TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Señales y Sistemas

Transformada Discreta de Fourier

Sea x(t) una señal continua en el tiempo, tomaremos una aproximación de una sumatoria de impulsos discretos.

Puesto que x(t) es efectivamente limitada tanto en tiempo como en ancho de banda, esta aproximación es buena.

t = T/N, y N es el número total de muestras tomadas en el tiempo [0,T]. Si mantenemos la naturaleza de banda limitada de x(t), se sigue que t ≤1/2W para evitar el efecto de Aliasing.

1

0

)()()(N

ns tnttnxtx

Aplicando la transformada de Fourier

Esta sumatoria es la transformada de Fourier de una señal discreta representado por los valores {x(nt)} y es a veces expresada como una función de la variable = 2ft=2r, donde r es la frecuencia normalizada de f/fs.

Nuestro interés radica en el calcula digital de X(f), restringiremos f a un conjunto de valores discretos de {0,1/T,2/T,… N-1/T}. Si definimos f=k/T=kfs , donde k toma valores enteros de 0 a N-1. Reescribiendo X(f)

1

0

21

0

)()()()(N

n

tfnN

ns etnxtntFtnxfX

1,...,1,0 ,1

0

/2

NkexXN

n

Nknnk

La dependencia explícita de x(nt) en t, ha sido descartada, y ambas X(f) y x(t) son ahora remplazadas por secuencias {Xk} y {xn}.

Esta es la definición de la Transformada Discreta de Fourier de una secuencia {xo=x(0), x1=x(t), x2=x(t), …. xN-1=x((n-1)t)}.

Debido a que esto fue derivado usando un enfoque de muestreo, es la claro que la secuencia {Xk} es periódica.

La secuencia original en el dominio del tiempo {Xn} es obtenida de una secuencia de muestras en el dominio de la frecuencia por la relación inversa:

1,...1,0 ,1 1

0

/2

NneXN

xN

k

Nknkn

DFT Comparado con Series de Fourier Exponenciales

Para enfatizar la diferencia entre la Transformada de Fourier y la DFT, recordemos que la transformada de Fourier es usada para representar una señal de energía continua en el tiempo.

Y la DFT en cambio representa un número finito de valores de muestra en el intervalo de observación finito 0<nT/N <T, y resulta en un espectro de línea limitado de 0<k/T<N/T.

También recordemos que los N puntos tiene periodicidad debido a la propiedad de e±j2kn/N.

Ahora veremos un ejemplo del muestreo en un intervalo de observación finito examinando una aproximación de la Transformada de Fourier por una DFT.

Transformada de una forma muestreada ideal

Transformada de un pulso rectangular

El teorema de convolución de la Transformada de Fourier.

El teorema de multiplicación de Fourier

)( )()( sn

sm

Ss nfffmTtty

ftjeTfTSincT

tt020 )(

)()( )(*)( 2121 fXfXtxtx

)(*)( )()( 2121 fXfXtxtx

Ejemplo

t

tx exp)( 221

2)(

ffX

Puesto que ahora consideraremos señales discretas, multiplicamos Puesto que ahora consideraremos señales discretas, multiplicamos x(t)x(t) por por la forma de muestreo ideal, la forma de muestreo ideal, yyss(t)(t) para producir una señal exponencial para producir una señal exponencial

muestreada.muestreada.

t

tytx ss exp)()(

Por el teorema de la multiplicación, la transformada de Fourier de Por el teorema de la multiplicación, la transformada de Fourier de xxss(t(t) es la ) es la

convolución de las transformadas de Fourier de convolución de las transformadas de Fourier de yyss(t)(t) y y x(t).x(t).

n s

s

nsss

nff

fnfff

ffX 22 21

2)(*

21

2)(

Calculando la DFT solo en una sección de T segundos es en efecto, Calculando la DFT solo en una sección de T segundos es en efecto, multiplicar multiplicar xxss(t)(t) por una función de ventana por una función de ventana (t/T). (t/T). En el dominio de la En el dominio de la

frecuencia, esto corresponde a la convolución de frecuencia, esto corresponde a la convolución de XXss(f) (f) con la transformada con la transformada

de Fourier de la función de la ventana, la cual es de Fourier de la función de la ventana, la cual es TSincTfTSincTf. .

La transformada de Fourier de la señal muestreada y ventaneada es La transformada de Fourier de la señal muestreada y ventaneada es

TSincTf

nffffX

n s

sSW *21

12)( 2

Finalmente, el resultado de la operación de DFT efectivamente muestrea el Finalmente, el resultado de la operación de DFT efectivamente muestrea el espectro Xespectro XSWSW(f) en un conjunto discreto de frecuencias separados por el (f) en un conjunto discreto de frecuencias separados por el

recíproco del tiempo de observación (duración de la ventana), 1/T. Esto recíproco del tiempo de observación (duración de la ventana), 1/T. Esto corresponde a la convolución en el dominio del tiempo con una secuencia de corresponde a la convolución en el dominio del tiempo con una secuencia de funciones deltas ya que funciones deltas ya que

)( )(T

nfmTtT

nm

Esto produce una secuencia muestreada periódica en el dominio del tiempo, Esto produce una secuencia muestreada periódica en el dominio del tiempo, xxspsp(t). (t).

Fuentes de Error Errores excesivos debido al Aliasing:

Incrementar la tasa de muestreo Prefiltrar la señal para minimizar el contenido espectral de alta

frecuencia. Distorsión del Espectro debido al Escape (Leakage)

Incrementar el ancho de la ventana, incrementando el número de puntos DFT.

Utilizar funciones de Ventana que tienen transformada de Fourier con pocas lóbulos laterales.

Si las componentes grandes periódicas están presente en la señal, eliminar mediante filtrado antes de realizar el proceso de ventaneo.

Efecto Cerca de Piquete (Picket-Fence) resulta en componentes espectrales importantes siendo eliminadas. Incrementar el número de puntos DFT manteniendo la tasa de

muestreo.

Calculo de la DFT

Antes de ver algoritmos eficientes para el cálculo de la suma de DFT. Consideraremos varios ejemplos en los cuales expresiones matemáticas para DFT fueron desarrolladas.

Usualmente esto no es posible, y la DFT de una secuencia debe ser evaluada numéricamente.

Para grandes sumas, esto puede tomar mucho tiempo de máquina.

Por esta razón los algoritmos de Transformada Rápida de Fourier fueron creados por J. W. Tukey.

Calculo de la DFT

Ahora escribiremos la suma de la DFT como:

donde

Para una secuencia discreta en el tiempo {x(n)} de longitud N, la suma da como resultado una secuencia discreta en el dominio de la frecuencia {X(k)} de longitud N.

110 , ][)(1

0

,..., N-,kWnxkXN

n

nkN

NnkjnkN eW /2

Ejemplo

Encontrar la DFT de la señal con N=8.

Primero escribiremos x(n) con Euler

Y notemos ahora que la suma para X(k) puede ser escrita como la suma de 3 términos.

)2/(34)( nSinnx

2/2/2/2/

2

3

2

34

234)( njnj

njnj

jejej

eenx

70 ,)()(7

0

)8/2(

kenxkXn

knj

Ejemplo

7

0

4/2/7

0

4/2/7

0

4/

2

3

2

34)(

n

knjnj

n

knjnj

n

knj eejeejekX

1

0

/)(21

0

/)(21

0

/2),(N

n

nNkljN

n

NklnjN

n

nkN

NnljN eeWeklS

Si evaluamos estas sumas considerando

De las series geométricas, sabemos que esta sumatoria tiende a:

lke

eklS

Nklj

klj

N

,01

1),(

/)(2

)(2

Ya que la exponencial es igual a 1, para cualquier par de (k,l)

Ejemplo

Sin embargo, k=l, el numerador y el denominador de SN(l,k).

Pero es un caso particular de la serie geométrica si se evalúa para k=l, entonces la serie geométrica queda como:

Así, podemos escribir de manera compacta

donde kl =1 para k=l y 0 en otro lado, esta es la función delta de Kronecker.

NellSN

n

N

n

nN

n

nNjN

1

0

1

0

1

0

/)0(2 11),(

lkN NklS ,),(

Ejemplo

)8(2

3)8(

2

3)8(4)( 2,2,0, kkk jjkX

2,2,0, 121232)( kkk jjkX

X(0) =32 X(1)=0 X(2)=-j12 X(3)=0

X(4) =0 X(5)=0 X(6)=j12 X(7)=0

Ejemplo de DFT de 2 puntos

En este algoritmo de DFT de dos puntos, el cual toma solo dos muestras en el dominio del tiempo, x(0) y x(1), y dos muestras en el dominio de la frecuencia X(0) y X(1) son derivadas.

Realizando la sumatoria

X(0)=x(0) + x(1)

X(1)=x(0) – x(1)

1,0 ,)()(1

02

kWnxkXn

nk

Ejemplo de DFT de 2 puntos

2-Puntos DFT

x(0)

x(1)

X(0)

X(1)

x(0)

x(1)

X(0)

X(1)-1

Antes de seguir con el siguiente ejemplo debemos examinar WNK

para tres valores específicos de k. Para k= N/2 se tiene

Los otros dos caso especiales de interés son cuando k= N/4 y 3N/4.

122

2/

jN

Nj

NN eeW

jeeW jN

Nj

NN

2/42

4/

jeeW jN

Nj

NN

2/34

32

4/3

Derivación Matemática de FFT

Algoritmo en el dominio del Tiempo: Consideraremos la suma de la DFT separadamente los términos pares e impares en la suma, siendo n= 2r para pares y 2r+1 para impares.

12/

0

)12(12/

0

21

0

)12()2()()(N

r

krN

N

r

rkN

N

n

nkN WrxWrxWnxkX

)()()12()2()(12/

0

212/

0

2 kHWkGWrxWWrxkX kN

N

r

rkN

kN

N

r

rkN

12/

02/)2()(

N

r

rkNWrxkG

12/

02/)12()(

N

r

rkNWrxkH

DFT N/2 Puntos

DFT N/2 Puntos

x(0)

x(2)

x(4)

x(6)

x(1)

x(3)

x(5)

x(7)

G(0)

G(1)G(2)G(3)

H(0)

H(2)H(3)

H(1)

X(0)X(1)X(2)X(3)

X(4)X(5)X(6)X(7)


Algoritmo en el dominio de la Frecuencia: Para derivar otro algoritmo para encontrar la DFT consideremos la sumatoria como la suma sobre la primera mitad y otra sobre la ultima mitad de las muestras de entrada.

12/

0

)2/(12/

0

)2

()()(N

m

kNmN

N

n

nkN W

NmxWnxkX

N

Nn

nkN

N

n

nkN WnxWnxkX

2/

12/

0

)()()(

12/

0

2/12/

0

)2

()()(N

m

mkN

kNN

N

n

nkN W

NmxWWnxkX

12/

0

12/

0

)2

()1()()(N

m

mkN

kN

n

nkN W

NmxWnxkX


Ahora consideremos k par e impar separadamente.

12/

0

)2

()1()()(N

n

nkN

k WN

mxnxkX

12/

02/

12/

0

2 )2

()()2

()()2(N

n

nrN

N

n

nrN W

NmxnxW

NmxnxrX

12/

02/

12/

0

2 )2

()()2

()()12(N

n

nN

nrN

N

n

nN

nrN WW

NmxnxWW

NmxnxrX

DFT N/2 Puntos

DFT N/2 Puntos

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

-1

-1

-1

-1

W0N

W1N

W2N

W3N

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

Propiedades de la DFT

Secuencias Discretas en tiempo son denotadas como x(n) y y(n) Su DFT se denotan como X(k) y Y(k) N es la longitud de la secuencia o tamaño de la DFT A y B son constantes arbitrarias El subíndice e significa que es par alrededor del punto (N-1)/2

para N par y N/2 para N impar. El subíndice o denota la secuencia impar. El subíndice r denota la parte real de la secuencia El subíndice i denota la parte imaginaria de la secuencia


Cualquier secuencia real puede ser expresada en términos de sus partes pares e impares.

Las secuencias se asumen periódicamente repetidas.

)()()( nxnxnx oe

)()(2

1)()(

2

1)( nNxnxnNxnxnx


Linealidad

Ax(n)+By(n) ↔ AX(k) +BY(k)

Retardo en el Tiempo

x(n-m) ↔ X(k)e(-j2km/N)=X(k)WNkm


Retardo en Frecuencia

x(n)e(j2nm/N)↔ X(k-m)

Dualidad

N-1X(n) ↔ x(-k)


Convolución Circular

Multiplicación

)()()()()()(1

0

kYkXnynxmnymxN

m

)()()()( 1 kYkXNnynx


Teorema de Parseval

1

0

211

0

2)()(

N

k

N

n

kXNnx


Transformada de funciones reales pares

xer(n)↔Xer(k)

Transformada de funciones impares reales

xor(n)↔jXoi(k)


Asuma que x(n) y y(n) son las partes real e imaginaria de una secuencia compleja x(n), es decir:

z(n)=x(n)+jy(n)

Entonces

z(n) ↔ Z(k)=X(k)+jY(k)

Aplicaciones de la FFT

Filtrado Analizadores de Espectro Convolución Densidad Espectral de Energía Funciones de Autocorrelación Identificación del Sistema Recuperación de la Señal Deconvolución

Selección de Parámetros para el Procesamiento de la Señal con DFT

En el procesamiento de una señal por medio de DFT o FFT, el teorema de muestreo requiere que la tasa de muestreo sea de fs ≥2W muestras por segundo, donde W es el ancho de banda de la señal. Asuma una ventana de T segundos con una DFT de N puntos, la tasa de muestreo es fs = N/T.

Lo cual debe satisfacer

WT

Nf s 2

Es espaciamiento entre muestras de frecuencia es:

Lo que se conoce como resolución en frecuencia.

Combinando estas ecuaciones se tiene:

Dado un ancho de banda de una señal, la resolución deseada o espaciamiento en frecuencia determina el tamaño de la FFT requerido. Para hacer T/Ts igual a N=2n, ceros deben ser añadidos al final de los datos.

TN

ff s 1

7

HzN

W

Tf

21

Ventanas y sus Propiedades

Hemos visto que el muestreo del espectro de una señal de en el dominio del tiempo y ventaneada implica una extensión periódica de la señal.

A menos que la señal sea periódica y un número entero de períodos estén dentro de la ventana o que se aproxime a cero en los extremos del intervalo, la discontinuidades resultante generan adicional componentes espectrales. Lo cual se conoce como goteo espectral.

Para minimizar este efecto, las muestras de datos pueden ser multiplicadas por una ventana no rectangular que aproxime a cero suavemente el inicio y fin de la señal.

Varias funciones son mostradas en la siguiente tabla.

Ventana Nivel de Lóbulo

Principal (dB)

Ancho de Banda 3-dB

(bins)

Ganancia Coherente

[∑w(n)]2/ ∑w2(n)

Rectangular

w(n)=1, n=0,1, ..N-1

-13 0.89 1.0

Triangular

w(n)=2n/N, n=0,1…N/2

w(N-n-1)=w(n)

-27 1.28 0.75

Hanning

w(n)=1/2[1-Cos(2n/N)]

n=0,1….N-1

-32 1.44 0.67

Ventana Nivel de Lóbulo

Principal (dB)

Ancho de

Banda 3-dB

(bins)

Ganancia Coherente

[∑w(n)]2/ ∑w2(n)

Hamming

w(n)=0.54-0.46*Cos(2n/N)]

n=0,1….N-1

-43 1.30 0.74

Kaisser-Bessel

w(n)=Io()/Io()

donde

Io(x) = Función de Bessel modificada

=2; -46

=2.5;-57

=3; -69

=3,5;-82

1.43

1.57

1.71

1.83

0.67

0.61

0.56

0.52

2

112

1

N

n

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