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7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)
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ISC.Vctor Andree Castillo Castaeda
Realizar transformaciones
Algebraicas 2
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Factorizacin 2
Tipos de Factorizacin
28/11/20112
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La factorizacin es un proceso que
consiste en, dada una expresin
algebraica(producto), encontrar los factores
que la producen.Hemos explorado algunas formas de
factorizacin; a continuacin se expondrn
otros casos de este tipo de transformacin
algebraica.
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Factorizacin de un Trinomio
de la forma ax2 + bx + c,
cuando a=1 Consideremos el producto de dos binomios
(x+m)(x+n);
(x+m)(x+n) =
x2+mx+nx+mn=
x2+(m+n)x+mn;
Hasta aqu, tenemos el producto de losbinomios; ahora podemos sustituir la literales dela siguiente forma:
b = m + n c = mn (x + m)(x + n)=
x2
+bx+c
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En seguida veremos lo explicado de manera
inversa; podemos decir que es posible
factorizar un trinomio de la forma
x2+bx+c, de la siguiente manerax2+bx+c= (x + m)(x + n);
siempre y cuando:
b= m + n
c = mn
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Ejemplo 1Factorizar x2-x-42 , de donde se puedeconsiderar que c = -42 y b = -1.
Ahora, debemos encontrar dos nmeros que
multiplicados den como producto -42; los cualespueden ser:
-6 y 7
6 y -7
14 y -3 -14 y 3
21 y -2
-21 y 2
42 y -1 -42 y 1
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Ejemplo 1Factorizar x2-x-42 , de donde se puedeconsiderar que c = -42 y b = -1.
Ahora bien, de todas estas posibilidades, el nico
par de nmero que sumados resultan -1, son 6 y-7
Entonces: x2-x-42= (x+6)(x-7)
Comprobacin:
Para comprobar el resultado, es necesario que
multipliquemos los factores. Si hemos
factorizado correctamente la expresin, el
producto deber ser el trinomio inicial:(x+6)(x-7)= x2 +6x-7x-42
=x2 -x-42
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Ejemplo 2Factorizar x2+12x+35 , de donde sepuede considerar que c = 35 y b = 12.
Debemos encontrar los nmeros que,
multiplicados, den 35; stos pueden ser: 1 y 35
-1 y -35
7 y 5
-7 y -5
En caso de ser nmeros enteros, todos los
anteriores multiplicados dan 35, pero en este
caso sumados deben dar 12. De esta manera:
(1)+(35)=36; (-1)+(-35)=-36;(7)+(5)=12;
(-7)+(-5)=-12Luego, los nmeros son 7 y 5
Entonces x2+12x-35=(x+7)(x+5)
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Factorizacin de un Trinomio
de la forma ax2 + bx + c,
cuando a1
Para factorizar ax2 + bx + c, consideraremos
una expresin distinta de ella; para facilitar
el proceso, multiplicaremos por a para
obtener:a(ax2 + bx + c)= a2x2 + abx + ac;
La expresin que ahora tenemos es a
veces mayor que el polinomio que vamos afactorizar. Podemos representar el producto
que acabamos de obtener de la siguiente
forma:
(ax)2+b(ax)+ac= (ax)2+b(ax)+q
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Observa que el polinomio que tenemos es de
la forma del polinomio que factorizamos en
el apartado anterior, por lo que es posible
factorizarlo de manera semejante:
En el apartado anterior:
x2 + bx + c=(x+m)(x+n);
b=x+m ;
c=mc ;
En este tipo de factorizacin:
(ax)
2
+b(ax)+q=(ax+m)(ax+n);b=m+n ;
c=mn ;
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La factorizacin que hemos obtenido es
vlida, excepto porque se obtuvo a partir de
un polinomio a veces mayor al polinomio
que intentamos factorizar. Para obtener lafactorizacin que buscamos debemos dividir
la factorizacin entre a.
En el Polinomio mayor:
(ax)2+b(ax)+ac = (ax)2+b(ax)+q == (ax+m)(ax+n),
Donde q= ac;
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En el polinomio que factorizamos:
ax2+bx+c = (a2x2+abx+ac)/a
= ((ax) 2+b(ax)+ac)/a
= ((ax) 2+b(ax)+q)/a
= ((ax+m)(ax+n))/a
Por lo tanto:
ax2+bx+c = ((ax+m)(ax+n))/a
Siempre y cuando:
b=m+n y q=ac=mn
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Ejemplo 1 Factorizar 5x2-11x+6
Multiplicamos 5 por el polinomio
original, por lo que obtenemos:
25x2-11(5x)+30=(5x)2-11(5x)+30
Buscamos dos nmeros que al mismo
tiempo sumen -11 y su producto sea 30
(-6)+(-5)= -11 y (-6)(-5)=30
De donde (5x)2-11(5x)+30=(5x-5)(5x-6)
Pero el polinomio es cinco vecesmayor al polinomio que pretendemos
factorizar. Por ello:
5x2-11x+6=(5x-5)(5x-6)=(5)(x-1)(5x-6)
5 5 28/11/201113VACC_Centro de Bachillerato Tecnolgico
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Ejemplo 1 Entonces:
5x2-11x+6=(5x-5)(5x-6)=(5)(x-1)(5x-6)
5x2-11x+6=(x-1)(5x-6);
5 5
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Ejemplo 2 Factorizar 6x2+7x-3
Multiplicando por 6 el polinomio
original tenemos:36x2+7(6x)-18=(6x)2+7(6x)-18
Ahora, buscando dos nmeros que almismo tiempo sumen 7 y que su productosea 18.
De las 6 posibilidades que existen, slo 9y -2 satisfacen las dos condicionessimultaneamente, pues:
(+9)+(-2)=7 y (+9)(-2)=-18;
Entonces, (6x)2+7(6x)-18=(6x+9)(6x-2),pero el polinomio que hemos factorizadoes 6 veces mayor que el polinomio quepretendiamos factorizar. Por ello:
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Ejemplo 236x2+7(6x)-18=
(6x+9)(6x-2)=(3)(2x+3)(2)(3x-1) =>
(6x+9)(6x-2)=(2x+3)(3x-1)6
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Factoriza las siguientes expresiones:
1. x2+7x+10=
2. a2+6a+9=
3. a2-a-30=
4. y-11y+18=
5. n2
-n-2=6. b2-20b+100=
7. a2-15a+56=
8. y2-5y-24=
9. b2-3b-24=
10. 12-8x+x2=
1. y2-9y+20=
2. a2+a-2=
3. x2-x-6
4. x2-7a-18
5. x2
-5x-366. 20x2+x-1
7. 21a2+11a-2
8. 6x2-11ax-10a2
9. -1-5a2-6a4
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