Citation preview
untitledCZU 53(075.3) M 39
Elaborat conform curriculumului disciplinar în vigoare i aprobat
prin Ordinul ministrului educaiei (nr. 265 din 27 aprilie 2012).
Editat din sursele fi nanciare ale Fondului Special pentru
Manuale.
Contribuia autorilor la elaborarea manualului: Mihai Marinciuc –
capitolele 1, 2 (par. 2.1–2.3, 2.8), 3, 4 Spiridon Rusu –
capitolele 2 (par. 2.4–2.7), 4 (par. 4.3), 5, lucrri de laborator
Comisia de experi: Ion Stratan, doctor în fi zic, confereniar,
Universitatea Tehnic a Moldovei Eleodor Lupacu, doctor în fi zic,
confereniar, Universitatea Agrar, Chiinu Andrei Petruca, prof.
colar, grad did. superior, Liceul Teoretic „Principesa Natalia
Dadiani”, Chiinu Recenzeni: Oleg Bursuc, doctor în tiine ale
educaiei, coordonator, Consiliul pentru Cercetri i Schimburi
Internai- onale (IREX), Chiinu
Alexei Colîbneac, Maestru în Arte, profesor universitar, Academia
de Muzic, Teatru i Arte Plastice, Chiinu
Mihai leahtichi, doctor în psihologie i pedagogie, confereniar,
Universitatea Liber Internaional din Moldova, Chiinu
Anatolie Cerbu, doctor în tiine fi zico-matematice, confereniar,
Academia de Transporturi, Informatic i Comunicaii, Chiinu
Tatiana Cartaleanu, doctor în fi lologie, confereniar,
Universitatea Pedagogic de Stat „Ion Creang”, Chiinu
Redactor: Mariana Belenciuc Corectori: Maria Cornesco, Tatiana
Darii Redactor tehnic: Nina Duduciuc Machetare computerizat,
copert: Romeo ve, Vitaliu Pogola
ISBN 978-9975-67-823-0
© Î.E.P. tiina. 2007, 2012
tel.: (+373 22) 73-96-16, fax: (+373 22) 73-96-27; e-mail:
prini@stiinta.asm.md
Descrierea CIP a Camerei Naionale a Crii Marinciuc, Mihai
Fizic: Man. pentru cl. a 10-a / Mihai Marinciuc, Spiridon Rusu;
Min. Educaiei al Rep. Moldova. – Ch.: Î.E.P. tiina, 2012 (Tipogr.
„SEREBIA” SRL). – 180 p.
ISBN 978-9975-67-823-0
str. Alba-Iulia, nr. 23/1 A; MD-2051, Chiinu;
tel.: (+37322) 51-68-17; 51-57-49; fax: (+373 22) 50-15-81;
e-mail: info@pronoi.md, www.pronoi.md
Introducere
........................................................................................................................................................
7
Capitolul I. CINEMATICA
.....................................................................................................................................
8
1.1. Punctul material i solidul rigid – modele utilizate în mecanic
....................................... 8
1.2. Sistem de referin. Spaiu i timp
....................................................................................................
10
a. Relativitatea micrii. Sistem de referin
........................................................................................
10
b. Unitile de lungime i de timp
..........................................................................................................
11
c. Spaiul i timpul în mecanica clasic
.................................................................................................
12
1.3. Traiectoria. Deplasarea i distana parcurs
................................................................................
13
a. Descrierea micrii unui punct material
..........................................................................................
13
b. Traiectoria
..................................................................................................................................................
14
d.o Micarea de translaie a rigidului
.....................................................................................................
15
1.4. Operaii cu vectori
.....................................................................................................................................
16
a. Adunarea vectorilor
................................................................................................................................
16
b. Scderea vectorilor
.................................................................................................................................
17
1.5. Micarea rectilinie uniform. Viteza
................................................................................................
20
1.6.o Cinematica micrii relative
................................................................................................................
24
1.7. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia
.........................................................................
27
a. Micarea rectilinie neuniform. Viteza medie. Viteza momentan
....................................... 27
b. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia
............................................................................
28
c. Grafi cele proieciilor acceleraiei i vitezei
......................................................................................
29
d. Legea micrii uniform variate a mobilului
....................................................................................
30
e. Formula lui Galilei
....................................................................................................................................
31
f.o Raportul distanelor parcurse de mobil în intervale de timp
egale ......................................... 32
g. Micarea corpului pe vertical
.............................................................................................................
32
C U P R I N S
1.8. Micarea circular uniform. Acceleraia centripet
................................................................
37
a. Micarea circular uniform. Perioada i frecvena de rotaie
................................................. 37
b. Acceleraia centripet
...........................................................................................................................
39
c. Viteza unghiular
.....................................................................................................................................
40
2.1. Principiul ineriei. Sisteme de referin ineriale
.......................................................................
45
2.2. Masa i fora. Principiul fundamental al dinamicii
....................................................................
47
a. Interaciuni fundamentale
....................................................................................................................
47
e.o Principiul suprapunerii forelor
.........................................................................................................
53
2.3. Principiul aciunii i reaciunii
.............................................................................................................
55
2.4.o Atracia universal
....................................................................................................................................
56
b. Cîmpul gravitaional
...............................................................................................................................
59
2.5. Fora elastic. Micarea sub aciunea forei elastice
...............................................................
63
2.6. Fora de frecare. Micarea în prezena forei de frecare
......................................................... 67
2.7.o Micarea corpurilor sub aciunea mai multor fore
..................................................................
72
2.8.o Principiul relativitii al lui Galilei
.....................................................................................................
77
Capitolul III. ELEMENTE DE STATIC
..........................................................................................................
81
3.1. Echilibrul de translaie al rigidului
....................................................................................................
81
3.2.o Momentul forei. Echilibrul de rotaie al rigidului
....................................................................
85
3.3.o Centrul de greutate al sistemului de puncte materiale.
Centrul de mas .................... 87
a. Centrul de greutate. Centrul de mas
..............................................................................................
87
b. Determinarea poziiei centrului de greutate
.................................................................................
89
Capitolul IV. IMPULSUL MECANIC. LUCRUL I ENERGIA MECANIC
...................................... 92
4.1. Impulsul punctului material. Teorema variaiei i legea
conservrii impulsului punctului material
............................. 92
4.2. Impulsul sistemului de puncte materiale. Teorema variaiei i
legea conservrii impulsului sistemului de puncte materiale
...................... 95
a. Fore interne i externe. Proprietatea forelor interne
.............................................................
95
b. Teorema variaiei impulsului sistemului de puncte materiale
................................................ 96
c. Legea conservrii impulsului sistemului de puncte materiale.
Aplicaii ............................. 97
d.o Micarea reactiv
....................................................................................................................................
99
4.4. Lucrul mecanic. Puterea
.........................................................................................................................
103
a. Lucrul mecanic al forei constante
....................................................................................................
103
b. Puterea
........................................................................................................................................................
106
4.6. Lucrul forei de greutate. Energia potenial gravitaional
............................................... 112
a. Fora de greutate – for conservativ
.............................................................................................
112
b. Energia potenial gravitaional
......................................................................................................
113
c. Echilibrul în cîmpul gravitaional
.......................................................................................................
114
4.7. Lucrul forei elastice. Energia potenial elastic
......................................................................
116
4.8. Lucrul forei de frecare
............................................................................................................................
118
4.9. Legea conservrii i transformrii energiei mecanice
.............................................................
120
a. Legea conservrii i transformrii energiei mecanice în sisteme
izolate în care acioneaz fore conservative
...............................................................................................
120
b.o Ciocnirile corpurilor
..............................................................................................................................
122
c.o Variaia energiei mecanice a sistemului în prezena forelor
neconservative i a forelor externe
.................................................................................................................................
124
Capitolul V. OSCILAII I UNDE MECANICE
..............................................................................................
127
5.1. Micarea oscilatorie
..................................................................................................................................
127
a. Pendulul elastic
........................................................................................................................................
130
b. Pendulul gravitaional
...........................................................................................................................
131
d. Caracteristicile momentane ale oscilaiilor armonice
................................................................
135
e.o Reprezentarea micrii oscilatorii prin fazori
...............................................................................
136
f. Dependena pulsaiei i perioadei oscilaiilor armonice libere de
proprietile sistemului .... 137
g. Energia oscilatorului liniar armonic
..................................................................................................
138
5.3.o Compunerea oscilaiilor coliniare
.....................................................................................................
141
5.4.o Oscilaii amortizate i forate. Rezonana
.....................................................................................
143
5.5. Propagarea micrii oscilatorii. Unde transversale i unde
longitudinale .................... 145
5.6. Caracteristicile micrii ondulatorii. Viteza de propagare a
undelor .............................. 147
5.7.o Ecuaia undei plane
..................................................................................................................................
150
5.8. Principiul lui Huygens
..............................................................................................................................
152
5.9. Refl exia i refracia undelor
..................................................................................................................
152
a. Legile refl exiei i refraciei
....................................................................................................................
152
b.o Studiul refl exiei i refraciei cu ajutorul principiului lui
Huygens ......................................... 153
c.o Comportamentul fazei undelor la refl exie
....................................................................................
154
5.10. Difracia undelor
........................................................................................................................................
155
5.11. Interferena undelor
................................................................................................................................
156
5.12.o Unde sonore
................................................................................................................................................
159
b. Calitile sunetului
...................................................................................................................................
159
5.13.o Unde seismice
.............................................................................................................................................
161
LUCRRI DE LABORATOR
.............................................................................................................................
165 Noiuni elementare despre calculul erorilor
.............................................................................................
165
a. Msurri i erori
..............................................................................................................................................
165 b. Erorile msurrilor directe
..........................................................................................................................
166 c. Erorile msurrilor indirecte
......................................................................................................................
167 d. Eroarea unei singure msurri
..................................................................................................................
169 e. Prelucrarea grafi c a datelor experimentale
.......................................................................................
170
Lucrarea de laborator nr. 1 Studiul micrii rectilinii uniform
accelerate a unui corp
.......................................................................
171
Lucrarea de laborator nr. 2o Determinarea constantei de
elasticitate a unui corp cu proprieti elastice
.................................... 172
Lucrarea de laborator nr. 3 Determinarea coefi cientului de frecare
la alunecare
...............................................................................
173
Lucrarea de laborator nr. 4. Studiul pendulului elastic
.....................................................................................................................................
175
Rspunsuri la probleme
.....................................................................................................................................
177
NOT: Temele nemarcate sînt obligatorii pentru ambele profi luri.
Cele marcate convenional (o) sînt obligatorii
pentru profi lul real.
Introducere O particularitate general a naturii ce ne înconjoar
este schimbarea. Schimbrile, foarte diverse i complicate, se
cerceteaz în cadrul tiinelor naturii: fi zica, biologia, chimia,
astronomia, geologia .a.
Mecanica (în limba greac înseamn „main” sau „tiina despre maini i
me- canisme”) este o ramur a fi zicii care studiaz cea mai simpl
form de micare, numit micare mecanic.
Micarea mecanic a unui corp este schimbarea în timp a poziiei lui
în raport cu alte corpuri.
Exemple de micare mecanic observm în jurul nostru la fi ecare pas:
deschiderea ochilor, ridicarea din pat, deschiderea uii, a
robinetului, deplasarea spre coal etc.
În mecanic se disting dou compartimente care studiaz dou aspecte
ale micrii mecanice:
Cinematica (în limba greac „micare”) cerceteaz formele micrii
corpurilor i caracteristicile acesteia, fr a evidenia îns factorii
ce determin o form sau alta de micare. La descrierea micrii se
folosesc formule, grafi ce i tabele. Cinematica este numit
metaforic i geometrie a micrii.
Dinamica (în limba greac „for”) studiaz formele micrii corpurilor
în funcie de cauzele ce le condiioneaz. Astfel, în dinamic se
rspunde la întrebarea: „De ce corpul se mic în modul dat?”,
întrebare care nu-i gsete rspunsul în cinematic.
Un compartiment special al dinamicii este statica, ce studiaz doar
repausul (echilibrul) corpului în vederea stabilirii condiiilor
corespunztoare ale acestuia.
În natur mai exist o micare foarte frecvent întîlnit, care se repet
dup anumite intervale de timp. De exemplu: micarea unui corp
suspendat la captul resortului sau al unui fi r, a unei rigle
metalice prinse la un capt, a crengilor copacilor sub aciunea
vîntului, btile inimii, vibraiile plmînilor în procesul respiraiei,
vibraiile coardelor vocale i ale timpanelor care ne permit s vorbim
i s auzim etc. Aceste micri sînt numite micri oscilatorii. În
general, în urma aciunii unei anumite fore, orice corp material
poate efectua oscilaii, chiar dac acestea, în unele cazuri, sînt de
scurt durat.
Propagarea micrii oscilatorii în spaiu i timp reprezint micarea
ondulatorie. Undele pot fi de natur diferit. În funcie de faptul ce
oscileaz i în ce medii se propag, se deosebesc unde: pe suprafaa
apei, sonore în medii elastice, seismice în scoara terestr
etc.
7
8
C a p i t o l u l I
CINEMATICA
UTILIZATE ÎN MECANIC
Cunoatei deja c micarea mecanic este cea mai simpl form a micrii.
Totui aceast micare nu este de fi ecare dat foarte simpl. Urmrind
atent cderea unei frunze, vei observa c ea se rotete, legnîndu-se
pe undele aerului (fi g. 1.1). Rsfoind manualul, fi l cu fi l,
putei observa c, la început, foaia se îndoaie, se deformeaz (adic
îi schimb forma), apoi diferite poriuni ale ei se mic în mod
divers. Aceste dou exemple sînt sufi ciente pentru a înelege c
micarea mecanic în natur nu este întotdeauna simpl i c descrierea
ei exact poate fi foarte complicat.
Întrebarea fi reasc este dac în procesul studierii fenomenelor fi
zice trebuie s cunoatem i s analizm, de fi ecare dat, detaliat i
amnunit micarea corpurilor.
S examinm un exemplu concret. Imaginai-v un pasager pe peronul unei
gri, care ateapt sosirea trenului ce se afl la cîiva
kilometri de gar. Pentru acest pasager, ca i pentru dispecerul grii
(care urmrete mersul trenului pe o schem electronic, fi g. 1.2),
este important s tie distana la care se afl trenul, pentru a deduce
dac trenul circul în conformitate cu orarul stabilit. În aceast
situaie, determinînd distana dintre tren i gar, putem face
abstracie de dimensiunile trenului, care nu ne intereseaz (fi ind
cu mult mai mici decît distana pîn la el). Nu are importan pentru
pasager i dispecer nici for- ma trenului, determinat de conturul
poriunii de cale ferat pe care se afl .Fig. 1.2
Fig. 1.1
CI NE
M AT
IC A
Studiind micarea unei nave cosmice spre Lun sau spre o planet
oarecare, vom ne- glija în calculele noastre dimensiunile navei,
care sînt foarte mici în comparaie cu distana parcurs. Ajungem,
aadar, la concluzia c în unele micri dimensiunile corpurilor
conside- rate pot fi neglijate în raport cu distanele pîn la alte
corpuri sau cu distanele parcurse de aceste corpuri. Astfel, s-a
ajuns la un model foarte des utilizat în mecanic, modelul punctului
material.
Corpul ale crui dimensiuni spaiale pot fi neglijate în comparaie cu
distana parcurs sau cu distanele pîn la alte corpuri este numit
punct material. Din defi niie reiese c punctul material nu
este neaprat un corp mic, important fi ind ca dimensiunile lui s
poat fi neglijate în condiiile date.
Evident, în alte condiii corpul respectiv nu mai poate fi
considerat punct material. Atunci cînd trenul intr în gar (fi g.
1.3), dimensiunile lui devin importante pentru pasagerul care
ateapt anunul dispecerului privind ordinea numerotrii vagoanelor:
primele vagoane se afl la ieirea pe peron în partea stîng sau în
cea dreapt a peronului. Rezult c modelul (noiunea) de punct
material poate fi utilizat numai în cazul în care sînt satisfcute
anumite condiii. Corpul în micare la care se neglijeaz nu numai
dimensiunile spaiale, ci i alte caracteristici ale lui (masa,
sarcina electric etc.) este numit mobil.
S examinm i s defi nim alt model de corp utilizat în mecanic.
Cunoatem c forma i di- mensiunile corpului dat depind, într-o
anumit msur, i de corpurile cu care el interacioneaz. Astfel,
lungimea unui resort poate fi mai mare sau mai mic, o lam poate fi
mai mult sau mai puin încovoiat etc. Deci corpurile din jur pot
modifi ca dimensiunile i forma corpului dat, adic provoac
deformarea acestuia. În natur nu exist corpuri care nu se
deformeaz, unele deformîndu-se în aceleai condiii mai puin, altele
mai mult.
În anumite cazuri modifi crile dimensiunilor i ale formei
corpurilor pot fi neglijate. În aceste situaii se utilizeaz modelul
solidului rigid.
Corpul care în condiiile date nu-i modifi c dimensiunile i forma
(adic nu se deformeaz) se numete solid rigid sau, pur i simplu,
rigid. Cu alte cuvinte, rigid este corpul la care distana dintre
orice dou puncte rmîne invariabil în timp. Pot fi utilizate i alte
modele atît pentru corpuri, cît i pentru fenomene fi zice.
Necesitatea
lor rezult din faptul c proprietile corpurilor i fenomenele fi zice
reale din natur sînt foarte complicate. De aceea se evideniaz unele
proprieti (sau factori) ce nu infl ueneaz esenial fenomenul studiat
i sînt neglijate. Acest procedeu este cunoscut sub denumirea de
abstractizare, iar modelele elaborate sînt numite abstracii.
Veridicitatea modelului elaborat este justifi cat de corectitudinea
prezicerilor obinute pe baza lui. Se ajunge, astfel, la o de-
scriere aproximativ, dar mai simpl, a fenomenului studiat, ceea ce
permite stabilirea unor relaii cantitative între mrimile ce-l
caracterizeaz. Ulterior pot fi evaluate i modifi crile condiionate
de factorii neglijai asupra rezultatelor obinute anterior.
Fig. 1.3
1. Ce reprezint punctul material? Exemplifi cai.
2. Care este deosebirea dintre noiunea de punct material i cea de
mobil?
3. Care corpuri solide se numesc rigide?
4. Mai multe automobile se afl în faa barierei în ateptarea
traversrii cii ferate. Poate fi con- siderat trenul drept un punct
material fa de automobile?
5. Analizai situaiile urmtoare: o albin se mic pe petalele unei fl
ori în cutarea nectarului; albina se afl în zbor spre stup; albina
zboar în faa urdiniului pentru a intra în stup. În ce caz albina
poate fi considerat punct material i în care nu? Argumentai
rspunsul.
1.2 SISTEM DE REFERIN. SPAIU I TIMP
a. Relativitatea micrii. Sistem de referin
În definiia micrii mecanice se menioneaz c schim- barea poziiei
corpului dat are loc „în raport cu alte corpuri”. De exemplu,
poziia unui automobil poate fi determinat în raport cu o born
kilometric de pe marginea oselei, cu podul de care se apropie, cu
autobuzul ce vine din sens opus, cu tractorul ce se deplaseaz în
direcie perpendicular fa de drumul pe care se mic automobilul (fig.
1.4) etc. Un pasager din autobuz se afl în stare de repaus în
raport cu autobuzul, dar se mic fa de celelalte corpuri. Astfel,
micarea automobilului sau a pa- sagerului poate fi descris în
raport cu mai multe corpuri. Aadar, ajungem la concluzia c
micarea oricrui corp, precum i starea lui de repaus, ca un caz
particular al micrii, sînt relative. Conchidem c înainte de a
cerceta micarea unui corp, trebuie s indicm corpul în raport
cu care este descris micarea. Acest corp, considerat fi x, este
numit corp de referin sau reper. Pentru a determina poziia
corpului, considerat punct
material, în raport cu un corp de referin, este necesar s legm de
el (în mod rigid) un sistem de coordonate i s avem un instrument de
msurare a distanelor. Alegerea corpului de referin legat cu
originea unui sistem de coordonate, a direciei i sensului axelor
acestuia este arbitrar. Descrierea micrii trebuie s fi e cît mai
simpl pentru observatorul care o cerceteaz. De exemplu, studierea
micrii unui corp pe puntea unui vas maritim poate fi realizat atît
în raport cu puntea vasului, cît i în raport cu Pmîntul. La
descrierea micrii navei cosmice spre Lun (fi g. 1.5), pot fi
utilizate diferite corpuri de referin – lansarea navei i micarea ei
în vecintatea Pmîntului este mai convenabil s fi e descrise
considerînd Pmîntul drept corp de referin. Micarea navei de la
Pmînt spre Lun poate fi descris inîndu-se cont de poziia ei atît fa
de Pmînt, cît i fa de Soare sau de Lun; apropierea de Lun i
aselenizarea navei se descriu mai simplu dac se consider Luna drept
corp de referin.
Fig. 1.5
Fig. 1.4
CI NE
M AT
IC A
În defi niia micrii mecanice se menioneaz, de asemenea, c
schimbarea poziiei corpului are loc în timp. De aceea, pentru a
descrie micarea, este necesar i un instrument de msurare a timpului
(un ceasornic), imobil fa de corpul de referin.
Toate elementele enumerate mai sus, indispensabile pentru a descrie
micarea mecanic a corpurilor, constituie ceea ce numim sistem de
referin sau referenial.
Corpul de referin, sistemul de coordonate (legat rigid cu el),
instrumentul de msurare a distanelor i ceasornicul (imobil în
raport cu acelai corp) formeaz sistemul de referin sau referenial
(consi- derat convenional fi x, fi g.1.6).
b. Unitile de lungime i de timp
Pentru a determina coordonatele punctului material la un moment
anumit de timp, este necesar s msurm lungimi i intervale de timp.
Pe aceast cale se stabilete cîte uniti conine mrimea msurat (ea
este egal cu numrul respectiv de uniti). Msurarea mrimii fi zice
const în compararea ei cu o mrime de aceeai natur, considerat ca
unitate.
În prezent se utilizeaz Sistemul Internaional (SI), ce are apte
uniti fundamentale stabilite, pentru apte mrimi fi zice. Unitile
altor mrimi fi zice se exprim prin cele fundamentale i sînt numite
uniti derivate.
Din gimnaziu cunoatei unitile de lungime i de timp – metrul (m) i
secunda (s). Metrul, ca unitate fundamental în SI, a fost defi nit
în 1791 ca a 1/40000000 parte din lungimea meridianului terestru pe
care este situat Parisul. S-au realizat apoi msurrile respective i
pe baza lor a fost stabilit un etalon al metrului, confecionat din
platin (90%) i iridiu (10%), adoptat la 10 decembrie 1799. Acesta
reprezint o bar de construcie special, avînd la capete cîte trei
linii subiri. Lungimea de 1 m este egal cu distana dintre liniile
de mijloc (fi g. 1.7). Etalonul se pstreaz la Biroul Internaional
de Msuri i Greuti de la Sèvres, lîng Paris. Msurrile mai exacte au
artat c lungimea meridianului ales este mai mare decît valoarea
obinut anterior, dar etalonul metrului nu a fost modifi cat (el nu
mai corespunde defi niiei iniiale).
Pentru msurarea timpului s-a folosit înc în Antichitate
periodicitatea schimbrii zilei cu noaptea, schimbare condiionat de
rotaia Pmîntului în jurul axei sale. Durata acestui interval numit
zi s-a dovedit a fi mare, de aceea a fost divizat în mai multe pri:
o zi conine 24 de ore (aceast divizare a fost propus înc în
Babilon), 1 or – 60 de minute, iar 1 minut – 60 de secunde. În SI
secunda a fost adoptat ca unitate fundamental pentru timp:
1s = 1 24 · 60 · 60 = dintr-o zi.
Secunda astfel defi nit este numit secund astronomic. Pe baza
acestor defi niii ale metrului i secundei au fost construite
instrumente ce permit
msurarea lungimilor i a intervalelor de timp cu precizii destul de
mari, sufi ciente pentru activitatea cotidian a omului.
Fig. 1.7
I
Cercetrile speciale necesit etaloane defi nite mult mai exact decît
cele descrise mai sus, care ar putea fi realizate în cazul
dispariiei etaloanelor existente. S-a stabilit c aciunea Lunii i a
Soarelui asupra Pmîntului frîneaz rotaia acestuia în jurul axei
sale, ceea ce duce la mrirea duratei unei zile cu circa 0,001 s
într-un secol. Durata zilei este infl uenat i de schimbrile formei
i ale dimensiunii Pmîntului, de cutremurele de pmînt .a. În urma
unor cutremure de intensitate mare, durata zilei variaz brusc cu
valori de pîn la 0,004 s.
Se impune utilizarea unui sistem fi zic cu o periodicitate mult mai
stabil. Aceasta este radiaia emis de atomi, pus la baza defi nirii
unor etaloane noi. În 1972, a fost adoptat o nou defi niie a
secundei ca unitate fundamental în SI:
O secund este egal cu 9 192 631 770 de perioade ale radiaiei ce
corespunde tran- ziiei dintre dou niveluri fi ne ale atomului de
cesiu 133. Tot radiaia atomilor, de aceast dat a atomilor de
cripton, a fost pus în 1960 la baza
defi niiei unui etalon nou al metrului. În 1983, acesta a fost
înlocuit cu un alt etalon, care este în uz i în prezent.
Metrul este egal cu distana parcurs de lumin în vid în intervalul
de timp egal cu 1/299 762 458 dintr-o secund. Aceste etaloane se
utilizeaz numai în cercetri speciale care necesit msurri cu
un
grad înalt de precizie.
c. Spaiul i timpul în mecanica clasic
Corpurile se mic în spaiu i în timp. Spaiul determin ordinea în
care sînt situate (aranjate) corpurile, iar timpul, ordinea în care
se succed fenomenele. Aceste noiuni se consider fundamentale în fi
zic.
În mecanica clasic sau newtonian, ale crei principii fundamentale
au fost formulate de ctre Newton, spaiul i timpul sînt considerate
absolute, independente unul de altul, de corpurile ce se afl i se
mic în spaiu. De aici rezult concluzii importante: distana dintre
dou puncte (lungimea segmentului) pentru observatorii din diferite
sisteme de referin este una i aceeai; aceasta se refer i la durata
intervalului de timp dintre dou evenimente – la determinarea ei
observatorii din diferite sisteme de referin obin una i aceeai
valoare.
La începutul secolului al XX-lea, s-a constatat c aceste concepii
referitoare la spaiu i timp sînt limitate i necesit modifi cri
eseniale.
ÎNTREBRI
1. Ce reprezint relativitatea micrii? Ilustrai cu exemple care
difer de cele din text.
2. Ce este corpul de referin?
3. Ce reprezint sistemul de referin?
4. Care este deosebirea dintre unitile fundamentale i cele
derivate?
5. Ce înelegei prin caracterul absolut al spaiului i al
timpului?
6. Care este corpul de referin preferat la studiul micrii
planetelor? Dar al sateliilor acestora?
7. Un pescar traverseaz rîul cu o luntre vîslind. Ce corpuri pot fi
luate drept corpuri de referin la descrierea micrii vîslei?
8. Poate fi considerat corp de referin corpul a crui micare se
studiaz?
13
1.3 TRAIECTORIA. DEPLASAREA I DISTANA PARCURS
a. Descrierea micrii unui punct material Micarea unui punct
material este considerat cunoscut (descris) dac poate fi
identifi cat poziia lui la orice moment de timp. Exist cîteva
metode de descriere a micrii.
Metoda coordonatelor. S urmrim un punct material care se mic de-a
lungul unei linii drepte (de exemplu, micarea automobilului sau a
trenului pe o poriune rectilinie de drum). În acest caz este
raional s construim sistemul de coordonate astfel încît o ax a lui,
de exemplu, axa Ox, s coincid cu aceast linie (fi g. 1.8). Poziia
mobilului M pe ax este determinat de valoarea coordonatei x egal cu
distana de la origi- nea O pîn la punctul M, luat cu semnul plus,
dac pentru a ajunge din O în M trebuie s ne micm în sensul pozitiv
al axei x, i luat cu semnul minus – în sens contrar. La micarea
mobilului M în timp, coordonata lui variaz, adic este o funcie de
timp:
x = x (t). (1.1)
Ecuaia dat descrie micarea punctului material de-a lungul unei
linii drepte i este numit ecuaie cinematic a micrii.
Pentru descrierea micrii unui punct material pe o suprafa plan (de
exemplu: o luntre pe apa stttoare a unui lac sau o bil pe masa de
biliard), este convenabil s construim un sistem de dou coordonate
situate în acest plan (fi g. 1.9). Poziia punctului material M pe
plan este determinat de coordonatele x i y, egale cu distanele lui
de la axele de coordonate i luate cu semnele plus sau minus în
acord cu convenia stabilit în cazul precedent. De exemplu,
coordonatele punctului M sînt
x = OM2 = MM1 i y = OM1 = MM2 , iar coordonatele punctului
M’:
x’ = OM’2 = M’ M’1 i y’ = – OM’1 = – M’ M’2 . La micarea punctului
material, coordonatele lui variaz, adic
x = x (t), y = y (t). (1.2)
Astfel, micarea punctului material pe o suprafa plan este descris
de dou ecuaii cinematice ale micrii.
În cazul micrii punctului material M în spaiu, se iau trei axe de
coordonate, reci- proc perpendiculare (fi g. 1.10). Poziia
punctului material M este determinat de cele trei coordonate x, y,
z, egale cu distanele punctului de la planele perpendiculare pe
axele corespunztoare. Distanele se iau cu semnele plus sau minus
conform regulii stabilite mai sus. De exemplu, punctul M are
coordonatele: x = M1M2, y = OM2, z = MM1, iar punctul M’are
coordonatele: x’ = – M’1 M’2, y’ = – OM’2, z’ = M’ M’1.
Cînd punctul material se mic, cele trei coordonate variaz în timp,
prin urmare: x = x (t), y = y (t), z = z (t). (1.3)
Aceste trei ecuaii cinematice ale micrii descriu complet micarea
punctului material în spaiu.
Fig. 1.8
Fig. 1.9
Fig. 1.10
I
Metoda vectorial. Poziia mobilului M în raport cu sistemul de
coordonate, legat rigid cu corpul de referin, poate fi determinat,
de asemenea, de un vector numit vector de poziie. Amintim c
vectorul este un segment de dreapt orientat, caracterizat prin
modúl (valoare), punct de aplicaie (origine), direcie i sens.
Originea vectorului de poziie r→ = OM→ coincide permanent cu
originea coordonatelor O, iar extremitatea sa cu punctul material M
(fig. 1.11). Modulul vectorului de poziie este egal cu distana de
la originea coordonatelor pîn la punctul M.
Cunoaterea vectorului de poziie r→ presupune cunoaterea modulului
su i a unghiurilor formate cu axele de coordonate sau cunoaterea
coordonatelor extremitii lui M.
Pentru a descrie micarea corpului într-un plan, reprezentm vectorul
de poziie al unui punct material ce se mic în acest plan (fi g.
1.12). Notm cu unghiul msurat în sens trigonometric, de la axa Ox
spre vectorul de poziie. Cunoaterea modulului vectorului de poziie
i a unghiului permite calcularea coordonatelor mobilului i
invers.
Din fi gur obinem x = r cos, y = r sin i relaiile inverse . Aceste
relaii rmîn valabile pentru orice valori ale unghiului . În timpul
micrii mobilului M, vectorul lui de poziie variaz în modúl i
direcie,
originea sa rmîne fi x (în O), iar sensul este mereu orientat de la
O spre M. Astfel, vectorul r→ este o funcie de timp:
r→= r→(t). (1.4)
b. Traiectoria
Mobilul în timpul micrii sale trece dintr-o poziie în alta.
Ansamblul poziiilor ocupate succesiv de mobil constituie o linie
numit traiectorie. Traiectoria permite vizualizarea simultan a
tabloului integral al micrii, al tuturor
punctelor prin care a trecut sau va trece mobilul în timpul micrii.
Traiectoria reprezint, în genere, o linie imaginar i doar uneori
este materializat de
corpuri. De exemplu, linia de cale ferat determin traiectoria
trenului, sîrma care trece printr-o bil determin traiectoria
acesteia în timpul alunecrii pe sîrm etc.
Forma traiectoriei este pus la baza primei clasifi cri a micrilor
mecanice ale mobilului: în micri rectilinii (traiectoriile sînt
linii drepte) i în micri curbilinii (traiectoriile sînt linii
curbe, în plan sau în spaiu).
c. Deplasarea i distana parcurs
Considerm traiectoria unui mobil (fi g. 1.13) i dou poziii ocu-
pate de el pe traiectorie: poziia M la momentul de timp t i poziia
M’ la momentul ulterior de timp t’= t +Δt.
Vectorul Δs→ = MM’care unete poziia iniial M i cea fi nal M’se
numete vector deplasare sau deplasare Δ s→ a mobilului în
intervalul de timp t = t’– t .
Fig. 1.11
Fig. 1.12
Modulul deplasrii (lungimea vectorului deplasare) este distana
minim dintre aceste poziii i nu depinde de forma traiectoriei
dintre ele.
Lungimea traiectoriei l dintre poziiile M i M’se numete distan
parcurs de mobil în intervalul de timp t. Deplasarea mobilului este
o mrime vectorial i nu poate fi comparat cu distana
parcurs, care reprezint o mrime scalar. Ultima poate fi comparat
doar cu modulul deplasrii ce nu poate depi distana parcurs: s→ ≤
l.
d.o Micarea de translaie a rigidului
Micarea de translaie a rigidului este micarea în care segmentul de
dreapt ce unete dou puncte arbitrare ale rigidului rmîne paralel cu
sine însui (fi g. 1.14). În jur observm deseori corpuri în micare
de translaie: valiza cu
rotile ce coboar pe o suprafa înclinat (fi g. 1.15), telefericul ce
urc sau coboar, dar a crui podea rmîne permanent orizontal (fi g.
1.16), scaunele roii de contemplare („roata dracului”) ale cror
speteze sînt permanent verticale (fi g. 1.17) etc.
Cercetînd detaliat micarea de translaie a corpului din fi gura
1.14, observm c segmentul AB ce unete punctele arbitrare A i B ocup
ulterior poziia A’B’. În conformitate cu defi niia rigidului,
segmentele AB i A’B’au lungimi egale, iar potrivit defi niiei
micrii de translaie, aceste segmente sînt paralele. Prin urmare,
pa- trulaterul ABB’A’este un paralelogram. Deci în intervalul de
timp cît a durat aceast micare, deplasrile punctelor arbitrare A i
B sînt egale: . Punctele fi ind arbi- trare, rezult c deplasrile
tuturor punctelor rigidului în micare de translaie sînt egale între
ele, adic toate punctele au traiectorii identice. Acest fapt
permite s considerm rigidul în micare de translaie drept punct
material, chiar dac dimensiunile corpului nu sînt
neglijabile.
ÎNTREBRI I PROBLEME
02. Care este defi niia vectorului de poziie?
03. Ce numim traiectorie a unui punct material?
04. Cum se defi nete vectorul deplasare? Dar distana parcurs?
Fig. 1.14
I
05. În ce const micarea de translaie? Cum se mic punctele corpului
în cazul micrii de translaie?
06. Poate oare modulul deplasrii unui corp s fi e egal cu distana
parcurs? Dar mai mare? Mai mic? Argumentai rspunsul.
07. Deplasarea mobilului într-un interval de timp este egal cu
zero. Se poate oare afi rma c în acest interval mobilul s-a afl at
în repaus? Justifi cai rspunsul.
08. Ce indic contorul vitezometrului automobilului: modulul
deplasrii sau distana parcurs?
09. Coordonatele punctului material la un moment de timp sînt: x =
8 m, y = 6 m. Trasai pe caiet axele unui sistem plan al
coordonatelor i reprezentai în el poziia punctului i vectorul lui
de poziie. Determinai în baza fi gurii obinute modulul vectorului
de poziie i unghiul format de el pe axa Ox. Verifi cai rezultatele
efectuînd calculele respective (vezi p. 14).
10. Un corp aruncat vertical în sus de la înlimea h = 3 m deasupra
pmîntului se ridic în sus cu H = 7 m deasupra locului lansrii, apoi
cade pe pmînt. Determinai modulul deplasrii i distana parcurs de
corp în aceast micare.
11. Un grup de turiti parcurge distana l1 = 1,6 km în direcia Nord,
apoi înc l2 = 1,2 km în direcia Vest. Determinai modulul deplasrii
grupului de turiti i cu cît el este mai mic decît distana
parcurs.
12. O bil se mic de la un capt pîn la altul al unui jgheab de forma
unui semiinel de raz R = 0,5 m. Determinai modulul deplasrii bilei
i distana parcurs de ea.
13. Un sportiv alearg pe un stadion distana L = 200 m. Pista de
alergri prezint un semicerc urmat de o poriune rectilinie cu
lungimea l = 100 m. Care este modulul deplasrii sportivului?
1.4 OPERAII CU VECTORI
a. Adunarea vectorilor
În fi zic se utilizeaz pe larg mrimile vectoriale, dou dintre ele
fi ind deja defi nite: vectorul de poziie i deplasarea. Din cursul
de Matematic, clasa a VIII-a, cunoatei unele elemente de algebr
vectorial.
Regula adunrii (compunerii) vectorilor poate fi stabilit relativ
simplu, analizînd un exemplu de micare. Imaginai-v intersecia a dou
strzi i un pieton care se afl în poziia A i trebuie s ajung în
poziia B (fi g. 1.18). Trecerea direct de la A la B, în linie
dreapt, este interzis de regulile de circulaie. De aceea pietonul
traverseaz mai întîi una din strzi ca s ajung în poziia C, apoi
strada a doua i ajunge în poziia B.
În conformitate cu defi niia, vectorul s→ = AB→ este deplasarea
pietonului în tot intervalul de timp. Aceast deplasare se compune
din dou etape, s→1 = AC→ i s→2 = CB→
, efectuate succesiv. Deci
Acest exemplu ilustreaz regula adunrii vectorilor. Considerm doi
vectori: a→ i
b→ (fi g. 1.19, a) i notm suma lor cu c→ = a→ + b→. Reprezentm în
fi gura 1.19, b vectorul a→, apoi translm paralel vectorul
b→cu originea sa în extremitatea vectorului a→. Vectorul sum c→,
numit i rezultant, îi are originea în cea a primului vector a→ i
extremitatea în cea a vec- torului al doilea b→. Acelai rezultat
c→se obine dac efectum operaia menionat mai sus în ordine invers,
adic reprezentm mai întîi vectorul
b→, iar pe urm vectorul a→(fi g. 1.19, c). Aceast regul de adunare
a vectorilor este cunoscut ca regula triunghiului.
Rezultatul adunrii vectorilor rmîne acelai dac realizm o alt fi
gur: reprezentm vectorii ce se adun, a→i
b→, cu originea comun, construim pe ei un paralelogram, apoi
17
CI NE
M AT
IC A
diagonala lui, care pornete din originea comun a acestor vectori.
Vectorul sum c→ pornete din aceast origine i are ca extremitate
vîrful opus al paralelogramului (fi g. 1.19, d). Aceast regul a
fost denumit regula paralelogramului.
Avem dou reguli echivalente de adunare a vectorilor. În cazul
folosirii regulii triun- ghiului se construiesc doar dou laturi ale
paralelogramului i diagonala lui.
La adunarea mai multor vectori una dintre regulile expuse mai sus
se aplic de mai multe ori, rezultatul fi ind independent de ordinea
în care acetia se adun (fi g. 1.20).
Modulul vectorului sum poate fi determinat atît grafic, prin
construirea figurii corespunztoare la o scal aleas, cît i analitic.
De exemplu, dac vectorii a→
i b→au suport
comun i acelai sens (fi g. 1.21, a), atunci modulul sumei este egal
cu suma modulelor; dac îns vectorii au suport comun, dar sensuri
contrare (fi g. 1.21, b), vectorul sum este orientat în sensul
vectorului cu modulul mai mare i are modulul egal cu diferena
modulelor vecto- rilor ce se adun; în cazul în care vectorii
a→
i b→formeaz între ei un unghi drept (fi g. 1.21, c),
modulul vectorului sum se determin pe baza teoremei lui Pitagora: c
= . În alte cazuri se utilizeaz aparatul matematic adecvat, de
exemplu, teorema cosinusului.
b. Scderea vectorilor
Considerm doi vectori a→i b→. Diferena lor d→ = a→ – b→
poate fi determinat prin cîteva metode.
Observm c a→ = b→+ d→, adic vectorul a→ este vector sum. Construim
vectorii a→i
b→cu origine comun. Evident, vectorul d→
este segmentul orientat din extremitatea vectorului
b→spre extremitatea lui a→(fi g. 1.22, a).
S 2
S 1
I
Transformm relaia d→ = a→ – b→ = a→ + (– b→). Astfel, vectorul
diferen d→se obine prin adunarea vectorilor a→i (– b→), ultimul
avînd acelai modúl i aceeai linie de suport ca i vectorul
b→, dar sens contrar (fi g. 1.22, b). Din fi gurile de mai jos
observai c prin ambele metode se obine unul i acelai
rezultat.
Cunoaterea operaiei de scdere a vectorilor permite s exprimm
vectorul deplasare s→ al mobilului prin vectorii de poziie r→i r→’
ai locurilor ocupate de acesta la începutul i la sfîritul
intervalului de timp. Din fi gura 1.23 observm c s→ = r→’– r→= r→,
unde cu r→= r→’– r→s-a notat variaia vectorului de poziie al
mobilului.
Vectorul deplasare al mobilului într-un interval oarecare de timp
este egal cu variaia vectorului de poziie al mobilului în acest
timp.
c. Componentele i proieciile unui vector
Din cele expuse mai sus rezult c este relativ simplu a determina
modulul vectorului sum sau al vectorului diferen a doi vectori dac
aceti vectori sînt coliniari sau reciproc perpendiculari. Dac îns
unghiul dintre vectori este arbitrar i se opereaz cu mai muli
vectori, procedura adunrii (scderii) se complic considerabil.
Pentru a o simplifi ca, se introduc noiunile de componente i de
proiecii ale vectorilor.
Orice vector situat în planul de coordonate xOy poate fi prezentat
ca suma a doi vectori paraleli la axele de coordonate (fi g. 1.24).
Aceti vectori se numesc componente ale vectorului. Astfel, compo-
nentele unui vector sînt tot vectori. Componenta se noteaz ca i
vectorul corespunztor, dar cu indice care arat axa creia îi este
paralel. Astfel, cx
→ este componenta vectorului
c→paralel la axa Ox, iar cy →
este componenta aceluiai vector paralel la axa Oy. Conform defi
niiei, c→x + cy
→ = c→. Folosind componentele vectorilor, sistemul iniial de
vectori orientai arbitrar în plan se
înlocuiete cu un sistem de vectori în numr de dou ori mai mare,
dintre care o jumtate sînt paraleli la axa Ox, iar alt jumtate –
paraleli la axa Oy. Dup adunarea vectorilor din fi ecare jumtate,
se obin doi vectori reciproc perpendiculari. Procedura adunrii
vectorilor s-a simplifi cat.
Fig. 1.22 Fig. 1.23
CI NE
M AT
IC A
Pentru a efectua calculele prin metoda analitic, introducem înc o
noiune – proiecia vectorului pe o ax, în particular, pe axa de
coordonate. Conform defi niiei, proiecia unui vector pe o ax
reprezint o mrime scalar algebric egal cu modulul com- ponentei
vectorului în direcia acestei axe, luat cu semnul plus dac
componenta i axa respectiv au acelai sens sau cu semnul minus în
cazul în care sensul componentei este contrar sensului axei.
Proiecia vectorului a→ pe axa Ox se noteaz cu ax , proiecia
vectorului
b→pe axa Oy – cu by etc. Conform fi gurii 1.24, proieciile
vectorilor sînt:
ax=ax →, ay= ay
→.
Exist i o alt defi niie, echivalent, a proieciei vectorului pe o
ax. S examinm vec- torul a→din fi gura 1.25. Coborîm perpendiculare
din originea i extremitatea lui pe axele de coordonate. Astfel, se
obin proieciile punctelor respective pe axe. Proiecia vectorului pe
o ax este egal cu diferena dintre coordonatele proieciei extremitii
i proieciei vectorului originii. Adic ax = x2 – x1 i ay = y2 – y1.
Observm c ax > 0 i ay < 0, ceea ce rezult i din defi niia
precedent.
Proieciile vectorului se pot calcula ca lungimile catetelor
triunghiurilor dreptunghice. Cunoscînd un unghi (fi g. 1.25),
pentru proiecii avem ax = a sin i ay = – a cos .
Din aceeai fi gur se obine i relaia dintre modulul vectorului i
proieciile lui pe axele de coordonate:
. (1.6)
S ilustrm aplicarea noiunii de proiecie a vectorului la calcularea
sumei a trei vectori s→ = a→+ b→+ c→(fi g. 1.26). Din fi gur
observm c proiecia vectorului sum pe axa Ox este sx= x4 – x1 = (x4
– x3 ) + (x3 – x2 ) + (x2 – x1 ) = cx + bx + ax.
În mod similar se obine: sy = ay + by + cy.
Proiecia vectorului sum a unui sistem de vectori este egal cu suma
proieciilor acestor vectori pe axa corespunztoare. inînd seama de
relaia (1.6), pentru modulul vectorului sum avem
s = √ s2 x + s2
y= √ (ax+ bx+ cx)2 + (ay+ by+ cy)2. (1.7)
În cazul diferenei vectorilor, proieciile respective se iau cu
semnul minus.
Fig. 1.26Fig. 1.25
ÎNTREBRI I PROBLEME
01. Cum se adun doi vectori dup regula triunghiului? Dar dup regula
paralelogramului?
02. Ce reprezint componentele unui vector?
03. Cum se determin proiecia unui vector pe o ax?
04. Cu ce este egal proiecia pe o ax a vectorului perpendicular pe
ea?
05. Suma a cror doi vectori este egal cu zero?
06. În ce caz modulul sumei a doi vectori este egal cu diferena
modulelor vectorilor ce se adun?
07. Modulul vectorului sum a doi vectori de module identice este
egal cu modulul unuia dintre ei. Care este unghiul dintre vectorii
ce se adun?
08. Trei vectori de module egale, situai în acelai plan, formeaz
între ei unghiuri de 120o. Care este modulul sumei acestor
vectori?
09. Proieciile vectorului a pe axele de coordonate sînt ax=2 uniti
i ay = 2uniti. Determinai modulul acestui vector i unghiurile
formate de el cu axele de coordonate.
10. Vectorul a are proieciile pe axele de coordonate ax = 6 uniti i
ay = – 4 uniti, iar vectorul
b − proieciile egale cu bx=–2uniti i by = 2 uniti . Determinai
modulul vectorului sum
s = a + b i modulul vectorului diferen d = a – b.
11. Un punct material s-a deplasat din poziia M1 determinat de
coordonatele x1 = 6 m, y1 = –2 m în poziia M2 cu coordonatele x2 =
2 m, y2 = 1 m. Alegei un sistem plan de coordonate Oxy i scala
respectiv pentru lungime. Indicai poziiile M1 i M2, trasai vectorii
respectivi de poziie r1 i r2 , precum i vectorul deplasare Δs = r2
– r1. Determinai, în baza fi gurii obinute, modulul vectorului
deplasare. Verifi cai rezultatul prin calculele respective.
1.5 MICAREA RECTILINIE UNIFORM. VITEZA
Micarea rectilinie a punctului material care parcurge deplasri
egale în intervale de timp egale se numete micare rectilinie
uniform. Fie s→1 , s→2 , s→3 , … sînt deplasrile mobilului în
intervalele de timp t1 , t2 , t3 , …
corespunztoare. În conformitate cu defi niia de mai sus, s→1 = s→2
= s→3 =…, pentru orice intervale t1 = t2 = t3 =… . Dac unul dintre
aceste intervale este divizat în dou pri egale, atunci i deplasarea
ce corespunde unei jumti de interval va fi egal cu o jumtate din
deplasarea efectuat în intervalul întreg de timp. Aceast afi rmaie
rmîne just i în cazul divizrii intervalului de timp în mai multe
pri egale.
Egalitatea vectorilor deplasare ai punctului material este posibil
numai dac acetia sînt orientai de-a lungul aceleiai drepte. Astfel,
conchidem c în condiiile prevzute de defi niia de mai sus
traiectoria mobilului constituie o linie dreapt, adic micarea este
rectilinie, iar din egalitatea deplasrilor i, respectiv, a
intervalelor de timp rezult egali- tatea rapoartelor:
= = ... = = ... = const.
21
CI NE
M AT
IC A
Vitez a mobilului în micarea rectilinie uniform este numit raportul
dintre depla- sarea mobilului i intervalul de timp respectiv:
→ = = const. (1.8)
Intervalul de timp t > 0; prin urmare, viteza are aceeai direcie
i sens ca i vectorul deplasare. Putem formula o alt defi niie
pentru aceeai micare:
Micarea mobilului cu vitez constant → este o micare rectilinie
uniform. S-a convenit a nota unitile mrimilor fi zice cu
simbolurile respective luate în paran-
teze ptrate. De exemplu, unitatea deplasrii [s→ ] = m, a
intervalului de timp [t] = s. La stabilirea unitii de vitez în SI,
obinem
[ v→ ]=
.
Unitatea de vitez este o unitate derivat, deoarece se exprim prin
unitile fundamentale. Pentru a descrie mai simplu micarea
mobi-
lului de-a lungul traiectoriei sale rectilinii, este convenabil s
lum o ax de coordonate, Ox, de-a lungul traiectoriei (fig. 1.27).
Indicm pe ax poziia iniial a mobilului M0 (la momentul t0 = 0) i
poziia fi nal M→(la momentul t). Deplasarea mobilului în intervalul
t = t – 0 = t este egal cu vectorul = s→ , iar viteza lui v→
= . De aici exprimm deplasarea mobilului în intervalul Δt =
t:
s→ = →t. (1.9)
Legea micrii rectilinii uniforme este urmtoarea:
Deplasarea mobilului ce se mic rectiliniu uniform este direct
proporional cu durata micrii. În proiecii pe axa Ox avem
sx = xt. (1.10)
Din fi gura 1.27 observm c proiecia deplasrii sx = x – x0, deci x –
x0 = vxt. Astfel, co- ordonata mobilului ce se mic rectiliniu
uniform este dat de expresia
x = x0+ x t, (1.11)
care constituie ecuaia cinematic a micrii rectilinii uniforme. Din
(1.11) observm c pentru vx > 0, cînd viteza este
orientat în sensul pozitiv al axei Ox, coordonata x crete cu
timpul, iar pentru vx < 0 ea descrete.
Ecuaia micrii (1.11) permite a determina coordonata mobilului la
orice moment de timp, adic descrie micarea dat.
Construim grafi cele pentru proieciile vitezei i pentru coordonata
mobilului în micarea rectilinie uniform.
Proiecia vitezei rmîne constant în timp, grafi cul ei este o dreapt
paralel la axa timpului (fi g.1.28). Dreapta 2
Fig. 1.27
I
corespunde micrii cu o vitez v2x mai mare decît viteza v1x , iar
dreapta 3 corespunde micrii în sensul negativ al axei Ox (proiecia
v3x < 0).
Cunoaterea grafi cului pentru proiecia vitezei mobilu- lui permite
calcularea proieciei deplasrii lui. Din grafi cul reprezentat în fi
gura 1.29 i luînd în considerare formula (1.10), constatm c
proiecia deplasrii s1x = v1x . t1 este numeric egal cu aria
dreptunghiului haurat dintre grafi c i axa timpului. Dac proiecia
vitezei v2x < 0, atunci i proiecia deplasrii este negativ.
Se tie c laturile fi gurilor se exprim în metri (m), iar ariile lor
în metri ptrai (m2). Dreptunghiul de sub grafi cul proieciei
vitezei are o latur (pe axa absciselor) care se exprim în s, a doua
– în m/s, iar aria lui se exprim în metri. Analogia cu geometria nu
este complet, de aceea se menioneaz c egalitatea proieciei
deplasrii cu aria de sub grafi c reprezint doar o egalitate
numeric, unitatea de msur fi ind diferit de unitatea de msur a
ariei (m2).
În conformitate cu ecuaia micrii (1.11), la momentul iniial (t0 =
0) coordonata mobilului este egal cu x0, apoi crete liniar pentru
vx > 0 (grafi cul 1 din fi g. 1.30). Grafi cul 2 corespunde
micrii cu o vitez mai mare, ambele mobile pornind din aceeai
poziie. Grafi cul 3, paralel cu grafi cul 1, corespunde micrii ce
are ca poziie iniial originea coor- donatelor i viteza v3x = v1x .
Grafi cul 4 corespunde micrii mobilului care începe din poziia cu
coordonata x’0 i are proiecia vitezei v4x < 0, adic mobilul se
mic în sensul negativ al axei Ox.
Distana parcurs de punctul material în micarea rectilinie uniform
este egal cu modulul deplasrii, deoarece sensul micrii rmîne
permanent acelai. Avem l = |sx| = |vx|t.
Dac cunoaterea grafi cului proieciei vitezei permite de- terminarea
deplasrii, deci i a coordonatei, atunci cunoaterea grafi cului
coordonatei permite calcularea proieciei vitezei. În acest scop,
determinm din grafi c variaia coordonatei (egal cu proiecia
deplasrii) într-un interval oarecare de timp t (fi g. 1.31), apoi
calculm:
x = . (1.12)
Din aceeai fi gur observm c aceast mrime este raportul catetei
opuse la cateta alturat unghiului , adic un raport asemntor celui
care defi nete tangenta unghiului. Aceasta îns este o mrime
adimensional, în timp ce raportul catetelor triunghiului din fi
gura 1.31 reprezint o mrime dimensional i se msoar în uniti de
vitez (m/s). De aceea trebuie s fi m ateni la utilizarea în
asemenea cazuri a noiunii de tangent, subliniind c egalitatea
mrimilor în cauz este doar numeric.
Fig. 1.29
Fig. 1.30
Fig. 1.31
CI NE
M AT
IC A
PROBLEM REZOLVAT
În fi gura 1.32 sînt reprezentate grafi cele micrii pentru dou mo-
bile. Utilizînd grafi cele:
a) determinai intervalele de timp i distanele parcurse de mobile
pîn la întîlnirea lor;
b) determinai vitezele mobilelor; c) scriei ecuaiile micrii
mobilelor;
d) determinai distana dintre mobile la t = 4 s dup întîlnire.
REZOLVARE a) Punctul de intersecie al grafi celor corespunde
întîlnirii mobilelor,
adic aceasta are loc la momentul de timp tînt = 6 s în punctul
cu
coordonata xînt = 8 m. Mobilul 1 începe micarea sa din punctul cu
coordonata x01= 5 m la momentul t01= 0, deci pîn la întîlnire
parcurge distana l1= xînt – x01= 3 m în timpul t1 = tînt – t01 = 6
s. Mobilul 2 începe s se deplaseze
la momentul t02 = 2 s din origine: x02 = 0. Pîn la întîlnire el
parcurge distana l2 = xînt – x02 = 8 m
în timpul t2 = tînt – t02 = 4 s.
b) Vitezele ambelor mobile sînt orientate în sensul pozitiv al axei
Ox:
v1 = = 0,5 m/s i v2 = = 2 m/s.
c) Ecuaia micrii mobilului 1 se obine din expresia general x = x0 +
vxt, în care se sub- stituie valorile obinute mai sus: x1 = x01+
v1t = 5 + 0,5t. Cel de-al doilea mobil începe s se deplaseze din
origine (x02 = 0) cu t02 = 2 s mai tîrziu decît primul, ecuaia
micrii lui fiind x2 = v2 (t – t02) = 2(t –2). În aceast expresie se
pot substitui doar valorile t >_ 2 s.
d) Distana dintre mobile d = |x1 – x2| = |5 + 0,5 t – 2 (t – 2)| =
|9 – 1,5 t|. Intervalul de timp
t = 4 s dup întîlnire corespunde momentului de timp t1 = tînt + t =
10 s. Distana d la acest moment: d = 6 m.
ÎNTREBRI I PROBLEME
1. Care micare a mobilului este numit rectilinie uniform?
2. Ce se numete vitez a mobilului în micare rectilinie
uniform?
3. Cum se defi nete micarea rectilinie uniform prin noiunea de
vitez?
4. Cum poate fi determinat proiecia deplasrii mobilului în micare
rectilinie uniform cînd este cunoscut grafi cul vitezei?
5. Ce indic vitezometrul automobilului: proiecia vitezei sau
modulul ei?
6. Un automobil care se mic rectiliniu uniform cu viteza v1 = 54
km/h a parcurs în t1 = 10 s o distan egal cu cea parcurs de un
motociclist în t2 = 12 s. Care este viteza motociclistului,
considerînd micarea lui, de asemenea, rectilinie uniform?
7. Un tren cu lungimea l = 160 m traverseaz un rîu pe un pod cu
lungimea L = 290 m. Cît timp dureaz micarea trenului pe pod cu
viteza constant v = 18 km/h?
8. Un mobil se mic rectiliniu uniform. La momentul t1 = 2 s
coordonata lui x1 = 5 m, iar la momentul t2 = 4 s coordonata devine
egal cu x2 = 2 m. Scriei ecuaia micrii mobilului.
9. Dou mobile se mic de-a lungul axei de coordonate Ox conform
ecuaiilor x1 = –3 + 2t i x2 = 17 – 3 t, în care timpul t este
exprimat în s , iar coordonata x – în m. Construii grafi cele
pentru coordonatele i proieciile vitezelor mobilelor; determinai
momentul întîlnirii lor i distanele parcurse de ele pîn la
întîlnire.
Fig. 1.32
1.6° CINEMATICA MICRII RELATIVE
Mai sus (par. 1.2, a) s-a menionat c micarea este relativ, adic
poate fi descris simul- tan fa de mai multe sisteme de referin. În
acest caz este important s stabilim ce relaii exist între
caracteristicile micrii unuia i aceluiai corp în sisteme de referin
diferite.
De exemplu, un elev se deplaseaz cu autobuzul. Admitem c el s-a
aezat pe un scaun (fi g. 1.33, a). Fa de autobuz elevul se afl în
repaus, dar fa de staia de autobuze (de Pmînt) el se mic împreun cu
autobuzul. Astfel, acest elev fa de un referenial se afl în repaus,
iar fa de altul se mic. De aceea se spune c starea de repaus este
relativ i depinde de alegerea referenialului. Deplasarea elevului
fa de referenialul legat de autobuz (referenialul mobil) este nul
s1 = 0, iar deplasarea sa s
fa de referenialul
legat de Pmînt (referenial considerat convenional fi x) devine egal
cu deplasarea s→2 a autobuzului, adic
s→ = s→2 pentru s→1 = 0. (1.13)
O alt situaie: elevul intr în autobuz prin ua din spate i trece pîn
la ua din fa în timp ce autobuzul se mic. Dup cum se observ din fi
gura 1.33, b, deplasarea s→ a elevului fa de Pmînt este egal cu
deplasarea sa s→1 fa de autobuz plus deplasarea s→2
a acestuia:
s→ = s→1 + s→2 . (1.14)
Deplasrile elevului în raport cu cele dou refereniale sînt
diferite, deci ele sînt relative, adic dependente de referenialul
ales.
Dac îns elevul intr în autobuz prin ua din fa i se deplaseaz spre
partea din spate a lui, relativitatea micrii este i mai evident: în
raport cu autobuzul elevul se deplaseaz într-un sens (în sensul
deplasrii sale s→1 ), iar în raport cu Pmîntul în sens contrar (i
cu spatele înainte!). Din fi gura 1.33, c observm c i în acest caz
deplasrile corpurilor satisfac relaia (1.14).
Corpurile din exemplele de mai sus se micau în aceeai direcie. S
examinm acum un caz cînd ele se mic în direcii diferite: pe
suprafaa apei unui rîu se deplaseaz simultan, pornind din acelai
loc, o plut i o luntre cu vîsle, aceasta inînd cursul su
perpendicular pe direcia curentului de ap (fi g. 1.34). Pluta i
luntrea sînt antrenate în micare de curentul de ap la fel, rmînînd
permanent pe o direcie perpendicular fa de curentul de ap. În
timpul în care luntrea ajunge la malul opus al rîului, aceasta, ca
i pluta, s-a deplasat în direcia curentului de ap cu s→2 .
Deplasarea luntrii în raport cu pluta, deci i în raport cu curentul
de ap, este egal cu s→1 . Din fi gur observm c deplasarea s→
a luntrii în raport cu malul satisface relaia s→ = s→1 + s→2 ,
obinîndu-se din nou relaia (1.14).
Fig. 1.33
Fig. 1.34
S 2
S 1
CI NE
M AT
IC A
Micarea corpului fa de sistemul mobil i caracteristicile acesteia
sînt numite rela- tive: deplasare relativ, vitez relativ. Micarea
corpului i caracteristicile ei în raport cu sistemul de referin
considerat fi x sînt numite absolute: deplasare absolut, vitez
absolut. Micarea corpului cauzat numai de micarea sistemului mobil
este numit micare de transport i, respectiv, caracteristicile ei:
deplasare de transport, vitez de transport. Din aceste defi niii
reiese c pentru a evidenia micarea de transport i a determina
carac-
teristicile ei, este necesar s ne imaginm corpul în repaus fa de
referenialul mobil. În aceti termeni relaia (1.14) se enun
astfel:
Deplasarea absolut a corpului este egal cu suma deplasrii relative
i a celei de transport. Aceasta este legea compunerii deplasrilor.
La prima vedere, relaia (1.14) este identic cu relaia (1.5). În
ambele cazuri se adun
vectorii deplasare. Dar în relaia (1.5) se adun vectorii deplasare
ai corpului pentru in- tervale succesive de timp t1 i t2,
obinîndu-se deplasarea corpului în întreg intervalul de timp ( t =
t1 + t2). În relaia (1.14) îns fi gureaz deplasri ale corpului în
unul i acelai interval de timp, dar fa de refereniale diferite, i
deplasarea corpului condiionat de micarea referenialului
mobil.
Considerm c micarea relativ a corpului i cea a referenialului mobil
sînt rectilinii i uniforme. Atunci i micarea în raport cu
referenialul fi x este rectilinie i uniform.
Notm cu t durata micrii (timpul este absolut, deci durata t este
aceeai în ambele sisteme de referin). Împrind termenii relaiei
(1.14) la t, obinem
. (1.15)
Mrimea v→ = constituie viteza absolut (în raport cu referenialul fi
x), v→1 = este
viteza relativ (în raport cu referenialul mobil) i v→2 = – viteza
de transport, adic viteza
pe care o are corpul datorit micrii referenialului mobil. Relaia
(1.15) ia forma
→ = →1 + →2
. (1.16)
Viteza absolut a mobilului este egal cu suma vitezei relative i a
celei de transport. Aceasta este legea compunerii vitezelor.
Astfel, nu numai deplasarea mobilului, ci i viteza lui este o
caracteristic relativ,
dependent de sistemul de referin ales. Legea exprimat de relaia
(1.16) este cunoscut, de asemenea, ca legea compunerii
vitezelor în mecanica clasic. Ulterior vei afl a c ea rmîne valabil
la viteze mult mai mici decît viteza luminii în vid c i c la viteze
comparabile cu c este înlocuit cu o lege general de compunere a
vitezelor, care la viteze mici în comparaie cu c trece în legea
(1.16).
PROBLEM REZOLVAT Un sportiv traverseaz un rîu cu limea L în direcie
perpendicular pe mal. El ajunge în punctul B de pe malul opus,
situat vizavi de locul de plecare, apoi se reîntoarce la acesta. A
doua oar sportivul înoat în sens opus curentului de ap (în amonte)
la o distan egal, de asemenea,
26
I
cu L, dup care se întoarce la locul iniial. În ce caz sportivul a
consumat un timp mai mare i de cîte
ori? Viteza sportivului în ap stttoare v1 = 0,90 m/s, viteza de
curgere a apei din rîu v2 = 0,54 m/s.
REZOLVARE Reprezentm în fi gura 1.35 poziia iniial A, poziia B de
pe malul opus al rîului i poziia C în amonte. Distanele AB = AC =
L. La traversarea rîului din A în B i înapoi,
viteza v→1 a sportivului în raport cu apa trebuie s fi e orientat
sub un anumit unghi
fa de aceast direcie, astfel încît viteza v→ a lui fa de mal s fi e
perpendicular
pe acesta. Din fi gur observm c v = . Deci timpul deplasrii din A
în B
i înapoi este egal cu t1 = . Viteza sportivului fa de mal la
deplasarea lui din A în C
este egal cu (v1– v2), iar la deplasarea din C în A – cu (vv1 +
vv2).
Timpul total în acest caz: t2 = . Calculm
raportul timpilor: = 0,8, de unde
obinem t2 = 1,25 t1.
Astfel, în cel de-al doilea caz sportivul are nevoie de un interval
de timp de 1,25 ori mai mare decît în primul caz.
ÎNTREBRI I PROBLEME
1. Cînd caracteristicile micrii sînt numite absolute? Dar de
transport?
2. Cum se formuleaz legea compunerii vitezelor?
3. Cum se explic faptul c în majoritatea cazurilor sateliii sînt
lansai dinspre vest spre est (vezi fi g. 1.5)?
4. Viteza unui biciclist v1 = 12 m/s, iar viteza vîntului ce-i sufl
în fa este v2 = 4 m/s, ambele viteze fi ind considerate în raport
cu pmîntul. Determinai viteza vîntului în raport cu
biciclistul.
5. Viteza de curgere a apei din rîu v1 = 1,2 m/s. O luntre cu motor
se deplaseaz în amonte (în sens contrar curentului de ap) cu viteza
v2 = 3 m/s fa de mal. Cu ce vitez se mic luntrea în aval (în sensul
curgerii apei)? Regimul de funcionare a motorului luntrii în ambele
cazuri este acelai.
6. Pe dou linii paralele de cale ferat se deplaseaz în acelai sens
dou trenuri: un marfar cu lungimea L = 640 m, cu viteza v1 = 36
km/h i un tren de pasageri cu viteza v2 = 64,8 km/h. Determinai
intervalul de timp în care pasagerul vede marfarul atunci cînd
acesta este depit de trenul de pasageri.
7. O scar rulant urc o persoan afl at în repaus în timpul t1 = 1
min. Pe scara imobil persoana urc în t2 = 3 min. În cît timp ea va
urca micîndu-se pe scara cu trepte mobile?
8. Un sportiv trece înot un rîu în direcie perpendicular pe mal cu
viteza v = 0,5 m/s fa de
acesta. Determinai viteza de curgere a apei din rîu dac se tie c ea
este de ori mai mic decît viteza sportivului în raport cu
apa.
9. O luntre traverseaz un rîu cu limea L = 60 m , viteza ei fa de
ap fi ind perpendicular pe direcia curentului de ap. tiind c viteza
luntrii în ap stttoare este egal cu v1 = 3 m/s, iar viteza
curentului de ap – cu v2 = 1 m/s, s se determine:
a) viteza luntrii fa de mal; b) distana cu care a fost deplasat
luntrea de curentul de ap; c) modulul deplasrii luntrii fa de malul
rîului.
Se d:
a. Micarea rectilinie neuniform. Viteza medie. Viteza
momentan
În viaa cotidian întîlnim rar corpuri ce se mic rectiliniu uniform.
În majoritatea cazurilor ele efectueaz deplasri diferite în
intervale de timp egale, adic micrile lor sînt neuniforme. De
exemplu, autobuzul care pornete din staie efectueaz în prima secund
o deplasare mai mic decît în secunda a doua, iar în a doua – o
deplasare mai mic decît în a treia. Un auto- mobil care frîneaz
efectueaz în ultima secund o deplasare mai mic decît în penultima
etc.
Pentru a caracteriza micarea rectilinie neuniform a mobilului i
pentru a compara micrile neuniforme ale diferitor mobile, se
introduce noiunea de vitez medie. Admitem c deplasarea mobilului
într-un interval de timp Δt = t2– t1 este egal cu s→.
Mrimea fi zic egal cu raportul dintre deplasare i intervalul de
timp corespunztor se numete vitez medie a corpului în acest
interval de timp.
v→med = . (1.17)
Vectorul vitez medie are direcie i sens comune cu deplasarea
corpului, adic este orientat de-a lungul dreptei ce prezint
traiectoria sa.
Viteza medie caracterizeaz micarea mobilului în întreg intervalul
de timp (t2–t1). Cunoaterea ei nu permite determinarea deplasrii
mobilului într-o anumit poriune a acestui interval, de exemplu, în
prima treime a lui. Mrimea care permite o descriere mai detaliat a
micrii neuniforme este viteza mobilului la un moment dat, numit
vitez momentan sau instantanee.
Considerm un exemplu concret: un motociclist se deplaseaz pe o
poriune rectilinie de osea. Se cere s se determine viteza
instantanee a lui la momentul trecerii pe lîng borna kilometric,
mai exact a unui punct, de exemplu, al axului roii din fa, la
momentul cînd trece prin planul din fa P al bornei (fi g.
1.36).
Admitem c în intervalul de timp t1 motociclistul a ajuns din poziia
A1 în B1 efectuînd
deplasarea s→1. Viteza medie a lui în acest interval v→med 1= . Lum
un interval mai mic t2,
deplasarea mobilului este mai mic i egal cu s→2 , iar viteza medie
în acest interval: v→med 2= . v→med 2 difer de viteza v→med 1. Unor
intervale de timp din ce în ce mai mici t3>t4>t5… le
corespund deplasri din ce în ce mai mici s→3, s→4, s→5... i viteze
medii:
v→med 3= , v →
t5
... .
Calculînd viteza medie la intervale tot mai mici, vom obine
valoarea vitezei momentane.
Notînd cu s o deplasare destul de mic a mobi-
lului i cu t intervalul de timp corespunztor, afl m viteza momentan
a mobilului:
→ = . (1.18)
Cu cît intervalul de timp t este mai mic, cu atît acesta se apropie
tot mai mult de un moment de timp, iar viteza medie pe acest
interval se apropie de viteza momentan.
S 2
I
În cazul micrii rectilinii neuniforme, viteza momentan, care
ulterior va fi numit vitez, ia valori diferite pentru momente de
timp diferite, adic este o funcie de timp:
→ = → (t). (1.19)
Ea crete în modúl atunci cînd mobilul începe micarea sa i scade
cînd acesta frîneaz. În situaia unei traiectorii arbitrare a micrii
mobilului (fi g. 1.23), viteza lui momentan
reprezint raportul dintre variaia în timp r →
a vectorului de poziie i intervalul respectiv
de timp t, adic v→ = (se consider c intervalul de timp tinde ctre
zero).
Observaie. În cazul în care mobilul se mic în unul i acelai sens,
modulul deplasrii lui este egal cu distana parcurs s→ = l , astfel
pentru modulul vitezei medii avem
med = . (1.20)
Dac îns mobilul se mic într-un sens, apoi în sens contrar, atunci
modulul deplasrii devine mai mic decît distana parcurs. Dac mobilul
se întoarce în poziia iniial, modulul deplasrii devine nul, deci
viteza medie calculat dup formula (1.17) este egal cu zero, de parc
mobilul nu s-ar fi micat pe parcursul acestui interval de
timp.
De aceea, atunci cînd mobilul îi schimb sensul micrii, ca în cazul
micrii pe traiec- torii curbilinii, este mai efi cient a utiliza
viteza medie de distan. Ea este o mrime scalar egal cu raportul
dintre lungimea distanei parcurse i intervalul de timp
corespunztor. Expresia respectiv coincide cu relaia (1.20). Cînd se
afi rm c un autobuz a parcurs traseul Chiinu–Orhei cu viteza de 45
km/h, se constat c acesta a parcurs lungimea de 45 km a oselei
(traiectoriei) de la Chiinu pîn la Orhei în timp de o or.
b. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia
Corpul ce se mic rectiliniu uniform are vitez constant, aceasta fi
ind cea mai simpl form de micare. Exist îns o micare rectilinie a
corpului, în care viteza lui variaz într-un anumit mod.
Micarea rectilinie a corpului este uniform variat, dac în orice
intervale egale de timp variaia vitezei lui momentane este una i
aceeai. Conform defi niiei, variaiile vitezei corpului v→1, v→2,
v→3, ... în intervalele de timp egale
t1 = t2 = t3 = ... satisfac condiia v→1 = v→2 = v→3 = ... . De
asemenea, dac divizm unul dintre intervalele ti în mai multe
intervale mai mici egale, atunci fi ecrui interval mai mic îi
corespunde o variaie a vitezei tot de atîtea ori mai mic fa de
variaia vitezei în intervalul ti.
Din cele expuse mai sus rezult egalitatea raporturilor ... =
const.
Acest raport, constant pentru micarea dat, este numit acceleraie
(în latin acceleratio „a grbi”):
a→= . (1.21)
Unitatea pentru acceleraie în SI este [a→] = = = .
Acceleraia este mrimea fi zic ce caracterizeaz rapiditatea variaiei
vitezei mobi- lului. Acceleraia mobilului în micare rectilinie
uniform variat este o mrime constant: a→= const.
29
CI NE
M AT
IC A
Viteza mobilului în micarea rectilinie uniform rmîne constant, deci
variaia ei, ca i acceleraia mo- bilului, este nul. Astfel, micarea
rectilinie uniform este micarea cu acceleraie nul. Considerm
micarea rectilinie uniform variat a unui mobil. Orientm axa de
coordonate Ox în direcia micrii (fi g. 1.37). Admitem c la momentul
iniial t0 = 0 mobilul ocupa poziia M0 cu coordonata x0 i avea
viteza iniial v→ 0, iar la momentul t ocup poziia M cu coordonata x
i are viteza v→. Deci în intervalul de timp t = t – t0 = t, viteza
mobilului s-a modifi cat cu v→ = v→– v0
→ . Acceleraia lui este
→ = →0 + a →
t. (1.23)
Pentru proiecia vitezei pe axa Ox (fi g. 1.37) avem
x = 0x+ axt. (1.24)
Aceasta este ecuaia vitezei în micarea rectilinie uniform variat.
Din aceste relaii observm c viteza mobilului în micare rectilinie
uniform variat este o
funcie liniar de timp. În cazul în care proieciile vitezei v0x i
ale acceleraiei ax au acelai semn, proiecia vx crete în modúl cu
timpul, dac îns ele au semne opuse, proiecia vx descrete. În primul
caz micarea este numit accelerat, în cazul al doilea
încetinit.
c. Grafi cele proieciilor acceleraiei i vitezei
Proiecia acceleraiei mobilului în micare rectilinie uni- form
variat este constant ax = const. Grafi cul ei reprezint o dreapt
paralel cu axa timpului (fi g. 1.38). Din fi gur observm c grafi
cul 2 corespunde micrii cu o acceleraie mai mare decît cea din
micarea reprezentat de grafi cul 1: a2x > a1x. Grafi cul 3
corespunde micrii uniform variate cu proiecia negativ a acceleraiei
(a3x < 0), adic orientate în sens contrar sensului pozitiv al
axei Ox.
Grafi cul proieciei vitezei vx ca funcie liniar de timp (1.24) este
o linie dreapt. În fi gura 1.39 sînt reprezentate diferite grafi ce
posibile. Grafi cul 1 reprezint micarea rectilinie uniform variat
cu viteza iniial v0x i acceleraia a1x, am- bele proiecii fi ind
pozitive, adic vectorii corespunztori sînt orientai în sensul
pozitiv al axei Ox. Grafi cul 2 red micarea cu aceeai vitez iniial
ca în micarea 1, dar cu acceleraie mai mare: a2x > a1x, deoarece
viteza crete mai repede. Grafi cul 3, paralel cu grafi cul 1,
reprezint o micare cu viteza iniial nul i acceleraia a3x = a1x.
Viteza corpului în micrile reprezentate de grafi cele 1, 2 i 3
crete cu timpul, adic micrile sînt uniform accelerate.
Grafi cul 4 red o micare uniform variat cu proiecia vitezei iniiale
v’0x > 0 i cea a acceleraiei a4x < 0. Cu timpul
2
3
1
I
viteza mobilului se micoreaz, deci micarea lui este uniform
încetinit. La momentul t4, care corespunde punctului de intersecie
a grafi cului 4 cu axa timpului, viteza mobilului a devenit nul,
deci el s-a oprit. Dup aceasta (la t > t4), proiecia vitezei a
devenit negativ, corpul se mic în sens contrar micrii iniiale cu
vitez crescînd în modúl. Astfel, micarea descris de grafi cul 4
este iniial uniform încetinit, pîn la momentul t4, cînd trece în
micare uniform accelerat.
Grafi cul 5 corespunde micrii uniform încetinite în sensul negativ
al axei Ox pîn la momentul t5, în care viteza mobilului devine nul,
dup ce micarea lui devine uniform accelerat în sensul pozitiv al
axei Ox.
Punctele de intersecie a grafi celor vitezelor pentru diferite
mobile corespund momentelor de timp la care mobilele au viteze
egale. De exemplu, mobilele 3 i 5 au viteze egale la momentul t3,
5.
Cunoscînd grafi cul proieciei vitezei, se poate determina proiecia
acceleraiei mobilului (fi g. 1.40). Considerm un interval de timp t
i determinm din grafi c variaia vx a
proieciei vitezei în acest interval. Pentru proiecia acceleraiei
avem ax= .
Procedeul determinrii proieciei acceleraiei pe baza grafi cului
vitezei mobilului în micare uniform accelerat este asemntor cu cel
al determinrii proieciei vitezei mobilului în micare uniform
conform grafi cului pentru coordonata lui.
d. Legea micrii uniform variate a mobilului
Pentru a deduce expresia coordonatei mobilului în micare uniform
variat, s examinm graficul pentru proiecia vitezei (fig. 1.41),
amintindu-ne c proiecia deplasrii mobilului în aceast micare este
numeric egal cu aria dreptunghiului format de grafi cul proieciei
vitezei, axa timpului i ordonatele ce corespund începutului i
sfîritului intervalului de timp corespunztor (vezi fi g.
1.29).
Spre deosebire de micarea rectilinie uniform, cînd proiecia vitezei
rmîne constant, în micarea uniform accelerat proiecia vitezei mobi-
lului variaz pe parcursul intervalului 0 ÷ t de la valoarea v0x pîn
la valoarea vx = v0x+ axt.
Pentru a calcula proiecia deplasrii în acest caz, împrim imaginar
intervalul de timp într-un numr mare de poriuni (intervale) mici
t1, t2 … ti , ..., tj … . Deplasarea mo- bilului în întreg
intervalul de timp se egaleaz cu suma deplasrilor lui în toate
poriunile mici în care a fost împrit acest interval (micarea este
rectilinie în unul i acelai sens!). La calcularea proieciei
deplasrii mobilului pe parcursul unui interval destul de mic de
timp ti inem seama de faptul c în acest interval variaia vitezei
este mult mai mic decît valoa- rea ei, ceea ce se vede i din fi
gura 1.41. Dac neglijm aceast variaie a proieciei vitezei, atunci
micarea mobilului pe parcursul intervalului ti poate fi considerat
uniform cu viteza vix. Prin urmare, proiecia deplasrii respective,
six, este numeric egal cu aria de sub grafi c – cu aria fîiei
haurate de lime ti i înlime vix. Proiecia deplasrii mobilului
într-un alt interval mic tj este numeric egal cu aria fîiei
respective, de alt lime tj i de alt înlime vjx.
Fig. 1.40
Fig. 1.41
CI NE
M AT
IC A
Însumarea proieciilor deplasrilor în toate intervalele mici de timp
se reduce la adunarea
ariilor tuturor fîiilor, obinîndu-se, astfel, aria fi gurii de sub
grafi c. Figura respectiv este un
trapez cu bazele egale cu v0x i (v0x + axt) i înlimea egal cu t.
Pentru proiecia deplasrii obinem
sx= . t = v0xt+ .
Aceasta este legea micrii rectilinii uniform variate. inînd seama
de faptul c proiecia deplasrii sx = x – x0 (fi g. 1.37), pentru
coordonata
mobilului avem x = x0 + 0x t + . (1.25)
Aceasta este ecuaia micrii rectilinii uniform variate. În funcie de
semnele proieciilor v0x i ax coordonata x i proiecia vitezei vx se
pot mri sau micora.
e. Formula lui Galilei
(1.26)
Ecuaiile de mai sus conin cinci mrimi: sx, vx, v0x, ax i t,
permiînd a determina dou dintre aceste mrimi cînd sînt cunoscute
celelalte trei. În acest mod se rezolv toate pro- blemele ce se
refer la forma dat de micare.
În unele probleme timpul t nu este cunoscut i nici nu se cere
determinarea lui. În astfel de cazuri este util folosirea unei
relaii ce se obine din cele dou relaii (1.26) dup
excluderea din ele a timpului t. Exprimm din cea de-a doua formul
timpul t = i îl substituim în prima formul din (1.26):
sx = vox sau
2 x – 2
0x = 2axsx. (1.27)
Relaia respectiv este cunoscut ca formula lui Galilei. Ea nu conine
timpul i permite a determina una dintre mrimi cînd sînt cunoscute
celelalte trei.
Galileo GALILEI (1564–1642), fi zician i astronom italian
A descoperit principiul ineriei, a stabilit caracterul relativ al
micrii mecanice, a formulat principiul clasic al relativitii i
legea compunerii vitezelor. A stabilit legitile cderii libere, ale
micrii corpului pe planul înclinat i ale oscilaiilor
pendulului.
Cu ajutorul unei lunete confecionate de el, a descoperit munii pe
Lun, patru satelii ai planetei Jupiter; a stabilit natura stelar a
Cii- Lactee. A construit un telescop care i-a permis s descopere
fazele planetei Venus, petele pe Soare.
Galilei a fost adept al sistemului heliocentric al lui Copernic,
pentru aceasta fi ind persecutat de inchiziie.
32
I
f .o Raportul distanelor parcurse de mobil în intervale de timp
egale
S analizm o proprietate deosebit a micrii uniform accelerate cu
vitez iniial nul (v0x= 0). Presupunem c axa Ox este orientat în
sensul vitezei, care în cazul de fa nu se
modifi c. Prin urmare, distana parcurs este egal cu proiecia
deplasrii: l = sx= . Considerm intervale de timp, egale fi ecare cu
τ, care se succed. Distana parcurs de
corp în primul interval τ este l1= .
Distana parcurs în cel de-al doilea interval τ este egal cu distana
parcurs în intervalul (2τ) de la începutul micrii minus cea parcurs
în primul interval τ, adic
l2 = .
Distana parcurs în cel de-al treilea interval succesiv de timp egal
cu τ coincide cu distana parcurs în timpul (3τ) minus cea parcurs
în timpul (2τ):
l3 = .
Din aceste expresii rezult legitatea
l1 : l2 : l3 : l4 : … = 1: 3: 5: 7: … . (1.28)
În micarea rectilinie uniform accelerat cu vitez iniial nul,
distanele parcurse de mobil în intervale succesive de timp egale se
raport ca numerele impare succesive. Acest raport al distanelor
poate fi utilizat la cercetarea micrii uniform accelerate, în
particular, folosind cronofotografi erea. Pe aceeai fotografi e se
obin imagini ale corpului dup intervale de timp egale. Practic ea
se realizeaz prin fotografi erea în întuneric a corpului ce se mic.
Obiectivul aparatului de fotografi at rmîne deschis, iar corpul
este iluminat cu impul- suri de lumin de scurt durat, care sînt
orientate asupra lui dup intervale de timp egale.
g. Micarea corpului pe vertical
Un exemplu de micare rectilinie uniform variat este micarea
corpului pe vertical la înlimi mult mai mici decît raza Pmîntului.
Micarea pe vertical este mi