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Transferencia de Momentum
1740-2
2014-03-06 9ª
2014-03-06
Contenido
1. Producto cruz… flujo irrotacional…
2. Balance de momentum… ecuación general;
3. Ecuación de Navier-Stokes;
4. Ecuación de Euler;
5. Ecuación de Bernoulli;
6. Balance de momentum adimensional;
7. Número de Reynolds.
* El manejo que se presenta de las ecuaciones antes mencionadas es
válido para coordenadas cartesianas; haciendo los cambios
necesarios, se puede aplicar la misma estrategia para analizar otros
sistemas coordenados.
Flujo irrotacional
Aquel flujo que cumple con la siguiente característica:
Producto cruz de dos vectores
v w u
u v w
u v w v w sen v,w
v w w v
Altura w sen v,w
v
w
u
u
Altura w sen v,w
En coordenadas cartesianas:
; ; x y z x y z x y zv iv jv kv w iw jw kw u iu ju ku
Generalizando:
; ;
; ;
; ;
i j k j k i k i j
j i k k j i i k j
i i 0 j j 0 k k 0
Aplicando la definición de producto :
cruz
i j i j sen i, j 1 1 1 1
Producto cruz de dos vectores en términos de sus componentes:
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
v w iv jv kv iw jw kw
i i v w i j v w i k v w
j i v w j j v w j k v w
k i v w k j v w k k v w
0
0
0
k
-k
j
-j
i
-i
y z z y z x x z x y y xv w i v w v w j v w v w k v w v w
En forma de un determinante: x y z
x y z
i j
v w v v v
w w w
k
Tipos de flujo… de acuerdo con el producto cruz de dos vectores…
En general:
cuando se cumple cualquiera de las siguientes condiciones
; ; ; y sean paralelos
v w 0
v 0 w 0 v , w 0 v w
Flujo rotacional:
x y z
i j
Rot v vx y z
v v
0
k
v
Flujo irrotacional:
x y z
i j
Rot v v 0x y z
v v
k
v
Flujo irrotacional … quel que cumple con la siguiente característica:
3) flujo irrotacional:
x y z
i j
Rot v v 0x y z
v v
k
v
Acumulación
Flujo por Convección
Fuerzas de Campo (Gravitación)
Fuerzas Estáticas (Presión)
Fuerzas Dinámicas (Deformación)
v vv g P 0t
Balance de momentum general
Objetivo:
Revisar brevemente el significado de cada uno de sus términos… y
porque es el antecedente de las demás ecuaciones (modelos)…
Ecuación de Navier-Stokes
• Es un caso particular del balance de momentum general
• Objetivo:
•Revisar sus características (restricciones), y el significado de cada
uno de sus términos…
•Características (restricciones) de la ecuación de Navier-Stokes:
1.Las del balance de momentum general;
2.Para fluidos Newtonianos… viscosidad μ, y densidad ρ constantes.
De acuerdo con la restricción 2): v
v v v
como: 2 2 v
Por otro lado: P P
Por la restricción 1)… densidad ρ constante
v vv g P 0t
Como :
tv
v
t v
t
Por la ecuacion de continuidad: v 0t
Por lo tanto: v Dv
v vv v vt t Dt
De acuerdo con (A.4-30) : BSL vv v v v v
v
v vv v v v v vt t t
v
v vv v vt
vt
vt
Acumulación
Flujo por Convección
Fuerzas de Campo (Gravitación)
Fuerzas Estáticas (Presión)
Fuerzas Dinámicas (Flujo por difusión)
2vv v g P v 0
t
Por lo tanto, la ecuación de Navier-Stokes es:
Características (restricciones) :
1. Las del balance de momentum general;
2. Para fluidos Newtonianos… viscosidad μ, y densidad ρ constantes.
En términos de la : 2Dvderivada material g P v 0
Dt
Acumulación
Flujo por Convección
Fuerzas de Campo (Gravitación)
Fuerzas Estáticas (Presión)
2) Para fluidos : 2no vis cosos v 0
Ecuación de Euler, a partir de la ecuación de Navier-Stokes
Características (restricciones) de la ecuación de Euler:
1. Las de la ecuación de Navier-Stokes;
2. Fluidos no-viscosos (inviscid fluids): viscosidad prácticamente cero;
vv v g P 0
t
1) Ecuación de : 2vNavier Stokes v v g P v 0
t
Ecuación de Bernoulli, a partir de la ecuación de Euler
Características (restricciones) de la ecuación de Bernoulli:
1. Las de la ecuación de Euler;
2. Expresar las fuerzas de campo g en términos del gradiente de una
cantidad escalar;
3. Asumir que el flujo es irrotacional.
como: v
v v g P 0t
por la restricción 2) : g g z
g P g z P P g z
212
vv P g z 0
t
Por otro lado, A.3-18 : 12
BSL v v v v v v v v
como: 2v v v además, 3) flujo irrotacional: v 0
212
vv P g z 0
t
Estado estacionario constante212
v P g z
Sistema: ecuación de Navier-Stokes modificada
Características (restricciones):
1. Las de la ecuación de Navier-Stokes… viscosidad μ, y densidad ρ
constantes;
2. Sin fuerzas de gravitación: g = 0.
1) , : 2DvNavier - Stokes derivada material g P v 0
Dt
2) Fuerzas gravitacionales despreciables: g 0
: 2DvNavier Stokesmod ificada P v 0
Dt
Considerando las siguientes variables adimensionales:
; ; x y z
x y zL L L
Donde L es una longitud característica del sistema… ejemplo: diámetro
de un tubo… profundidad de un canal…
; ; x Lx y Ly z Lz
Continúa la definición de las variables adimensionales:
tV L
t t tL V
Además: v
v v V vV
2
2
PP P V P
V
tV cm 1
t segL seg cm
v cm segv
V seg cm
3 2 3 2
2 2 2 2 2 2
P dina cm seg g cm 1 cm segP
V cm g cm se g cm g cm
Donde V es una velocidad característica del sistema; es un escalar…
ejemplo: velocidad promedio de un fluido en un tubo…
2 2 2L L
es una velocidad característica; es un vector, es un escalar2L
L
2
2
2L
Aplicando esas variables adimensionales al modelo particular de
Navier-Stokes , que se escogió como ejemplo:
como: 2DvP v 0
Dt
2D V vDv V Dv
LDt L DtD t
V
2
2V
P V P PL L
2
2 2
2 2
Vv V v v
L L
222
2
VV Dv VP v 0
L Dt L L
2DvP v 0
Dt VL
Al cociente se le conoce como número de , ReLV
Re ynolds
Como: 2DvP v 0
Dt VL
Re
2Dv 1P v 0
Dt
Re3
LV L mL
L mt
tL
Transporte de momentum por convección
ReTransporte de momentum por difusión
LV
tiempo característico del mater
tiempo característico delR
ia
pr c so
l
ee
o
t
t
Re convección >> difusiónmuy grande...
Re Re
21muy grande... v 0
DvP 0
Dt
tiempo característico del mater
tiempo característico delR
ia
pr c so
l
ee
o
t
t
Renato Leduc… poema
Sabia virtud de conocer el tiempo;
a tiempo amar y desatarse a tiempo;
como dice el refrán: dar tiempo al tiempo...
que de amor y dolor alivia el tiempo.
Aquél amor a quien amé a destiempo
martirizóme tanto y tanto tiempo
que no sentí jamás correr el tiempo,
tan acremente como en ese tiempo.
Amar queriendo como en otro tiempo
-ignoraba yo aún que el tiempo es oro-
cuánto tiempo perdí -ay- cuánto tiempo.
Y hoy que de amores ya no tengo tiempo,
amor de aquéllos tiempos, cómo añoro
la dicha inicua de perder el tiempo...
tu tiempo característ
mi tiempo caracNh
terísticoa
icot
t
.
Transferencia de Momentum
1740-2
Fin 2014-03-06 9ª
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