo que tem limite +1.Analogamente, a sucessão de termo geral �an = �
pn2 � n é decrescente
e não é limitada, pelo que tende para �1.
13 18/Outubro/2000
Exemplo 13 Considere-se a sucessão de termo geral�1 +
1
n
�n:
Prova-se que esta sucessão é crescente e tem todos os termos compreen-didos entre 2 e 3. É , portanto, uma sucessão monótona e limitada, pelo queé convergente em R:O limite desta sucessão é um número real muito importante e representa-
se por \e". Assim,
lim
�1 +
1
n
�n= e;
sendo este número um irracional.
7 Subsucessões
De�nição 10 Seja (un) uma sucessão e (nk) uma sucessão estritamentecrescente de elementos de N. A sucessão vk = unk diz-se uma subsucessãode (un).
Uma subsucessão duma sucessão (un) é simplesmente uma sucessão queé extraída da original escolhendo certos índices, em número in�nito, porordem crescente. Escolhendo n1; n2; n3; : : : ; com n1 < n2 < n3 < : : : ; econsiderando a sucessão un1 ; un2 ; un3 ; : : : , constituída pelos elementos dasucessão original correspondentes a esses naturais, obtemos uma subsucessãoda sucessão original.Duma sucessão (un) podem extrair-se uma in�nidade de subsucessões:
u2; u4; : : : ; u2k; : : : (dos termos de índice par); u1; u3; : : : ; u2k�1; : : : (dos ter-mos de índice ímpar); u3; u6; u9; : : : ; u3k; : : : (dos termos de índice múltiplode 3); etc.Por exemplo, no estudo da sucessão de termo geral un = (�1)n 1
nsão
particularmente importantes duas sucessões - a subsucessão dos termos deordem par, de termo geral vn = u2n =
12n; e a subsucessão dos termos de
ordem ímpar, de termo geral wn = u2n�1 = � 12n�1 .
Proposição 15 Toda a subsucessão duma sucessão com limite (�nito ouin�nito) tem o mesmo limite.
Corolário 16 Se uma sucessão tiver duas subsucessões com limites dife-rentes, a sucessão não tem limite.
14 18/Outubro/2000
Por exemplo, a sucessão de termo geral
vn =
8<:1nse né número primo
12se n não é número primo
tem duas subsucessões com comportamentos perfeitamente distintos - a sub-sucessão dos termos correspondentes aos naturais primos e a subsucessão dostermos correspondentes aos naturais não primos. A primeira subsucessãotem limite 0 e a segunda tem limite 1
2, pelo que a sucessão não tem limite.
Proposição 17 Se (un)n é uma sucessão tal que as suas subsucessões dostermos de ordem par e dos termos de ordem ímpar são ambas convergentese têm o mesmo limite, então (un)n é convergente.
Por exemplo, aplicando este resultado, conclui-se facilmente que a sucessão�(�1)n 1
n
�né convergente.
Proposição 18 Toda a sucessão de reais tem uma subsucessão com limite(�nito ou in�nito).
De�nição 11 Chama-se limite superior de uma sucessão (un) ; e representa-se por limun ou lim supun; ao maior dos limites (�nitos, +1 ou �1) dassubsucessões que se podem extrair de (un). Chama-se limite inferior deuma sucessão (un) ; e representa-se por limun ou lim inf un, ao menor doslimites (�nitos, +1 ou �1) das subsucessões que se podem extrair de (un).
No caso da sucessão de termo geral
vn =
8<:1nse né número primo
12se n não é número primo
tem-se que
limvn =1
2e limvn = 0:
Exemplo 14 Seja xn = n sin�n�2
�: Desta sucessão podemos extrair três
subsucessões:
uk = x2k = 2k sin (k�) = 0
vk = x4k+1 = (4k + 1) sin�2k� +
�
2
�= 4k + 1
wk = x4k+3 = (4k + 3) sin
�2k� +
3�
2
�= �4k � 3
15 18/Outubro/2000
cujos limites são, respectivamente, 0; +1 e�1. Qualquer outra subsucessãode (xn) tende para um destes limites, tendo-se
limxn = +1 e limxn = �1:
Observação 8 Os limites superior e inferior de um sucessão (un) podemtambém obter-se do seguinte modo:
limun = limn!1
�supk�nuk
�, sendo sup
k�nuk = sup fuk : k � ng
e
limun = limn!1
�infk�nuk
�, sendo inf
k�nuk = inf fuk : k � ng :
Recorde-se que o supremo de um subconjunto de R é o menor dos seusmajorantes e o ín�mo o maior dos seus minorantes (caso existam).
8 Resultados úteis no cálculo de limites
Proposição 19 (Limite da potência) Sendo a um escalar real tem-se que
lim an =
8>>>><>>>>:+1 , se a > 10 , se jaj < 11 , se a = 1não existe , se a = �11 , se a < �1:
Proposição 20 (Limite da média aritmética) Se (un) é uma sucessãotal que un ! a, com a 2 R, a = +1 ou a = �1, então
u1 + u2 + � � �+ unn
! a .
Exemplo 15 lim 1n
�1 + 1
2+ 1
3+ � � �+ 1
n
�= 0; pois 1
n! 0:
Corolário 21 Sendo (un) uma sucessão,
se (un+1 � un)! a entãounn! a:
Exemplo 16 Considere-se a sucessão de termo geral un = lnnn:
limlnn
n= 0; pois [ln (n+ 1)� lnn] = ln n+ 1
n! ln 1 = 0:
16 18/Outubro/2000
Proposição 22 (Limite da média geométrica) Se (un) é uma sucessãode reais não negativos e un ! a; com a 2 R ou a = +1, então
npu1u2 : : : un ! a.
Corolário 23 Sendo (un) uma sucessão de reais positivos,
seun+1un
! a então npun ! a:
Exemplo 17 Sendo a > 0, lim npa = 1 pois lim a
a= 1:
Exemplo 18 Considere-se a sucessão de termo geral un =npn!:
limnpn! = +1 pois lim
(n+ 1)!
n!= lim (n+ 1) = +1:
Proposição 24 Se (un) é um in�nitamente grande e a 2 R; então
lim
�1 +
a
un
�un= ea .
Exemplo 19 Considere-se a sucessão de termo geral un =�n�2n+2
�nlim
�n� 2n+ 2
�n= lim
�1 +
�4n+ 2
�n+2: lim
�1� 4
n+ 2
��2= e�4:1 = e�4
9 Sucessões de�nidas por recorrência
Uma sucessão pode ser de�nida por uma relação de recorrência. Nesta situ-ação não é dada a expressão do termo geral sendo indicado o valor do primeirotermo (ou dos primeiros termos) e o valor de um certo termo é de�nido apartir do anterior (ou então a partir de mais do que um termo anterior),como por exemplo, �
u1 = 1un+1 = n
2un , 8n2N;cujos cinco primeiros termos são 1; 1; 4; 36; 576; ou�
v1 = 1 , v2 = 2vn+2 = 2vn+1 � 3vn , 8n2N;
17 18/Outubro/2000
cujos cinco primeiros termos são 1; 2; 1; �4; �11:Duas sucessões bem conhecidas, das quais já falámos anteriormente, que
podem ser de�nidas por recorrência, são:
- progressão aritmética de razão r e primeiro termo a;de�nida por �
u1 = aun+1 = un + r , 8n2N;
- progressão geométrica de razão r e primeiro termo a;de�nida por �
u1 = aun+1 = un:r , 8n2N:
9.1 O Método de Indução
Consideremos a sucessão (un)n de�nida por recorrência do seguinte modo:�u1 =
12
un+1 = u2n , 8n2N
:
Deve ser intuitivo que, qualquer que seja n 2 N; 0 < un < 1, visto que oprimeiro termo é 1
2(que é positivo e menor do que 1), o segundo termo é o
quadrado deste (e portanto também é positivo e menor do que 1) e assimsucessivamente.OMétodo de Indução Finita, que se apresenta de seguida, é o método
ideal para provar esta a�rmação.De facto, este método é fundamental para provar muitas das propriedades
dos naturais e também outras propriedades em que intervêm naturais. Comose perceberá facilmente, é especialmente indicado para provar propriedadesde sucessões de�nidas por recorrência.
Teorema 25 (Princípio de Indução Finita) Seja P (n) uma condição navariável (natural) n tal que
� P (1) é verdadeira,
� para qualquer n 2 N, P (n)) P (n+ 1).
Então P (n) é verdadeira, para qualquer n 2 N.
OMétodo de Indução Finita aplica-se, então do seguinte modo:
� prova-se que P (1) é verdadeira;
18 18/Outubro/2000
� para n 2 N (arbitrário), assume-se como hipótese que P (n) é ver-dadeira (é chamada Hipótese de Indução) e prova-se que P (n+ 1)é verdadeira (é chamada Tese de Indução) - a este passo chama-sePasso de Indução, e uma propriedade P (n) nestas condições diz-sehereditária;
� conclui-se, pelo Princípio de Indução Finita, que P (n) é verdadeirapara qualquer n 2 N.
Observação 9 De ummodo intuitivo, este método funciona porque podemosobter qualquer número natural a partir do 1 adicionando sucessivamente 1:De facto, sabendo que se P (n) é verdadeira então P (n+ 1) é verdadeira
(para qualquer natural n), e tendo provado que P (1) é verdadeira, tem-seque P (2) é verdadeira (pois 2 = 1 + 1 e P (1) é verdadeira), sendo P (2)verdadeira, então P (3) é verdadeira (pois 3 = 2 + 1 e P (2) é verdadeira), eassim sucessivamente.
Deve ser claro que métodos perfeitamente análogos funcionam para pro-priedades em N0 ou propriedades que sejam verdadeiras apenas para os na-turais maiores ou iguais a um certo k 2 N. A diferença reside, no primeirocaso, em começar-se por provar que P (0) é verdadeira, e no segundo caso,que P (k) é verdadeira.
Exemplo 20 Consideremos a sucessão de�nida por recorrência do seguintemodo: �
u1 =12
un+1 = un � u2n , 8n2N:
Provemos, por indução, que 0 < un < 1, 8n2N .Neste caso, a propriedade P (n) é 0 < un < 1:
� P (1) é verdadeira, pois u1 = 12, pelo que 0 < u1 < 1;
� Suponhamos que 0 < un < 1, com vista a provar que 0 < un+1 < 1:
Tem-se que un+1 = un � u2n.Como 0 < un < 1, u2n < un; pelo que 0 < un � u2n:Por outro lado, como u2n � 0, un � u2n � un < 1.Portanto, 0 < un � u2n = un+1 < 1.
� Pelo Princípio de Indução conclui-se que, para qualquer n 2 N;0 < un < 1.
19 18/Outubro/2000
É agora fácil provar que a sucessão é convergente e calcular mesmo o valordo seu limite.De facto, provámos que a sucessão é limitada e é imediato que é decres-
cente ( pois un+1 = un � u2n < un), pelo que é convergente.Seja a 2 R o limite desta sucessão.Como
un ! a; un+1 ! a e un+1 = un � u2n;pelas propriedades dos limites conclui-se que a = a� a2, pelo que a = 0:Note-se que para podermos aplicar o método que seguimos para o cálculo
deste limite, é indispensável provar primeiro que tal limite existe, isto é, quea sucessão é convergente.
Observação 10 Por indução, é fácil provar que:
� a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, (an) ; derazão r e 1o termo a; é dada por Sn = a+an
2:n;
� a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, (an) ; derazão r 6= 1 e 1o termo a; é dada por Sn = 1�rn
1�r :a:
Referências
[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;
[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em R eRn, McGraw-Hill, 1995;
[3] Caraça, Bento de Jesus, Conceitos Fundamentais de Matemática,Gradiva, 1998;
[4] Piskounov, N., Calcul Di¤érentiel et Intégral, MIR, 1976;
[5] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;
20 18/Outubro/2000
10 Exercícios Propostos
Exercício 1 Prove, por de�nição, que limn!+1
n+102n�1 =
12.
Exercício 2 Calcule o limite das seguintes sucessões:
1. n2+13n2�2n+1
2. n3+12n2�3
3. n�2n3+2n2�2
4. (n+2)!�n!n!(n2+2)
5. 1+2+3+:::+nn2
6.nPk=0
�13
�k7. 2n+3n
2n�3n
8. n�pn2 � n
9. n+sen2n2n+3
10. cos(n�)n2
11. nn+1
nn+2
12. npn2+n
13. np(n+ 1)!� n!
14. n
qn3�14n3+2
15. nplog n
16.�4n�34n+1
�n17.
�nn�1��2n
18. 12n+ 1
4n+ 1
6n+ � � �+ 1
2n2
Exercício 3 Utilize o teorema das sucessões enquadradas para calcular osseguintes limites:
21 18/Outubro/2000
1. 1n2+ 1
(n+1)2+ � � �+ 1
(n+n)2=
nPk=0
1(n+k)2
2.nPk=1
1pn2+k
3. n!nn
4. 2n
n!
Exercício 4 Diga, justi�cando, quais das seguintes a�rmações são verdadei-ras ou falsas:
1. A sucessão de termo geral
an =
�nn+1
se n � 103 se n > 10
é divergente.
2. A sucessão de termo geral
an =
�nn+1
se né par3 se né ímpar
é divergente.
3. Se (un)n é uma sucessão decrescente de termos positivos então é con-vergente.
4. Uma sucessão decrescente de termos positivos tende para zero.
Exercício 5 Estude a natureza das seguintes sucessões e indique se são ounão limitadas. Calcule, em cada caso, os limites inferior e superior.
1. [2 + (�1)n] :n
2. (sen n)n
5n�1
3. cos(n�)+cos(2n�)n
4. an
42n; a 2 R
5. (�1)n n!
6. [(�1)n + 1] 2n2�nn2+2n
22 18/Outubro/2000
7. n(�1)n
8. senn�3+ cos n�
3
9. n+(�1)n(2n�1)n+1
:
Exercício 6 Prove que, para qualquer n 2 N,nPi=1
i = n(n+1)2:
Exercício 7 Sendo (an)n a progressão aritmética de razão r e 1o termo a,
prove que Sn = na+an2; onde Sn é a soma dos n primeiros termos desta
progressão.
Exercício 8 Seja (an)n a progressão geométrica de razão r e 1o termo a.
1. Sendo Sn a soma dos n primeiros termos desta progressão, prove,supondo a 6= 0 que, se r 6= 1 então Sn = a1�r
n
1�r :
2. Diga em que condições a sucessão (Sn) é convergente.
Exercício 9 Sendo a 2 R; com 0 < a < 1, considere a sucessão de�nida porrecorrência do seguinte modo:�
u1 = aun =
un�1un�1+1
;8n > 2:
1. Prove, por indução, que 0 � un � 1;8n 2 N:
2. Prove que (un) é convergente e calcule o seu limite.
Exercício 10 Seja (an) uma sucessão de�nida por recorrência do seguintemodo: �
a1 = 1an+1 = nan ;8n > 1:
Seja (bn) a sucessão de termo geral
bn = � +annn:
1. Calcule b3:
2. Prove, por indução, que 0 � an � nn�1, para todo o natural n.
3. Prove que � � bn � � + 1n, para todo o natural n.
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4. Mostre que (bn) é convergente e calcule o seu limite.
Exercício 11 Considere a sucessão�u1 =
34
un+1 = 2un + 1;8n > 1:
1. Mostre que un > n; 8n > 1.
2. Mostre que limn!+1
un = +1:
24 18/Outubro/2000
11 Exercícios Complementares
Exercício 12 Sejam (un) e (vn) duas sucessões de termos positivos tais que
u1 = 4; v1 = 2; un+1 =un + vn2
e vn+1 =punvn;8n 2 N:
1. Prove, por indução que un > vn , 8n 2 N ;
2. Justi�que que (un) é decrescente.
Exercício 13 Considere a sucessão un = 3n
n!.
1. Mostre, usando o princípio de indução �nita, que se tem, qualquer queseja n > 3 , un <
�34
�n42;
2. Utilizando o teorema das sucessões enquadradas e o resultado da alíneaanterior, determine limun .
Exercício 14 Determine, caso exista, o limite das sucessões que têm portermo geral:
1. cos(n�)n+1
+ (�1)n+1n
+ 3;
2. n3+n+5p2n5+3n4
;
3. (2n3 + n2)13 � n
4.P2n
k=0
pnp
n3+k;
5.�2n2+n+5n2+3
�3n2+2;
6. [(n+ 3)!� (n+ 2)!]1n :
Exercício 15 Seja un =�1� 1
n2
�2ne vn = 1
1!+ 1
2!+ 1
3!+ � � � + 1
n!, em que
n 2 N:
1. Calcule lim un;
2. Prove, pelo método de indução �nita que vn < 3� 1n!; 8n 2 N ;
3. Justi�que que (un + vn) é convergente.
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Exercício 16 Considere a sucessão�u1 = �1
un+1 =un
1�2un
1. Prove, pelo método de indução matemática que un = 11�2n ;
2. Calcule limn!+1
un:
26 18/Outubro/2000
Soluções
1: -2.1: 1
3; 2.2: +1; 2.3: 0; 2.4: 1; 2.5: 1
2; 2.6: 3
2; 2.7: �1; 2.8: 1
2; 2.9: 1
2;
2.10: 0; 2.11: +1; 2.12: 1; 2.13: +1; 2.14: 1; 2.15: 1; 2.16: e�1; 2.17:e�2; 2.18: 0;3.1: 0; 3.2: 1; 3.3: 0; 3.4: 0;4.1: falsa; 4.2: verdadeira; 4.3: verdadeira; 4.4: falsa;5.1: propriamente divergente, ilimitada, +1; +1; 5.2: convergente, lim-itada, 0; 0; 5.3: convergente, limitada, 0; 0; 5.4: se jaj < 16; conv.,limitada; 0; 0; se a > 16, propriamente divergente, ilimitada, +1; +1; sea < �16, oscilante, ilimitada, �1;+1; se a = 16, conv., limitada, 1; 1; sea = �16, oscilante, limitada, �1, +1. 5.5: oscilante, ilimitada, �1;+1;5.6: oscilante, limitada, 0,4; 5.7: oscilante, ilimitada, 0;+1; 5.8: oscilante,limitada,�
p3+12;p3+12; 5.9: oscilante, limitada, �1, 3;
6: -7: -8.1: -; 8.2: jrj < 19.1: -; 9.2: 010.1: � + 2
2710.2: -; 10.3: -; 10.4: �
11: -12: -13.1: -; 13.2: 014.1: 3; 14.2: +1; 14.3: +1; 14.4: 2; 14.5: +1; 14.6: +115.1: 1; 15.2: -; 15.3: -16.1: -; 16.2: 0
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