View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
TAČKASTE OCENE MERENJA
JEDNAKE PRECIZNOSTI
Teorija grešaka geodetskih merenja
Profesor dr Branko Božić, dipl.geod.inž.
Građevinski fakultet u Beogradu – Odsek za geodeziju i geoinformatiku
Verzija 01.02.2019.
SADRŽAJ
• Populacija i uzorak
• Numeričke metode opisa
podataka
• Kriterijumi izbora ocenjivača i
metode ocena
Populacija i uzorak
• Populacija jeste skup neograničenog broja merenja
neke fizičke veličine
• Uzorak je na određen način odabran podskup
elemenata neke populacije
Karakteristike uzorka:
- medjusobna nezavisnost
- slučajnost izbora
Populacija i uzorak
Skup merenja x1,x2,…,xn vektora slučajne promenljive X smatraćemo
uzorkom ukoliko su merenja medjusobno nezavisna i odabrana po
principu slučajnosti.
Iz uzorka (serija) merenja moguće je odrediti:
• Raspodelu frekvencija;
• Statistike uzorka za ocenu mera položaja (srednja vrednost,
medijana, moda i sl.);
• Statistike uzorka za ocenu mera disperzije (varijansa,
kovarijansa, ...); i
• Momente (prvi, drugi, treći,...).
Numeričke metode opisa podataka
- Statistike uzorka za ocenu
mera položaja
-Srednja vrednost
- Zasečena srednja vrednost
- Medijana
- Moda
- Sredina raspona
- Raspon uzorka
- Srednje odstupanje
- Varijansa
- Standardna greška i standardno odstupanje
- Kovarijansa
- Statistike uzorka za ocenu
mera disperzije
Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za
ocenu mera položaja - Srednja vrednost
Za skup od n merenja ( x1, x2, …, xn) slučajne promenljive X, srednja vrednost (aritmetička
sredina ili prosta aritmetička sredina) definiše se kao
n
x
x
n
1i
i
Ako sa X označimo slučajnu promenljivu, njeno matematičko očekivanje u oznaci Е
označimo sa E(x)=, tada je
nn
1
)x(E...)x(E)x(En
1)x...xx(E
n
1x
n
1E)X(E n21n21i
12.4
12.5
12.6
512.x
PRIMER:
Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za
ocenu mera položaja – Zasečena srednja vrednost
• Zasečena sredina ili srednja vrednost (trimmed means) se određuje
eliminacijom n% najmanjih i najvećih vrednosti promenljive u varijacionom
nizu vrednosti
• Npr. Zasečena sredina od 10% znači da se 10% sleva i 10% z desna
odbacuje i od preostalih vrednosti formira zasečena srednja vrednost
• Zasečena sredina je osetljivija na prisustvo grubih grešaka
• Primer: 12.1
12.6
13.1
14.1
14.6
14.9
15.1
xZ(10) = (12.6+13.1+14.1+14.6+14.9)/5 = 13.86
Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za
ocenu mera položaja – Medijana, moda i sredina raspona
MEDIJANA: Neka je X kontinuirana slučajna promenljiva. Medijana od X jeste broj M takav da važi
2
1 )MX(P
Takođe važi i sledeća tvrdnja: 2
1 )XM(P
Ukoliko je definisana funkcija gustina
od X u intervalu (a,b), tada medijanu
M dobijamo rešenjem izraza M
a
dx)x(f)MXa(P2
1
PRIMER 1: 5 11 21 24 27 28 30 42 50 52
PRIMER 2: 4 7 8 11 12527
2
2827.M
8M
MODA: Vrednost koja se najviše puta pojavljuje u datom skupu.
PRIMER 1: 4, 7, 7, 7, 8, 8, 9
PRIMER 2: 2, 3, 4, 5 nema MODE
7M
SREDINA RASPONA:
PRIMER 1: 2, 3, 5, 7, 8 Sredina raspona
iznosi: 3
2
28
SR
Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za
ocenu mera disperzije - Varijansa
Definiše preciznost rezultata merenja
n
n
1i
2
i2
Varijansa populacije
1n
v
s
n
1i
2
i2
Varijansa uzorka
1n
)xx(
s
n
1i
2
i2
2
n
2
2
2
1
2xx...xxxx
1n
1s
2
n
i
2
2
i
2
1
i2x
n
x...x
n
xx
n
x
1n
1s
2
n
i
n
2
i
2
2
i
2
2
i2
1
i
1
2
i
2
xn
xx2
n
x
...xn
xx2
n
xx
n
xx2
n
x
1n
1s
...
1n
xnxs
22
i2
0102
020
13
100010
1
612
712
612
512
222
1
2
2
3
2
1
..).(.).(
n
)xx(
s
.x
.x
.x
.x
n
i
i
PRIMER: Uzorak tri rezultata merenja
Drugi izraz za računanje varijanse uzorka
Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za ocenu mera
disperzije - Standardna greška i standardno odstupanje
Standardna greška u oznaci = pozitivni i negativni koren varijanse
n
n
1i
2
i
Za standardnu grešku važi pravilo da 68.3% merenja leži u intervalu
od - do +
Veća standardna greška = Nepreciznija merenja
Standardno odstupanje (eksperimentalno standardno odstupanje) u oznaci s = pozitivni
kvadratni koren varijanse
1
1
2
n
v
s
n
i
i
U uzorku merenja 68.3% leži u intervalu od dosx sx
n
ssx Standardno odstupanje srednje vrednosti
Standardno odstupanje pojedinog merenja
0603
10.
.
n
ss
x
102
020
1
1
2
..
n
)xx(
s
n
i
i
Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za
ocenu mera disperzije - Kovarijansa
Neka je dat uzorak n parova vrednosti (x1,y1),…, (xn,yn) vektora medjusobno zavisnih
slučajnih promenljivih (X,Y)
Kovarijansa uzorka definiše se kao
yyxx1n
1s i
n
1i
ixy
x
ySrednje vrednosti
X Y
1 1.23 2.40
2 2.31 4.53
3 4.12 8.11
4 5.21 10.34
5 6.42 13.01
Kovarijansa sx,y= 9.03
Korelisanost =0.999748
Kriterijumi izbora ocenjivača i metode ocena
Ocenjivanje – Izvodjenje zaključaka o
parametrima rasporeda verovatnoća
na osnovu statistika uzorka
Ocenjivač – Statistika uzorka pomoću
koje se ocenjuje parametar populacije
Kriterijumi izbora ocenjivača:
1. Konzistentnost
2. Nepomerenost
3. Minimalna varijansa
4. Efikasnost i Dovoljnost
0101
1
2
2 .n
)xx(
s
n
i
i
Ocena – Rezultat
ocenjivanja
Kriterijumi izbora ocenjivača i metode ocena
1)pp̂(Plimn
Uslov konzistentnosti
p)p̂(E Uslov nepomerenosti
Nepomereni
ocenjivači
Pomeren
ocenjivačUslov minimalne verijansemin)p̂(V Najmanja
varijansa
Odnos tačnosti i
preciznosti
p)p̂(Ebias
Minimalna varijansa = efikasan
ocenjivač
Dovoljan ocenjivač (sufficient)
= sve informacije o parametru
koji ocenjuje
Kriterijumi izbora ocenjivača i metode ocena
Ocenjivač koji zadovoljava sva četiri uslova = NAJBOLJI OCENJIVAČ (best estimators).
Metode:
Metoda momenata
Metoda maksimalne verodostojnosti
Metod najmanjih kvadrata
Primer 7 – Deskriptivna
statistika u Excelu• Instalacija Analysis ToolPak-VBA
• Uneti podatke u varijacionom nizu
• Selektovati podatke
• Selektovati Data Analysis
• Choose descriptive Statistics
• U Input range uneti selektovani niz
podataka
• Odabrati Summary Statistics daje
listu nunerickih pokazatelja
• Kvartialne tačke se posebno
računaju po naredbi
Quartile(A2:A10,1) i
Quartile(A1:A10,3)
• Crtanje histograma – prethodno se
kreiraju rasponi i frekvencije
12.5
13.1
14.3
14.4
14.6
15.1
15.2
15.5
15.7
16.1
16.2
17.1
0
2
4
6
13 14 15 16 17 18 More
Frequency
Bin
Histogram
Frequency
Mean 14.98
Standard Error 0.38
Median 15.15
Mode #N/A
Standard Deviation 1.30
Sample Variance 1.70
Kurtosis 0.06
Skewness -0.46
Range 4.60
Minimum 12.50
Maximum 17.10
Sum 179.80
Count 12.00
Largest(1) 17.10
Smallest(1) 12.50
Confidence Level(95.0%) 0.83
Bin Frequency
13 1
14 1
15 3
16 4
17 2
18 1
More 0
Recommended