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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1
TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
TEMA23. Funciones circulares e hiperbólicas
1. Introducción
La noción de función que actualmente manejamos empezó a gestarse en el siglo XIV cuan-
do los filósofos escolásticos medievales comenzaron a preocuparse por medir las variaciones
de ciertas magnitudes respecto a otras, como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la
diferencia de temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico.
El apoyo gráfico, que tanta importancia tiene en nuestros días, basado en los ejes carte-
sianos fue introducido por Rene Descartes en el siglo XVII.Es en los siglos XVIII y XIX cuando el
concepto de función se desarrolla ampliamente para llevar adelante todo el desarrollo científi-
co y tecnológico. Las funciones y el análisis diferencial surgen para dar apoyo a los problemas
físicos, estudiados en especial por Newton. Leibniz y los hermanos Bernoulli empezaron a utili-
zar la palabra función en un sentido parecido al actual con funciones particulares, como po-
tencias y funciones circulares, aunque no usaron la notación funcional moderna.
Las funciones circulares tiene su origen en la geometría de los triángulos y dela circunfe-
rencia (razones trigonométricas). Su origen se remonta la Grecia clásica, y su uso se extiende
desde entonces a todo el mundo.
El concepto analítico de las razones trigonométricas, lo que hoy llamamos funciones circu-
lares, se forja en el siglo XVIII de manos del matemático suizo Euler, quien relacionó las funcio-
nes circulares con las exponenciales de forma analítica y no geométrica como hasta entonces.
2. Funciones circulares
2.1. Definición geométrica de las razones trigonométricas
Si bien las razones trigonométricas se verán en temas de geometría creemos importante
introducirlas brevemente por ser las funciones circulares una extensión de estas en todo ℝ.
Veamos las dos definiciones de razones trigonométricas, con triángulos y el circunferencia:
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
(ángulo α∈[0,π/4)): los griegos se dieron cuenta
que en los triángulos rectángulos semejantes
(ángulos iguales) la razón de los lados era constan-
te, y quedaba determinado por el valor de uno de
los dos ángulos no rectos del triángulo. Elaboraron
tablas de las razones trigonométricas según el valor
del ángulo. Su definición puede verse en esquema
de la izquierda.
Razones trigonométricas en la circunferencia unidad: son una
extensión de las razones trigonométricas cuando el ángulo pue-
de tomar cualquier valor α∈[0,2π). Si tomamos una circunfe-
rencia a de radio 1 y un segmento con origen en el centro de la
circunferencia y que corta a la misma en P, se define:
• sen(x)=Py (coordenada y de P)
• cos(x)=Px (coordenada x de P)
• tg(x)=Py/Px
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TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
α
x=α
1
P
P
M(1,0)
x=0
M(Mx, My)
x=ππππ/2
1
M(1,0)
x=0
M(0,1)
M(0,-1)
x=ππππ x=3π/2π/2π/2π/2
M(0,-1)
x=2ππππ
M(1,0)
2.2. Definición analítica de las funciones circulares
Para poder definir las funciones circulares tendremos que definir el significado de la varia-
ble independiente, variable x, de las mismas. Es por esto que vamos a definir el radián e identi-
ficar el espacio recorrido por una circunferencia que rueda sin deslizar con este ángulo.
El radián es el ángulo en una circunferencia en el que el valor del arco coincide con el valor
del radio de la circunferencia. Como la longitud de una circunferencia es de 2πr, el ángulo de
toda la circunferencia es 2π. Si el radio de la circunferencia es 1 el arco de la circunferencia
coincidirá con el ángulo de la misma. La equivalencia con los grados en 2πrad=360o.
Si un circulo de radio unidad rueda sin deslizar
se cumple que el espacio recorrido por la misma es
igual al ángulo que forma el punto de contacto con
respecto el eje vertical. Cuando avanzamos más de
una vuelta, es decir recorremos más de 2π enton-
ces al ángulo del punto de contacto le tendremos
que sumar 2π·n siendo n las vueltas que da el cir-
culo. Si hubiéramos girado en el otro sentido po-
demos considerar el ángulo negativo. Mediante
esta equivalencia podemos ver que tenemos un
“ángulo” que toma valores cualquier valor real.
Con este nuevo significado de ángulo podemos definir las funciones circulares a partir de
las coordenadas respecto los ejes coordenados situados en el centro de la circunferencia del
punto M, situado inicialmente en x=0 en M(0,1)
• cos(x)=My=coordenada OY del punto M cuando la circunferencia avanza x
• sen(x)=Mx= coordenada OX del punto M cuando la circunferencia avanza x
Veamos algunos valores de seno y coseno para determinados valores de x:
x=0 x=π/2 x=π x=3π/2 x=2π
sen(x) 0 1 0 -1 0
cos(x) 1 0 -1 0 1
Otra forma de definir las funciones circulares es a partir de los valores de las razones trigo-
nométricas repitiéndolos de forma periódica con periodo T=2π.
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Otras funciones trigonométricas definidas a partir del sen(x) y cos(x):
• tg(x)=)cos(
)(
x
xsen •
)(
)cos(
)(
1)(cot
xsen
x
xtgxg ==
• )cos(
1)sec(
xx = •
)(
1)(cos
xsenxec =
2.3. Propiedades de las funciones circulares.
Propiedades más importantes e inmediatas de las funciones circulares:
1. Periódicas de periodo T=2ππππ� sen(x+n·2π)=sen(x) y cos(x+n2π)=cos(x)
2. sen2(x)+cos
2(x)=1
3. Seno tiene simetría impar� sen(-x)=-sen(x)
4. Coseno tiene simetría par� cos(-x)=cos (x)
Demostraciones: a partir de la definición de seno y coseno
1. Cuando x avanza un múltiplo de 2π la circunferencia gira vueltas completas y por
tanto el punto M situado en la misma posición, y por tanto mismas coordenadas.
2. sen(x) y cos(x) son las coordenadas de M respecto a los ejes centrados en el centro
de la circunferencia se cumple Mx2+My
2=1 pues M pertenece a la circunferencia
3. Si desplazamos la circunferencia hacia la izquierda (x<0) M gira en sentido horario
en vez de antihorario, la coordenada My es la misma pero la coordenada Mx es jus-
to la contraria.
2.4. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares
Continuidad:
Las funciones sen(x) y cos(x) son claramente continuas en ℝ, pues tal como son defini-
das el giro del punto M es continuo y por tanto la variación de sus coordenadas (funciones
circulares) también los son.
Las demás funciones tg(x), cotg(x), sec(x) y cosec(x) no son continuas, por haber puntos
que no son del domino al anularse el denominador. En estos valores de x tendremos asín-
totas verticales
• Dom(tg(x))=Dom(sec(x))=ℝ-{x:cos(x)=0}= ℝ-{x=(2n+1)·π/2 ∀n∈ℤ}
• Dom(cotg(x))=Dom(cosec(x))=ℝ-{x:sen(x)=0}= ℝ-{x=n·π ∀n∈ℤ}
Derivabilidad:
Antes de ver la derivabilidad veamos el valor de las derivadas de y=sen(x) y de y=cos(x) a
partir de las cuales podemos hallar las derivadas de las demás funciones circulares:
• (sen(x))’=cos(x) • (cos(x))’=-sen(x)
• (tg(x))’=1+tg2(x)=1/cos
2(x) • (cotg(x))’=1+cotg
2(x)=1/sen
2(x)
• (sec(x))’=sen(x)/cos2(x) • (cosec(x))’=-cos(x)/sen
2(x)
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Demostraciones: haremos solo sen(x) y cos(x) las otras se calculan por reglas de derivación
)()()(
lim
)()()()cos()cos(lim
)cos()cos(lim
))(cos(
)cos()()cos(
lim
)()()cos()cos()(lim
)()(lim
))((
0
00
0
00
xsenh
hsenxsen
h
xsenhsenxsenhx
h
xhx
dx
xd
xh
hsenx
h
xsenhsenxhxsen
h
xsenhxsen
dx
xsend
h
hh
h
hh
−=−=
=−−
=−+
=
==
=−+
=−+
=
→
→→
→
→→
Donde hemos aplicado las propiedades del ángulo suma y que
1)cos(lim0
=→
hh
(cos(0)=1 y es continua) y el infinitésimo
1)(
lim0
=→ h
hsen
h que ahora demostraremos de forma geométrica:
Se cumplen las siguientes relaciones de las áreas:
Area(OQP)≤AreaOAP)≤area(OAT)�2
)(
22
))·cos(( htghhhsen≤≤
Inverso y entre sen(h)/2� )cos()(
)cos(
1h
h
hsen
h≥≥ . Si h�0 cos(h)�1 y 1
)(lim
0=
→ h
hsen
h
2.5.Gráficas de las funciones circulares
�� �
� �� �
� ��� ��
� �� π �
� �� ��
� ��� �
� �� ���
� 2π
��
��
��
��
���
���
��
π
��
��
���
���
��
��
����
2π
cos(x)
h
OQ=sen(h) PQ=cos(h)
AT=tg(g)
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TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
Gráfica función tg(x) y cotg(x)
Gráfica función sec(x) y cosec(x)
Donde las asíntotas verticales de las funciones tg(x) y sec(x) vienen dadas por los valores
de x que anulan el denominador, es decir cos(x)� AV= k·2
ππ
+ con k∈ℤ
Las asíntotas verticales de cotg(x) y cosec(x) es donde se anula su denominador, en este
caso sen(x) � AV=π·k con k∈ℤ
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2.6. Desplazamientos verticales, variación amplitud y periodo.
En el apartado anterior hemos visto las funciones circulares básicas, podemos modificar
algún parámetro, obteniendo una expresión genérica: y=y0+ A·cos(p·(x-x0)):
• yo es el desplazamiento vertical
• x0 es desplazamiento horizontal
• A variación amplitud
• p modificación periodo (T=2π/p)
Ejemplo: y=1+3·cos(2(x-π/4))
3. Funciones inversas a las funciones circulares
3.1. Definición
Las funciones inversas son las funciones que compuestas con las circulares se convierten
en la función identidad (y=x). Para que exista inversa la función tiene que ser inyectiva por lo
que sólo existe inversa para un rango de x donde las imágenes no se repitan:
• sen(x) es inyectiva por ejemplo en [-π/2,π/2) siendo su inversa� arcsen(x)=sen-1
(x)
• cos(x) es inyectiva por ejemplo en [0,π) siendo su inversa� arccos(x)=cos-1
(x)
• tg(x) es inyectiva por ejemplo en [-π/2,π/2) siendo su inversa� arctg(x)=tg-1
(x)
El dominio de las funciones inversas es el recorrido de las funciones circulares y al revés:
• Dom(arcsen(x))=[-1,1], Rec(arcsen(x))= [-π/2,π/2)
• Dom(arccos(x))=[-1,1], Rec(arccos(x))= [0,π)
• Dom(arctg(x))=ℝ, Rec(arctg(x))= [-π/2,π/2)
3.2. Continuidad y derivabilidad funciones circulares inversas
Dado a que las funciones circulares son continuas y derivables (la tangente en [-π/2, π/2)
también) sus funciones inversas serán también continuas y derivables. Calculemos sus deriva-
das a partir de conocer las derivadas de las funciones circulares:
A=3
y0=1
T= ππ
=2
2
x0=π/4
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TEMA 23.
( )21
1')(
xxarcsen
−=
Demostraciones:
arccos(
)(
1))((
)cos(
1))(arccos(
)(
1))((
dx
xtgddx
xarctgd
dx
xddx
xd
dx
xsenddx
xarcsend
arctg
=
=
=
3.3. Gráfica de las funciones
Para representar las funciones inversas a las circulares aplicaremos la propiedad que las r
laciona con la gráfica de la función inversa (las propias circulares)
respecto a la función identidad y=x (ya que la variable x pasa a ser la y, y al revés).
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( )21
1')arccos(
xx
−−= ( )')(xarctg =
22
)(
2
)arccos(
2
)(
1
1
))((1
1
(arccos(cos1
1
))(arccos(
1
((1
1
))(cos(
1
xxarctgtg
xsen
arcsensenxarcsen
xarctg
x
xarcsen
+=
+=
−−=
−=
−==
Gráfica de las funciones inversas a las circulares
Para representar las funciones inversas a las circulares aplicaremos la propiedad que las r
laciona con la gráfica de la función inversa (las propias circulares) y nos dice que son simétricas
respecto a la función identidad y=x (ya que la variable x pasa a ser la y, y al revés).
7
21
1
x+=
2
2
1
1
))(arccos(
1
1
))(
xx
xx
−−=
−=
Para representar las funciones inversas a las circulares aplicaremos la propiedad que las re-
y nos dice que son simétricas
respecto a la función identidad y=x (ya que la variable x pasa a ser la y, y al revés).
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TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
4. Funciones Hiperbólicas
4.1. Definición
Las funciones hiperbólicas son funciones que basadas en las funciones exponenciales re-
ales, siendo análogas a la definición de las funciones circulares cuando estas se expresan en
función de exponentes complejos. Al igual que las funciones circulares se pueden poner a par-
tir de las exponenciales lo mismo las exponenciales se pueden poner en función de las
hiperbólicas. Definiciones de las funciones hiperbólicas:
2)()(
xx eexshxsenh
−−==
xx eexech
−−=
2)(cos
2)()cosh(
xx eexchx
−+==
xx eexh
−+=
2)(sec
xx
xx
ee
eexthx
−
−
+
−== )()tanh(
xx
xx
ee
eex
−
−
−
+=)coth(
4.2. Propiedades de las funciones hiperbólicas
Veremos en este punto las propiedades más importantes desde el punto de vista funcio-
nal, las relaciones algebraicas como ángulo suma, ángulo medio, etc son semejantes a las tri-
gonométricas salvo algún signo. Las demostraciones de las propiedades se hacer utilizando la
definición de las funciones hiperbólicas y las propiedades de las funciones exponenciales.
Propiedades analíticas más importantes:
1. Simetría impar del seno hiperbólico: sh(-x)=-sh(x)
2. Simetría par del coseno hiperbólico: ch(-x)=ch(x)
3. Signo de las funciones hiperbólicas: ch(x)>0 ∀x∈ℝ; sh(x)>0 si x>0 y sh(x)<0 si x<0
4. ch2(x)-sh
2(x)=1 (relación algebraica fundamental)
5. ∞==∞→∞→
)(lim)(lim xchxshxx
; −∞=−∞→
)(lim xshx
; ∞=−∞→
)(lim xchx
6. ∞==++ →→
)(cotlim)(coslim00
xghxechxx
; −∞==−− →→
)(cotlim)(coslim00
xghxechxx
4.3. Continuidad y derivabilidad de las funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas estas definidas a partir de operaciones algebraicas con ex y e
-x,
funciones que son continuas y derivables (de clase C∞), así que estas también serán continuas y
derivables excepto en los valores de x que anulen los denominadores. Así sh(x), ch(x), cotgh(x)
y sech(x) continuas y derivables en ℝ , siendo tgh(x) y cosech(x) continuas y derivables en ℝ*
Para calcular las derivadas de las funciones hiperbólicas aplicaremos las reglas de deriva-
ción y (ex)’=(e
x).
• (sh(x))’=ch(x) • (ch(x))’=sh(x)
• (th(x))’=1-th2(x)= • (cotgh(x))’=1-cotgh
2(x)
• (sech(x))’=-sh(x)/ch2(x) • (cosech(x))’=-ch(x)/sh
2(x)
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4.4. Gráficas de las funciones hiperbólicas
Aunque las propiedades de las funciones circulares e hiperbólicas sean parecidas no así sus
gráficas, pues las primeras acotadas y periódicas no así las hiperbólicas. A partir delas propi
dades vistas con anterioridad y apoyándose en las gr
tiva y negativa las gráficas de las funciones hiperbólicas son las siguientes:
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TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
Gráficas de las funciones hiperbólicas
Aunque las propiedades de las funciones circulares e hiperbólicas sean parecidas no así sus
gráficas, pues las primeras acotadas y periódicas no así las hiperbólicas. A partir delas propi
dades vistas con anterioridad y apoyándose en las gráficas de las funciones exponenciales pos
tiva y negativa las gráficas de las funciones hiperbólicas son las siguientes:
y=cosh(x)
9
Aunque las propiedades de las funciones circulares e hiperbólicas sean parecidas no así sus
gráficas, pues las primeras acotadas y periódicas no así las hiperbólicas. A partir delas propie-
áficas de las funciones exponenciales posi-
y=cosh(x)
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TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
5. Funciones inversas de las funciones hiperbólicas
5.1. Definición
Las funciones hiperbólicas impares sh(x) y th(x) son inyectivas en ℝ siendo su imagen tam-
bién todos los reales, por lo que podemos definir la inversa en todo su dominio, siendo tanto el
dominio como el recorrido de las inversas todo ℝ. La función ch(x) en cambio no es inyectiva,
pues cos(x)=cos(-x) así que para definir la inversa tendremos que hacerla de la mitad de su
dominio, es decir para ℝ+∪{0} o para ℝ-∪{0}. A diferencia de las funciones circulares, cuyas
inversas no tiene expresión algebraica. podemos obtener la expresión de las funciones inver-
sas a partir de la función ln(x) (que es la inversa de ex). Calculemos las inversas hiperbólicas.
1. y
yydespejamos
yyxporycambiamos
xx
e
ex
eex
eexshy
·2
1
22)(
2 −= →
−= →
−−==
−
)1ln(101··2 22º22 ++=→+±= →=−− xxyxxeexe yeengradoecyyy
Hemos no considerado la solución con – al no existir logaritmos negativos.
Luego � ������ = ������� = �� �� + ��� + ��
2. y
yydespejamos
yyxporycambiamos
xx
e
ex
eex
eexchy
·2
1
22)(
2 += →
+= →
+==
−−
)1ln(101··2 22º22 −±=→−±= →=+− xxyxxeexe yeengradoecyyy
Luego � ������ = ������� = �� �� ± ��� + �� (+ definida en ℝ+ y – en ℝ-
)
3. 1
1)(
2
2
+
−= →
+
−= →
+
−==
−
− y
yydespejamos
yy
yyxporycambiamos
xx
xx
e
ex
ee
eex
ee
eexthy
)1
1ln(
1
12
x
xy
x
xe y
−+
=→−+
=
Luego � ������ = ������� = �� ��� �� !
6. Aplicaciones y situaciones reales donde aparecen
6.1. Funciones circulares
Las soluciones circulares íntimamente ligadas a fenómenos periódicos, siendo solución de
ecuaciones diferenciales de la siguiente forma:
1. )()()cos()()()( 2
2
2
ϕωϕωω +=+=→−= tAsentfotAtftfdt
tfd (1 dimensión)
2. )3()·cos()()(·)(22 sDimensionerkArfrfkrf −+=→−=∇ ϕ
rrrrr
3. )()·cos(),(),(1
),(2
2
2 acopladask
vtrkAtrft
trf
vtrf
ωϕω =+−=→
∂∂
−=∇rrr
rr
Podíamos haber usado el coseno en vez del seno sin más que variar la fase. Se denominan
" a la frecuencia, k=vector de ondas y ϕ es el fase en t=0.
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TEMA 23.
1. Oscilador armónico:
como en la ley de Hook la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la part
cula es � dt
xd−=
2
2
m
K=ω y donde A y la fase
cidad)
La solución de oscilador armónico es muy útil pues se utilizar en péquelas variaciones
de la posición de equilibrio de cualquier mínimo de energía. Aquí podemos desarrollar
la energía por desarrollo de Taylor en torno al mínimo E’(x
cuadrática y por tanto con comportamiento de oscilador
2. Ondas electromagnéticas:
describen el comportamiento de
yes de Maxwell. A partir de estas se deduce que
ε =constante dielécrica y
ecuación de Maxwell nos dice que B es perpendicular a E, por lo que las ondas ele
tromagnéticas cumple: E=E
3. Corriente eléctrica: la corriente alterna generada en las centrales
des bobinas en torno a un campo magnético. Utilizando la ley de Faraday se cumple
que el potencial eléctrico generado será:
·cos(··(
dt
SBnd
dt
dφε =−=
Siendo N=nº espiras, S= superficie de las espiras, B=el campo magnético,
angular del giro de las espiras (en España
4. Transformadas de Fourier:
señal continua f(t) a partir de suma de funciones circulares (digital). Se utiliza mucho
para el transporte de información.
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TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
: cuando tenemos una fuerza central de la forma F=
o en la ley de Hook la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la part
xm
K− , cuya solución es por tanto )( = Atx
y donde A y la fase ϕ se saca de las dos condiciones iniciales (posición y vel
solución de oscilador armónico es muy útil pues se utilizar en péquelas variaciones
de la posición de equilibrio de cualquier mínimo de energía. Aquí podemos desarrollar
sarrollo de Taylor en torno al mínimo E’(x0)=0 siendo una expresión
cuadrática y por tanto con comportamiento de oscilador 0)()( xExE =
Ondas electromagnéticas: En electromagnetismo las ecuaciones diferenciales que
describen el comportamiento de las ondas electromagnéticas son conocidas por las l
yes de Maxwell. A partir de estas se deduce que 2
·
1),( trE =∇
µ=constante dielécrica y µ =permiabilidad magnética (en el vacio
ecuación de Maxwell nos dice que B es perpendicular a E, por lo que las ondas ele
tromagnéticas cumple: E=E0·sen(k(z-vt))·ux y B=B0·sen(k(z-vt))uy
la corriente alterna generada en las centrales haciendo girar gra
des bobinas en torno a un campo magnético. Utilizando la ley de Faraday se cumple
que el potencial eléctrico generado será:
)(·)(·))·cos(
0 tsentsennBSdt
tωεωω
ω==
N=nº espiras, S= superficie de las espiras, B=el campo magnético,
angular del giro de las espiras (en España ω =2π·f=100·π rad/s)
Transformadas de Fourier: es una herramienta matemáticas usada para expresar una
señal continua f(t) a partir de suma de funciones circulares (digital). Se utiliza mucho
para el transporte de información. ∑∑ +=n
n
n
n senbtnatf ·)···cos()( ω
11
cuando tenemos una fuerza central de la forma F=-k·x (E=kx2)
o en la ley de Hook la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la partí-
)cos( ϕω +tA con
se saca de las dos condiciones iniciales (posición y velo-
solución de oscilador armónico es muy útil pues se utilizar en péquelas variaciones
de la posición de equilibrio de cualquier mínimo de energía. Aquí podemos desarrollar
)=0 siendo una expresión
2
02
2
)( xxdx
Ed−+
En electromagnetismo las ecuaciones diferenciales que
las ondas electromagnéticas son conocidas por las le-
2
2 ),(
·
1
t
trE
∂
∂ε
con
=permiabilidad magnética (en el vacio 00· εµ =c2). Otra
ecuación de Maxwell nos dice que B es perpendicular a E, por lo que las ondas elec-
haciendo girar gran-
des bobinas en torno a un campo magnético. Utilizando la ley de Faraday se cumple
N=nº espiras, S= superficie de las espiras, B=el campo magnético, ω frecuencia
herramienta matemáticas usada para expresar una
señal continua f(t) a partir de suma de funciones circulares (digital). Se utiliza mucho
tnsen )··(ω
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TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
6.2. Funciones Hiperbólicas
Son soluciones de las ecuaciones diferenciales de la forma tkdt
tdf·
)(= y tk
dt
tfd·
)( 22
= ,
son soluciones también de estas ecuaciones las funciones exponenciales ekx
y e-kx
.
1. Soluciones de la ecuación de Schodinguer: En las zonas prohibidas clásicamente don-
de (E-V0)<0 la solución de la ecuación de probabilidad de la partícula viene descritar
por las funciones hiperbólicas: )·(·)()·( 02
22 xkchBkxAshVEdt
d+=→−=− ψψ
ψh
con 2
0
h−
−=
VEk
2. Ecuación de la catenaria: si hacemos un estudio de la ecuación de un cable libremente
cuando lo dejamos suspendido entre sus extremos la solución que rige su forma es lo
que se denomina catenaria, siendo esta un coseno hiperbólico: y=A·ch(x/a) siendo a
una constante que depende de la tensión y de la densidad de la cuerda.
7. Contexto con secundaria.
En el curso 4º de la ESO se estudia introduce en Matemáticas B la representación de la
funciones circulares. No es hasta bachillerato en la de ciencias que no se estudia con más pro-
fundidad las funciones circulares. Las funciones hiperbólicas no se estudian en la ESO y Bachi-
llerato.
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