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LQES - Laboratrio de Qumica do Estado Slido Instituto de Qumica UNICAMP http://lqes.iqm.unicamp.br
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Consideraes Gerais
As celas unitrias dos sete sistemas cristalinos so descritas na Tabela 1 deste LQES
Index. So empregadas as notaes habituais (e recomendadas), ou seja: a, b e c para designar
os parmetros da cela unitria; ,
e
para designar os ngulos, respectivamente, entre os
eixos b e c, c e a e a e b.
Quando a cela unitria possui unicamente ns nos vrtices, chamada primitiva, sendo
denotada pela letra P (exceo feita ao sistema rombodrico, em que empregada a letra R). Aos
retculos P, juntam-se os sete sistemas no-primitivos, que possuem a mesma simetria, mas
que comportam diversos ns na cela unitria: so os retculos de corpo centrado, denominados I,
os retculos de faces centradas, F, e os retculos de bases centradas A, B ou C, estes ltimos,
segundo a natureza das faces que tm um n em seu centro. Todo este conjunto constitui o que
conhecido como 14 Retculos de Bravais , apresentados na Figura 1 (pgina 4).
Os cristais podem ser classificados segundo os grupos pontuais de operaes de simetria
que une suas faces. Estes grupos so em nmero de 32, e esto reunidos nas colunas 2 e 3, da
Tabela 2 (pgina 3 em diante). Dois tipos de smbolos so utilizados para designar tais grupos: os
smbolos internacionais (chamados tambm de notao de Hermann-Mauguin), em notao
reduzida, e os smbolos de Schoenflies (notao de Schoenflies).
Observe-se que no apenas os smbolos utilizados em cristalografia so diferentes
daqueles da teoria de grupos. Tambm para o caso do eixo de rotao imprprio, a operao no
a mesma. Para a cristalografia, esta operao definida como um eixo imprprio, de ordem n
(n, diz-se n barra), ou seja: uma rotao ao redor deste eixo, seguida de uma inverso em
relao a um centro situado sobre o mesmo. No caso da espectroscopia, esta operao definida
como sendo um eixo de ordem n (Sn, diz-se S ndice n), no qual a rotao seguida de uma
reflexo atravs de um plano perpendicular a este eixo.
Uma vez que as operaes de simetria de cada um dos 32 grupos pontuais cristalogrficos
so aplicadas aos 14 Retculos de Bravais, resultam em 230 grupos espaciais que descrevem,
LQES
LQES INDEX
RReettccuullooss CCrriissttaalliinnooss ee GGrruuppooss EEssppaacciiaaiiss CCrriissttaallooggrrffiiccooss
EEddiittoorriiaa ddoo LLQQEESS WWeebbssiittee
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de maneira unvoca, todo arranjo de objetos idnticos, dispostos num retculo peridico infinito.
Pode-se considerar que os 230 grupos espaciais so gerados pela adio de dois novos tipos de
operaes de simetria, quelas encontradas nos grupos pontuais. Os elementos de simetria
complementares so os eixos helicoidais ( eixos parafuso ) e os planos de deslizamento.
A operao de simetria correspondente a um eixo helicoidal de ordem n, consiste numa
rotao de 2 /n, ao redor de um eixo de ordem n, seguida de uma translao de 1/n vezes a cela
unitria, paralelamente a este eixo. A notao desta operao n1/n.
A operao correspondente a um plano de deslizamento consiste numa reflexo neste
plano, seguida de translao executada paralelamente ao plano. Tal translao pode ser feita
somente ao longo dos eixos (plano de deslizamento a, b ou c; valor da translao a/2, b/2 ou
c/2). Caso seja ao longo das diagonais das faces (plano de deslizamento n), o valor da translao
ser de (a+b)/2, (b+a)/2 ou (c+a)/2.
Os 230 grupos espaciais so apresentados na ltima coluna da Tabela 2 (pgina 3 em
diante). Uma descrio completa dos grupos espaciais cristalogrficos feita na International
Tables for X-Ray Cristallography [1].
Para cada um dos 32 grupos pontuais, o difratograma de raios X caracterstico de um
grupo de simetria denominado Grupo de Laue, obtido ao se adicionar a este grupo pontual
(mesmo que ele no seja centrosimtrico) um centro de simetria. Os 11 grupos de Laue assim
definidos esto separados, por uma linha horizontal, na Tabela 2 (pgina 4 em diante).
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Tabela 1. Celas unitrias dos sete sistemas cristalinos.
Sistema Cristalino
Caractersticas das
Celas Unitrias
Nmero de
Retculos
Celas de Bravais
Tipos de Retculos
Celas de Bravais
Triclnico a
b
c
1 P
Monoclnico a
b
c
=
= 90o;
90o 2 P
C
Ortorrmbico a
b
c
=
=
= 90o 4
P
C
I
F
Tetragonal a = b
c
=
=
= 90o 2 P
I
Rombodrico a = b = c
=
=
120o e
90o 1 R
Hexagonal a = b
c
=
= 90o e
= 120o 1 P
Cbico a = b = c
=
=
= 90o 3 P
I
F
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Cbico (P, F, I)
Tetragonal (P, I) Hexagonal (P)
Ortorrmbico (P, I, C, F)
Rombodrico (R) Monoclnico (P, C) Triclnico (P)
Cbico (P, F, I)
Tetragonal (P, I) Hexagonal (P)
Ortorrmbico (P, I, C, F)
Rombodrico (R) Monoclnico (P, C) Triclnico (P)
Figura 2. Retculos de Bravais.
Tabelas 2. Sistema cristalino, grupos pontuais, grupos espaciais e Grupos de Laue.
Grupos Pontuais Sistema Smbolo
Internacional
Smbolo de
Schoenflies
Grupos Espaciais
Hexagonal
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Grupos Pontuais Sistema Smbolo
Internacional
Smbolo de
Schoenflies
Grupos Espaciais
Grupos Pontuais Sistema Smbolo
Internacional
Smbolo de
Schoenflies
Grupos Espaciais
Grupos Pontuais Sistema Smbolo
Internacional
Smbolo de
Schoenflies
Grupos Espaciais
Grupos Pontuais Sistema Smbolo
Internacional
Smbolo de
Schoenflies
Grupos Espaciais
Tetragonal
Trigonal
Triclnico
Cbico
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Grupos Pontuais Sistema Smbolo
Internacional
Smbolo de
Schoenflies
Grupos Espaciais
Grupos Pontuais Sistema Smbolo
Internacional
Smbolo de
Schoenflies
Grupos Espaciais
[1] International Tables for X-Ray Cristallography: The Kynoch Press (1969) e edies mais
recentes.
Mono-clnico
Orto-rmbico
BIBLIOGRAFIA
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