ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HIPERBÓLICAS

INTRODUCCION

Las ecuaciones que rigen el comportamiento del transporte convectivo de la materia y sus

cantidades físicas así como el de las ondas elásticas, acústicas y electromagnéticas son EDP

hiperbólicas. Sin embargo, el progreso tan notable de los esquemas numéricos para las EDP

hiperbólicas en los años recientes está ligado íntimamente con el avance en el aspecto

computacional de la dinámica de fluidos. Las ecuaciones básicas del flujo de fluidos sin

viscosidad son EDP hiperbólicas. Incluso las ecuaciones para los flujos viscosos se pueden

analizar como si fueran hiperbólicas si el efecto de la viscosidad es débil. EL éxito de una

simulación computacional del flujo de un fluido depende de la precisión y eficiencia al

resolver las EDP hiperbólicas.

A esto se debe que el desarrollo de esquemas numéricos para las EDP hiperbólicas sea un

tema de investigación apremiante en la parte computacional de la dinámica de fluidos.

Podemos escribir una EDP hiperbólica tanto en la forma de primer orden como en la de

segundo. La mayoría de las EDP hiperbólicas para el transporte de materia y sus

propiedades están en la forma de primer orden; en tanto que Las referentes a las ondas

elásticas, acústicas y electromagnéticas están en la forma de segundo orden.

EDP hiperbólicas

Debido a su amplia aplicación en ingeniería, nuestro estudio de las EDP se concentrará en

las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Para dos variables independientes,

tales ecuaciones se pueden expresar de la forma general siguiente:

Donde A, B y C son funciones de X y Y, y D es una

función de x, y, u, ∂u/∂x y ∂u/∂y. Dependiendo de los

valores de los coeficientes de los términos de la

segunda derivada (A, B y C).

Donde se cumple para que sea hiperbólica que: B2 – 4AC > 0

En esta sección estudiaremos la solución numérica para la Ecuación de onda (variable de

tiempo y una dimensión espacial), que es un ejemplo de una ecuación diferencial

hiperbólica. La ecuación de onda está dada por la siguiente ecuación diferencial:

∂2u∂ t 2

( x , t )−∝2 ∂2u∂ x2

( x , t )=0

0 < x < l y t > 0,

Sujeta a las condiciones:

u(0, t) = u(l, t) = 0, para t > 0,

u(x, 0) = f (x), y ∂ u∂ t

( x ,0 )=g(x ) para 0 ≤ x ≤ l,

es una constante.

Utilizaremos el método de diferencias finitas, para ello usaremos en entero m > 0 y el

tamaño de paso de tiempo k > 0. Con h=l/m , entonces los puntos de red (xi,tj) son:

xi = ih, para cada i = 0, 1, . . . ,m

tj = jk, para cada j = 0, 1, . . . .

En cualquier punto de red interior (xi,tj) la ecuación de onda se transforma en

∂2u∂ t 2 ( x i , t j )−∝2 ∂2 u

∂ x2 ( x i , t j )=0………………(1)

El método de diferencias se obtiene usando el cociente de diferencias centradas en las

segundas derivadas parciales dadas por:

Donde μj ∈ (tj−1, tj+1), y

Donde ξi ∈ (xj−1, xj+1). Al sustituir estas expresiones en la ecuación (1), obtenemos:

Si ignoramos el término de error,

112

[ ∂4 u∂ t 4 ( x i , μ j )−∝2 h2 ∂4 u

∂ x4 (εi , t j )]=τ i , j

Obtenemos la ecuación de diferencias:

Si se define que λ = αk/h. entonces podemos escribir la ecuación de diferencias como:

wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1 − λ2wi+1,j + 2λ2wi,j − λ2wi−1,j = 0

Y resolver para wi,j+1, o sea, la aproximación más avanzada del paso de tiempo, para

obtener: wi,j+1 = 2(1- λ2 )wi,j + λ2 (wi+1,j + wi−1,j) - wi,j−1 ……………………….. (2)

Esta ecuación es aplicable para toda i = 1, 2, . . . ,m−1 y j = 1, 2, . . . .

Las condiciones de frontera nos dan:

w0,j = wm,j = 0, para cada j = 1, 2, 3, . . . , ……… (3)

Y la condición inicial implica que:

wi,0 = f (xi), para cada i = 1, 2, . . . ,m − 1……….(4)

Al escribir este conjunto de ecuaciones se forma la matriz siguiente:

Las ecuaciones (2) y (3) implican que el (j+1) – ésimo paso de tiempo requiere valores de

los j-ésimo y (j-1)-ésimo pasos. Véase la siguiente figura. Esto produce un pequeño

problema inicial, porque los valores de j=0 están dados por la ecuación (4), pero los valores

de j=1, que se necesitan en la ecuación (2) para calcular wi,2, deben obtenerse de la

condición de velocidad inicial.

∂ u∂ t

( x ,0 )=g(x ) , 0≤ x ≤ l.

Un procedimiento consiste en reemplazar ∂ u∂ t

por una aproximación de diferencias

progresivas:

………………….. (5)

Para cierta ˜μi en (0,ti). Al resolver para u(xi,tj) obtenemos:

En consecuencia, wi,1 = wi,0 + kg(xi), para cada i = 1, . . . ,m − 1. …………. (6)

Sin embargo, esto da una aproximación con un error de solo O(k) ,podemos obtener una

mejor aproximación a u(xi,0). Considere la ecuación:

Para cierta ˜μi en (0,ti), que proviene de desarrollar u(xi,tj) con el segundo polinomio de

Maclaurin en t. si f´´ existe, entonces:

Y

Lo que produce una aproximación con error O(k3):

Si f ϵ C4 [0,1] pero no disponemos de f”(xi), podemos usar la ecuación en diferencias de (4.9) para escribir:

Para alguna ἓi en (xi-1,xi+1). Esto implica que:

Si λ = (k/h), entonces:

Así, podemos usar la ecuación de diferencias:

wi,1 = (1 − λ2)f (xi) + λ2

2 f (xi+1) + λ2

2 f (xi-1) +kg(xi) …………………………………… (7)

Para calcular wi,1, para cada i=1,2,…,m-1.

Algoritmo de diferencias finitas para la ecuación de onda

Haremos uso de la ecuación (7) para aproximar w i,1 , además usaremos la cota

superior para el valor de t y que k=T/N; para aproximar la solución de la ecuación

de onda:

∂2u∂ t 2

( x , t )−∝2 ∂2u∂ x2

( x , t )=0

0 < x < l y 0<t<T,

Condiciones de frontera: u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < T,

Condiciones iniciales: u(x, 0) = f (x), y ∂ u∂ t

( x ,0 )=g(x ) para 0 ≤ x ≤ l,

ALGORITMO DE MATLAB

%Intento de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Parciales Hiperbólicasclear all;clc;format long fprintf('Resolución de Ecuaciones Diferenciales Parciales Hiperbólicas: \n\n');a=0;b=input('Ingrese extremo derecho de "x": ');c=0;d=input('Ingrese Valor del Tiempo Máximo: ');m=input('Ingrese número de particiones para "x": ');n=input('Ingrese número de particiones para el tiempo: ');q=input('Ingrese El valor de la constante en la Ecuación Diferencial Parcial: ');h=b/m;k=d/n; c=(k/h)*qA=zeros((n+1),(m+1)); for j=2:n+1 A(j,1)=0; A(j,m+1)=0;end for j=1 for i=2:m x=(i-1)*h; A(j,i)=f(x); endend for j=2 for i=2:m x1=(i-2)*h; x2=(i-1)*h; x3=i*h; A(j,i)=(1-c^2)*f(x2)+(c^2)/2*f(x3)+(c^2)/2*f(x1)+k*g(x2); endend for j=2:n for i=2:m A(j+1,i)=2*(1-c^2)*A(j,i)+c^2*(A(j,i+1)+A(j,i-1))-A(j-1,i); endend fprintf('La Matriz Resultante es: \n'); disp(A) for i=1:m+1 x(i,1)=(i-1)*h;

end for j=1:n+1 t(j,1)=(j-1)*k;end surface(x,t,A)

FÓRMULA D’ALAMBERT

EJEMPLO 1

Considere el problema hiperbólico:

∂2u∂ t 2

( x , t )−4∂2u∂ x2

( x ,t )=0 , 0 < x < 1, 0 < t,

Con las condiciones de frontera: u(0, t) = u(1, t) = 0, para 0 < t,

Y con las condiciones iniciales: u(x, 0) = sin(πx), 0≤ x ≤ 1, y ∂ u∂ t

( x ,0 )=0 , 0 ≤ x ≤ 1,

Usando h = 0.1 y k = 0.05. Compare los resultados obtenidos con la solución exacta

u(x, t) = sin(πx) cos 2πt.

SOLUCIÓN:

Método Analítico

Utilizaremos la ecuación D´ Alembert, para resolver el problema

Así identificamos que, C=2; u(0,t)=u(1,t)=0; u(x,0)=sin(πx)=g(x); ∂❑u∂ t❑

( x ,0 )=h(E)=0

Y según la fórmula D’ Alembert

Efectuando un simple reemplazo, tenemos que H(€)=0, por lo tanto la parete de 1/2c

multiplicada por la integral, es cero.

Luego sabemos que sin(πx)=g(x); Entonces g(x-ct)= sin(π (x-ct)) con lo cual obtendríamos

U(x,t)=0.5[sinπ (x+2t)+sinπ (x-2t)]

Equivalente a :

U(x,t)=0.5[sin(2πt+πx)-sin(2πt-πx)] = U(x,t)=sin(πx)cos(2πt).

Gráficamente:

Ahora emplearemos el algoritmo para diferencias finitas de la ecuación de la onda. Además

con los datos obtenemos: m=10, T=1, N=20 y λ=1.

MÉTODO NUMÉRICO

Obtenemos los siguientes datos:

EJEMPLO 3:

Usando la ecuación D´Alembert: