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F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
Transformada de Fourier
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
tiempo
Señal en el tiempo:
- Continua / Discreta?
- Periódica / no periódica?
Transformada de Fourier
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
muestras/tiempo
T
N muestras
Tiempo muestreado = N·T
• Asume que la señal es discreta y periódica en el intervalo considerado (N muestras)
tiempo
harmónicos/Hz
f Frecuencia
¿Rango de frecuencias?
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1
-0.5
0
0.5
1
xn·yn
xn
yn
xn·yn
xn
yn
¿ xn·yn ?n=1
N-1
muestras muestras
¿ xn·yn ?n=1
N-1
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1
-0.5
0
0.5
1
xn·yn
xn
yn
¿ xn·yn ?n=1
N-1
muestras
¿ xn·yn ?n=1
N-1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
xn·yn
xn
yn
muestras
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
Xk = xn e-(2j/N)·k·n , k = 0, 1, … , N-1n=1
N-1
xn = Xk e(2j/N)·k·n , n = 0, 1, … , N-1k=1
N-1
e-(2j/N)·k·n = cos((2/N)·k·n) - j sin((2/N)·k·n)
Transformada Discreta de Fourier:
Transformada inversa de Fourier
Fórmula de Euler:
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
0 5 10 15muestras
ej. N=16 k=0
k=1
k=2
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
T
N muestras
• Asume que la señal es discreta y periódica en el intervalo considerado (N muestras)
tiempo
muestras/tiempo
Armónico h=0
Armónico h=1
Armónico h=2
…
Armónico h=N-1
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
DFT – relación tiempo frecuencia
0 10 20 30 40 50 60
-1
0
1
muestras
0
10
20
30
40
0 10 20 30 40 50 60-200
-100
0
100
200
harmónicos
tiempo Frecuencia
magnitud
fase
• La DFT de una secuencia de N elementos es otra secuencia de N elementos.
• Cada elemento de la DFT es un número complejo. Se puede representar bien en forma
de parte real-parte compleja ó en forma módulo-argumento (magnitud-fase).
• Si la secuencia en el tiempo es real, es espectro muestra una simetría especular es
suficiente considerar los primeros N/2+1 elementos (armónico 0 a N/2).
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
0 10 20 30 40 50 60
0 10 20 30 40 50 60
-1
0
1
muestras
0
10
20
30
40
harmónicosm
agnitud sin normalizar
0
0.5
1
magnitud normalizado
tiempo Frecuencia
• A menudo es útil que la magnitud de los harmónicos del espectro coincidan con el valor
de pico de la componente senoidal correspondientes en el tiempo se realiza una
normalización del espectro.
• Si la secuencia en el tiempo es real, la magnitud se normaliza dividiendo por N/2,
excepto los harmónicos 0 y N/2, que se dividen por N.
DFT – relación tiempo frecuencia
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
0 10 20 30 40 50 60
-1
0
1
muestras
0 10 20 30 40 50 60-200
-100
0
100
200
harmónicos
fase
0
0.5
1
magnitud
tiempo Frecuencia
• Asumiendo que la señal en el tiempo es periódica en el intervalo analizado, desplazar
la señal en el tiempo produce una variación en las fase del espectro.
• Desplazar la señal no afecta a la magnitud.
DFT – relación tiempo frecuencia
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
0 10 20 30 40 50 60
-1
-0.5
0
0.5
1
muestras
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
harmónicos
0 10 20 30 40 50 60
muestras
0 5 10 15 20 25 30
harmónicos
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.5
0
0.5
1
• Se produce cuando la señal no es periódica en el intervalo (N muestras) considerado. La señal
(o sus componentes) no se corresponde exactamente con las frecuencias en las que queda
dividido el espectro, con lo que sus componentes espectrales se dispersan.
• Este efecto se puede mitigar mediante el uso de ventanas de suavizado
Dispersión espectral
F. Briz, Octubre 2021
EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems
Máster en Mecatrónica: ISC
Implementación Sistema de Control
Ejemplo: análisis de vibraciones de máquinas rotativas
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10
0
10señal acelerómetro
m/s
2
tiempo (s)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
0.2
0.4
0.6m
ag
nitu
d D
FT
0 200 400 600 800 1000 12000
0.2
0.4
0.6
ma
gn
itu
d D
FT
frecuencia (Hz)
Acelerómetros
tiempo
Frecuencia
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