TUGAS FISIKA MATEMATIKA II

Transformasi Koordinat

Disusun oleh kelompok 6:

Laili Mei Ari P. 090210102054

Olivthea H I 100210102031

Muh. Sirojul M 1002101020

Julfa Salvini F 1002101020

Utari oktadifani 100210102087

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2011

1. KOORDINAT KURVALINEARKoordinat Kurvilinear adalah perubahan relatif koordinat permukaan dari titik

ke titik. Sebuah titik P di dalam ruang di definisikan oleh P (u1 ,u2 , u3 ) dimana u1 , u2

dan u3 adalah fungsi harga tunggal dari posisi, transformasi terhadap titik P di tuliskan :

x=x1=f 1 (u1 , u2 ,u3 )

y=x2= f 2 (u1 ,u2 , u3 )

z=x3=f 3 (u1 ,u2 , u3 )

Dan

u1=F1 ( x1 , x2 , x3 )

u2=F2 ( x1 , x2 , x3 )

u3=F3 ( x1 , x2 , x3 )

Vektor posisi titik P sebagai fungsi u1 (i=1,2 ,3 ), adalah : r=r (u1 ,u2 , u3 )

Elemen perpindahannya adalah :

dr= ∂r∂u1 du1+ ∂r

∂u2 du2+ ∂r∂u3 du3

¿∑i=1

3 ∂ r∂ u1 du1

¿ds

Atau

ds2=∑i=1

3

∑i=1

3

ai a jdu idu j

¿∑i=1

3

∑i=1

3

ai a j dui du j

Dimana :

a i=∂r∂u i

a j=∂ r∂ u j

Dan g ij=ai a j

Sehingga : a ia j=a j ai , g ij=g ji

g ij ini yang disebut dengan Koefisien Matrik sebuah ruang.

MACAM-MACAM KOORDINAT KURVALINIER

Berikut diberikan macam nilai faktor skala yang sering digunakan dalam fisika matematik

(selain koordinat bola dan silinder melingkar)

1. Koordinat Silinder Eleptik (u, v, z)

Alih bentuknya :

x=acos u cosv

y=a sin usin v

z=z

Faktor-Faktor skalanya :

h u=a¿

h v=a¿

h z=1

2. Silinder Melingkar (ρ, Φ, z)

x=ρ cosΦ

y=ρsin Φ

z=z

Faktor-Faktor skalanya :

h ρ=hz=1

h Φ=ρ

3. Koordinat Silinder Parabolik (ξ, η, z)

Alih bentuknya :

x=ξη

y=12

( η2−ξ2 )❑

z=z

Faktor-Faktor skalanya :

hξ=hη=(ξ2+η2 )1 /2

h z=1

4. Koordinat Bipolar (ξ, η, z)

Alih bentuknya :

x= a sin η(cosη−cosξ )

y= a sin ξ(cos η−cos ξ )

z=z

Faktor-Faktor skalanya :

h ξ=h z= a(cos η−cos ξ )

h z=1

5. Koordinat Sferoida Lonjong (u, v, Φ)

Alih Bentuk (Ragam)

x=a sin u sin vcosΦ

y=a sin usin v sin Φ

z=acosucosv

Faktor Skala

h u=hv=a (sin 2u+sin 2 v )1/2

h Φ=a sin u sin v

6. Koordinat Sferoida Pipih (u,v, Φ)

Alih ragam

x=acos u cosv cosΦ

y=a cosucos v sin Φ

z=asin u sin v

Faktor skala

h u=hv=a (sin 2u+sin 2 v )1/2

h Φ=acosucos v

7. Koordinat Parabola (ξ, η, Φ )

Alih ragam

x=ξ η cosΦ

y=ξ η sin Φ

z=12(η2−ξ2)

Faktor skala

hξ=hη=(ξ2+η2 )1 /2

h Φ=ξ η

8. Koordinat Toroida (ξ, η, Φ )

Alih ragam :

x= a sin η cosΦ(cosη−cosξ )

y= a sin η sin Φ(cos η−cos ξ )

z= a sin ξ(cosη−cosξ )

Faktor-Faktor skalanya :

h ξ=h η= a(cosη−cosξ )

hΦ= a sin η(cosη−cosξ )

9. Koordinat Bisferik (ξ, η, Φ )

Alih ragam :

x= a sin ξ cos Φ(cosη−cosξ )

y= a sin ξ sin Φ(cos η−cos ξ )

z= asin η(cosη−cosξ )

Faktor-Faktor skalanya :

h ξ=h η= a(cosη−cosξ )

h Φ= a sin ξ(cosη−cosξ )

10. Koordinat Elipsoida Konfokal (ξ, η, ζ)

Alih ragam :

x2=(a2−ξ ) ( a2−η ) (a2−ζ )

(a2−b2 ) (a2−c2)

y2=(b2−ξ ) ( b2−η )(ζ −b2)

(a2−b2 ) (b2−c2 )

z2=(c2−ξ ) (η−c2 )(ζ −c2)

( a2−c2 ) (b2−c2 )

Faktor Skalanya :

h ξ=12 [ (η−ξ ) (ζ −ξ )

(a2−ξ ) (b2−ξ ) (c2−ξ ) ]1 /2

h η=12 [ (ζ−η ) (η−ξ )

( a2−η ) ( b2−η )(c2−η) ]1/2

h ζ =12 [ (ζ −ξ ) (ζ −η )

( a2−ζ ) (b2−ζ )(c2−ζ ) ]1 /2

2. PENGERTIAN TENSOR

Kata tensor diperkenalkan pada tahun 1846 oleh William Rowan Hamilton untuk menggambarkan operasi norma dalam suatu sistem aljabar jenis (akhirnya dikenal sebagai aljabar Clifford). Kata tensor digunakan dalam arti seperti saat ini oleh Woldemar Voigt pada 1898

Tensor adalah entitas geometri yang diperkenalkan ke dalam matematika dan fisika untuk memperluas pengertian skalar, (geometris) vektor, dan matriks.

Dalam fisika semua besaran adalah tensor. Tensor mempunyai range. Range pada tensor akan menunjukkan jumlah komponennya. Jumlah komponen dari sebuah tensor adalah 3n, dengan n menyatakan range tensor tersebut.

1. Skalar merupakan tensor range nol (n=0). Mempunyai 1 komponen. Contoh : Kelajuan (v), Jarak (s), dan Energi (E).

2. Vektor merupakan tensor range 1 (n=1). Mempunyai 3 komponen yaitu komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z pada koordinat kartesian. Dan tetap mempunyai 3 komponen untuk sistem koordinat yang lain. Contoh : Posisi (r) , terdiri dari rx , ry , rz

, kecepatan (v), dan gaya (F).

3. Sedangkan Tensor itu sendiri merupakan tensor range lebih dari 1 (n>1).

Range 2 (n=2) . Mempunyai 9 komponen. Contoh

Tensor Green

GB( r⃗ , r⃗ ' )=(Gxx Gxy G xz

Gyx G yy G yz

Gzx G zy G zz)

Tensor Stress

Tensor yang akan dibahas dalam makalah ini adalah tensor range dua.

JENIS – JENIS TENSOR

Ada tiga jenis Tensor :

1. Tensor matrik kovarian (Gkov)

Tensor matrik kovarian dilambangkan dengan gμv

Dimana gμv = Gkov

Tampilan tensor matrik kovarian adalah

Gkov = gμv = [g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33]

Tensor matrik kovarian bersifat diagonal dengan unsure diagonal : h2 μ , dimana

h μ = (b⃑μ . b⃑μ¿1 /2

Contoh : koordinat bola di atas dapat dibentuk tensor matrik kovarian yaitu :

Gkov = gμv = [ grr grθ gr Ф

gθr gθθ gθ Ф

gФ r gФ θ gФФ]

Dibuktikan bahwa : grθ = b⃑r . b⃑θ = 0 ; gr Ф = b⃑r . b⃑Ф = 0

gθ Ф= b⃑θ . b⃑ Ф = 0 , dan

grθ = gθr ; gr Ф = gФ r ; gθ Ф = gФ θ

Sehingga : Gkov = gμv = [grr 0 00 gθθ 00 0 gФФ

]Karena grr = b⃑r . b⃑r = h r2

gθθ= b⃑θ . b⃑ Ф = hθ2

gФФ= b⃑ Ф .b⃑ Ф = h Ф2

Maka

Gkov = gμv = [h r2 0 00 h θ2 00 0 hФ2] = [1 0 0

0 r2 00 0 r2 sinθ ]

Memenuhi sifat A 'ij=∑

kl

∂ xk

∂ x i

∂ xl

∂ x jAkl

Tensor matrik kovarian untuk bola

Disebut Tensor diagonal

2. Tensor kontravarian

Memenuhi sifat Aij '=∑

kl

∂ x i

∂ xk

∂ x j

∂ xlAkl

3. Tensor campuran

Memenuhi sifat A j

i '=∑kl

∂ x i

∂ x l

∂ xk

∂ x jA l

k

Dengan adanya defenisi tensor dalam tiga buah jenis tensor diatas maka jika pada suatu matrik persegi tidak memiliki salah satu dari sifat tiga jenis tensor diatas, matrik tersebut bukanlah tensor.

Untuk memperlihatkan sifat tiga tensor diatas, kita harus mendefenisikan matrik baru yang merupakan transformasi koordinat dari tensor tersebut. Kemudian menggunakan sifat tensor untuk membuktikan apakah matrik tersebut tensor atau tidak sekaligus menentukan jenis tensornya.

Contoh :

Buktikanlah apakah matrik di bawah termasuk tensor dan tentukan jenisnya.

Sebuah tensor T=(−xy − y2

x2 xy )

matrik koordinat dari tensor tersebut adalah T '=(−x ' y ' − y '2

x ' 2 x ' y ' )Jawab :

T=(T 11 T 12

T21 T 22)=(−xy − y2

x2 xy ) dan

T '=(T ' 11 T ' 12

T ' 21 T ' 22)=(−x ' y ' − y '2

x ' 2 x ' y ' )secara umum transformasi koordinat dibentuk oleh sebuah matrik sebagai berikut :

a=(a11 a12

a21 a22)=(cos ψ sin ψ

−sin ψ cos ψ )sehingga

x '=x cosψ+ y sin ψy '=−x sin ψ+ y cosψ

2. Operasi pada tensor dalam koordinat kurvalinier:

1. skalar + skalar = skalar

2. skalar + vektor = (tidak ada)

3. vektor + vektor = vektor

4. skalar x skalar = skalar

5. skalar x vektor = vektor

6. vektor (perkalian) vektor =

1. vektor⋅vektor=skalar (dot product)

2. vektor×vektor=vektor (cross product)

1. tensor (range >1)

3. ∇⋅¿ ¿ (divergensi)

4. ∇׿ ¿ (curl)

∇= ∂∂ x

+ ∂∂ y

+ ∂∂ z

Soal latihan

1. Diketahui koordinat silinder parabola (ξ,η,z)

Dengan x=ξ η ; y=12

( η2−ξ2 ); z = 1

Tentukanlah :

a. hξb. hηc. hzd. b ξ ∙b ηe. b η ∙ b η

Jawab :

r=xi+ yj+zk

r=(ξη )i+ 12

(η2−ξ2) j+ zk

a. hξ

b ξ= ∂r⃗∂ ξ

bu=∂ ( ξη ) i+1

2(η2−ξ2 ) j+zk

∂ ξ

bu=∂ ( ξη ) i+( 1

2η2−1

2ξ2) j+zk

∂ ξ

bu=η−ξ

h ξ2=bξ .b ξ

hξ2=(η−ξ ) . (η−ξ )

bu=(ξ2+η2 )

h ξ=√(ξ2+η2 )

bu=(ξ2+η2 )12

b. hη

b η=∂ r⃗∂ η

bu=∂ ( ξη ) i+1

2(η2−ξ2 ) j+zk

∂η

bu=∂ ( ξη ) i+( 1

2η2−1

2ξ2) j+zk

∂ η

bu=ξ+η

h η2=bη .b η

h η2= (ξ+η ) . (ξ+η )

bu=(ξ2+η2 )

h η=√( ξ2+η2)

bu=(ξ2+η2 )12

c. hz

b z=∂ r⃗∂ z

bu=∂ ( ξη ) i+1

2(η2−ξ2 ) j+zk

∂ z

Huh=k

hz2=( k ) . (k )

hhh=1

hz=√1

hz=1

d. b ξ ∙b η

b ξ= ∂r⃗∂ ξ

bu=∂ ( ξη ) i+1

2(η2−ξ2 ) j+zk

∂ ξ

bu=∂ ( ξη ) i+( 1

2η2−1

2ξ2) j+zk

∂ ξ

bu=η−ξ

b η=∂ r⃗∂ η

bu=∂ ( ξη ) i+1

2(η2−ξ2 ) j+zk

∂η

bu=∂ ( ξη ) i+( 1

2η2−1

2ξ2) j+zk

∂ η

bu=ξ+η

b ξ ∙b η=(η−ξ ) . (ξ+η )bξ ∙b η=η2−ξ2

e. b η ∙b η

b η=∂ r⃗∂ η

bu=∂ ( ξη ) i+1

2(η2−ξ2 ) j+zk

∂η

bu=∂ ( ξη ) i+( 1

2η2−1

2ξ2) j+zk

∂ η

bu=ξ+η

b η ∙ b η= (ξ+η ) . (ξ+η )

bu=(ξ2+η2 )