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ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
TRABAJO COLABORATIVO, MOMENTO 4
PRESENTADO A:
MARIO JULIAN DIAZ.
INTEGRANTES:
JOHN ENEIDER ANACONA. 108170322
EDWIN FERNANDO DIAGO.10302156
CARLOS ALFREDO IMBAQUIN. 1085260650
JUAN CARLOS RAMIREZ. 6 105724
DAMARIS YULIET SILVA. 1086549128
GRUPO: 301301_399
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
COLOMBIA
ABRIL 3 DE 2015
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo analizaremos y desarrollaremos los temas de la unidad 2 del módulo de
algebra cada integrante del grupo de trabajo aporto sus conocimientos de los procedimientos
que se deben tener en cuenta y puntos de vista para el desarrollo de los problemas planteados,
describiendo e interpretando analítica y críticamente los diversos tipos de funciones,
trigonométricas e hipernometricas, atreves del estudio teórico y análisis de casos modelos con
los cuales podemos utilizarlos como herramientas matemáticas en la solución a posibles
situaciones en el campos socia y académico.
Identificaremos los conceptos y los fundamentos de las funciones de trigonometría e
hipernometría, así mismo explicaremos y analizaremos estos fundamentos y conceptos.
EJERCICIO 1
𝐹(𝑋) =√4𝑋 − 3
𝑋2 − 4
4𝑋 − 3 ≥ 0
4𝑋 ≥ 3
𝑋 ≥3
4
𝐷𝐹: 𝑋 ∈ [3
4, ∞)
𝑋2 − 4 ≠ 0
𝑋2 ≠ 4
𝑋 ≠ √4
𝑋 ≠ 2
DF: X lR − {2}
DF: X ∈ [3
4, 2) ∪ [2, ∞)
Comprobación Geógebra
𝐹(𝑋) =√4𝑋 − 3
𝑋2 − 4
Ejercicio 2
2) determinar el rango de la función
𝑓(𝑥) =X + 6
√X − 5
Como f(x)=y
Y = X+6
√X−5
Y* √X − 5 = X+6
[Y* √X − 5]2 = [X+6]2 (A+B) = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 − 𝐵2
𝑌2* √X − 5 = 𝑋2 + 12𝑋 + 36
𝑌2* (X-5) = 𝑋2 + 12𝑋 + 36
𝑌2X -5𝑌2 = 𝑋2 + 12𝑋 + 36
0=𝑋2 + 12𝑋 + 36−𝑌2X +5𝑌2
0=𝑋2 + 12𝑋−𝑌2X + 36 +5𝑌2
𝑋2 + 12𝑋−𝑌2X + 36 +5𝑌2 = 0
𝑋2 + (12 − 𝑌2)𝑋 + (36 + 5𝑌2) = 0
A𝑋2 + BX+C =0
A=1 B=12-𝑌2 C=36 + 5𝑌2
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−(12 − 𝑌2) ± √(12 − 𝑌2)2 − 4(1)(36 + 5𝑌2)
2(1)
𝑥 =−12 + 𝑌2 ± √144 − 24𝑌2 + 𝑌4 − 144 − 20𝑌2)
2
𝑥 =−12 + 𝑌2 ± √𝑌4 − 44𝑌2
2
𝑥 =−12 + 𝑌2 ± √𝑌2(𝑌2 − 44)
2
𝑥 =−12 + 𝑌2 ± Y√𝑌2 − 44
2
𝑌2 − 44 ≥ 0
𝑌2 − √442
≥ 0 √44 = √22 ∗ 11 = 2√11
𝑌2 − (2√11)2 ≥ 0
(𝑌 − 2√11)(𝑌 + 2√11) ≥ 0
y − 2√11 > 0
y > 2√11 0 2√11
y + 2√11 > 0
Y > −2√11 −2√11 0 2√11
(Y-2√11 )(Y+2√11)
−2√11 0 2√11
S=(−∞, −2√11]𝑈 [2√11 , +∞)
Rg= (−∞, −2√11]𝑈 [2√11 , +∞)
Comprobación Geógebra
3 EJERCICIO
𝑓(𝑥) =2𝑥 − 1
2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2
a) (𝑓 + 𝑔)(2)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 1
2+ 2
(𝑓 + 𝑔)(2) =2(2) − 1
2= +22 + 2 =
4 − 1
2+ 4 + 2 =
3
2+ 6 =
12 + 3
2=
15
2
Comprobación Geógebra
b) (𝑓 − 𝑔)(2)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 2
2− (−𝑥2 + 2)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 1
2− 𝑥2 − 2
(𝑓 − 𝑔)(2) =2(2) − 1
2= −(2)2 − 2 =
4 − 1
2− 4 − 2 =
3
2− 6 =
3 − 12
2= − −
9
2
Comprobación Geógebra
C) (𝑓 ∗ 𝑔)(3)
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = (2𝑥 − 1
2) (𝑥2 + 2)
(𝑓 ∗ 𝑔)(3) = (2(3) − 1
2) (32 + 2) = (
6 − 1
2) (9 + 2) = (
5
2) (11) =
55
2
Comprobación Geógebra
d) (𝑓
𝑔) (−3)
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
2𝑥 − 12
𝑥2 + 2
(𝑓
𝑔) (−3) =
2(−3) − 12
−32 + 2
=
−6 − 12
9 + 2
=
−72
11=
−7
22= −
7
22
Comprobación Geógebra
EJERCICIO 4
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1
a) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥)
(𝑓 𝑜 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = √ 𝑔(𝑥 + 2) = √𝑥2 − 1 + 2 = √𝑥2 + 1
Comprobación en Geogebra
b) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))2 − 1 = (√𝑥 + 2)2 − 1 = 𝑥 + 2 − 1 = 𝑥 + 1
Comprobación en Geogebra
c) (f+g)(x)
(f +g)(x)= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 + 𝑥2 − 1
Comprobación en Geogebra
d) (f- g)(x)
(f-g)(x) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 − (𝑥2 − 1) = √𝑥 + 2 − 𝑥2 − 1
Comprobación en Geogebra
EJERCICIO 5
2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑐𝑜𝑡𝑥
2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥=
𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 − (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
=𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 − 1𝑠𝑒𝑛2𝑥=
𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)
2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
=𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)
𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1=
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑜𝑡𝑥
Solución: 𝑐𝑜𝑡𝑥
Ejercicio 6
Demuestre la siguiente identidad, usando las funciones de las diversas identidades
hiperbólicas fundamentales.
𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥
1−𝑡𝑎𝑛ℎ2𝑥= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 =
𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥
1 − (𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥)2= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
1− 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥2
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥2
= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥− 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥
= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
1
𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥
= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥
senhx∗𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥
coshx = 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 ≠ 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥
Se utilizaron las definiciones de las identidades hiperbólicas fundamentales pero no se
cumple ninguna igualdad.
Ejercicio 7
Un avión que pasa 60 metros sobre la azotea de un edificio de 40 metros de altura, desciende
200 metros hasta tocar tierra en un lugar A. ¿Con que ángulo descendió? ¿Qué distancia hay
entre la base del edificio y el lugar A?
¿Con que ángulo descendió?
Avión 60mts
Azotea 40mts θ? 200mts
30ᵒ
A?
X
60° por que.
Solución
𝑐𝑜𝑠𝑥 =100
200=
1
2
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1 (1
2) = 60°
Respuesta: desciende con un Angulo de 60°
Solución pregunta 2
√(200)2(100)2 = √30000𝑚2 = 100√3 = 173𝑚
Respuesta: la distancia que hay entre la base del edificio y el lugar A es 173m.
A C
B
Ejercicio 8
Desde lo alto de un globo se observa una ciudad A con un ángulo de 50°, y otra ciudad B,
situada al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60°. Sabiendo que el globo se
encuentra a una distancia de 6 kilómetros de la ciudad A y a 4 kilómetros de la ciudad B.
Determine la distancia entre las ciudades A y B.
𝐶𝑂𝑆 60° =𝑋1
4
𝑋1 = 4 . 𝐶𝑂𝑆 60°
𝑋1 = 2 Km
𝐶𝑂𝑆 50° =𝑋2
6
𝑋2 = 6 . 𝐶𝑂𝑆 50°
𝑋2 = 3,85 Km
𝑋1 + 𝑋2 = 2 Km + 3,85 Km
X = 5,85 Km
Respuesta= La Diferencia entre las 2 Ciudades es de 5.85 km
Ejercicio 9
2𝑐𝑜𝑠2x + √3 senx = −1
Como: 𝑠𝑒𝑛2x + 𝑐𝑜𝑠2x = 1
𝑐𝑜𝑠2x = 1 − 𝑠𝑒𝑛2x
Entonces:
2[1-𝑠𝑒𝑛2x]+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1
2-2𝑠𝑒𝑛2x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0
-2𝑠𝑒𝑛2x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0
-2𝑠𝑒𝑛2x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0
𝑎𝑥2+bx+c=0 sea X=senx
A=-2 b=√3 c=3
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−√3 ± √(√3)
2− 4(−2)(3)
2(−2)
𝑥 =−√3 ± √3 + 24
−4
𝑥 =−√3 ± √27
−4
𝑥 =−√3 ± 3√3
−4
𝑥 =−√3 + 3√3
−4
𝑥 =2√3
−4
𝑥1 = − √3
2
𝑥 =−√3 − 3√3
−4
𝑥 =−4√3
−4
𝑥2 = √3
COMO X = sen x
Sen x = − √3
2 sen x = √3
X = 𝑠𝑒𝑛−1 (− √3
2 ) sen x = 1.73 no tiene solución
porque el 1,73 se sale del rango den
senx que es [−1,1]
X = −600
X=180+600 v 𝑥 = 3600 − 600
X=2400 v x =3000
Cs = {2400, 3000}
CONCLUCIONES.
Al finalizar nuestro trabajo nos damos cuenta de que como estudiantes podremos interpretar
analítica y críticamente los diversos tipos de funciones, trigonometría e hipermetropía, a través
del estudio teórico y el análisis de casos modelos, estos nos permitieron prepararnos para
poder enfrentar futuros relacionadas con esta área y poder resolverlos por medio de los
conocimientos adquiridos
El software GeoGebra es una herramienta q con el conocimiento adecuado nos ayuda a
entender y analizar mejor este tipo de problemas ya que nos grafica las funciones y nos da un
concepto más amplio y claro de las funciones trigonometría y hipernometria
Se diferencia y se identifican conceptos sobre dominio y rango e identidades así como también
trigonometría y hipernometria.
BLIBLIOGRAFIA
Geogebra. Herramienta online para graficar y comprobar ecuaciones y funciones. Recuperado el 3 de abril de 2015 de: https://login.geogebra.org/user/signin/caller/web?clientinfo=startup&url=http://web.geogebra.org/chromeapp/
Objeto de información: funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/AVA_-_301301/funciones_presentacion.ppt
Objeto de información: trigonometría. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/AVA_-_301301/funciones_presentacion.ppt
Tangente hiperbólica. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de:
https://www.youtube.com/watch?v=IIU2DlBrqQg
Dominio de funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de:
:https://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg
Clases de funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de
https://www.youtube.com/watch?v=oo-OlMQI7nI
Funciones exponenciales Recuperado el 28 de marzo de 2015 de
https://www.youtube.com/watch?v=8IU7RKr80gI
Rango de una función racional. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de
https://www.youtube.com/watch?v=0lMR7K5GOlo
Dominio y rango de una función racional con radical en el denominador. Recuperado el 28 de
marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=XPDYguWEBdM
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