View
303
Download
11
Category
Preview:
DESCRIPTION
metode terbuka
Citation preview
TUGAS
METODE NUMERIK
Oleh
TRI MARGAWATI
2011 020 108
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN
KOMPUTER (STMIK)HANDAYANI MAKASSAR
2013
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT, karena karunia dan rahmat-Nya
maka penulis dapat menyelesaikan tugas Metode Numerik.
Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk
menyelesaikan tugas mata kuliah Metode Numerik di STMIK HANDAYANI.
Dalam Penulisan makalah ini penulis merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik
pada teknis penulisan maupun materi, seperti pepatah mengatakan: “Tak ada gading
yang tak retak”. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan
demi penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk
pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.
Makassar, Juni 2013
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................................... i
DAFTAR ISI ............................................................................................................. ii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................... 1
1.1. Latar Belakang ............................................................................................. 1
BAB II PEMBAHASAN ................................................................................................ 2
2.1 Metode Newton Raphson ............................................................................ 2
2.2 Metode Iterasi ............................................................................................. 8
2.3 Penyelesaian Sistem Persamaan linier dengan metode numerik ....................... 14
BAB III KESIMPULAN ................................................................................................ 19
BAB IV DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 20
BAB I PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Metode terbuka adalah lawan dari metode tertutup, dimana pada metode
tertutup diperlukan selang [a,b] dalam menentukan nilai hampiran akarnya. Dalam
metode terbuka tidak diperlukan selang, tetapi yang diperlukan adalah nilai awalnya.
Sehingga, hampiran akar diperoleh dari nilai hampiran akar yang ditentukan sebelumnya
melalui iterasi yang dilakukan. Terkadang hasil dari iterasi dapat mencapai nilai yang
konvergen, tetapi kadang-kadang menghasilkan nilai yang divergen. Tetapi apabila
iterasinya konvergen, konvergensinya akan lebih berlangsung lebih cepat dibandingkan
metode tertutup. Metode-metode yang termasuk ke dalam metode terbuka
diantaranya adalah metode Newton-Raphson, metode secant, dan metode iterasi
titik tetap. Disebut metode tebuka karena akarnya tidak selalu konvergen. Tidak
seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang
mengurung akar. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau dua buah
tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Inilah alasannya mengapa metode ini
dinamakan metode terbuka.Hampiran akar sekarang didasarkan pada hampiran akar
sebelumnya melalui prosedur lelaran. Kadangkala lelaran konvergen ke akar sejati,
kadangkala divergen. Namun, apabila lelarannya konvergen, konvergensinya itu
berlangsung sangat cepat dibandingkan dengan metode tertutup.
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Metode Newton Raphson
Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan
menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xiMetode Newton Raphson
merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan
non linier, diantara semua metode pencarian akar, metode Newton Raphson yang
paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa.
Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode
lainnya, dengan prinsip utama sebagai berikut :
1) Metode ini melakukan pendekatan erhadap kurva f(x)dengan garis singgung
(gradien) pada suatu titik nilai awal.
2) Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung (gradien) kurva
dengan sumbu X.
Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar persamaan, jika perkiraan
awal dari akar adalah xi, maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f (xi)).
Titik dari garis singgung tersebut memotong sumbu-x, biasanya memberikan perkiraan
yang lebih dekat dari nilai akar.
Metode Newton-Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear
f(x).
Rumus penyelesaian
Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat sebagaimana
berikut :
dimana x1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi
Pada Gambar, nampak bahwa turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan
kemiringan, yaitu:
Gambar Prosedur Newton Raphson secara Grafis
Kelemahan
Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akar-akar
penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan.
Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks).
Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan 2.4,
meskipun sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan.
Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua
sangatlah sulit.
Algoritma Metode Newton-Raphson :
Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada.
Menentukan nilai x1sebagai nilai perkiraan awal dan kemudian mengecek apakah
memenuhi persyaratan persamaan 2.4.
Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai xn.
Begitu seterusnya hingga antara xn-1-xn= 0 atau <= nilai e (error). Nilai errorini
dapat ditentukan sendiri.
Misal diketahui suatu fungsi f yang terderensialkan pada suatu selang yang
memuat akar. Ambil sebarang nilai awal x 0 . Karena f terderensial di x0,maka f
mempunyai garis singgung di x0. Asumsikan bahwa gradiennya tidak sama
dengan 0. Akibatnya garis singgung tersebut akan memotong sumbu x, sebut di
x1. Dengan cara yang sama, f di x1 juga mempunyai garis singgung yang tidak
nol, sehingga garis singgung tersebut akan memotong sumbu x di x2. Proses
berlanjut sehingga titik potong-titik potong tersebut akan konvergen keakar f.
Contoh Soal :
Carilah persamaan non linear dibawah ini dengan Metode Newton Raphson:
Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut.
Langkah kedua, menentukan nilai x1, misalnya x1= 1.
Jadi
Karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan.
Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2.3 untuk mencari x, n jika e
(error) = Ex10-7.
Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka
dan seterusnya hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e.
Contoh Soal 2 :
Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0
f(x) = x - e-x f’(x)=1+e-x
f(x0) = 0 - e-0 = -1
f’(x0) = 1 + e-0 = 2
f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653
x2 =
f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762
x3 =
f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.
Sehingga akar persamaan x = 0,567143.
x - e-x = 0 x0 =0, e = 0.00001
x + e-x cos x -2 = 0 x0=1
f(x) = x + e-x cos x - 2
f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
5,02
10
0
1
001
xf
xfxx
566311,060653,1
106531,05,0
1
1
11
xf
xfx
567143,056762,1
00130451,0566311,0
2
1
22
xf
xfx
Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada
titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga
nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai
berikut:
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di
tak berhingga.
Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik
pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.
Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat
mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik
selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya
berbeda.
Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson :
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut
harus di geser sedikit, xi = xi dimana adalah konstanta yang
ditentukan dengan demikian dan metode newton raphson tetap
dapat berjalan.
Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya
pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel,
sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.
2.2 Metode Iterasi
Metode Iterasi Titik Tetap
Metode ini merupakan metode iterasi yang cukup sederhana. Langkah-langkah
dalam metode ini adalah sebagai berikut. Misal suatu persamaan fungsi f(x),
maka akan dicari nilai hampiran akar dari f(x) dengan membuat f(x) = 0.
Prosedur metode Iterasi Titik Tetap adalah sebagai berikut :
1. Ubahlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x=g(x). Lalu bentuklah menjadi
bentuk prosedur iterasi sebagai berikut :
2. Tentukanlah nilai hampiran akar (nilai awal x0).
3. Dari nilai awal x0 , hitunglah nilai x1,x2,x3,…yang mudah-mudahan konvergen ke
akar sejati s sedemikian hingga f(s) = 0 dan s=g(s).
4. Proses Iterasi akan berhenti apabila memenuhi kondisi dibawah ini.
01 ixF
atau apabila menggunakan galat relatif hampiran
Dengan nilai dan sudah ditentukan sebelumnya.
Contoh soal :
Carilah nilai hampiran dari fungsi dengan metode iterasi titik
tetap, dengan nilai
Penyelesaian :
Terdapat beberapa kemungkinan iterasi yang dapat dilakukan, karena kita dapat
mengubah fungsi f(x) kedalam tiga bentuk berikut :
Dari tiga kemungkinan tersebut dapat diperoleh iterasi yang berbeda-beda.
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x
yang lain sehingga diperoleh : x = g(x).
Contoh :
x – ex = 0 ubah
x = ex atau g(x) = ex
g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini
Metode Iterasi Sederhana
Contoh Soal :
1. Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3
x2-2x-3 = 0
X2 = 2x + 3
Tebakan awal = 4
E = 0.00001
Hasil = 3
32 xx
321 nn xx
Contoh Soal :
2. x2-2x-3 = 0
X = (x2-3)/2
Tebakan awal = 4
E = 0.00001
Hasil divergen
Syarat Konvergensi :
Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap
Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x Є I iterasi konvergen monoton.
Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x Є I iterasi konvergen berosilasi.
Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen monoton.
Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen berosilasi.
Tebakan awal 4
G’(4) = 0.1508 < 1
Konvergen Monoton
Tebakan awal 4
G’(4) = |-0.75| < 1
Konvergen Berisolasi
322
1)('
32)(
321
r
r
rr
xxg
xxg
xx
2
1
)2(
3)('
)2(
3)(
)2(
3
xxg
xxg
xx
r
r
xxg
xxg
)('
2
)3()(
2
Tebakan awal 4
G’(4) = 4 > 1
Divergen Monoton
2.3 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dengan Metode Numerik
1. Pendahuluan
Informasi dalam bidang sains dan matematika seringkali ditampilkan dalam
bentuk baris-baris dan kolom-kolom yang membentuk jajar empat persegi panjang yang
disebut matriks Matriks seringkali merupakan tabel-tabel data numerik yang diperoleh
melalui pengamatan fisik, tetapi dapat juga muncul dalam berbagai macam konteks
matematis.
Charless (1993: 49) mendefinisikan matriks adalah suatu bilangan yang
berbentuk persegi panjang. Cara yang biasa digunakan untuk menuliskan sebuah
matriks dengan m baris dan n kolom, dan salah satu cara aplikasi penggunaaan
matriks untuk mempersingkat sistem persamaan linear cara seperti ini disebut matriks
diperbesar (Rorres, 2004: 25).
Aplikasi matriks yang disusun dalam bentuk matriks diperbesar banyak
mengilhami penyelesaian sistem persamaan linear, penyelesaian tersebut meliputi aturan
Crammer, Eliminasi Gauss, Invers Matriks, dalam penggunaan metode-metode tersebut
digunakan berbagai sifat-sifat operasi matriks.
2.Pengertian Metode Numerik
Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan
masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan
Tujuan Metode Numerik
Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan dengan
berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain :
• Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana.
Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan.
• Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang
kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak akurat, sangat lama, dan banyak
membutuhkan waktu.
• Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup
lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data. Penggunaan metode numerik
diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan metode yang ada
sebelumnya. Dapat dipahami pula bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan
teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan
dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan
metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan
. Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti
penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam
rutinitas hitung menghitung.
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika
biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya
angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan
angka-angka. Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak
pada dua hal.
Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka.
Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk
fungsi matematik yang selanjutnya fungsi mateamtik tersebut dapat dievaluasi untuk
menghasilkan nilai dalam bentuk angka.
Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang
menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi
hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat
seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati,
sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).
1. Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui
dapat dituliskan sebagai:
dimana x1, x2, ... xn adalah faktor yang tidak diketahui, dan a dan b dengan subskrip
merupakan konstanta. Sebagai contoh, suatu sistem umum yang terdiri dari tiga
persamaan linear dengan empat faktor yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai:
Penulisan dua subkrip pada koefisien yang tidak diketahui merupakan yang berguna
untuk menyatakan lokasi koefisien dalam sistem tersebut. Subkrip yang pertama pada
koefisien aij menunjukkan persamaan di mana koefisien tersebut berada dan subskrip
yang kedua menunjukkan faktor yang tidak diketahui yang dikalikan dengan koefisien
tersebut. Sehingga a12 terletak pada persamaan pertama dan dikalikan dengan faktor
yang tak diketahui x2.
Matriks yang Diperbesar
Jika kita dapat mengingat lokasi-lokasi dari +, x dan =, maka suatu system persamaan
linear yang terdiri dari m peramaan dengan n faktor yang tidak diketahui dapat disingkat
dengan hanya menuliskan deretan bilangan-bilangan dalam jajaran empat persegi
panjang.
Ini disebut Matriks diperbesar (augment matrix) dari sistem tersebut, (Istilah matriks)
digunakan dalam matematika untuk menyatakan jajaran empat persegi panjang dari
bilangan-bilangan. Matriks muncul dalam banyak konteks, khususnya dalam penyelesaian
sistem persamaan linear.
Alternatif Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Secara Numerik dengan
Maple
Invers Matriks
Rorres (2004: 66), Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka
untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax=b memiliki tepat satu solusi,
yaitu x = A-1b. A dapat dibalik (det (A) ≠ 0).
Metode Crammer
Rorres (2004: 123), Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan linear
dengan n faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det 0, maka sistem ini
memiliki solusi yang unik, solusinya adalah
di mana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke-j
dari A dengan entri-entri pada matriks.
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss diperkenalkan Karl Friendrich Gauss (1777 1855) dengan melakukan
mengubah matriks diperbesar dari suatu sistem persamaan linear menjadi matriks eselon
baris tereduksi. Rorres (2004: 13) setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi
yang unik; artinya kita akan memperoleh eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks
yang tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan. (Bukti hasil ini terdapat
pada artikel The Reduced Row Echelon Form of a Matrix Is Unique: A Simple Proof, oleh
Thomas Yuster, Matematichs Maganize, Vol 57 No 2 1984: 93-94), Sebaliknya Bentuk
eselon baris dari matriks tertentu adalah tidak unik: urutan-urutan operasi baris yang
berbeda akan menghasilkan bentuk-bentuk eselon baris yang berbeda pula.
Algoritma Eliminasi Gauss (Rorres, 2004: 9) adalah: mengubah matriks menjadi matriks
sehingga memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1. Jika satu baris tidak seluruhnya nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris
itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama (leading 1).
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan
dikelompokkan bersama-sama pada bagian paling bawah dari matriks.
3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka1
utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1
utama pada baris yang lebih tinggi.
4. Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainya.
Metode Iterasi
Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel
x1, x2, ..., xn dinyatakan dengan
Sistem diatas dapat diekspresikan dengan bentuk perkalian matriks. Sistem persamaan
linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau metode iterasi.Kedua metode
tersebut mempunyai kelemahan dan keunggulan. Metode yang dipilih akan menentukan
keakuratan penyelesaian sistem tersebut. Dalam kasustertentu, yaitu sistem yang besar,
metode iterasi lebih cocok digunakan. Dalam menentukan penyelesaian sistem
persamaan linear, metode iterasi menggunakan algoritma secara rekursif. Algoritma
tersebut dilakukan sampai diperoleh suatu nilai yang konvergen dengan toleransi yang
diberikan. Ada dua metode iterasi yang sering digunakan, yaitu metode Jacobi dan
metode Gauss-Seidel. MetodeJacobi dikenalkan oleh Carl Jacobi (1804-1851) dan metode
Gauss-Seidel dikenalkanoleh Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dan Philipp Ludwig
vonSeidel (1821-1896).
BAB III KESIMPULAN
3.1 Kesimpulan
Berbagai cara yang digunakan untuk menentukan solusi suatu system persamaan
linear maupun persamaan nonlinier kelebihan dan kekurangan tersebut dapat ditutupi
satu sama lain, tinggal kita sebagai pemakai jeli dalam mengaplikasikannya,
perkembangan teknologi tidak membuat kita semakin malas untuk mencoba dengan cara
manual, tetapi menjadi suatu tantangan dan menjadi alat pengetes dari apa yang kita
peroleh dengan metode manual, terkadang ada persoalan-persoalan yang kita dapatkan
tidak bisa diselesaikan dengan teknologi yang berkembang saat ini, demikian sebaliknya.
BAB IV DAFTAR PUSTAKA
http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-linear-metode-iterasi.pdf
http://mohtar.staff.uns.ac.id/files/2009/05/kuliah-2.pdf
http://199.91.153.62/qcu2qqst9akg/ycq2gzz2uirdgre/Metode+Numerik5.pdf
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196909291994122-
DEWI_RACHMATIN/HANDSOUT_METODE_NUMERIK/untuk_dprint_HAND_OUT_metnum.
Recommended