View
77
Download
9
Category
Preview:
DESCRIPTION
transformasi koordinat
Citation preview
TUGAS FISIKA MATEMATIKA II
Transformasi Koordinat
Disusun oleh kelompok 6:
Laili Mei Ari P. 090210102054
Olivthea H I 100210102031
Muh. Sirojul M 1002101020
Julfa Salvini F 1002101020
Utari oktadifani 100210102087
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2011
1. KOORDINAT KURVALINEARKoordinat Kurvilinear adalah perubahan relatif koordinat permukaan dari titik
ke titik. Sebuah titik P di dalam ruang di definisikan oleh P (u1 ,u2 , u3 ) dimana u1 , u2
dan u3 adalah fungsi harga tunggal dari posisi, transformasi terhadap titik P di tuliskan :
x=x1=f 1 (u1 , u2 ,u3 )
y=x2= f 2 (u1 ,u2 , u3 )
z=x3=f 3 (u1 ,u2 , u3 )
Dan
u1=F1 ( x1 , x2 , x3 )
u2=F2 ( x1 , x2 , x3 )
u3=F3 ( x1 , x2 , x3 )
Vektor posisi titik P sebagai fungsi u1 (i=1,2 ,3 ), adalah : r=r (u1 ,u2 , u3 )
Elemen perpindahannya adalah :
dr= ∂r∂u1 du1+ ∂r
∂u2 du2+ ∂r∂u3 du3
¿∑i=1
3 ∂ r∂ u1 du1
¿ds
Atau
ds2=∑i=1
3
∑i=1
3
ai a jdu idu j
¿∑i=1
3
∑i=1
3
ai a j dui du j
Dimana :
a i=∂r∂u i
a j=∂ r∂ u j
Dan g ij=ai a j
Sehingga : a ia j=a j ai , g ij=g ji
g ij ini yang disebut dengan Koefisien Matrik sebuah ruang.
MACAM-MACAM KOORDINAT KURVALINIER
Berikut diberikan macam nilai faktor skala yang sering digunakan dalam fisika matematik
(selain koordinat bola dan silinder melingkar)
1. Koordinat Silinder Eleptik (u, v, z)
Alih bentuknya :
x=acos u cosv
y=a sin usin v
z=z
Faktor-Faktor skalanya :
h u=a¿
h v=a¿
h z=1
2. Silinder Melingkar (ρ, Φ, z)
x=ρ cosΦ
y=ρsin Φ
z=z
Faktor-Faktor skalanya :
h ρ=hz=1
h Φ=ρ
3. Koordinat Silinder Parabolik (ξ, η, z)
Alih bentuknya :
x=ξη
y=12
( η2−ξ2 )❑
z=z
Faktor-Faktor skalanya :
hξ=hη=(ξ2+η2 )1 /2
h z=1
4. Koordinat Bipolar (ξ, η, z)
Alih bentuknya :
x= a sin η(cosη−cosξ )
y= a sin ξ(cos η−cos ξ )
z=z
Faktor-Faktor skalanya :
h ξ=h z= a(cos η−cos ξ )
h z=1
5. Koordinat Sferoida Lonjong (u, v, Φ)
Alih Bentuk (Ragam)
x=a sin u sin vcosΦ
y=a sin usin v sin Φ
z=acosucosv
Faktor Skala
h u=hv=a (sin 2u+sin 2 v )1/2
h Φ=a sin u sin v
6. Koordinat Sferoida Pipih (u,v, Φ)
Alih ragam
x=acos u cosv cosΦ
y=a cosucos v sin Φ
z=asin u sin v
Faktor skala
h u=hv=a (sin 2u+sin 2 v )1/2
h Φ=acosucos v
7. Koordinat Parabola (ξ, η, Φ )
Alih ragam
x=ξ η cosΦ
y=ξ η sin Φ
z=12(η2−ξ2)
Faktor skala
hξ=hη=(ξ2+η2 )1 /2
h Φ=ξ η
8. Koordinat Toroida (ξ, η, Φ )
Alih ragam :
x= a sin η cosΦ(cosη−cosξ )
y= a sin η sin Φ(cos η−cos ξ )
z= a sin ξ(cosη−cosξ )
Faktor-Faktor skalanya :
h ξ=h η= a(cosη−cosξ )
hΦ= a sin η(cosη−cosξ )
9. Koordinat Bisferik (ξ, η, Φ )
Alih ragam :
x= a sin ξ cos Φ(cosη−cosξ )
y= a sin ξ sin Φ(cos η−cos ξ )
z= asin η(cosη−cosξ )
Faktor-Faktor skalanya :
h ξ=h η= a(cosη−cosξ )
h Φ= a sin ξ(cosη−cosξ )
10. Koordinat Elipsoida Konfokal (ξ, η, ζ)
Alih ragam :
x2=(a2−ξ ) ( a2−η ) (a2−ζ )
(a2−b2 ) (a2−c2)
y2=(b2−ξ ) ( b2−η )(ζ −b2)
(a2−b2 ) (b2−c2 )
z2=(c2−ξ ) (η−c2 )(ζ −c2)
( a2−c2 ) (b2−c2 )
Faktor Skalanya :
h ξ=12 [ (η−ξ ) (ζ −ξ )
(a2−ξ ) (b2−ξ ) (c2−ξ ) ]1 /2
h η=12 [ (ζ−η ) (η−ξ )
( a2−η ) ( b2−η )(c2−η) ]1/2
h ζ =12 [ (ζ −ξ ) (ζ −η )
( a2−ζ ) (b2−ζ )(c2−ζ ) ]1 /2
2. PENGERTIAN TENSOR
Kata tensor diperkenalkan pada tahun 1846 oleh William Rowan Hamilton untuk menggambarkan operasi norma dalam suatu sistem aljabar jenis (akhirnya dikenal sebagai aljabar Clifford). Kata tensor digunakan dalam arti seperti saat ini oleh Woldemar Voigt pada 1898
Tensor adalah entitas geometri yang diperkenalkan ke dalam matematika dan fisika untuk memperluas pengertian skalar, (geometris) vektor, dan matriks.
Dalam fisika semua besaran adalah tensor. Tensor mempunyai range. Range pada tensor akan menunjukkan jumlah komponennya. Jumlah komponen dari sebuah tensor adalah 3n, dengan n menyatakan range tensor tersebut.
1. Skalar merupakan tensor range nol (n=0). Mempunyai 1 komponen. Contoh : Kelajuan (v), Jarak (s), dan Energi (E).
2. Vektor merupakan tensor range 1 (n=1). Mempunyai 3 komponen yaitu komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z pada koordinat kartesian. Dan tetap mempunyai 3 komponen untuk sistem koordinat yang lain. Contoh : Posisi (r) , terdiri dari rx , ry , rz
, kecepatan (v), dan gaya (F).
3. Sedangkan Tensor itu sendiri merupakan tensor range lebih dari 1 (n>1).
Range 2 (n=2) . Mempunyai 9 komponen. Contoh
Tensor Green
GB( r⃗ , r⃗ ' )=(Gxx Gxy G xz
Gyx G yy G yz
Gzx G zy G zz)
Tensor Stress
Tensor yang akan dibahas dalam makalah ini adalah tensor range dua.
JENIS – JENIS TENSOR
Ada tiga jenis Tensor :
1. Tensor matrik kovarian (Gkov)
Tensor matrik kovarian dilambangkan dengan gμv
Dimana gμv = Gkov
Tampilan tensor matrik kovarian adalah
Gkov = gμv = [g11 g12 g13
g21 g22 g23
g31 g32 g33]
Tensor matrik kovarian bersifat diagonal dengan unsure diagonal : h2 μ , dimana
h μ = (b⃑μ . b⃑μ¿1 /2
Contoh : koordinat bola di atas dapat dibentuk tensor matrik kovarian yaitu :
Gkov = gμv = [ grr grθ gr Ф
gθr gθθ gθ Ф
gФ r gФ θ gФФ]
Dibuktikan bahwa : grθ = b⃑r . b⃑θ = 0 ; gr Ф = b⃑r . b⃑Ф = 0
gθ Ф= b⃑θ . b⃑ Ф = 0 , dan
grθ = gθr ; gr Ф = gФ r ; gθ Ф = gФ θ
Sehingga : Gkov = gμv = [grr 0 00 gθθ 00 0 gФФ
]Karena grr = b⃑r . b⃑r = h r2
gθθ= b⃑θ . b⃑ Ф = hθ2
gФФ= b⃑ Ф .b⃑ Ф = h Ф2
Maka
Gkov = gμv = [h r2 0 00 h θ2 00 0 hФ2] = [1 0 0
0 r2 00 0 r2 sinθ ]
Memenuhi sifat A 'ij=∑
kl
∂ xk
∂ x i
∂ xl
∂ x jAkl
Tensor matrik kovarian untuk bola
Disebut Tensor diagonal
2. Tensor kontravarian
Memenuhi sifat Aij '=∑
kl
∂ x i
∂ xk
∂ x j
∂ xlAkl
3. Tensor campuran
Memenuhi sifat A j
i '=∑kl
∂ x i
∂ x l
∂ xk
∂ x jA l
k
Dengan adanya defenisi tensor dalam tiga buah jenis tensor diatas maka jika pada suatu matrik persegi tidak memiliki salah satu dari sifat tiga jenis tensor diatas, matrik tersebut bukanlah tensor.
Untuk memperlihatkan sifat tiga tensor diatas, kita harus mendefenisikan matrik baru yang merupakan transformasi koordinat dari tensor tersebut. Kemudian menggunakan sifat tensor untuk membuktikan apakah matrik tersebut tensor atau tidak sekaligus menentukan jenis tensornya.
Contoh :
Buktikanlah apakah matrik di bawah termasuk tensor dan tentukan jenisnya.
Sebuah tensor T=(−xy − y2
x2 xy )
matrik koordinat dari tensor tersebut adalah T '=(−x ' y ' − y '2
x ' 2 x ' y ' )Jawab :
T=(T 11 T 12
T21 T 22)=(−xy − y2
x2 xy ) dan
T '=(T ' 11 T ' 12
T ' 21 T ' 22)=(−x ' y ' − y '2
x ' 2 x ' y ' )secara umum transformasi koordinat dibentuk oleh sebuah matrik sebagai berikut :
a=(a11 a12
a21 a22)=(cos ψ sin ψ
−sin ψ cos ψ )sehingga
x '=x cosψ+ y sin ψy '=−x sin ψ+ y cosψ
2. Operasi pada tensor dalam koordinat kurvalinier:
1. skalar + skalar = skalar
2. skalar + vektor = (tidak ada)
3. vektor + vektor = vektor
4. skalar x skalar = skalar
5. skalar x vektor = vektor
6. vektor (perkalian) vektor =
1. vektor⋅vektor=skalar (dot product)
2. vektor×vektor=vektor (cross product)
1. tensor (range >1)
3. ∇⋅¿ ¿ (divergensi)
4. ∇׿ ¿ (curl)
∇= ∂∂ x
+ ∂∂ y
+ ∂∂ z
Soal latihan
1. Diketahui koordinat silinder parabola (ξ,η,z)
Dengan x=ξ η ; y=12
( η2−ξ2 ); z = 1
Tentukanlah :
a. hξb. hηc. hzd. b ξ ∙b ηe. b η ∙ b η
Jawab :
r=xi+ yj+zk
r=(ξη )i+ 12
(η2−ξ2) j+ zk
a. hξ
b ξ= ∂r⃗∂ ξ
bu=∂ ( ξη ) i+1
2(η2−ξ2 ) j+zk
∂ ξ
bu=∂ ( ξη ) i+( 1
2η2−1
2ξ2) j+zk
∂ ξ
bu=η−ξ
h ξ2=bξ .b ξ
hξ2=(η−ξ ) . (η−ξ )
bu=(ξ2+η2 )
h ξ=√(ξ2+η2 )
bu=(ξ2+η2 )12
b. hη
b η=∂ r⃗∂ η
bu=∂ ( ξη ) i+1
2(η2−ξ2 ) j+zk
∂η
bu=∂ ( ξη ) i+( 1
2η2−1
2ξ2) j+zk
∂ η
bu=ξ+η
h η2=bη .b η
h η2= (ξ+η ) . (ξ+η )
bu=(ξ2+η2 )
h η=√( ξ2+η2)
bu=(ξ2+η2 )12
c. hz
b z=∂ r⃗∂ z
bu=∂ ( ξη ) i+1
2(η2−ξ2 ) j+zk
∂ z
Huh=k
hz2=( k ) . (k )
hhh=1
hz=√1
hz=1
d. b ξ ∙b η
b ξ= ∂r⃗∂ ξ
bu=∂ ( ξη ) i+1
2(η2−ξ2 ) j+zk
∂ ξ
bu=∂ ( ξη ) i+( 1
2η2−1
2ξ2) j+zk
∂ ξ
bu=η−ξ
b η=∂ r⃗∂ η
bu=∂ ( ξη ) i+1
2(η2−ξ2 ) j+zk
∂η
bu=∂ ( ξη ) i+( 1
2η2−1
2ξ2) j+zk
∂ η
bu=ξ+η
b ξ ∙b η=(η−ξ ) . (ξ+η )bξ ∙b η=η2−ξ2
e. b η ∙b η
b η=∂ r⃗∂ η
bu=∂ ( ξη ) i+1
2(η2−ξ2 ) j+zk
∂η
bu=∂ ( ξη ) i+( 1
2η2−1
2ξ2) j+zk
∂ η
bu=ξ+η
b η ∙ b η= (ξ+η ) . (ξ+η )
bu=(ξ2+η2 )
Recommended