Symulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego –wybrane ... · PDF fileSymulacyjne...

Symulacyjne metody analizy ryzyka

inwestycyjnego – wybrane aspekty

Grzegorz Szwałek

Katedra Matematyki Stosowanej

Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu

Plan prezentacji

1. Opis metody wyceny opcji rzeczywistej metodąDatara-Mathewsa, oraz jej rozszerzenie,

2. Opis metody skorelowania zmiennych losowych oraz wpływu skorelowania zmiennych na uzyskiwane wyniki,

3. Analiza przykładowej inwestycji z uwzględnieniem macierzy przejścia stanów – implementacja metodologii CreditMetrics do analizy inwestycji w czasie

Metoda Datara-Mathews’a

� Metoda została opracowana na potrzeby firmy Boeing przez Prof. Vinaya Datara z Seattle University oraz Scotta Matthewsa,

� Została opatentowana w 2005 roku,

� Metoda została opisana w 2007r. w Journal of Applied

Corporate Finance

Metoda Datara-Mathews’a

Metoda Datara-Mathews’a

Zakładamy 3 scenariusze planowanych przepływów finansowych:

1. Pesymistyczny

2. Realistyczny

3. Optymistyczny

Następnie na ich podstawie generujemy trójkątne rozkłady prawdopodobieństwa planowanych przepływów finansowych dla każdego z etapów projektu.

PesymistycznaOptymistyczna

Najbardziej prawdopodobny scenariusz

$0 M $100 M $200 M

Najbardziej prawdopodobny scenariusz

$0 M Wartośćinwestycji

$200 M

67%

Dodatni wynik finansowy

Średnia

częstość

Strata projektu

Jak widać na rysunku prawdopodobieństwo zwrotu początkowych nakładów na projekt wynosi ok. 25%.Wartość oczekiwana po odjęciu kosztów wynosi 24,73, stąd wartość opcji wyznaczonej metodąDatara- Mathews’a wynosi 6,36.

Metoda DM z uwzględnieniem scenariuszy.

1. W oryginalnej metodzie DM scenariusze optymistyczny oraz pesymistyczny mają po 10% prawdopodobieństwa.

2. Sposób generowania zmiennych losowych prowadzi do paradoksu,

zwiększając udział procentowy scenariusza optymistycznego (do pewnej

wartości) zmniejszamy wartość opcji.

Pesymistyczna

Optymistyczna

Najbardziej prawdopodobny scenariusz

$0 M

$100 M

$200 M

Inne podejście do metody Datara Mathewsa

z generowaniem przychodów i kosztów

W tym podejściu używając metody Monte Carlo generujemy trójkątne rozkłady przychodów oraz kosztów wg trzech scenariuszy a następnie uzyskujemy rozkład NPV w każdym z etapów projektu

Przychody w 1 roku zdyskontowane stopą

Koszty w 1 roku zdyskontowane stopą r

W wyniku otrzymujemy przewidywany DCF 1

� Postępujemy analogicznie jak w przykładzie z generowaniem NPV , lecz generujemy dwa rozkłady trójkątne – przychodów i kosztów.

� Następnie dyskontujemy uzyskane zmienne losowe na czas t = 0 przy użyciu dwóch różnych stóp procentowych a następnie obliczamy NPV projektu w danym roku:

� Dla kosztów (bardziej realne) stosujemy stopę wolną od ryzyka

� Dla przychodów (obarczone większym ryzykiem) stosujemy tzw. stopę

procentową projektu, która jest większa od stopy wolnej od ryzyka.

� Dla każdego roku inwestycji postępujemy analogicznie.

� W rezultacie uzyskamy ostateczny rozkład NPV projektu składający się z sumy poszczególnych lat.

� Wartość opcji realnej wyznaczamy z równania:

ROV = E(max(Zdysk. Przychody - Koszt projektu>0 ,0)

ROV=Średnia[Max(Przychody-Koszt projektu>0,0)] Excel

ROV = E(Przychody>Koszt projektu)*Prawdopodobieństwo zwrotu nakładów

ROV = Średnia(P>K)*Prawdopodobieństwo zwrotu nakładów Excel

DCF 1 DCF 2 DCF 3 DCF N

. . .

Koszt inwestycji 700

Problem skorelowania zmiennych

O skorelowaniu zmiennych losowych z danymi z analogicznego projektu wspomina autor metody w swoim artykule opisującym zastosowanie opcji rzeczywistych.

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych z rozkładu N(0,1)

o wariancji równej 1

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych z rozkładu N(0,1)

o różnych wariancjach

Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych

Metoda klasyczna – macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli

w przypadku dwuwymiarowym

Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – współczynnik korelacji =0,7

Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Współczynnik korelacji =0,2 Współczynnik korelacji =0,7

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Współczynnik korelacji =0,8 Współczynnik korelacji =0,9

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Współczynnik korelacji =0,2 Współczynnik korelacji =0,9

Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

Współczynnik korelacji =0,9Współczynnik korelacji =0,2

34% 49%

Analiza porównawcza róŜnych wersji metody

Datara-Mathewsa

Dane wejściowe projektu:

1.Czas trwania inwestycji 1 rok

2.Czas trwania projektu 7 lat

3.Stopa wolna od ryzyka – dyskonto kosztów 5%

4.Stopa dyskontowa przepływów finansowych 7%

5.Współczynnik korelacji = 0 , korelacja z poprzednim rokiem

6.Wielkość przypływów oraz NPV projektu przedstawia poniższa tabela

Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami

inwestycji – brak korelacji

Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami

inwestycji – typ AR(1), wsp. korelacji = 0,7

Wyniki uzyskane przy

zastosowaniu kopuli

gaussowskiej, typ AR(1)

Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami

inwestycji – typ const, wsp. korelacji = 0,7

Wyniki uzyskane przy

zastosowaniu kopuli

gaussowskiej, typu stałego –

porównanie z typem AR(1)

Wykres przedstawia histogram NPV projektu z uwzględnieniem scenariuszy

Z czym moŜemy skorelować planowane

przychody projektu

1. Z ceną rynkową2. Z indeksem giełdowym3. Z analogicznym projektem

zrealizowanym w przeszłości

Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM

1. Jeżeli do skorelowania użyjemy rozkładu o podobnej wartości oczekiwanej oraz wariancji wtedy ograniczymy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wartość opcji maleje, ale w niewielkim zakresie.

W każdym z analizowanych okresów rozkład planowanych przepływów był zbliżony do rozkładu, z którym był korelowany

Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM

2. Jeżeli do skorelowania zmiennej losowej użyjemy rozkładu o większej wariancji, zauważamy dużo większy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wycena przeprowadzona w ten sposób jest o wiele bardziej wrażliwa i wartość opcji maleje prawie do zera.

Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM

2. Jeżeli do skorelowania zmiennej losowej użyjemy rozkładu o większej wariancji, zauważamy dużo większy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wycena przeprowadzona w ten sposób jest o wiele bardziej wrażliwa i wartość opcji maleje prawie do zera.

Macierz przejścia dla korelacji z historycznymi projektami

Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 2, korelacja = 0

Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 2, korelacja = 0,7

Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 3, korelacja = 0,7

Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 7, korelacja = 0,7

Przykładowe obliczenia wraz z

zastosowaniem macierzy przejścia

Dane wejściowe projektu:

1.Czas trwania inwestycji 1 rok

2.Czas trwania projektu 7 lat

3.Stopa wolna od ryzyka – dyskonto kosztów 5%

4.Stopa dyskontowa przepływów finansowych 7%

5.Współczynnik korelacji = 0,85 , korelacja z poprzednim rokiem

6.Wielkość przypływów oraz NPV projektu przedstawia poniższa tabela

2017-02-01 05:15 — wycinek ekranu

Wnioski

• Jeżeli do korelacji posłużymy się rozkładem niezmiennym w czasie, to wartośćopcji nie zależy od współczynnika korelacji.

• Duży wpływ na wartość opcji ma typ rozkładu (bazowego) z którym będziemy korelować zmienne w poszczególnych okresach.

• Współczynnik korelacji skupia zmienne wokół wartości oczekiwanej, w związku z tym wpływa znacząco na zanikanie wartości ekstremalnych, co skutkuje zmniejszaniem się wartości opcji wraz ze wzrostem korelacji.

• Największe znaczenie na uzyskane rezultaty w tej metodzie ma zmienność, gdyżdzięki niej uzyskujemy duże wartości w „ogonie rozkładu”.

• Korelacja z poprzednim okresem znacząco wpływa na wzrost wartości opcji obliczanej metodą DM.

• Do wyceny projektu, bez informacji z czym i jak skorelowano zmienne, musimy podejść z rezerwą.

Nieklasyczne metody oceny ryzyka

Miara Expected Shortfall

Badania, które doprowadziły do sformułowania pojęcia Expected Shortfall mająswój początek w poszukiwaniu odpowiedzi na pytanie, jak jest wartość oczekiwana straty, którą możemy ponieść w α najgorszych przypadkach.W pracy Acerbi i Taschego (2001) autorzy wyszli od pojęcia ES próbkowego, który jest naturalnym estymatorem dla oczekiwanej straty.

Expected Shortfall próbkowy wyraża się wzorem:

Nieklasyczne metody oceny ryzyka

Wskaźnik Racheva – jest to stosunek oczekiwanego zysku uzyskanego na podstawie prawego ogona rozkładu zmiennej X o grubości α, do oczekiwanej straty wyznaczonej na podstawie lewego ogona rozkładu zmiennej X o grubości β. Parametry α i β dobiera subiektywnie inwestor. ( w szczególnym przypadku można przyjąć, że są równe)

,

Dziękuję za uwagęgrzegorz.szwalek@phd.ue.poznan.pl

Nieklasyczne metody oceny ryzyka,

Wskaźnik Farinelli-Tibiletti- oceniający wyniki inwestycyjne przy zastosowaniu jednostronnej miary ryzyka dla dowolnego momentu częściowego rzędu p i q oraz progu m – określającego próg zysku i straty

gdzie

Nieklasyczne metody oceny ryzyka

Wskaźnik d odpowiedniego rzędu p i q określony jest przez iloraz zdarzeńpozytywnych związanych z osiągnięciem zakładanego zysku i zdarzeńnegatywnych przynoszących stratę.Wskaźnik ma interpretację ekonomiczną w postaci nadwyżkowej stopy zwrotu przypadającej na jednostkę ryzyka związanego z jej osiągnięciem.

Przykładowe obliczenia

Parametry α i β ustalamy na 0,2 i 0,8 stąd mamy wartość wskaźnika Ra-ratio

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

R.Doman „Zastosowanie Kopuli w modelowaniu dynamiki zależności na rynkach finansowych” UE Poznań 2011

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

(u,v)

(u,v)0

0 1 1

1 Kopula

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

(u,v)

(u,v)0

0 1 1

1 Kopula

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

(u,v)

(u,v)0

0 1 1

1 Kopula

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

Udowodnijmy teraz jeden z tych warunków

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

R.Doman „Zastosowanie Kopuli w

modelowaniu dynamiki zależności

na rynkach finansowych” UE

Poznań 2011

Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych

Metoda klasyczna – macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli

w przypadku dwuwymiarowym

Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – współczynnik korelacji =0,7

Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych

Metoda klasyczna – macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli

w przypadku dwuwymiarowym

Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – wsp. korelacji =0,7