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Tema 1: Electrostática * Ley de Coulomb y campo eléctrico. - Ley de Coulomb - Concepto y definición de campo eléctrico * Distribuciones de carga. Aplicaciones - Dipolo - Hilo - Anillo - Disco * Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Aplicaciones - Lámina - Cilindro - Esfera * Potencial eléctrico. - Determinación del campo a partir del potencial Aplicaciones - Dipolo - Esfera *Capacidad. Condensadores. Aplicaciones - Condensador plano-paralelo - Condensador cilíndrico - Condensador esférico. - Asociación de condensadores * Dieléctricos. * Energía potencial electrostática.
Temas 21-24 Tipler Temas 21 y 25 Alonso - Finn
Ley de Coulomb y campo eléctrico.
La atracción electrostática de cuerpos cargados eléctricamente se conoce desde la antigua Grecia.
Se observó que tras frotar el ámbar (elektron en griego), este material atraía pequeños objetos.
Sabemos que hay dos clases de carga, positiva y negativa (en el SI se miden en coulomb, C).
Cualquier fragmento de materia tiene aproximadamente cantidades iguales de cada clase. Al cargarlo (por frotamiento u otro procedimiento) esa situación de equilibrio se modifica.
Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736-1806)
estudió cuantitativamente la fuerza ejercida por un cuerpo cargado sobre otro.
Los resultados de sus observaciones conducen al enunciado de la ley que lleva su nombre.
Es análoga a la ley de la gravedad por la dependencia con la distancia, pero difiere en tanto en cuanto esta interacción puede ser atractiva o repulsiva según sea el tipo de carga de los cuerpos.
Campo eléctrico
Como en el caso gravitatorio, para manejar esta interacción a distancia se introduce el concepto de campo, en este caso eléctrico. La carga qi produce un campo E en todo punto del espacio, capaz de ejercer una fuerza sobre cualquier otra carga q0, y se define como:
(q0 pequeña)
Volviendo a la ley de Coulomb, se tiene
Su unidad en el SI es el Volt por metro (V/m)
Gráficamente, se pueden cuantificar a través de las líneas de campo.
0qFE
=
punto de campo P
posición de la fuente i
iP2iP
iiP r
rkqE =
Distribuciones de carga. Distribuciones discretas. Dipolo eléctrico.
El campo eléctrico asociado a una distribución de cargas puntuales es:
Caso relevante de este tipo de distribución es el dipolo electrico.
Se describe por su magnitud momento dipolar eléctrico p
Para puntos muy distantes (rp+≈ rp-≈ rp >> L), la expresión
aproximada del campo es
∑ ∑==i i
iP2iP
iiPP r
rkqEE
Lqp =
−++= −−
++
P2P
P2P
P rr
qrr
qkE
( )
−⋅≈ 3
P5P
PPdip r
pr
rpr3kE
Distribuciones de carga. Distribuciones continuas.
Si los cuerpos cargados son extensos y no pueden manejarse como puntos, habremos de dividirlos en elementos de carga dq suficientemente pequeños.
El diferencial de campo a que cada dq da lugar es
donde r es la distancia desde el elemento
de carga al punto de campo. El campo neto se
obtiene mediante integración:
Según cuales sean las dimensiones relativas de los cuerpos cargados, hablaremos de distribuciones de carga en línea, en superficie o en volumen.
rrdqkEd 2=
∫ ∫== dqr
rkEdE 2
Se descompone el campo según x e y
Estas expresiones se integrarán a la
longitud L, esto es de x=x1 a x2.
Conviene cambiar de variable
lo que conduce a:
Para una línea muy larga se tendrá
Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Línea cargada uniformemente .
θθ=θ
= dcscydx;seny
r 2ps
p
( )
2s
y
2s
2s
x
rsendxkdE
rcosdxkir
rdxkdE
θλ=
θλ=⋅
λ=
pyx21 y
k2E;0Eθ,0θ λ==⇒π→→
( ) ( )12p
y12p
x cos-cosyk-Ε;sen-sen
ykΕ θθλ=θθλ=
Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Eje de un anillo cargado uniformemente.
En este caso, la simetría de la distribución permite concluir que el campo resultante ha de estar dirigido según el eje.
Su magnitud se obtendrá operando
del modo siguiente
( ) kaz
zQkE
rzQkdq
rzk
rdqzkE
rdqzk
rz
rdqkcos
rdqkdE
2/322
333z
322z
+=
===
==θ=
∫∫
Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Eje de un disco cargado uniformemente.
Pasamos así a una distribución de carga en superficie. Vamos a aprovechar el resultado previo, y descomponemos el disco en anillos de
radio a y anchura da. Estos producen un
campo
La carga en dicho anillo es
e integrando a toda la superficie se llega a
Esta expresión se puede adaptar para escribir el campo generado por un plano infinito.
Bastaría con tomar b muy grande, lo que conduciría a:
( ) kaz
zdQkEd 2/322 +=
ada2dAdQ πσ=σ=
kbz
zzzk2E
222
+−σπ=
kzzk2E σπ=
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
El flujo de un campo vectorial C a través de una superficie cerrada S se define como
donde n es el vector unitario normal a la superficie. Desde un punto de vista físico, el flujo
de un campo es proporcional a la
magnitud de las fuentes del campo
englobadas por la superficie.
Para el caso específico del campo eléctrico
dicha relación viene establecida por la
ley de Gauss.
∫∫ ⋅=⋅=ΦSS
C AdCdAnC
∫∫ ε=π==⋅=Φ
S 0
encencn
SE
QkQ4dAEAdE
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
La ley de Gauss equivale a la de Coulomb. Para probarlo, es necesario recurrir al concepto de ángulo sólido, análogo tridimensional del común. Se mide en esterorradianes, y es el mismo para toda superficie que corte el cono dado. Su magnitud es la superficie de la esfera de radio unidad secada por el cono. Para el cono de apertura máxima mientras que al degenerar en una recta, se obtendría el valor mínimo, 0. Vayamos a la expresión del flujo eléctrico, y consideremos una sola carga puntual
como fuente.
22 rcosA
rrnA θ∆=⋅∆=∆Ω
π=π=Ω 4r
r42
2
Si la carga se encuentra dentro de la superficie, la apertura angular para abarcarla es la misma que para la esfera unidad, lo que llevaría a: Si la carga fuese externa, tomando pequeños conos se observaría que estos atraviesan
la superficie en dos ocasiones. Se tendrían dos contribuciones idénticas a la integral del ángulo sólido, salvo porque la componente normal del campo a la entrada y la salida de la superficie han de tener signos opuestos. Por ello, dichas contribuciones se anulan. Resumiendo, se tiene:
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
0E
qkq4ε
=π=Φ
o
enc
ext,jenc,i 0
iE
Q0qε
=+ε
=Φ ∑∑
∫ ∫∫ Ω=θ==ΦS s
2S
2E dkqrcosdAkqAd·r
rkq
Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Lámina uniformemente cargada.
Esta distribución es simétrica respecto al plano Z. Una traslación arbitraria según X o Y, no modifica la distribución de cargas y, además cualquier eje ortogonal al plano Z es también un elemento de simetría, por lo cual: Por ello, si se toma una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica
notablemente la resolución de este problema: Para puntos externos al plano, el campo será: Mientras que en su interior
)z(E)z(E;k)z(E)r(E −−==
az,a2AdvQ;az,z2AdvQ
A)z(E2
Venc
Venc
E
>ρ=ρ=<ρ=ρ=
=Φ
∫∫
kzzaka)az(E
00 ερ=
ερ±=>
kz)az(E0ε
ρ=<
Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Cilindro uniformemente cargado.
Para esta distribución una traslación arbitraria o un giro según el eje Z no altera la distribución de cargas. Además cualquier eje ortogonal al Z es de simetría, por lo cual:
Nuevamente, al tomar una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica notablemente la resolución de este problema: donde a es ahora el radio del cilindro cargado. Se llega así a que, en el interior: Mientras que en el exterior
R)R(E)r(E =
aR,LaQ;aR,LRdvQ
RL2)R(E2
enc2
Venc
E
>ρπ=<ρπ=ρ=
π=Φ
∫
R2
R)aR(E0ε
ρ=<
RR2
a)aR(E0
2
ερ=>
R a
Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Esfera uniformemente cargada.
Para este tipo de distribución, una rotación en torno a cualquier eje que pase por el centro del sistema deja todo inalterado:
Las superficies de integración elegidas ahora serán esferas concéntricas a la distribución: con R radio de la distribución de carga. Para el interior de esfera se tiene: Y en el exterior
r)r(E)r(E =
Rr,R34Q;Rr,r
34dvQ
r4)r(E
3enc
3
Venc
2E
>πρ=<πρ=ρ=
π=Φ
∫
r3
r)Rr(E0ε
ρ=<
rr3
R)Rr(E 20
3
ερ=>
Potencial eléctrico.
La fuerza eléctrica es conservativa y, al igual que en el caso de la gravitatoria, esto permite manejar una función energía potencial U asociada a ella. Para una variación diferencial dl en el lugar de aplicación de la fuerza sobre una carga puntual, dU viene definida por
Este incremento de energía es proporcional a la magnitud de la carga desplazada, al
igual que la fuerza eléctrica depende de la carga sobre la que se mide. Así como introdujimos el campo eléctrico, definimos la función potencial eléctrico:
La unidad de potencial en el SI será J/C, que tiene por nombre volt (V). Consideremos el caso de una carga puntual. Es habitual tomar como origen de potencial un punto muy alejado del sistema. Entonces:
ldEqldFdU
⋅−=⋅−=
∫∫ ⋅=⋅−=−=∆⇒⋅−==a
b
b
aab ldEldEVVVldE
qdUdV
P0P2
0P2
0P r4
qrdr
4qldr
r4qVV
πε=
πε=⋅
πε=− ∫∫
∞∞
∞
Potencial eléctrico.
r4q)r(V
0π ε=
Vamos a aprovechar el ejemplo de la carga puntual para describir la representación gráfica cuantitativa del potencial escalar.
Los campos escalares se representan mediante curvas equiescalares. La tasa de cambio de la magnitud escalar entre dos superficies se fija. En el caso del potencial eléctrico de la carga puntual, las curvas equipotenciales son esferas. Vemos que estas superficies son normales a las líneas de campo eléctrico. Esto es así por la propia definición del potencial:
Eld,0dVsildEdV
⊥=⇒⋅−=
ddEd lEd lEldEd V −=⇒−=θ−=⋅−= t at a nc o s
Potencial eléctrico. Determinación de E a partir de V.
Vamos a analizar con más detalle la definición del potencial eléctrico:
Para un desplazamiento arbitrario, la componente de E en dicha dirección es la derivada direccional del potencial electrostático. Además, el máximo incremento de V seobservará para un desplazamiento precisamente en la dirección del vector campo eléctrico, pero en sentido opuesto a este. Matemáticamente, esos dos resultados se traducen en que el campo eléctrico es, salvo por el sentido, el gradiente del potencial eléctrico.
VE ∇−=
Podemos determinar las componentes del campo eléctrico, por ejemplo, en cartesianas, si analizamos desplazamientos paralelos a los ejes X, Y y Z sucesivamente:
zyx
zzz
yyy
xxx
ud zd Vu
d yd Vu
d xd VE
d zd VEd zEldEd V
d yd VEd yEldEd V
d xd VEd xEldEd V
−−−=⇒
−=⇒−=⋅−=
−=⇒−=⋅−=
−=⇒−=⋅−=
Potencial eléctrico. Dipolo.
El potencial debido a un sistema de cargas puntuales, de acuerdo con el principio de superposición, es:
donde ri es la distancia desde la carga i-ésima hasta el punto de campo P. Volvamos al caso de un dipolo eléctrico. La expresión exacta del potencial será: La expresión asintótica para puntos de campo muy distantes (respecto a la distancia entre las cargas del dipolo) es:
∑ πε=
i i0r4qV
−πε
=πε−+
πε=
+−
+−
−+ rrrr
4q
r4q
r4qV
000
30
dip r4rpV
πε⋅≈
Potencial eléctrico. Esfera cargada uniformemente.
El potencial debido a una distribución continua de carga es: donde r es la distancia desde el elemento de carga hasta el punto de campo P. Para
distribuciones de alta simetría, la integración directa del campo será más sencilla. Veámoslo para este caso ya estudiado. Recordemos:
Con el origen de potenciales en infinito, evaluamos primero V fuera de la distribución: Para el interior, se tendrá:
∫ πε=
r4dqV
0
rr3
R)Rr(E;r3
r)Rr(E 20
3
0 ερ=>
ερ=<
P0
3
r2
0
3
P r3Rr
r3R)Rr(V
Pε
ρ=ερ=> ∫
∞
( )2P
2
00
2
R
r 0R2
0
3
rP
rR63
R
ldr3
rldrr3
RldrE)Rr(VPP
−ερ+
ερ=
=
⋅
ερ+⋅
ερ=⋅=< ∫∫∫
∞∞
Capacidad. Condensadores. Los conductores tienen portadores de carga móviles, luego en una situación estática el
campo eléctrico en su interior debe anularse. Por tanto, el potencial es constante en un conductor.
La ley de Gauss muestra que no puede haber cargas en desequilibrio en su interior. La carga neta se localizará sobre la superficie. Vamos a considerar un sistema formado por un solo conductor (esférico por simplificar). La carga Q se distribuirá uniformemente sobre su superficie, lo que implicará: La razón entre la carga y el potencial que adquiere un conductor aislado es su capacidad
R4QV
r4Q)Rr(Vr
r4Q)Rr(E
0conductor
02
0
πε=
πε=>⇒
πε=>
R4VQC 0πε==
Capacidad. Condensadores.
Es más común hablar de capacidad cuando nos referimos a condensadores. Un
condensador es un dispositivo formado por dos conductores (placas) que adquieren cargas de igual magnitud y signo opuesto. El cociente entre la magnitud de la carga de las placas y la diferencia de potencial entre ellas es, al igual que en el caso del conductor aislado, constante para una geometría fija
La unidad de capacidad en el SI es el farad (F). Esta unidad, desde un punto de vista práctico, es demasiado grande (una esfera
conductora debería tener un radio R≈9·109 m para que su capacidad fuese unitaria), por lo que habitualmente se emplean sus submúltiplos, como el microfarad (1 µF=10-6 F), el nanofarad (1 nF=10-9 F) y el picofarad (1 pF=10-12 F).
En la expresión de la capacidad de la esfera conductora, se ve que dimensionalmente la
permitividad del vacío ε0 es un cociente entre capacidad y longitud.
VQC
∆=
m/F10854,8 120
−⋅≈ε
Capacidad. Condensadores. Condensador plano-paralelo.
En este tipo común de condensador, las placas son dos láminas metálicas planas (delgadas) paralelas, separadas una distancia (d) mucho menor que las dimensiones que definen el área (A) de dichas placas.
Entonces, las placas son, a efectos prácticos, asimilables a dos planos
cargados muy extensos (indefinidos). El campo producido por tal distribución, vimos que es:
Superponiendo los efectos de las dos placas, se tiene que en la región
entre placas: Así pues, la capacidad del condensador de placas paralelas es:
( ) ( ) ( )kA2
Qk2
kk2E00
±ε
=±εσ=±σπ=
AQd
AQdzldk
AQVk
AQE
0
dz
z 0
dz
z 00
0
0
0
0ε
=ε
=⋅ε
=∆⇒ε
= ∫∫++
dA
AQdQ
VQC 0
0
ε=
ε
=∆
=
Capacidad. Condensadores. Condensador cilíndrico.
En este caso las placas son dos cilindros conductores coaxiales, uno de radio R1 y otro de radio interno R2, ambos de longitud L (L>>R1, R2). Con esta condición, las distribuciones de carga son prácticamente cilindros indefinidos cargados uniformemente en superficie.
De aquí derivamos la diferencia de potencial entre las placas y la capacidad: o la capacidad por metro
RRL2
Q)R(ELlQQ
Rl2)R(E
0enc
E
πε=⇒
=
π=Φ
)R/Rln(L2
VQC⇒)R/Rln(
L2Q
RdR
L2Qld·
RL2QV
12
012
0
R
R0
R
R 0
2
1
2
1
πε=
∆=
πε=
πε=
πε=∆ ∫∫
)R/Rln(2
VL/Q
LC
12
0πε=
∆=
Capacidad. Condensadores. Condensador esférico.
Las placas son ahora dos esferas conductoras concéntricas, la interior de radio R1 y la exterior de radio interno R2. Las cargas se distribuirán uniformemente en superficie. En la zona intermedia:
De aquí pasamos a la diferencia de
potencial y la capacidad:
RR4
Q)RrR(E 20
21 πε=<<
( )
( )12
210
R
R 210
12
2102
0
R
R2
0
RRRR4
VQC
RR4RRQ
R1
R1
4Q
RdR
4Qld·R
R4QV
2
1
2
1
−πε
=∆
=
πε−=
−
πε=
πε=
πε=∆ ∫∫
Capacidad. Condensadores. Asociaciones de condensadores.
Asociación en paralelo De la definición de capacidad: Asociación en serie Y de la relación entre las tres magnitudes:
V)CC(QQQVCQVCQ
212122
11 ∆+=+=∆=∆=
∑=⇒
+==∆
i ieq21eq C1
C1
C1
C1Q
CQV
+=+=∆
=
=
2121
22
11
C1
C1QVVV
CQV
CQV
∑=⇒+
==∆i
ieq21eq
CCCC
QCQV
Dieléctricos.
En un material dieléctrico o aislante, a diferencia de un conductor, no se dispone de portadores de carga capaces de desplazarse libremente bajo la acción de un campo.
Vemos abajo el efecto de un campo eléctrico para sustancias no conductoras, bien
apolares (izquierda) o polares. En cualquiera de los dos casos, el resultado es el mismo: las cargas positivas tienden
a desplazarse siguiendo el campo, mientras las negativas lo tienden a hacer en el sentido inverso: las moléculas se polarizan en la dirección del campo.
Dieléctricos. Vamos a analizar la influencia de su presencia en los
fenómenos eléctricos. Consideramos para ello una situación sencilla, un condensador plano-paralelo y estudiaremos de forma semicuantitativa las variaciones que se producen en este sistema.
En las proximidades de las placas, aparece una concentración relativa de cargas en exceso del tipo opuesto al de la placa. Esto se traduce, para una carga fija en las placas, en una disminución de la intensidad del campo dentro del condensador:
donde κ (κ>1) es la constante dieléctrica del material.
κ= 0EE
Dieléctricos.
Si seguimos apoyándonos en el condensador planoparalelo, constatamos que la disminución del la intensidad del campo implica una menor diferencia de potencial entre las placas:
Esto, en la práctica, representa un incremento en la capacidad del condensador: Siendo más específicos, para el caso concreto del condensador plano: donde ε, producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio,
es la permitividad del dieléctrico. Cuando operemos con materiales aislantes, las expresiones que veníamos manejando hasta ahora se habrán de modificar, de manera que la permitividad del medio aparecerá en lugar de la del vacío. Así, por ejemplo, la ley de Gauss se expresará como:
κ∆
=κ
==∆ ∫ 00der
izq
VdEdlEV
00
CVQ
VQC κ=
∆κ=
∆=
dA
dACC 0
0ε=
κε=κ=
ε=⋅∫ enc
S
QAdE
Energía potencial electrostática.
La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que se invierte en transportar dichas cargas desde posiciones muy distantes entre sí hasta sus posiciones finales en el sistema.
Para dos cargas, supuesta fija la carga 1, el trabajo para llevar la 2 hasta su posición es: Si se añade otra carga al sistema, el trabajo adicional será: El trabajo neto para juntar las tres cargas es:
120
12222 r4
qq)r(VqWπε
==
πε
+πε
==230
2
130
13333 r4
qr4
qq)r(VqW
( )332211230
2
130
13
230
3
120
12
130
3
120
21
230
32
130
31
120
21
VqVqVq21
r4q
r4qq
21
r4q
r4qq
21
r4q
r4qq
21
r4qq
r4qq
r4qqW
++=
πε
+πε
+
+
πε
+πε
+
πε
+πε
=πε
+πε
+πε
=
Energía potencial electrostática.
La energía potencial electrostática U de un sistema de n cargas puntuales, generalizando, es:
Para una distribución continua de carga, operaríamos del modo que ya hemos puesto
en práctica previamente: Para una distribución de carga en volumen se tendría Si fuese en superficie Este tipo de distribución aparece, en particular, para medios conductores. Entonces donde la suma se extiende ahora a los cuerpos conductores con cargas Qj y potenciales
Vj.
∑=
=n
1iiiVq
21U
∫= Vdq21U
∫ρ=ondistribuciV
dvV21U
∫σ=óndistribuciS
dAV21U
∑∑ ∫∫ =σ=σ=j
jjj S
jjjS
QV21dAV
21dAV
21U
jóndistribuci
Energía potencial electrostática.
Un condensador es un dispositivo que entra dentro de estas situaciones. Teniendo en cuenta las características específicas de estos sistemas podremos escribir:
Tomemos la última expresión en el caso del condensador plano-paralelo La energía aparece como producto del volumen del condensador (Ad) por cierta
expresión que tiene magnitud de energía por unidad de volumen. No lo probaremos, pero, de hecho, la energía electrostática de un sistema se puede evaluar alternativamente como integral de dicha densidad de energía:
( ) ( )C
Q21VC
21VQ
21)Q(VQV
21QV
21U
22
21j
jjrcondensado ∑ =∆=∆=−+==
( ) ( ) )Ad(E21Ed
dA
21VC
21U 222 ε=
ε=∆=
∫ε=espacioeltodo
2dvE21U
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