8/16/2019 Tarea Macroeconomia Maestría Economía PUCP 2016

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Pontificia Universidad Cat´ olica del Per´ u 

Programa de Maestrı́a en Economı́a 

Curso: Macroeconomı́a Intermedia 

Hugo Vega Ejercicios Calificados

Teoŕıas del Consumo y la Inversión

Nivel 1 (3 puntos cada uno)

1. En el modelo de consumo, suponga que las familias viven indefinidamente y maximizan susecuencia de utilidades presente y futuras en consumo,  C t, la cual se resume en una funciónde utilidad total,  U :

max U  = E 0

∞

t=0β t (ln C t)

donde   β   es el factor de descuento. Además, estas familias enfrentan una restricción pre-supuestaria en cada periodo  t, del tipo

Bt + C t = (1 + r)Bt−1 + Y t

donde   B   es el acervo de activos,   Y t   el ingreso; este último sigue un proceso exógeno yestacionario del tipo:

Y t  =  Y   + ψY t−1 + εyt

con 0 < ψ

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(a) Derive las condiciones de primer orden para el problema de la firma.

(b) Encuentre el sistema dinámico en (K, q ) que se deriva de las condiciones de primerorden.

(c) Dibuje el diagrama de fase para el sistema y encuentre el equilibrio. ¿Depende de loscostos de ajuste?

(d) Muestre los impulsos respuesta de  q ,   K   e  I   ante i) una reducción esperada de  P Y   enel futuro (asuma que ocurre   τ   perı́odos más adelante); y ii) un choque al precio demercado del capital  P I  que lo reduce hoy (es decir, en  t).

Nivel 2 (4 puntos)

3. Considere la siguiente función de producción de una firma representativa:

Y t  =  AK α

t  ,

que vende un bien exportado, con precio de exportación relativo al precio del bien domésticode consumo de P xt . Este precio relativo sigue un proceso autorregresivo estacionario log(P 

xt  ) =

ρx log(P xt−1)+ε

xt . Suponga que la condición de optimalidad de las familias para el rendimiento

del activo riesgoso de esta empresa respresentativa implica

1 = β E t

C t+1

C t

−θ

Rx,t

,

(a) Encuentre la condición de equilibrio para la inversión. ¿Cuáles son las variables decontrol y de estado en este caso?

(b) Encontrar el estado estacionario para  Y , K, I  .

(c) Aproxime linealmente la Q de Tobin.

(d) Analice la dinámica del capital e inversión ante un incremento del precio relativo deexportación.

Nivel 3 (5 puntos cada uno)

4. Considere el modelo CAPM. Ahora las familias tienen una función de utilidad que depende

del consumo,  ct, y ocio,  lt, es decir

max U  = E 0

∞t=0

β tu(ct, lt)

donde la función de utilidad no es separable  u(ct, lt) entre  ct  y   lt.

(a) Encuentre la condicíon de Euler para cualquier activo i, es decir para cualquier rendimientoRi,t.

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(b) Reescribir la ecuación de Euler para el activo  i  usando una aproximación de Taylor deprimer orden alrededor de  ct, lt  de log(uc(ct, lt)).

log(uc(ct+1

, lt+1

)) ≈ log(uc(ct, lt)) − η1∆log(ct

+1)− η

2∆log(lt

+1)

con  η1  = −ucc(ct,lt)ctuc(ct,lt)

  y  η2  = −ucl(ct,lt)ltul(ct,lt)

  . (Pista: Reescribir uc(ct, lt) = exp(log(uc(ct, lt))

y  Ri,t  = exp(log(Ri,t))).

(c) Asuma que el logaritmo del activo i, del crecimiento del consumo, y del crecimiento delocio se distribuyen normal conjuntamente. Derive una ecuación para el activo libre deriesgo,  Rf t+1  dada la varianza del crecimiento del consumo y del ocio, su covarianza ylos otros parámetros de preferencias. Comente.

(d) Encuentre la ecuación del logaritmo de la prima por riesgo para cualquier activo  i, i.e

log(Ri,t+1R

f t

). Comente.

(e) ¿Bajo qué condiciones la ecuación que halló anteriormente es similar a la obtenida enel modelo C-CAPM visto en clase?

5. Suponga que a un agente representativo con vida infinita se le asigna el siguiente flujoestocástico de consumo:

ct  =  Aeµte−0.5σ

2

εt

donde log(εt) es una variable aleatoria con distribución normal cuya media es cero y varianzaσ2. Bajo estos supuestos

E 

e−0.5σ

2

εt = 1

y el consumo promedio es  Aeµt.

Se asume que las preferencias del consumidor son tales que busca maximizar

max U  = E 0

  ∞t=0

  1

1 + ρ

tc1−γ t

1− γ 

donde ρ  es la tasa de descuento subjetiva y  γ  es el coeficiente de aversión al riesgo relativa.Un consumidor adverso al riesgo preferiŕıa una senda de consumo determińıstica (segura)a una riesgosa con la misma media. Siguiendo a Lucas (1987, 2003), cuantificaremos estadiferencia en utilidad multiplicando la senda riesgosa por el factor constante (1 +  λ) en

todas las fechas y estados, eligiendo  λ  de forma que el agente es indiferente entre la sendadetermińıstica y la riesgosa compensada. Es decir,  λ se escoge de forma que resuelva:

E 0

  ∞t=0

  1

1 + ρ

t((1 + λ)ct)

1−γ 

1 − γ 

 =

∞t=0

  1

1 + ρ

t(Aeµt)1−γ 

1− γ 

donde ct   está definido arriba.

(a) Demuestre queλ ≈ 0.5γσ2

e interprete.

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(b) Lucas calculó que la desviación estándar anual del consumo en los Estados Unidoses aproximadamente 2.5%. ¿Qué implica este ejercicio sobre el costo en términos debienestar del ciclo económico?

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