View
228
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
1
Capitolul 1
Secţiune I - Noţiuni introductive despre Matlab-Simulink Secţiune II - Sisteme de reglare automată.
Transformata Laplace. Transformata Z
Conţinut 1. Scopul lucrării .............................................................................................................. 2 Secţiunea I ............................................................................................................................. 2 2. Aspecte teoretice .......................................................................................................... 2
2.1. Noţiuni introductive despre Matlab ..................................................................... 2 2.1.1. Caracteristici specifice limbajului Matlab ...................................................... 2
Tabela 1. 1 Operatori, comenzi şi funcţii Matlab utile ...................................................... 4 3. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică .............................................................. 6
A.1. Execiţii rezolvate - Manipularea vectorilor şi matricelor .................................... 6 A.2. Aplicaţie demonstrativă - Trasarea graficului unei funcţii .................................. 7 A.3. Aplicaţii cerute .................................................................................................... 7
4. Aspecte teoretice .......................................................................................................... 8 4.1. Noţiuni introductive despre Simulink ................................................................. 8
4.1.1. Algoritmul pentru simulare ............................................................................ 9 5. Aplicaţii de laborator ................................................................................................ 10
A.4. Aplicaţie demonstrativă – Simularea unui circuit RC serie .............................. 10 A.5. Aplicaţie cerută – Simularea unui circuit RL serie ........................................... 13
Secţiunea II ......................................................................................................................... 14 6. Aspecte teoretice ........................................................................................................ 14
6.1. Sistem de reglare automată. Noţiuni introductive ............................................. 14 6.1.1. Tipuri uzuale de semnale .............................................................................. 15
6.2. Transformata Laplace (pentru semnale analogice) ............................................ 16 6.3. Transformata Laplace inversă ........................................................................... 18 Funcţii Matlab utile .......................................................................................................... 19
7. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică ............................................................ 19 A.6. Aplicaţii rezolvate - Calculul transformatei Laplace şi Laplace inversă ........... 19
8. Aspecte teoretice ........................................................................................................ 23 8.1. Transformata Z (pentru semnale discrete) ......................................................... 23 8.2. Obţinerea transformatei Z direct din transformata Laplace ............................... 25
9. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică ............................................................ 26 A.7. Aplicaţii rezolvate - Obţinerea transformatei Z pentru o funcţie imagine Laplace 26 9.1. Transformata Z inversă ..................................................................................... 27 Funcţii Matlab utile .......................................................................................................... 27
10. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică ....................................................... 27 A.8. Aplicaţii rezolvate – Calculul transformatei Z inversă ...................................... 27
Capitolul 1
2
1. Scopul lucrării
Lucrarea este structurată pe două secţiuni:
• secţiunea I prezintă principalele caracteristici ale mediului de programare şi dezvoltare Matlab:
o sunt trecute în revistă, pe scurt, cele mai folosite comenzi, modalitatea de utilizare, precum şi un instrument foarte puternic al acestuia - Simulink-ul, util în modelarea, simularea şi analiza sistemelor dinamice;
este construit pas cu pas un exemplu de schemă bloc simplă pentru exemplificarea funcţionalităţii acestuia.
• secţiunea II introduce noţiune de sistem de reglare automată şi permite recapitularea unor noţiuni fundamentale despre transformata Laplace şi Z, ce sunt necesare în lucrările viitoare. Sunt prezentate exemple demonstrative rezolvate atât prin metode analitice cât şi în Matlab.
Secţiunea I
2. Aspecte teoretice
2.1. Noţiuni introductive despre Matlab
Matlab-ul este un limbaj de nivel înalt care integrează calculul, programarea şi vizualizarea într-un mediu uşor de utilizat. Versiunea completă a pachetului de programe MATLAB conţine alături de interpretorul de comenzi specific o întreagă colecţie de module specifice: Simulink, DSP, Control System, SimPowerSystems, System Identification, SimMechanics, Data Acquisition, Image Processing, Fuzzy Logic, Partial Differential Equations, Neural Network, Optimization, Financial, Statistics, Communications, Database, Virtual Reality etc. [ ].
2.1.1. Caracteristici specifice limbajului Matlab
Spre deosebire de alte limbaje de nivel înalt, elementele de bază pentru lucru sunt vectorii şi matricele, pe care utilizatorul le poate defini şi folosi fără a le specifica dimensiunile iniţiale. Problemele legate de gestionarea memoriei pentru operaţiile care presupun, spre exemplu, creşterea dimensiunii unui vector se fac automat, transparent pentru utilizator, ceea ce reprezintă un avantaj important pentru calculul ingineresc.
Fereastra principală de lucru a programului, Command Window, permite accesul direct la interpretorul de comenzi, care execută o secvenţă de cod linie cu line. Secvenţa de cod poate fi introdusă:
Noţiuni introductive
3
explicit, direct de la tastatură, în fereastra de lucru, după afişarea prompter-ului, constând în simbolul “>>”, iar după fiecare linie se apasă Enter
într-un fişier de tip text de date, care se salvează prin atribuirea unui nume şi a extensiei “nume_fisier.m” şi se lansează în lucru simplu prin: nume_fisier şi Enter. Observaţie: Execuţia acestuia poate fi realizată dacă fişierul sursă este localizat în directorul curent sau în unul din directoarele specificate în căile de căutare a Matlab-ului.
Variabilele definite în timpul unei sesiuni Matlab, sunt menţinute în memoria internă până la modificarea/ştergerea lor explicită sau închiderea programului. Este necesară salvarea explicită a spaţiul de lucru ce conţine variabilele de lucru dintr-o sesiune MATLAB, pentru a nu le pierde la părăsirea voită sau accidentală a mediului.
o Utilizatorul poate crea şi atribui valori unui număr de variabile aflate în memoria internă. Pentru a salva aceste valori şi a relua ulterior execuţia în acelaşi context de lucru se pot utiliza comenzi de salvare/restaurare de forma:
>> save „nume_fişier” - salvează variabilele în fişierul cu numele precizat
>> load „nume_fişier” - restaurează contextul de lucru folosind fişierul precizat
o Se pot defini variabile de tip constantă numerică, vector sau matrice, dându-le nume diferite, desemnate atât cu majuscule cât şi cu minuscule ( Matlab-ul este "case-sensitive").
o În spaţiul de lucru sunt create implicit o serie de variabile şi constante cu caracter special:
ans - desemnează cel mai recent răspuns nenominalizat; eps - precizia relativă în virgulă flotantă; pi = 3.1415926; inf – infinit; NAN - simbol folosit pentru un număr ce nu poate fi
reprezentat; flops - numărul de operaţii în virgulă mobilă efectuate; nargin - numărul de argumente de intrare ale funcţiei; nargout - număr de argumente de ieşire ale funcţiei.
o Variabilele definite pot fi afişate şi în mod grafic prin apelarea funcţiei “Show Workspace”, din meniul File. Astfel, se deschide o fereastră în care sunt prezentate variabilele conţinute la momentul curent în memorie, dimensiunea şi tipul acestora şi spaţiul de memorie ocupat de fiecare.
Documentaţia permite obţinerea unor informaţii cu caracter general despre comenzile interne şi externe Matlab. Pentru a afla mai multe informaţii despre orice funcţie sau operator se tastează în fereastra de lucru comanda help urmată de numele funcţiei dorite. De exemplu, pentru a alfa date despre operatori se tastează:
>> help ops
Capitolul 1
4
Tabela 1. 1 Operatori, comenzi şi funcţii Matlab utile
Operatori + adunare; - scădere; * înmulţire; / împărţire dreapta; \ împărţire stânga; ^ ridicare la putere; . / împărţire cu punct, la dreapta; .\ împărţirea cu punct, la stânga ' operator de transpunere a unui vector, sau a unei matrice (sintaxă: A' - calculează transpusa metricei A) .* înmulţire cu punct, are ca efect înmulţirea a doua matrice, de aceeaşi dimensiune, element cu element; .^ ridicarea la putere cu punct - va ridica la puterea indicată fiecare element al unei matrice Observaţie: Împărţirea / şi \ este analogă pentru expresii, dar provoacă ieşiri diferite în cadrul calculului matriceal: A\B - echivalent cu înmulţirea la stânga cu inversa lui A (sau soluţia ecuaţiei A*X=B);
A/B - echivalent cu înmulţirea la dreapta cu inversa lui A (sau soluţia ecuaţiei X*A=B); Operatori logici: & reprezintă SI logic; : S reprezintă AU logic ~ reprezintă NU logic Operatori relaţionali: == egal; ~= diferit de; < mai mic; <= mai mic sau egal; > mai mare; >= mai mare sau egal Funcţii de lucru cu matrice
expm(A)- furnizează exponenţiala a matricei A; det(A) – întoarce determinantul matricei A; inv(A) - calculează inversa matricei A; rank(A) - calculează rangul matricei A; eig(A)– furnizează valorile proprii ale matricei A (sintaxa: [X,D] = eig(A) returnează matricea diagonală D conţinând valorile proprii ale matricei A, iar în X vectorii proprii corespunzători) size(A) - determina dimensiunea lui A; trace(A) - calculează urma matricei A; sqrt(A) - extrage radicalul fiecărui element al lui A; length(x) - pentru argument vector, va returna lungimea sa; diag(A,k) - extrage elementele de pe diagonala k a unei matrice sau formează o matrice cu elementele desemnate în vectorul A plasate pe diagonala k tril (A) - reţine elementele de sub diagonala principală, zerorizându-le pe celelalte; triu (A) - reţine elementele de deasupra diagonalei principale, zerorizându-le pe celelalte. Funcţii ce acţionează rând pe rând, asupra elementelor fiecărei coloane a unei matrice. Rezultatul este un vector linie. max(A) - determină elementul maxim pe fiecare coloană; min(A) - determină elementul minim pe fiecare coloană; mean(A) - determină valoarea medie pe fiecare coloană; median(A) – calculează media pe fiecare coloană; sum(A) - suma elementelor pe coloană; sort(A) – întoarece o matrice în care fiecare coloană este aranjată în ordine crescătoare prod(A) - produsul elementelor pe coloană; cumsum(A) - suma cumulativă a elementelor pe coloană; cumprod(A) - produsul cumulativ a elementelor pe coloană; zeros(M,N) - generează o matrice nulă cu M linii şi N coloane (la matricele pătrate se poate omite numărul de coloane); ones(M,N) - generează o matrice cu elemente unitare; rand(M,N) - generează o matrice cu elemente aleatoare; eye(M,N) - generează o matrice identitate Funcţii polinomiale
Noţiuni introductive
5
poly(A) – întoarce un vector linie format din coeficienţii polinomului caracteristic al matricei A; roots(p) - întoarce un vector coloană care conţine rădăcinile polinomului ai cărui coeficienţi sunt incluşi în vectorul p; conv(p,q) – calculează produsul polinoamelor celor doi vectori reprezentaţi în p şi q. Funcţii elementare matematice
• algebrice (abs, sqrt, exp, log, log10); • numere complexe (real, imag, conj); • trigonometrice (sin, cos, tan, asin, acos, ...); • speciale (bessel, gamma).
Toate acestea au semnificaţia cunoscută în matematică. Crearea unei funcţii M-file function[o1,...,om]=nume_funcţie(arg_1, … arg_n), unde: o1,...,om sunt ieşirile, arg_1, …,arg_n sunt argumentele de intrare ale funcţiei, iar nume_funcţie este numele funcţiei. Funcţii grafice
plot(x)dacă x este un vector, produce afişarea elementelor lui x în funcţie de indexul elementelor plot(x,y)
dacă argumentele x şi y sunt vectori de aceeaşi lungime, desenează elementele lui y funcţie de elementele lui x.
dacă argumentul y este o matrice şi x este un vector, va trasa graficele corespunzătoare liniilor sau coloanele lui y în funcţie de vectorul x, folosind caractere diferite pentru fiecare dintre ele;
plot(x1,y1,x2,y2,...,xn,yn) – utilizată pentru a realiza desene multiple coresunzătoare perechilor (xn,yn), unde (x1,y1), (x2,y2),... sunt perechi de vectori.
plot(t,y,'linie')– permite setarea tipul de linie pentru reprezentarea grafică, astfel:
continuă „ -” întreruptă (dashed) „ –” punctată (dotted) „ : ” linie-punct (dashdot) „-.” punct (point) „ . ” plus „ +” stea(star) „* ” cerc(circle) „o ” x-mark „ x ”
Exemple de opţiuni de culoare: 'w' (white), 'r' (red), 'g' (green), 'b' (blue), etc. xlabel('mesaj') – permite etichetarea axei absciselor, prin mesajul inclus între apostrof ylabel('mesaj') – permite etichetarea axei ordonatelor grid – activeză caroiaj title( 'mesaj') – asigură inscriptionarea titlului pentru grafic, prin mesajul inclus între apostrof text – permite includerea de etichete Funcţii grafice în coordonate polare şi logaritmice: polar(theta,rho) - reprezintă grafic unghiul "theta" (în radiani) în funcţie de raza "rho" în coordonate polare; loglog(x,y) - furnizează grafice în coordonate logaritmice pentru ambele axe; semilogx(x,y) - furnizează grafice reprezentând pe x în coordonate logaritmice şi pe y liniar. Controlul ecranului Comutarea între ecranul grafic şi cel de comandă precum şi divizarea ecranului grafic sunt disponibile în MATLAB cu ajutorul următoarelor comenzi: - clg - şterge ecranul grafic; - shg - comută pe ecranul grafic;
- subplot(m,n,p) – împarte ecranul grafic în ferestre, iar parametrii m, n, p au următoarea semnificaţie: m - reprezintă numărul de grafice pe linie; n - numărul de grafice pe coloană; p - poziţia primului grafic inscripţionat în partiţia ecran realizată; - axis – permite trasarea de axe de către operator; - home - mută cursorul în coltul stânga-sus al ecranului; - hold - menţine unui grafic pe ecran în vederea suprapunerii unui alt grafic
Capitolul 1
6
Comenzi speciale - facilitează lucrul în cadrul sesiunii de lucru : clear X - şterge variabila X din spaţiul de lucru; clear all - şterge toate variabilele din spaţiul de lucru; clc - şterge ecranul de comanda; who – permite vizualizarea tuturor variabilelor definite anterior ... - semn de continuare a unei instrucţiuni pe a doua linie; % - plasat la începutul liniei, desemnează o linie de tip comentariu; disp - afişarea datelor şi mesajelor sub forma: disp(A) - afişează matricea A; disp('mesaj') - afişează mesaj.
3. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică
A.1. Execiţii rezolvate - Manipularea vectorilor şi matricelor Vectorii şi matricele pot fi introduse în Matlab: ca lista explicită de elemente, construite
cu ajutorul funcţiilor şi instrucţiunilor specifice. Ini ţializarea unui vector:
>> x = [1;2;3] % generează vectorul coloana: x = 1 2 3 >> x = 1:5; % generează vectorul linie x = [1 2 3 4 5] sau cu pas egal utilizând comenzi ce permit indicarea [val_min : pas : val_max], astfel: >> y = 0:0.1:10; % generează vectorul y cu valori de la 0 la 10, cu pasul 0.1 >> y = 0:pi/3:pi; % furnizează vectorul y = [0 1.0472 2.0944 3.1416] Observaţie: Orice instrucţiune Matlab urmată de simbolul '; ' se va executa însă este inhibată afişarea pe ecran a rezultatului instrucţiuni.
Ini ţializarea matricelor se poate realiza prin introducerea elementelor acesteia, pe linie, Separatorul dintre coloane este spaţiul, iar dintre linii este „;”, sau linie nouă. Corpul matricei va fi cuprins între paranteze pătrate: >> A = [1 2; 3 4] sau >> A = [1 2
3 4] Răspuns: A = 1 2 3 4
Selectarea unui element dintr-o matrice:
>> A(1,2) % furnizează elementul de pe linia 1, coloana 2. ans = 2 >>A = A(1:2,:); % selectează primele două linii ale matricei A >>A = A(2,:); % selectează întreaga linie 2 a matricei A
Noţiuni introductive
7
A.2. Aplicaţie demonstrativă - Trasarea graficului unei funcţii
1. Utilizând funcţia plot() descrisă în tabela 1.1, să se reprezinte grafic funcţia sinus pe intervalul [0 4π]. Comenzii de trasare a graficului i se vor adaugă: inscripţionarea unui titlu, etichetarea axelor şi trasarea caroiajului. Se vor scrie mai multe instrucţiuni pe aceeaşi linie, separate prin virgule.
Rezolvare: Se definesc cei doi vectori: • vectorul unghi, cu pasul dorit: 0.05* π • vectorul y = sin(alfa)
%-------------------------------- alfa = 0:0.05:4*pi; y = sin(alfa); plot(alfa,y)
% Se inscripţionează titlul şi axele % şi se trasează caroiajul
title('Functie sinus'), xlabel('alfa') ylabel('sin(alfa)') grid
%-------------------------------
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.5
0
0.5
1Functie sinus
alfa
sin(
alfa
)
Figura 1.1 Graficul funcţiei sinus
Observaţie: Se poate renunţa la scalarea automată a graficului în favoarea unei scalări manuale, cu ajutorul următoarelor comenzi:
v = [x_min, x_max, y_min, y_max]; axis(v)
A.3. Aplicaţii cerute 1. Să se introducă şi să se afişeze următoarele matrice:
[ ] ;C;B;A
==
=
9
7
4
1
753143
21
Să se afişeze următoarele elemente: a) elementul de pe linia 2 şi coloana 1 din matrice; b) elementul al treilea din vectorul linie;
c) elementul al patrulea din vectorul coloană.
2. Utilizând tabela 1.1 din lucrare, să se calculeze pentru matricea
=
43
21A
următoarele: transpusa, determinantul, inversa, valorile proprii, rangul, exponenţiala şi pătratul acesteia.
Capitolul 1
8
4. Aspecte teoretice
4.1. Noţiuni introductive despre Simulink
Pentru modelarea sistemelor este furnizată o interfaţă grafică uşor de utilizat, care cu mici excepţii – dependente de versiunea softului – este asemănătoare celei ilustrate în figura 1.2..
Figura 1.2 Fereastra Simulink
Fereastra de lucru Simulink este accesată prin tastarea numelui acesteia în fereastra Command Window: >> simulink <Enter> sau prin selectarea pictogramei Simulink din meniul principal Astfel, se deschide o nouă fereastră - figura 1.3, care include simbolurile librăriilor puse la dispoziţia utilizatorului. Aceasta conţine pictogramele care formează librăriile standard ale programului: Sources, Sinks, Discrete, Linear , Nonlinear, etc. Accesarea librăriilor (Sources, Sinks etc) se face prin dublu-click. La selectarea unei pictograme din posibilităţile oferite de meniul principal, se deschide o nouă fereastră ce conţine biblioteca standard a subsistemului accesat. Notă: De la o versiune de Simulink la alta apar unele modificări care pot fi consemnate cu uşurinţă la accesarea fiecărei librării.
Fig 1.3 Simbolurile librăriilor SimulinkScurtă descriere a librăriilor Simulink:
Noţiuni introductive
9
• Sources conţine surse de semnal - generatoare de semnal sinusoidal, triunghiular, dreptunghiular, zgomot, rampă, pulsuri, treaptă, etc..
• Sinks conţine blocuri pentru vizualizarea semnalelor şi stocarea variabilelor - osciloscop, grafic XY, multimetru, etc.
• Discrete se poate folosi pentru simularea sistemelor cu timp discret, şi conţine blocuri ce furnizează funcţii specifice circuitelor discrete: funcţie de transfer discretă, filtru discret, întârziere în domeniul timp cu un pas, integrator discret, etc.
• Connections, sau Commonly Used Blocks (depinde de versiunea softului), conţine: blocuri care fac legătura dintre un subsistem şi exteriorul său - multiplexor şi demultiplexor de semnale.
• Linear, sau Continus se poate folosi pentru simularea sistemelor liniare, cu timp continuu şi conţine blocuri ce furnizează funcţii specifice circuitelor analogice: derivare, integrare, funcţie de transfer, întârziere în domeniul timp, etc.
• Nonlinear conţine blocuri ce se pot folosi pentru modelarea nelinearităţilor şi a discontinuităţilor care apar în evoluţia sistemelor.
• Math include funcţii matematice de ordin general: sumă, produs, amplificare, modul, fază, funcţii trigonometrice, etc.
Observaţie: Atunci când nu este cunoscută plasarea unui anumit bloc în sublibrării, însă este cunoscută denumirea acestuia, se poate introduce numele în câmpul “Find”- figura 1.4.
Figura 1.4 Câmpul “Find” permite cătarea unui bloc după denumire
4.1.1. Algoritmul pentru simulare
Etapele ce se parcurg pentru simularea unui model
1. Se poate deschide o nouă sesiune de lucru, materializată printr-o nouă fereastră, prin alege opţiunea: File/New/Model, în care se va realiza schema dorită pentru simulare, sau se deschide un model deja existent cu File | Open;
2. Se aduc în fereastra de lucru blocurile necesare pentru construirea schemei de simulare ce se pot copia, sau aduce prin drag and drop, din cadrul librăriilor standard. Prin execuţia unui dublu – clic pe pictogramă este posibilă modificarea parametrilor cu valorile dorite. După modificările necesare se închide fereastra de dialog prin butonul aferent OK.
3. Se trasează conexiunea dintre blocuri prin utilizarea butonului stâng, apăsat al mouse-lui între semnele celor două blocuri.
4. Prin alegerea opţiunii Simulation se va realiza configurarea parametrilor de simulare. Se stabilesc următoarele:
Capitolul 1
10
o metoda de integrare
o valoarea parametrilor de simulare
momentul de început al simulării (valoare propusă = 0s)
durata necesară simulării (ce depinde de aplicaţie)
pasul de simulare (minim şi maxim).
tolerance – eroarea relativă, la fiecare pas de integrare
• valori recomandate atunci când nu este posibilă setarea „auto”:
o pasul de simulare minim
o pasul de simulare maxim=10 x pasul de simulare minim
o toleranţa = pasul de simulare minim
o Simularea devine efectivă prin lansarea comenzii Start din cadrul aceleaşi opţiuni ale meniului principal.
Figura 1.5 Opţiunea de configurarea a parametrilor simulării
5. Prin deschiderea blocului Scope este pusă în evidenţă reprezentarea grafică a ecranului unui osciloscop printr-o fereastră care poate fi poziţionată într-o zonă dorită a monitorului.
5. Aplicaţii de laborator
A.4. Aplicaţie demonstrativă – Simularea unui circuit RC serie
Exemplul 1. Se consideră un circuit RC serie prezentat în figura 1.6, ai cărui parametrii sunt: Ω= 1R şi FC µ= 1 . Să se studieze răspunsul în timp al acestui sistem de ordinul
I, presupunând că circuitului i se aplică o comandă de tensiune de 1V de tip treaptă.
U
R
C
i
Figura 1.6 Circuitul RC serie
Noţiuni introductive
11
Rezolvare analitică:
Mărimea de comandă este tensiunea la borne U, iar mărimea de ieşire este tensiunea pe condensator. Ecuaţia specifică sistemului este:
( ) ( ) ( )tutudt
tduRC c
c =+⋅
Prin scrierea ecuaţiei cu ajutorul transformatei Laplace (a se vedea secţiunea II a lucrarii ), se obţine:
( ) ( ) ( ) =>=+⋅ sUsUssURC CC
( )( ) τ⋅+
=⋅+
=sRCssU
sUC
1
1
1
1
unde constanta de timp a sistemului este sRC 610−==τ .
Se obţine funcţia de transfer H(s) a circuitului RC serie:
( ) ( )( ) 6101
1−⋅+
==ssU
sYsH
Simulare:
Variabilele U, R şi L vor fi ini ţializate într-un fişier m-File, care se va executa din fereastra de comandă din Matlab, înainte de-a porni simularea.
%----------------------------- % Datele problemei
U = 1; %[V] R = 1; %[Ohm] C = 1e-6; %[F]
% -----------------------------
Pentru simularea aplicaţiei sunt necesare următoarele blocuri Simulink:
„Step” sau „Step Input”, existent în librăria „Sources”
„Scope”, existent în librăria „Sinks”
„Transfer Fcn” , pictogramă ,
din librăria „Linear” (versiuni sub 5), sau pentru versiuni superioare librăria intitulată „Continuous”
În pagina de lucru se vor realiza conexiunile dintre blocuri deja aduse şi va fi
salvătă schema realizată (circuit_RC.mdl, sau circuit_RC.m, depinde de versiunea softului).
Comanda de tensiune de 1V este de tip treaptă şi se va aplica din origine - ilustrare în figura 1.7.
Capitolul 1
12
Fig.1.7 Parametrii blocului „Step” Fig.1.8 Parametrii blocului „Transfer Fcn”
În meniul Simulation/ (Configuration) Parameters sunt fixaţi parametrii simulării, figura 1.9.
Figura 1.6 Parametrii simulării (Matlab ver. 7.0)
Se porneşte simularea prin lansarea comenzii Start din cadrul aceleaşi opţiunii Simulation, sau prin apăsarea butonului Start simulation, din meniul principal.
Figura 1.10 Schema Simulink pentru simularea circuitului RC serie
Noţiuni introductive
13
Se poate obţine o auto-scalare a graficului prin apasarea butonului Autoscale (binoclu), sau o mărire, respectiv micşorare a acestuia („zoom in” sau „zoom out”) selectând unul din butoanele din bara de unelte specifice blocului „Scope” – figura 1.11.
Figura 1.11 Evoluţia în timp a tensiunii la bornele condensatorului din circuitul RC, vizualizare pe osciloscop
Notă: Pentru o vizualizare corespunzătoare, în special atunci când se utilizează o versiune de Matlab ce necesită setarea parametrilor osciloscopului, pentru cele două axe se vor furniza valori astfel:
• „Horizontal Range” – se alege o valoare de 4-5τ, unde sRC 610−==τ reprezintă constanta de timp a circuitului RC serie. Curentul atinge valoarea finală (de regim permanent) după o evoluţie în regim tranzitoriu ce durează aproximativ 4τ. Prin alegerea unei valori în acest interval se va putea vizualiza evoluţia tranzitorie a curentului pe toată axa orizontală a osciloscopului,
• „Vertical Range” – se alege o valoare cel puţin egală cu valoarea finală a
curentului, care este R
UI = = 1A.
A.5. Aplicaţie cerută – Simularea unui circuit RL serie
Să se simuleze evoluţia curentului într-un circuit RL serie la aplicarea unei trepte de tensiune. Date de intrare: U=10 V, R=1 Ω, L=1 mH. Mărimea de comandă este tensiunea la borne U, iar mărimea de ieşire este curentul prin circuit.
Capitolul 1
14
Secţiunea II
6. Aspecte teoretice
6.1. Sistem de reglare automată. Noţiuni introductive
Un sistem de reglare automată (SRA) reprezintă o structură prin care se urmăreşte controlarea variaţiei unei mărimi, conform cu o referinţă dată (fiind util în aplicaţii precum: poziţionarea sateliţilor, reglarea vitezei la o maşină electrică, menţinerea unei temperaturi constante într-o incintă etc.). Structura generală a unui SRA este prezentată în figura 1.12.
refy ε yu
Fig.1.12 Structura unui SRA
unde se disting următoarele mărimi:
refy mărimea de referinţă, sau mărimea impusă;
ε eroarea de reglare; u mărimea de comandă către procesul fizic care este controlat; y mărimea de ieşire a sistemului (mărime măsurată) .
Regulatorul are rolul de a furniza comanda către proces în sensul minimizării erorii de reglare y y
refε = − . Condiţia de reglare este ca această eroare să tindă la zero.
În proiectarea teoretică a unui SRA se vor avea în vedere următoarele etape principale:
Etapa I: Modelarea matematică a sistemelor fixice continue şi discrete;
Etapa II: Definirea unor proprietăţi caracteristice sistemelor (stabilitate, controlabilitate, observabilitate etc.) şi metodele practice de testare;
Etapa III: Elementele de reglare automată: legi de comandă, structuri de reglare şi modalităţi de proiectare.
Cele două tipuri de sisteme ilustrate în figura 1.13 întâlnite în teoria sistemelor sunt: sistemele liniare netede (SLN), fig.1.13.a – al cărui răspuns este un semnal continuu şi sisteme liniare discrete (SLD), fig. 1.13.b, caz în care răspunsul este unul discret.
Noţiuni introductive
15
continuuy
][ st
discrety
][ st
(a) (b)
Fig. 1.13 Tipuri de răspunsuri ale sistemelor: (a) – SLN, (b) - SLD
Un semnal cu timp discret se obţine prin memorarea valorii unui semnal cu timp continuu la anumite momente de timp, echidistante. Valorile memorate se numesc eşantioane, iar procesul de memorare a acestor valori poartă numele de discretizare a unui semnal cu timp continuu. Intervalul de timp intre 2 eşantioane se numeşte pas sau perioadă de eşantionare (notat în mod uzual cu h, sau T).
6.1.1. Tipuri uzuale de semnale
a) Impuls Dirrac analogic are amplitudine infinită în origine şi durata 0 – fig 1.14.a, iar cel discret are amplitudine unitară în origine – fig.1.14.b.
][ st
cδ)(a
][ st
dδ)(b
Fig 1.14 Impuls Dirrac analogic - (a), respectiv discret – (b)
b) Semnal treaptă
0t
][ st
)(a
0t
][ st
)(b
Fig 1.15 Semnal treaptă analogic - (a), discret – (b)
Capitolul 1
16
unde s-au notat cu v.i. – valoare iniţială a semnalului, v.f. – valoare finală, iar cu 0t -
momentul în care se face trecerea de la v.i. la v.f. c) Semnal rampă
Semnalul rampă are valoarea 0 atâta timp cât 0t = şi apoi evoluează după o lege liniară pentru t → ∞ .
][st
Fig 1.16 Semnal rampă analogic - (a), discret – (b)
6.2. Transformata Laplace (pentru semnale analogice)
Definiţie: Dacă o funcţie ( ) )[ ∞+∈ ,0, ttf respectă condiţia ( ) tMetf σ≤ , atunci
relaţia ∫∞
−==0
)()()( dttfetfsF stL defineşte transformata Laplace a
funcţiei ( )tf , unde operatorul: ω+σ= js , iar funcţia )(sF se numeşte funcţie
imagine a funcţiei original ( )tf .
Tabela 1.2 Transformata Laplace a unor funcţii uzuale
Funcţia original Transformata
Laplace
( )tf )(tfL
Funcţia impuls unitar Dirrac ( )
=∞≠
=δ0
00
t,
t,t 1
Funcţia unitate (treaptă unitară), Heaviside ( )
≥<
=01
00
t,
t,th
s
1
Noţiuni introductive
17
Funcţia treaptă A s
A
Funcţia rampă ( )
≥<
=0
00
t,Ct
t,tf
2s
C
( )
≥<
=0
00
t,t
t,tf n Nn∈ 1
!+ns
n
Nnn
tn∈,
! 1
1+ns
Nnen
t atn
∈− ,!
( ) 11
++ nas
ate as−1
atte− ( )2
1
as+
atet −2 ( )32
as
!
+
tωsin 22 ω+ω
s
tωcos 22 ω+s
s
te at ω− sin ( ) 22 ω++ω
as
te at ω− cos ( ) 22 ω+++
as
as
Capitolul 1
18
Tabela 1.3 Proprietăţi ale transformatei Laplace
Liniaritatea: [ ] )()()()( sGsFtgtf ⋅β+⋅α=⋅β+⋅α L
Teorema întârzierii: ( )[ ] ( )sF = ettf st00 −−L
Teorema asemănării [ ]
α⋅
α=α s
Ftf1
)( L
Teorema deplasării: ( )[ ] ( )α−α s= F t f e t L
Teorema derivării originalului:
( )[ ] ( ) ( )0 = t' + - f ss FfL
Teorema integrării originalului: ( )
s
sFdt)t(f
t
=
∫0
L
Teorema derivării imaginii: ( ) ( ) ( )[ ]tf tsF ⋅−= ' L
Teorema integrării imaginii: ( ) ( )
=∫∞
t
tf dssF
s
L
Teorema de convoluţie: ( )[ ] ( ) ( )sGs Fg*f ⋅ = L , unde ( ) ( ) ττ−⋅τ∫ dtg fgft
0
= *
Teorema valorii iniţiale: )0()(lim +=∞→
fssFs
Teorema valorii finale: ( )∞=→
fssFs
)(lim0
6.3. Transformata Laplace inversă
Funcţia original se obţine cu relaţia: ∫∞
∞−π=
j
j
st dsesFj
tf )(2
1)(
Metodele de calcul ale funcţiei original sunt:
1. Aplicarea formulei de definiţie
2. Identificarea unor funcţii imagine a căror original se cunoaşte sau se poate deduce din tabela transformatei Laplace;
Noţiuni introductive
19
3. Descompunerea în fracţii simple şi inversarea Laplace a fiecărei componente
4. Utilizarea reziduurilor: ,)(Re)( kk
st sesFztf ∑ ⋅= , unde sk sunt polii funcţiei F(s).
Modalitatea de a calcula reziduului este următoarea:
1. calculul reziduului pentru un pol simplu
1s
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) st
ss
ss
stst
esFsslim
esFss,esF
11
111 s Rez
−=
⋅−=
→
=
2. calculul reziduului pentru un pol
multiplu kss = , cu
ordin de multiplicitate n
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]stnkn
n
ss
kss
stnkn
nst
esFssds
dlim
!n
esFssds
d
!ns,esFzRe
−−
=
−−
=
−
−
→
=−
−
1
1
2
1
1
k
1
1
)()1(
1
Funcţii Matlab utile residue - calculează residu, poli, returnati in vectori coloana, şi termenul liber laplace – calculează transformata Laplace ilaplace – calculează transformata Laplace inversă
7. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică
A.6. Aplicaţii rezolvate - Calculul transformatei Laplace şi Laplace inversă
1. Să se determine transformata Laplace pentru următoarea funcţie: 4 tf(t) =
Soluţie analitică - aplicarea formulei de definiţie:
5
0
24)(
sdttfe)t(f)s(F st === ∫
∞−L
Soluţie ce utilizează funcţii Matlab:
>> syms t
>> f = t^4
f =
Capitolul 1
20
t^4
>> laplace(f)
ans =
24/s^5
2. Să se determine transformata Laplace inversă a următoarelor funcţii:
A. ( )6116
635223
23
++++++=
sss
ssssF
Soluţie de calcul analitic şi în Matlab:
Se apelează la Matlab pentru descompunerea în fracţii simple:
>> num = [2 5 3 6];
>> den = [1 6 11 6];
% Calcul: residuu şi poli, returnati in vectori coloana, iar k - termen liber
>>[r,p,k] = residue(num,den)
r = -6.0000 -4.0000 3.0000
p = -3.0000 -2.0000
-1.0000 k = 2
=> ( ) 21
3
2
4
3
6
6116
635223
23
++
++
−++
−=++++++=
ssssss
ssssF
( ) ( )[ ] ( )teeesFtf ttt- δ++−−== −−− 2346 231L , 0pentru ≥t
Soluţie de calcul doar în Matlab:
>> syms s
>> f = (2*s^3+5*s^2+3*s+6)/(s^3+6*s^2+11*s+6)
f =
(2*s^3 + 5*s^2 + 3*s + 6)/(s^3 + 6*s^2 + 11*s + 6)
>> ilaplace(f)
ans =
Noţiuni introductive
21
3/exp(t) - 4/exp(2*t) - 6/exp(3*t) + 2*dirac(t)
Răspunsul verifică soluţia analitică.
B. ( )( )3
2
1
32
+++=
s
sssF
Soluţie analitică: ( ) ( )( ) ( ) ( )3
32
21
111 ++
++
+==
s
b
s
b
s
b
sA
sBsF
( ) ( )( ) ( ) 0321
1
2
1
32 =
++=
+=
−=−= ss
ssds
d
sA
sBs
ds
db
( ) ( )( ) ( ) 132
2
11
2
1
1
22
2
1
32
2
1 =
++=
+=−=−= ss
ssds
d
sA
sBs
ds
db
( ) 232 12
3 =++= −=sssb
( ) ( )[ ]( )
( ) 0pentru,1
1
2
1
1
22
3111
≥+=+=
++
+==
−−− tetete
sssFtf
ttt
--- LLL
Soluţie Matlab:
>> syms s
>> f = (s^2+2*s+3)/(s+1)^3
f =
(s^2 + 2*s + 3)/(s + 1)^3
>> ilaplace(f)
ans =
1/exp(t) + t^2/exp(t)
Răspunsul verifică soluţia analitică.
3. Se consideră circuitul RC prezentat în figura 1.12, având următoarele date R=103 Ω, C=1mF. Să se calculeze funcţia Laplace.
Capitolul 1
22
tcosUs 3=
R
C+−
+
−0U
0=t
Figura 1. 12 Schema unui circuit RC cu elemente pasive
Tabela 1.2 Aplicarea transformatei Laplace pentru elemente electrice
Element Domeniul timp Aplicarea transformatei
Laplace. Domeniul s
Rezistor ( ) ( )tIRtU ⋅= ( ) ( )sIRsU ⋅=
Bobina ( ) ( )dt
tdILtU ⋅= ( ) ( )sIsLsU ⋅=
Condensator ( ) ( )dttIC
tU ∫⋅= 1 ( ) ( )
s
sI
CsU ⋅= 1
Soluţie analitică: CR
Cso ZZ
ZUU
+= , ( )
1
32 +
=s
ssU s
, RZ R = , sC
Z C1=
( )( ) ( )( ) ( )sFss
s
sRCs
s
sCR
sCs
sU
notat
o =⋅++
=++
=+
⋅+
= −33222 101011
3
11
31
1
1
3
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )111111
32
2
22 +++++++=
++
++=
++=
ss
CBBAsCAs
s
C
s
BAs
ss
ssF
=> 515151 .C,.B,.A −=== => ( )1
51
1
51512 +
−+++=
s
.
s
.s.sF
Trecerea funcţiei Laplace în domeniul timp se realizează prin identificarea funcţiilor transformatei Laplace invers, utilizând tabela 1.1. Se permite astfel, identificarea ieşirii sistemului:
( ) ( )[ ]
t
oo
ett
sss
s
ss
ssUtU
−−+=
+⋅−
+⋅+
+⋅=
=
+−+
++==
5.1sin5.1cos5.1
1
15.1
1
15.1
15.1
1
5.1
1
5.15.1
22
2
1-1-1-
1-1-
LLL
LL
2. Prin aplicarea funcţiilor Matlab se obţine aceeaşi soluţie:
>> syms s
>> f = (1.5*s+1.5)/(s^2+1)-1.5/(s+1)
f =
((3*s)/2 + 3/2)/(s^2 + 1) - 3/(2*(s + 1))
Noţiuni introductive
23
>> ilaplace(f)
ans =
(3*cos(t))/2 - 3/(2*exp(t)) + (3*sin(t))/2
Răspunsul verifică soluţia analitică obţinută anterior.
8. Aspecte teoretice
8.1. Transformata Z (pentru semnale discrete)
Definiţie: Dacă o funcţie RZf >−: cu ( ) 0,0 <= ttf , respectă condiţia
( )t tfsuplimR = , atunci relaţia: ( ) [ ] ( ) k
k
defzkTfkTfzF −
∞
=⋅== ∑
0Z converge
pentru Rzz >∀ , şi se numeşte transformata Z a funcţiei )(tf . Funcţia )(zF se
numeşte funcţie imagine a funcţiei original ( )tf , iar operatorul 1−z semnifică o
întârziere în timp cu un pas de eşantionare.
Transformata Z este echivalentul transformatei Laplace pentru semnale discrete.
Tabela 1.4 Transformata Z a unor funcţii uzuale
Funcţia original
Funcţia original discretizată
Transformata Z
( )tf ( ) ( )kfsaukTf ( )zF
( )tδ
impulsul unitar Dirrac
( )kδ 1
( )th ( )kh 11
1−− z
t kT ( )21
1
1 −
−
− z
Tz
Capitolul 1
24
2t ( )2kT ( )
( )31
112
1
1−
−−
−
+
z
zzT
3t ( )3kT ( )( )41
2113
1
41−
−−−
−
++
z
zzzT
ate−−1 aKTe−−1
( )( )( )11
1
11
1−−−
−−
−−−
zez
zeaT
aT
atte−
akTte− ( )21
1
1 −−
−−
− ze
zTeaT
aT
( ) ateat −−1 ( ) akTeakT −−1 ( )( )21
1
1
11
−−
−−
−
+−
ze
zeaT
aT
aT
btat ee −− −
bkTakT ee −− −
( )( )( )11
1
11 −−−−
−−−
−−−
zeze
zeebTaT
bTaT
( )tωsin ( )kTωsin ( )
( ) 21
1
cos21
sin−−
−
+ω−ω
zTz
Tz
( )tωcos ( )kTωcos ( )
( ) 21
1
cos21
cos1−−
−
+ω−ω−
zTz
Tz
( )te ta ω⋅− sin ( )kTe akT ω− sin ( )
( ) 221
1
cos21
sin−−−−
−−
+ω−ω
zeTze
TzeaTaT
aT
( )te ta ω⋅− cos ( )kTe akT ω− cos ( )
( ) 221
1
cos21
cos1−−−−
−−
+ω−ω−
zeTze
TzeaTaT
aT
( ) 0,0 <= ttf
Tabela 1.5 Proprietăţi ale transformatei Z
Liniaritatea ( ) ( )[ ] ( ) ( )zGbzFatbftaf ⋅+⋅=+Z
Noţiuni introductive
25
Teorema avansului originalului ( ) ( ) ( )
−⋅=τ+ −
−τ
=
τ ∑ k
kzkfzFztf
1
0Z
Teorema deplasării cu o unitate, dacă 1=τ
( )[ ] ( ) ( )01Z zfzzFtf −=+
Teorema de întârziere ( )[ ] ( )zFztf τ−=τ−Z
Teorema de întârziere cu o unitate, dacă 1=τ
[ ] z
zF1kf
)(=−Z
Teorema derivării în raport cu o constantă
( ) ( )azFda
dtaf
da
dk
k
k
k,,Z =
Teorema asemănării ( )
=a
zFkfakZ , Ca∈
Teorema de convoluţie [ ] ( ) ( )zGzFgf ⋅=*Z , ( ) ( )τ−τ=∑=τ
tgfg*ft
0
Teorema valorii iniţiale ( ) ( )0)(limlim0
ftfzFtz
==→∞→
Teorema valorii finale ( ) ( ) ( )∞==−∞→→
ftfzFz
z
tzlim
1lim
1
8.2. Obţinerea transformatei Z direct din transformata
Laplace Prin considerarea razei de convergenţă a transformatei Z, TeR σ= , unde T este pasul de
eşantionare, se poate obţine direct transformata Z a funcţiei original discretizate )(tfd din
imaginea Laplace )(sF utilizând relaţia ( ) ( )∫∞+
∞− −π=
jc
jcsT
dsez
zsF
izF
2
1, care
se va rezolva prin aplicarea calulului cu residuuri )((z) kk
sTs,
ez
zsFzReF ∑
−⋅=
Capitolul 1
26
Calculul reziduu-lui pentru cazul unui pol
simplu 1ss =
( ) ( )
−⋅−=
− → sTsssT ez
zsFsslims,
ez
z)s(FzRe 1
11
Calculul reziduu-lui pentru cazul unui pol
multiplu kss = . cu
ordin de multiplicitate n ( ) ( ) ( )
−−
−=
=−
−
−
→ sTn
kn
n
kss
ksT
ez
zsFss
ds
dlim
!n
s,ez
z)s(FzRe
1
1
1
1
Pentru a obţine transformata Z se pot aplica următoarele metode:
• Aplicarea directă a formulei de calcul pentru funcţia original discretizată
• Trecerea funcţiei original în Laplace urmată de aplicarea formulei pentru obţinerea transformatei Z.
9. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică
A.7. Aplicaţii rezolvate - Obţinerea transformatei Z pentru o funcţie imagine Laplace
1. Să se obţină transformata Z pentru următoarea funcţie imagine Laplace:
( ) ( )ssssF
23
12 ++
=
Soluţie analitică: ( )21 +
++
+=s
C
s
B
s
AsF => ( )( ) 2
1
21
1
0=
++=
→ sssslimA
s;
( ) ( )( ) 121
11
1−=
+++=
−→ sssslimB
s, ( ) ( )( ) 2
1
21
12lim
2=
+++=
−→ ssssC
s
( ) ( ) 2
50
1
150
23
12 +
++
−+=++
=s
.
ss
.
ssssF
( ) ( ) 5.05.02
5.0
1
15.0
23
1 22
+−=
++
+−+=
++= −− tt ee
sssssstf 1-1- LL
Soluţie Matlab:
>> syms s
Noţiuni introductive
27
>> f = 1/((s^2+3*s+2)*s)
f =
1/(s*(s^2 + 3*s + 2))
>> ilaplace(f)
ans =
1/(2*exp(2*t)) - 1/exp(t) + 1/2
Răspunsul verifică soluţia analitică.
9.1. Transformata Z inversă Funcţia original discretizată se obţine aplicând relaţia:
( )[ ] ( ) ( ) ( )∫−
π===− dzzzF
ikfkTfzF k 1
2
11Z
Transformata Z inversă a lui ( )zF determină o funcţie ( )kf unică, dar nu şi o funcţie
( )tf unică. Prin transformata Z inversă se obţine secvenţa de valori în timp, care
reprezintă valorile funcţiei ( )tf la momente de timp discret, astfel: t=0, T, 2T,…, fără a
se cunoaşte valorile lui ( )tf pentru alte momente de timp.
Pentru calculul funcţiei original se pot aplica următoarele metode:
• Identificarea unor funcţii imagine a căror original se cunoaşte sau se poate deduce din proprietăţile transformatei Z;
• Descompunerea în fracţii simple şi inversarea Z a fiecărei componente
• Utilizarea reziduurilor: (z)(kT) 1k
k
k z,zFzRef ∑ −⋅=
Funcţii Matlab utile
ztrans - calculează transformata Z iztrans – calculează transformata Z inversă
10. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică
A.8. Aplicaţii rezolvate – Calculul transformatei Z inversă
Să se obţină transformata Z inversă pentru funcţiile:
Capitolul 1
28
1. ( ) ( )31
2
1 −
−
−=
z
zzF
Soluţie: ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )31
221
31
11
1
1
31
11
31
2
11
1
11
1
1 −
−−−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
−
+−−−
−=−
−−
−=−
=z
zzz
z
zz
z
z
z
zz
z
zzF
( )( )
( ) ( )
−−
−
+=− −
−
−
−−
−
−
31
1
31
11
31
2
11
1
2
1
1 z
z
z
zz
z
z => ( ) ( ) ( ) ( ) ,....2,1,0 ,12
1
2
1
1
231
21 =−=−=
−=
−
−− kkkkk
z
zZkf
( )( )3
1
1−=−
z
zzzF
kk deci pentru ( ) 1,....,2,1,0 −= kzzFk avem pol triplu: 1=z
( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )[ ] ( ) ,..,,k,kkzkklim!
kzdz
dlim
!
zdz
dlim
!z
zz
dz
dlim
!
z,z
zkf
k
z
k
z
k
z
k
k
210 12
11
2
1
2
1
2
1
11
13
1
1 : triplupol 1
:functiei al residuu
2
1
1
1
2
2
133
2
2
3
=−=−==
=
−−
−=
=
−=
−→
−→
→
2. )2.0)(1(
)(2
−−=
zz
zzF
Soluţia 1 – calcul analitic: 1111 2.011)2.01)(1(
1)( −−−− −
+−
=−−
=z
B
z
A
zzzF
1
1
1
11
2.01
)1(
2.01
1)()1(
=
−
−
−− ⇒
−−+=
−=−
z
z
zBA
zzFz 25.1
8.0
1
2.01
0
2.01
1 ==⇒−
⋅+=−
AB
A
1
1
1
11
2.01
)2.01(
1
)2.01()()2.01( −
−
−
−−
−−⋅+
−−=−
z
zB
z
zAzFz
=> Bz
zA
z+
−−=
− −
−
− 1
1
1 1
)2.01(
1
1
)2.0( 02.01 1 ==− −
⇒zz
25.0)51/(1 −=−=B
=> n).(..)nT(fz.
.
z
.)z(F 20250251
201
250
1
25111
−=⇒−−+
−= −−
Soluţie 2 – calcul analitic şi cu funcţii Matlab:
Noţiuni introductive
29
212
2
20211
1
2021 −− +−=
+−=
z.z..z.z
z)z(F
Pentru descompunerea în fracţii simple, se utilizează funcţia Matlab residue. >> num = 1; >> den = [1 –1.2 0.2]; [r, p, k] = residue(num,den) % returnează reziduu, poli si termeni liberi r = 1.2500 -1.2500 p = 1.0000 0.2000 k = [ ]
1111 201
250
1
251
201
250
011
251−−−− −
−+−
=−−+
−=⇒
z.
.
z
.
z.
.
z.
.)z(F
Răspuns ce verifică soluţia anterioară Soluţie 3 – calculul este rezalizat doar folosind funcţii Matlab:
>> syms z
>> f = z^2/((z-1)*(z-0.2))
f =
z^2/((z - 1)*(z - 1/5))
>> iztrans(f)
ans =
5/4 - (1/5)^n/4 = 1.2500 – 0.2500*(0.2000)^n
Răspunsul verifică soluţiile anterioare.
Recommended