Symulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego –wybrane ... · PDF fileSymulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego –wybrane aspekty Grzegorz Szwałek Katedra Matematyki

Symulacyjne metody analizy ryzyka

inwestycyjnego – wybrane aspekty

Grzegorz Szwałek

Katedra Matematyki Stosowanej

Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu

Plan prezentacji

1. Opis metody wyceny opcji rzeczywistej metodąDatara-Mathewsa, oraz jej rozszerzenie,

2. Opis metody skorelowania zmiennych losowych oraz wpływu skorelowania zmiennych na uzyskiwane wyniki,

3. Analiza przykładowej inwestycji z uwzględnieniem macierzy przejścia stanów – implementacja metodologii CreditMetrics do analizy inwestycji w czasie

Metoda Datara-Mathews’a

� Metoda została opracowana na potrzeby firmy Boeing przez Prof. Vinaya Datara z Seattle University oraz Scotta Matthewsa,

� Została opatentowana w 2005 roku,

� Metoda została opisana w 2007r. w Journal of Applied

Corporate Finance



Zakładamy 3 scenariusze planowanych przepływów finansowych:

1. Pesymistyczny

2. Realistyczny

3. Optymistyczny

Następnie na ich podstawie generujemy trójkątne rozkłady prawdopodobieństwa planowanych przepływów finansowych dla każdego z etapów projektu.

PesymistycznaOptymistyczna

Najbardziej prawdopodobny scenariusz

$0 M $100 M $200 M


$0 M Wartośćinwestycji

$200 M

67%

Dodatni wynik finansowy

Średnia

częstość

Strata projektu

Jak widać na rysunku prawdopodobieństwo zwrotu początkowych nakładów na projekt wynosi ok. 25%.Wartość oczekiwana po odjęciu kosztów wynosi 24,73, stąd wartość opcji wyznaczonej metodąDatara- Mathews’a wynosi 6,36.

Metoda DM z uwzględnieniem scenariuszy.

1. W oryginalnej metodzie DM scenariusze optymistyczny oraz pesymistyczny mają po 10% prawdopodobieństwa.

2. Sposób generowania zmiennych losowych prowadzi do paradoksu,

zwiększając udział procentowy scenariusza optymistycznego (do pewnej

wartości) zmniejszamy wartość opcji.

Pesymistyczna

Optymistyczna


$0 M

$100 M

$200 M

Inne podejście do metody Datara Mathewsa

z generowaniem przychodów i kosztów

W tym podejściu używając metody Monte Carlo generujemy trójkątne rozkłady przychodów oraz kosztów wg trzech scenariuszy a następnie uzyskujemy rozkład NPV w każdym z etapów projektu

Przychody w 1 roku zdyskontowane stopą

Koszty w 1 roku zdyskontowane stopą r

W wyniku otrzymujemy przewidywany DCF 1

� Postępujemy analogicznie jak w przykładzie z generowaniem NPV , lecz generujemy dwa rozkłady trójkątne – przychodów i kosztów.

� Następnie dyskontujemy uzyskane zmienne losowe na czas t = 0 przy użyciu dwóch różnych stóp procentowych a następnie obliczamy NPV projektu w danym roku:

� Dla kosztów (bardziej realne) stosujemy stopę wolną od ryzyka

� Dla przychodów (obarczone większym ryzykiem) stosujemy tzw. stopę

procentową projektu, która jest większa od stopy wolnej od ryzyka.

� Dla każdego roku inwestycji postępujemy analogicznie.

� W rezultacie uzyskamy ostateczny rozkład NPV projektu składający się z sumy poszczególnych lat.

� Wartość opcji realnej wyznaczamy z równania:

ROV = E(max(Zdysk. Przychody - Koszt projektu>0 ,0)

ROV=Średnia[Max(Przychody-Koszt projektu>0,0)] Excel

ROV = E(Przychody>Koszt projektu)*Prawdopodobieństwo zwrotu nakładów

ROV = Średnia(P>K)*Prawdopodobieństwo zwrotu nakładów Excel

DCF 1 DCF 2 DCF 3 DCF N

. . .

Koszt inwestycji 700

Problem skorelowania zmiennych

O skorelowaniu zmiennych losowych z danymi z analogicznego projektu wspomina autor metody w swoim artykule opisującym zastosowanie opcji rzeczywistych.

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych z rozkładu N(0,1)

o wariancji równej 1

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych z rozkładu N(0,1)

o różnych wariancjach

Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych

Metoda klasyczna – macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli

w przypadku dwuwymiarowym

Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – współczynnik korelacji =0,7


Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe







Współczynnik korelacji =0,2 Współczynnik korelacji =0,7






Współczynnik korelacji =0,9Współczynnik korelacji =0,2

34% 49%

Analiza porównawcza róŜnych wersji metody

Datara-Mathewsa

Dane wejściowe projektu:

1.Czas trwania inwestycji 1 rok

2.Czas trwania projektu 7 lat

3.Stopa wolna od ryzyka – dyskonto kosztów 5%

4.Stopa dyskontowa przepływów finansowych 7%

5.Współczynnik korelacji = 0 , korelacja z poprzednim rokiem

6.Wielkość przypływów oraz NPV projektu przedstawia poniższa tabela

Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami

inwestycji – brak korelacji


inwestycji – typ AR(1), wsp. korelacji = 0,7

Wyniki uzyskane przy

zastosowaniu kopuli

gaussowskiej, typ AR(1)


inwestycji – typ const, wsp. korelacji = 0,7

Wyniki uzyskane przy

zastosowaniu kopuli

gaussowskiej, typu stałego –

porównanie z typem AR(1)

Wykres przedstawia histogram NPV projektu z uwzględnieniem scenariuszy

Z czym moŜemy skorelować planowane

przychody projektu

1. Z ceną rynkową2. Z indeksem giełdowym3. Z analogicznym projektem

zrealizowanym w przeszłości

Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM

1. Jeżeli do skorelowania użyjemy rozkładu o podobnej wartości oczekiwanej oraz wariancji wtedy ograniczymy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wartość opcji maleje, ale w niewielkim zakresie.

W każdym z analizowanych okresów rozkład planowanych przepływów był zbliżony do rozkładu, z którym był korelowany


2. Jeżeli do skorelowania zmiennej losowej użyjemy rozkładu o większej wariancji, zauważamy dużo większy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wycena przeprowadzona w ten sposób jest o wiele bardziej wrażliwa i wartość opcji maleje prawie do zera.


2. Jeżeli do skorelowania zmiennej losowej użyjemy rozkładu o większej wariancji, zauważamy dużo większy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wycena przeprowadzona w ten sposób jest o wiele bardziej wrażliwa i wartość opcji maleje prawie do zera.

Macierz przejścia dla korelacji z historycznymi projektami

Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 2, korelacja = 0

Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 2, korelacja = 0,7



Przykładowe obliczenia wraz z

zastosowaniem macierzy przejścia

Dane wejściowe projektu:

1.Czas trwania inwestycji 1 rok

2.Czas trwania projektu 7 lat

3.Stopa wolna od ryzyka – dyskonto kosztów 5%

4.Stopa dyskontowa przepływów finansowych 7%

5.Współczynnik korelacji = 0,85 , korelacja z poprzednim rokiem

6.Wielkość przypływów oraz NPV projektu przedstawia poniższa tabela

2017-02-01 05:15 — wycinek ekranu

Wnioski

• Jeżeli do korelacji posłużymy się rozkładem niezmiennym w czasie, to wartośćopcji nie zależy od współczynnika korelacji.

• Duży wpływ na wartość opcji ma typ rozkładu (bazowego) z którym będziemy korelować zmienne w poszczególnych okresach.

• Współczynnik korelacji skupia zmienne wokół wartości oczekiwanej, w związku z tym wpływa znacząco na zanikanie wartości ekstremalnych, co skutkuje zmniejszaniem się wartości opcji wraz ze wzrostem korelacji.

• Największe znaczenie na uzyskane rezultaty w tej metodzie ma zmienność, gdyżdzięki niej uzyskujemy duże wartości w „ogonie rozkładu”.

• Korelacja z poprzednim okresem znacząco wpływa na wzrost wartości opcji obliczanej metodą DM.

• Do wyceny projektu, bez informacji z czym i jak skorelowano zmienne, musimy podejść z rezerwą.

Nieklasyczne metody oceny ryzyka

Miara Expected Shortfall

Badania, które doprowadziły do sformułowania pojęcia Expected Shortfall mająswój początek w poszukiwaniu odpowiedzi na pytanie, jak jest wartość oczekiwana straty, którą możemy ponieść w α najgorszych przypadkach.W pracy Acerbi i Taschego (2001) autorzy wyszli od pojęcia ES próbkowego, który jest naturalnym estymatorem dla oczekiwanej straty.

Expected Shortfall próbkowy wyraża się wzorem:


Wskaźnik Racheva – jest to stosunek oczekiwanego zysku uzyskanego na podstawie prawego ogona rozkładu zmiennej X o grubości α, do oczekiwanej straty wyznaczonej na podstawie lewego ogona rozkładu zmiennej X o grubości β. Parametry α i β dobiera subiektywnie inwestor. ( w szczególnym przypadku można przyjąć, że są równe)

,

Dziękuję za uwagę[email protected]

Nieklasyczne metody oceny ryzyka,

Wskaźnik Farinelli-Tibiletti- oceniający wyniki inwestycyjne przy zastosowaniu jednostronnej miary ryzyka dla dowolnego momentu częściowego rzędu p i q oraz progu m – określającego próg zysku i straty

gdzie


Wskaźnik d odpowiedniego rzędu p i q określony jest przez iloraz zdarzeńpozytywnych związanych z osiągnięciem zakładanego zysku i zdarzeńnegatywnych przynoszących stratę.Wskaźnik ma interpretację ekonomiczną w postaci nadwyżkowej stopy zwrotu przypadającej na jednostkę ryzyka związanego z jej osiągnięciem.

Przykładowe obliczenia

Parametry α i β ustalamy na 0,2 i 0,8 stąd mamy wartość wskaźnika Ra-ratio

Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy

zastosowaniu Kopuli

R.Doman „Zastosowanie Kopuli w modelowaniu dynamiki zależności na rynkach finansowych” UE Poznań 2011


zastosowaniu Kopuli


zastosowaniu Kopuli

(u,v)

(u,v)0

0 1 1

1 Kopula


zastosowaniu Kopuli

(u,v)

(u,v)0

0 1 1

1 Kopula


zastosowaniu Kopuli

(u,v)

(u,v)0

0 1 1

1 Kopula


zastosowaniu Kopuli

Udowodnijmy teraz jeden z tych warunków


zastosowaniu Kopuli


zastosowaniu Kopuli


zastosowaniu Kopuli


zastosowaniu Kopuli


zastosowaniu Kopuli

R.Doman „Zastosowanie Kopuli w

modelowaniu dynamiki zależności

na rynkach finansowych” UE

Poznań 2011




Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – współczynnik korelacji =0,7




Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – wsp. korelacji =0,7

Documents

Symulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego –wybrane ... · PDF fileSymulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego –wybrane aspekty Grzegorz Szwałek Katedra Matematyki