SADRAJ

11. UVOD

32. MJERE VARIJACIJE ILI DISPERZIJE

42.1. Razmak varijacije

42.2. Srednje apsolutno odstupanje

93. VARIJACIJE

154. STANDARDNA DEVIJACIJA

164.1.Relativne mjere varijacije

174.2. Standardizirano odstupanje (z-vrijednosti)

205. ZAKLJUAK

216. LITERATURA

1. UVOD

Statistikajeznanstvenametodakojomseprikupljanja,ureivanja,analiziranjai tumaenjaraznovrsnihbrojanihpodatakaopojavamaiprocesimauprirodiidrutvu. Predmet statistike su: varijacijeikovarijacijepodatakakojepredoujurazliitepojaveiproceseuprirodii drutvu

varijacijarazliitost,promjenjivost kovarijacijaslinost,povezanost,meuovisnost.Predmetprouavanjastatistikesuodreenezakonitostikojesejavljajuumasovnim pojava. Zadaajestatistikeuoitizakonitostiumasovnimisluajnimpojavamateihiskazati brojano. Masovnepojavesuskupineistovrsnihelemenata,kojiimajujednoiliviezajednikih svojstava nazivamoihstatistikommasomilistatistikimskupom. Akoseustatistikomskupunalazesvejedinice,ondasetakavskupnaziva populacijom, anjegovpodskupuzrokom.Statistikiskupizkojegseizabireuzorak joseoznauje izrazomosnovni skup.Brojjedinica(elemenata)predoujeopseg skupa.U ovom maturskom radu vie emo se posvetiti obraivanju dijela statistike koji se odnosi na mjere disperzije.Disperzija (rasprenost) (engl. dispersion, njem. dispersion) je jedan od vanijih statistikih pojmova kojima se brojano izraava stupanj varijabilnosti podataka. Veu disperziju ili rasprenost imaju serije iji lanovi pokazuju vei varijabilitet. U praksi se koristi vei broj mjera disperzije: raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, varijanca, standardna devijacija i koeficijent varijacije. Mjere disperzije imaju iroko podruje primjene u analizi turistikog trita.Pomou srednjih vrijednosti daje se karakteristika vrijednostima obiljeja koja su varijabilna. Ta zamjena je vie ili manje uspjena zavisno od toga kolika su odstupanja pojedinanih vrijednosti od srednje vrijednosti. Prema tome, varijacije oteavaju uspjeno prouavanje pojava i fenomena. to je varijacija vea to je srednja vrijednost manje reprezentativna i obrnuto. Tako su, na primjer, poznati sluajevi serija koje imaju istu aritmetiku sredinu a razliit varijabilitet vrijednosti obiljeja. Zbog toga se pored srednjih vrijednosti uvode mjere varijacije ili mjere disperzije. To su pokazatelji varijacije (disperzije varijabiliteta) od srednje vrijednosti. Odstupanje svake pojedinane vrijednosti od srednje vrijednosti zove se devijacija, a odstupanje svih vrijednosti od srednje vrijednosti je disperzija.2. MJERE VARIJACIJE ILI DISPERZIJE

Pomou srednjih vrijednosti daje se karakteristika vrijednostima obiljeja koja su varijabilna. Ta zamjena je vie ili manje uspjena zavisno od toga kolika su odstupanja pojedinanih vrijednosti od srednje vrijednosti. Prema tome, varijacije oteavaju uspjeno prouavanje pojava i fenomena. to je varijacija vea to je srednja vrijednost manje reprezentativna i obrnuto. Tako su, na primjer, poznati sluajevi serija koje imaju istu aritmetiku sredinu a razliit varijabilitet vrijednosti obiljeja. Zbog toga se pored srednjih vrijednosti uvode mjere varijacije ili mjere disperzije. To su pokazatelji varijacije (disperzije varijabiliteta) od srednje vrijednosti. Odstupanje svake pojedinane vrijednosti od srednje vrijednosti zove se devijacija, a odstupanje svih vrijednosti od srednje vrijednosti je disperzija.Mjere ili pokazatelji varijacije mogu biti apsolutne i relativne. Ako se varijabilitet iskazuje u apsolutnom iznosu zovu se apsolutnim mjerama varijacije a zavise od jedinica mjere u kojima se pojava iskazuju (kilogrami, metri, sekunde, komadi itd.). Relativne mjere varijacije pogodne su za usporeivanje varijabiliteta serija. Apsolutne mjere varijacije iskazuju vrijednost obiljeja pojava u apsolutnim brojevima, a to su: razmak varijacije,

srednje apsolutno odstupanje (srednja devijacija),

varijanca,

standardna devijacija. Relativne mjere varijacije (vrijednost obiljeja pojava iskazuju se u relativnim brojevima tj. procentima), a to su: relativna varijanca,

koeficijent varijacije,

relativna devijacija. Takoer treba spomenuti i tzv. normalizirano ili standardizirano odstupanje kao mjeru varijacije. 2.1. Razmak varijacijeRazmak varijacije obiljeava se sa R . Daje grubu informaciju o disperziji obiljeja. Predstavlja razliku izmeu najvee i najmanje vrijednosti obiljeja:

Ova mjera disperzije je najjednostavnija i najgrublja jer ne zavisi od svih vrijednosti obiljeja, ve samo od ekstremnih vrijednosti. A kada se radi o intervalnoj distribuciji sa otvorenim intervalima nepreciznost se uveava. Samo jedna ekstremna vrijednost uvjetuje veliinu intervala varijacije. Kako je ve ranije reeno utjecaj ekstremnih vrijednosti se eliminira interkvartilnom razlikom. Lijevo od donje i desno od gornje granice razmaka odstrani se po 25% statistike mase i tako se dobije interkvartilni razmak koji sadri 50% statistike mase. Preciznije mjere varijabiliteta od pozicionih pokazatelja varijabiliteta su mjere koje uzimaju u obzir sve vrijednosti posmatranog obiljeja. To su izraunate mjere varijacije. 2.2. Srednje apsolutno odstupanje

Obzirom da je zbir svih odstupanja vrijednosti obiljeja od aritmetike sredine jednak nuli, tako izraunata odstupanja ne mogu se koristiti za mjeru varijacije. Zbog toga se kao mjera varijacije koristi srednje apsolutno odstupanje. Srednje apsolutno odstupanje dobiva se kada se zbir razlika vrijednosti obiljeja od aritmetike sredine, bez obzira na predznak, podijeli sa brojem elemenata u seriji. Svaki element serije zavisno od svoje veliine utie na ovu mjeru disperzije. Za negrupirane podatke (prosta serija podataka), srednje apsolutno odstupanje dobiva se po sljedeem obrascu:

Za grupirane podatke (prosta distribucija frekvencija):

Za intervalnu distribuciju frekvencija:

gdje su:

* SD - srednje apsolutno odstupanje,

* - apsolutna vrijednost odstupanja od srednje vrijednosti,* f - frekvencija, * N - ukupan broj podataka, * fi - ukupan broj podataka.Primjer 1: Broj izostanaka radnika sa posla u jednom pogonu za prvih est mjeseci dat je u tabeli 1. Odrediti srednje apsolutno odstupanje.?

Tabela 1: Broj izostanaka radnika sa posla u jednom pogonuMjeseciBroj izostanaka

15-55

28-22

39-11

41000

51222

61666

Z60016

Rjeenje:

Kao to se vidi postupak izraunavanja srednjeg apsolutnog odstupanja nije algebarski. Zanemareni su predznaci, to ograniava primjenu ove mjere varijacije. Zbog toga se esto koriste centralni momenti kao mjera disperzije. Vrijednost momenta je definirana u fizici a to je proizvod iz sile i rastojanja. Centralni moment predstavlja opadanje sile sa udaljavanjem od njenog centra. Centralnim momentima se mjere odstupanja vrijednosti obiljeja od aritmetike sredine skupa na odreeni stepen. Stepenovanje odstupanja podataka od aritmetike sredine vri se od 0 do k - stepeni. To su takozvani centralni momenti - tog reda (k = 0,1,2,3,...).

Matematiki su definirani na sljedei nain: Za negrupirane podatke (prosta serija podataka)

Ako se zna da je svaki broj stepenovan sa nulom jednak 1, nulti moment je:

prvi moment je:

Centralni momenti raunaju se pomou pomonih momenata koji se oznaavaju sa tk. Ako je t = 0

Prvi moment oko nule:

Drugi moment oko nule:

Za grupirane podatke (za prostu distribuciju frekvencija)

Nulti moment (M0) jednak je jedinici:

Prvi moment (M,) jednak je nuli:

Kod prvog centralnog momenta u brojiocu se javlja nula, a to je prva karakteristika aritmetike sredine. Prema tome, prvi centralni moment (M,) nije mjera disperzije.3. VARIJACIJE

Drugi centralni moment je dobra mjera disperzije. Naziva se varijanca a obiljeava se sa malim grkim slovom sigma na kvadrat ( ). Varijanca je minimalno srednje kvadratno odstupanje. Kao to je ve reeno drugi centralni moment

Zbog parnog stepena (kvadrata), sve vrijednosti broji-oca bit e pozitivne, tako se uklanjaju svi negativni predznaci.

Za negrupirane podatke:

Za grupirane podatke:

Za intervalnu distribuciju frekvencija:

xsi - sredina intervala. Prema tome, za izraunavanje varijance prvo treba odrediti: aritmetiku sredinu (m),

odstupanje vrijednosti obiljeja od aritmetike sredine (h -m),

kvadrate odstupanja vrijednosti obiljeja od aritmetike sredine (h -m) produkte kvadrata odstupanja i pripadajuih frekvencija fx i f (x - m) Varijanca je minimalno srednje kvadratno odstupanje. Moe se izraunati i preko obinih (pomonih) momenata. Za negrupirane podatke:

Prvi moment oko nule:

Drugi moment oko nule:

Zamenom ovih vrednosti dobija se jednostavan obrazac za varijansu

Za grupisane podatke:

Za intervalnu distirbuciju frekvencija vae isti obrasci samo se umesto xi uzimaju sredine intervala Xs

Primer: Iz podataka intervalne distribucije fre-kvencija izraunati varijansux0-23-56-89-1112-14

f461382

Reenje: Radna tabelaxxsfxsf xsf xs

0-214144

3-546162496

6-87134991637

9-1110810080800

12-1413216926338

332251875

Aritmetika sredina:

Varijanca:

Skraeni postupak raunanja: Radna tabelaxsf( xs - 7 ) fx s( xs - 7 ) f

-64-2436144

-36-18954

013000

3824972

62123672

33-6342

4. STANDARDNA DEVIJACIJA

Varijanca kao mjera disperzije rauna se preko kvadrata vrijednosti obiljeja i samim tim daje veu vrijednost varijabiliteta. Zbog toga se za mjeru varijacije uzima kvadratni koren iz varijance. Tako dobivana vrijednost je pozitivna.Kvadratni koren iz varijance , pa je o oznaka za standardnu devijaciju. Standardna devijacija zapravo pokazuje koliko u proseku vrednosti obeleja odstupaju od aritmetike sredine.Za negrupirane podatke koriste se sljedei obrasci:

ili

Za grupirane podatke:

ili

gdje je

Standardna devijacija je apsolutna mera varijacije. Njen veliki iznos ne znai veliku disperziju vrednosti obeleja ve moe da znai da su vrednosti obeleja u seriji velike i obrnuto.

4.1.Relativne mjere varijacije

Ako su pak serije obeleja date u razliitim jedinicama za uporeivanje varijabiliteta koriste se mere koje se iskazuju u relativnim vrednostima. Veliina definisana kao kolinik izmeu varijanse i kvadrata aritmetike sredine:

naziva se relativna varijansa, a obeleava se sa Vx. Ova veliina ne zavisi od jedinice mere. Relativna varijansa najee se koristi u stati-stikoj teoriji uzorka. Sledea relativna mera varijabiliteta zove se koeficijent varijacije. Koeficijent varijacije slui za uporeivanje varijabiliteta dve ili vie serija u kojima su obeleja izraena u razliitim jedinicama mere. Koeficijent varijacije obeleava se sa Vx a rauna se po sledeem obrascu:

Koeficijent varijacije se uglavnom izraava u procentima. Omoguava takoe i uporeivanje varijabiliteta serija ako su im obeleja data u istim jedinicama mere a imaju razliite aritmetike sredine. Koeficijent varijacije je i pokazatelj grupisanosti obeleja oko aritmetike sredine. Vrijednost koeficijenta varijacije je manja kod obeleja vie grupisanih oko aritmetike sredine i obrnuto.

4.2. Standardizirano odstupanje (z-vrijednosti)

Odstupanje bilo koje vrijednosti od aritmetike sredine izraeno u jedinicama standardne devijacije zove se normalizirano ili standardizirano odstupanje.Za h posmatrano obiljeje dobiva se z - standardizirano obiljeje iji je algebarski izraz:

Standardizirano obiljeje ima sljedee karakteristike: 1. Aritmetika sredina distribucije standardiziranog obiljeja jednaka je nuli:

2. Standardna devijacija distribucije standardiziranog obiljeja jednaka je jedan:

Standardizirana obiljeja imaju veliki znaaj kod statistikog zakljuivanja. Primjer 1: Na osnovu podataka danih u tabeli:x0-34-78-1112-15

f45127

Izraunati:

a) Disperziju

b) Standardnu devijaciju

c) Koeficijent varijacije

Rjeenje: Radna tabela

xfxxfxfx

0-341,52,256,009,00

4-755,530,2527,50151,25

8-11129,590,25114,001083,00

12-15713,5182,2594,501275,75

28--2422519

a) aritmetika sredina:

disperzija:

b) standardna devijacija

c) koeficijent varijacije

5. ZAKLJUAKMoemo zakljuiti da se pomou srednjih vrijednosti daje karakteristika vrijednostima obiljeja koja su varijabilna. Ta zamjena je vie ili manje uspjena zavisno od toga kolika su odstupanja pojedinanih vrijednosti od srednje vrijednosti. Prema tome, varijacije oteavaju uspjeno prouavanje pojava i fenomena. to je varijacija vea to je srednja vrijednost manje reprezentativna i obrnuto.Tako su, na primjer, poznati sluajevi serija koje imaju istu aritmetiku sredinu a razliit varijabilitet vrijednosti obiljeja. Zbog toga se pored srednjih vrijednosti uvode mjere varijacije ili mjere disperzije. To su pokazatelji varijacije (disperzije varijabiliteta) od srednje vrijednosti. Odstupanje svake pojedinane vrijednosti od srednje vrijednosti zove se devijacija, a odstupanje svih vrijednosti od srednje vrijednosti je disperzija.Mjere ili pokazatelji varijacije mogu biti apsolutne i relativne. Ako se varijabilitet iskazuje u apsolutnom iznosu zovu se apsolutnim mjerama varijacije a zavise od jedinica mjere u kojima se pojava iskazuju (kilogrami, metri, sekunde, komadi itd.).

6. LITERATURA

Knjige:

iovi M., Meki S., ekari M., Poslovna statistika, VP-Blace 2003. god.

Kero, Bojani-Glavica B., Statistika u primjerima, Fakultet organizacije i informatike, Varadin, 2003. god.oi I., Primijenjena statistika, kolska knjiga, Zagreb, 2004. god.

Internet:

http://en.wikipedia.org/wiki/Statistics (14.03.2015.)

iovi M., Meki S., ekari M., Poslovna statistika, VP-Blace 2003. god., str. 58-61

Kero, Bojani-Glavica B., Statistika u primjerima, Fakultet organizacije i informatike, Varadin, 2003. god. str. 117-125

oi I., Primijenjena statistika, kolska knjiga, Zagreb, 2004. god., str. 22-27

HYPERLINK "http://en.wikipedia.org/wiki/Statistics" http://en.wikipedia.org/wiki/Statistics (14.03.2015.)

iovi M., Meki S., ekari M., Poslovna statistika, VP-Blace 2003. god., str. 127-133