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8/16/2019 Tarea Macroeconomia Maestría Economía PUCP 2016
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Pontificia Universidad Cat´ olica del Per´ u
Programa de Maestrı́a en Economı́a
Curso: Macroeconomı́a Intermedia
Hugo Vega Ejercicios Calificados
Teoŕıas del Consumo y la Inversión
Nivel 1 (3 puntos cada uno)
1. En el modelo de consumo, suponga que las familias viven indefinidamente y maximizan susecuencia de utilidades presente y futuras en consumo, C t, la cual se resume en una funciónde utilidad total, U :
max U = E 0
∞
t=0β t (ln C t)
donde β es el factor de descuento. Además, estas familias enfrentan una restricción pre-supuestaria en cada periodo t, del tipo
Bt + C t = (1 + r)Bt−1 + Y t
donde B es el acervo de activos, Y t el ingreso; este último sigue un proceso exógeno yestacionario del tipo:
Y t = Y + ψY t−1 + εyt
con 0 < ψ
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(a) Derive las condiciones de primer orden para el problema de la firma.
(b) Encuentre el sistema dinámico en (K, q ) que se deriva de las condiciones de primerorden.
(c) Dibuje el diagrama de fase para el sistema y encuentre el equilibrio. ¿Depende de loscostos de ajuste?
(d) Muestre los impulsos respuesta de q , K e I ante i) una reducción esperada de P Y enel futuro (asuma que ocurre τ perı́odos más adelante); y ii) un choque al precio demercado del capital P I que lo reduce hoy (es decir, en t).
Nivel 2 (4 puntos)
3. Considere la siguiente función de producción de una firma representativa:
Y t = AK α
t ,
que vende un bien exportado, con precio de exportación relativo al precio del bien domésticode consumo de P xt . Este precio relativo sigue un proceso autorregresivo estacionario log(P
xt ) =
ρx log(P xt−1)+ε
xt . Suponga que la condición de optimalidad de las familias para el rendimiento
del activo riesgoso de esta empresa respresentativa implica
1 = β E t
C t+1
C t
−θ
Rx,t
,
(a) Encuentre la condición de equilibrio para la inversión. ¿Cuáles son las variables decontrol y de estado en este caso?
(b) Encontrar el estado estacionario para Y , K, I .
(c) Aproxime linealmente la Q de Tobin.
(d) Analice la dinámica del capital e inversión ante un incremento del precio relativo deexportación.
Nivel 3 (5 puntos cada uno)
4. Considere el modelo CAPM. Ahora las familias tienen una función de utilidad que depende
del consumo, ct, y ocio, lt, es decir
max U = E 0
∞t=0
β tu(ct, lt)
donde la función de utilidad no es separable u(ct, lt) entre ct y lt.
(a) Encuentre la condicíon de Euler para cualquier activo i, es decir para cualquier rendimientoRi,t.
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(b) Reescribir la ecuación de Euler para el activo i usando una aproximación de Taylor deprimer orden alrededor de ct, lt de log(uc(ct, lt)).
log(uc(ct+1
, lt+1
)) ≈ log(uc(ct, lt)) − η1∆log(ct
+1)− η
2∆log(lt
+1)
con η1 = −ucc(ct,lt)ctuc(ct,lt)
y η2 = −ucl(ct,lt)ltul(ct,lt)
. (Pista: Reescribir uc(ct, lt) = exp(log(uc(ct, lt))
y Ri,t = exp(log(Ri,t))).
(c) Asuma que el logaritmo del activo i, del crecimiento del consumo, y del crecimiento delocio se distribuyen normal conjuntamente. Derive una ecuación para el activo libre deriesgo, Rf t+1 dada la varianza del crecimiento del consumo y del ocio, su covarianza ylos otros parámetros de preferencias. Comente.
(d) Encuentre la ecuación del logaritmo de la prima por riesgo para cualquier activo i, i.e
log(Ri,t+1R
f t
). Comente.
(e) ¿Bajo qué condiciones la ecuación que halló anteriormente es similar a la obtenida enel modelo C-CAPM visto en clase?
5. Suponga que a un agente representativo con vida infinita se le asigna el siguiente flujoestocástico de consumo:
ct = Aeµte−0.5σ
2
εt
donde log(εt) es una variable aleatoria con distribución normal cuya media es cero y varianzaσ2. Bajo estos supuestos
E
e−0.5σ
2
εt = 1
y el consumo promedio es Aeµt.
Se asume que las preferencias del consumidor son tales que busca maximizar
max U = E 0
∞t=0
1
1 + ρ
tc1−γ t
1− γ
donde ρ es la tasa de descuento subjetiva y γ es el coeficiente de aversión al riesgo relativa.Un consumidor adverso al riesgo preferiŕıa una senda de consumo determińıstica (segura)a una riesgosa con la misma media. Siguiendo a Lucas (1987, 2003), cuantificaremos estadiferencia en utilidad multiplicando la senda riesgosa por el factor constante (1 + λ) en
todas las fechas y estados, eligiendo λ de forma que el agente es indiferente entre la sendadetermińıstica y la riesgosa compensada. Es decir, λ se escoge de forma que resuelva:
E 0
∞t=0
1
1 + ρ
t((1 + λ)ct)
1−γ
1 − γ
=
∞t=0
1
1 + ρ
t(Aeµt)1−γ
1− γ
donde ct está definido arriba.
(a) Demuestre queλ ≈ 0.5γσ2
e interprete.
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(b) Lucas calculó que la desviación estándar anual del consumo en los Estados Unidoses aproximadamente 2.5%. ¿Qué implica este ejercicio sobre el costo en términos debienestar del ciclo económico?
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