T - 5 Podela Kartografskih Projekcija 4

СТУДИЈСКИ ПРОГРАМ ГЕОДЕЗИЈЕ

5. PODELA

KARTOGRAFSKIH

PROJEKCIJA

(4)

Vanr. prof. dr Dragoljub Sekulović

Banja Luka, 2011.

15. GAUSS-KRÜGEROVA PROJEKCIJA

Posebnu grupu projekcija čine tzv.’’geodetske projekcije’’, tj. projekcije zapotrebe državnog premera. Projekcija zapotrebe državnog premera, je projekcije kojaće poslužiti za proračunavanje koordinatatrigonometrijskih tačaka u ravninu. Prematome, u toj projekciji će biti određenedefinitivne pravougle koordinatetrigonometrijskih tačaka u ravnini. Taprojekcija treba da posluži kao matematičkaosnova za sva računanja u ravni i za izraduplanova i karata najkrupnijih razmera.

15.1. U v o d

• Za potrebe državnog premera u većini zemalja danas seupotrebljava Gauss-Krügerova projekcija. To je konformnapoprečna cilindrična projekcija elipsoida na ravni. Zaštoupravo ta projekcija, a ne neka druga odgovorićemo uposebnom poglavlju pod naslovom ’’Izbor projekcije’’ (v.§17.1).

• Austrija je bila prva država koja je uvela Gauss-Krügerovuprojekciju za potrebe državnog premera. Bilo je to 1917.godine. Nemačka je to isto učinila 1923. godine. BivšaJugoslavija je Gauss-Krügerovu projekciju uvela 1924.godine. Izbor projekcije izvršila je komisija u kojoj su bilinajpoznatiji geodetski stručnjaci tog vremena. Komisija jenakon detaljne analize u opsežnom pismenom izvještaju,kao najpogodniju predložila Gauss-Krügerovu projekciju.

15.1. U v o d

• Projekcija je dobla ime po velikom nemačkomnaučniku Carlu-Frederichu Gaussu (1777-1855) kojije i geodeziju zadužio mnogim otkrićima. Između1821. i 1825. godine Gauss je pri izračunavanjuhanoverske triangulacije za preslikavanje selipsoida na ravni pimenio način preslikavanja kojidanas nosi naziv Gauss-Krügerova projekcija.

• Krüger L. 1912. godine objavio je knjigu o tojprojekciji, a 1919. godine zbirku formula zapraktičnu primenu. Od tada ta projekcija se nazivaGauss-Krügerova. U literaturi engleskog jezičnogpodručja ova projekcija susreće se pod nazivomTransverse Mercator Projection.

15.1. U v o d

• Budući da se geodetske projekcije osim za izradu karatakrupnih razmera koriste kao osnova za sva računanja uravni, to je u njihovom proučavanju osim računanjageografskih koordinata u ravni iz geografskih koordinatapotrebno rešiti i niz ostalih zadataka:

1. Računanje geografskih koordinata iz pravouglih koordinata u ravnini projekcije.

2. Računanje konvergencije meridijana iz geografskih i pravouglih koordinata.

3. Računanje linearnog razmera iz geografskih i pravouglih koordinata.

4. Računanje redukcije pravaca i dužina.

5. Računanje pravouglih koordinata tačke, kad su zadate pravougle koordinate jedne tačke i dužina i azimut geodetske linije.

6. Računanje dužina i azimuta geodetske linije iz pravouglih koordinata dveju tačaka.

7. Transformacija koordinata između susednih koordinatnih sistema.

15.2. Svojstva Gauss-Krügerove projekcije

Gauss-Krügerova projekcija određena je

ovim uslovima:

1. Projekcija je konformna.

2. Srednji meridijan preslikava se u pravoj

veličini ili je razmer duž njega konstantan.

3. Osa x pravouglog koordinatnog sistema

poklapa se sa srednjim meridijanom.

15.2. Svojstva Gauss-Krügerove projekcije

• Ishodište se može postaviit u bilo kojoj tačkisrednjeg meridijana, obično se uzima upreseku srednjeg meridijana i ekvatora.

• Takođe, za Gauss-Krügerovu projekcijukažemo da je konformna poprečna cilindričnaprojekcija elipsoida na ravninu. Svojstva teprojekcije možemo vizuelizirati ako zamislimopreslikavanje na eliptični valjak koji dodirujeelipsoid duž srednjeg meridijana područjapreslikavanja ili na površ valjka koji sečeelipsoid (sl. 15.1).

15.2. Svojstva Gauss-Krügerove projekcije

Slika 15.1

15.2. Svojstva Gauss-Krügerove projekcije

15.3. Konformno preslikavanje pomoću analitičkih

funkcija

15.3. Konformno preslikavanje pomoću analitičkih

funkcija

15.3. Konformno preslikavanje pomoću analitičkih

funkcija

15.3.1. Izometrijske koordinate

15.3.1. Izometrijske koordinate

15.3.1. Izometrijske koordinate

15.3.1. Izometrijske koordinate

15.3.1. Izometrijske koordinate

15.3.1. Izometrijske koordinate

15.3.1. Izometrijske koordinate

15.3.1. Izometrijske koordinate

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.4. Računanje pravouglih koordinata x, y (Gauss-Krügerovih

koordinata) iz geografskih koordinata φ i λ

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.5. Računanje geografskih koordinata φ i λ iz

pravouglih koordinata x i y

15.6. Konvergencija (zbližavanje) meridijana u

ravnini Gauss-Krügerove projekcije

• Konvergencija meridijana u ravnini jeste ugao

c, što ga u jednoj tački projekcije meridijana

čine tangenta i paralela sa osom x. Isti taj

ugao u konformnim projekcijama u toj tački

čine tangenta na projekciju paralele i paralela

sa osom y (sl. 15.6).

15.6. Konvergencija (zbližavanje) meridijana u

ravnini Gauss-Krügerove projekcije

15.6. Konvergencija (zbližavanje) meridijana u

ravnini Gauss-Krügerove projekcije

Značenje ovog ugla je u tome što nam

omogućuje da odredimo geodetski (Gaussov)

smerni ugao θ ako je zadan azimut α neke

strane triangulacije i obrnuto.

15.6.1. Računanje konvergencije meridijana u ravnini kad

su zadane geografske koordinate φ i λ

15.6.1. Računanje konvergencije meridijana u ravnini kad

su zadane geografske koordinate φ i λ

15.6.1. Računanje konvergencije meridijana u ravnini kad

su zadane geografske koordinate φ i λ

15.6.1. Računanje konvergencije meridijana u ravnini kad

su zadane geografske koordinate φ i λ

15.6.1. Računanje konvergencije meridijana u ravnini kad

su zadane geografske koordinate φ i λ

15.6.1. Računanje konvergencije meridijana u ravnini kad

su zadane geografske koordinate φ i λ

15.6.2. Računanje konvergencije meridijana u ravnini iz

pravouglih koordinata x i y

15.6.2. Računanje konvergencije meridijana u ravnini iz

pravouglih koordinata x i y

15.6.2. Računanje konvergencije meridijana u ravnini iz

pravouglih koordinata x i y

15.6.2. Računanje konvergencije meridijana u ravnini iz

pravouglih koordinata x i y

15.6.2. Računanje konvergencije meridijana u ravnini iz

pravouglih koordinata x i y

15.6.2. Računanje konvergencije meridijana u ravnini iz

pravouglih koordinata x i y

15.6.2. Računanje konvergencije meridijana u ravnini iz

pravouglih koordinata x i y

15.7. Razmeri i deformacije

15.7. Razmeri i deformacije

15.7.1. Računanje razmera iz geografskih

koordinata φ i λ

15.7.1. Računanje razmera iz geografskih

koordinata φ i λ

15.7.2. Računanje razmera m iz pravouglih

koordinata x i y

15.7.2. Računanje razmera m iz pravouglih

koordinata x i y

15.7.2. Računanje razmera m iz pravouglih

koordinata x i y

15.7.2. Računanje razmera m iz pravouglih

koordinata x i y

15.7.2. Računanje razmera m iz pravouglih

koordinata x i y

15.7.2. Računanje razmera m iz pravouglih

koordinata x i y

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

Slika 15.7. Krivulje linearnih deformacija u Gauss-Krügerovoj projekciji kod:

a) nereduciranih i b) reduciranih koordinata

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

• Sada se postavlja pitanje kolike se maksimalnedeformacije mogu dozvoliti u jednom koordinatnomsistemu. Deformacije projekcije moraju biti manje odgrešaka merenja u poligonoj mreži odnosnotriangulaciji IV reda ili drugim rečima tačnostprojekcije mora biti veća od tačnosti merenja utriangulacijskoj mreži IV reda ili poligonskojmreži. Obično se uzima da je relativna linearnagreška poligone mreže 1:3 000. Ako uzmemo da jetačnost projekcije 1:10 000 očigledno je tačnostprojekcije tri puta veća od tačnosti poligone mreže ida se takva deformacija projekcije može prihvatiti, ada o njoj ne moramo voditi računa u računanjupoligone mreže.

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

Iz krivulje linearnih deformacija na sl. 15.7

vidimo da od srednjeg meridijana možemo ići na

istok ili zapad do 90km, a da linearne

deformacije ne budu veće od 0.0001 (1:10 000).

Dakle, širina koordinatnog sistema uz tu tačnost

može iznositi 180km.

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

Postavlja se pitanje dali bi se uz istu tačnost

1:10 000 moglo povećati područje preslikavanja takoda se sa što manje sistema obuhvati zadatopodručje. Zadatak smo rešili uvođenjem negativnihdeformacija na srednjem meridijanu. Na srednjemmeridijanu uveli smo maksimalnu negativnudeformaciju. Očito da u tom slučaju kad sudeformaicje u intervalu od -0,0001 do +0,0001 jepodručje preslikavanja veće nego u slučaju kad sedeformacije kreću u intervalu od 0 do +0,0001.Uvođenjem negativne deformacije na srednjemmeridijanu područje preslikavanja je prošireno iiznosi 127km istočno i zapadno od srednjegmeridijana što znači 254km.

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

15.8. Uvođenje linearne deformacije na srednjem

meridijanu i praktično značenje tog postupka

Zaključak. Razlika redukovanih i neredukovanih

koordinata samo je u rasporedu deformacija. Kod

nereduciranih koordinata na srednjem meridijanu

nema deformacija, udaljavanjem od srednjeg

meridijana deformacije rastu i maksimalne su na

granici sistema. Kod reduciranih koordinata na

srednjem meridijanu su maksimalne negativne

deformacije, udaljevanjem od srednjeg meridijana

deformacije se smanjuju i na 90km jednake su nuli.

Nastavkom udaljavanja deformacije rastu. Ovakav

raspored deformacija omogućio je veće područje

preslikavanja kod reduciranih koordinata.

15.9. Redukcija dužina

15.9. Redukcija dužina

15.9. Redukcija dužina

15.9. Redukcija dužina

15.9. Redukcija dužina

15.9. Redukcija dužina

15.9. Redukcija dužina

15.10. Redukcija pravaca

15.10. Redukcija pravaca

15.10. Redukcija pravaca

15.10. Redukcija pravaca

15.10. Redukcija pravaca

15.10. Redukcija pravaca

15.10. Redukcija pravaca

15.10. Redukcija pravaca

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

• Kad su ordinate krajnjih tačaka projekcije

geodetske linije različitog predznaka, tad

projekcija geodetske linije ima različite oblike.

Neki od tih oblika prikazani su na sl. 15.14 i sl.

15.15.

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.11. Projekcija (slika) geodetske linije

15.12. Osnovni ili prvi geodetski zadatak

15.12. Osnovni ili prvi geodetski zadatak

15.12. Osnovni ili prvi geodetski zadatak

15.12. Osnovni ili prvi geodetski zadatak

15.12. Osnovni ili prvi geodetski zadatak

15.12. Osnovni ili prvi geodetski zadatak

15.12. Osnovni ili prvi geodetski zadatak

15.13. Obrnuti ili drugi geodetski zadatak

15.13. Obrnuti ili drugi geodetski zadatak

15.13. Obrnuti ili drugi geodetski zadatak

15.13. Obrnuti ili drugi geodetski zadatak

15.13. Obrnuti ili drugi geodetski zadatak

15.13. Obrnuti ili drugi geodetski zadatak

15.14. Transformacija pravouglih koordinata u ravni iz

jednog koordinatnog sistema u drugi (susedni)

15.14. Transformacija pravouglih koordinata u ravni iz

jednog koordinatnog sistema u drugi (susedni)

15.14. Transformacija pravouglih koordinata u ravni iz

jednog koordinatnog sistema u drugi (susedni)

15.14.1. Transformacija prelaskom na geografske

koordinate

15.14.1. Transformacija prelaskom na geografske

koordinate

15.14.1. Transformacija prelaskom na geografske

koordinate

15.14.2. Direktna transformacija

Ako je potrebno transformisati vrlo veliki broj

tačaka (npr. 100 000 - tako veliki broj tačaka

pojaviće se pri digitalizaciji sadržaja karte i

transformaciji u susedni sistem) iz jednog

koordinatnog sistema u drugi susedni, tada je,

što se računarskog (kompjuterskog) vremena

tiče, najekonomičnije primeniti direktnu

transformaciju.

15.14.1. Transformacija prelaskom na

geografske koordinate

15.14.1. Transformacija prelaskom na

geografske koordinate

15.14.1. Transformacija prelaskom na

geografske koordinate