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1.- ProporcionalidadPara poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente
entre ellas. La razón se puede expresar de distintas maneras. Por ejemplo,la razón entre dos segmentos de 5 y 10 centímetros se puede expresar así:
- Mediante dos puntos: 5 : 10 - Mediante la preposición a: 5 a 10 - Mediante una fracción: 5/10 - Mediante una fracción equivalente: 1/2 - Mediante una fracción equivalente: 1/2 - Con el resultado del cociente: 0,5 - En forma de porcentaje: 50%
Todas estas formas explican que en el segmento de mayor tamaño[10 cm] está contenido dos veces el segmento pequeño [5 cm].
En el caso de que dos figuras tengan la misma forma se dice que larazón entre sus medidas es siempre la misma: es constante
a b
cf
a'b'
c'
1.- Proporcionalidad
Así, en el ejemplo, la razón entre los lados a y a' es la misma queentre los lados b y b'. e y e', etc. Podemos establecer, pues la siguienteexpresión: a/a' = b/b’ = c/c'= d/d' = e/e' = f/f’ = constante.
La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción.
cdef c'
d'e'
f’
Teorema de Tales
El teorema de Tales afirma que los segmentos (a, b, c, d, e, f)determinados por un haz de rectas paralelas equidistantes entre sí (t, u, v),sobre otras dos rectas que se cortan (s, r). Son proporcionales.
1.- Proporcionalidad
El teorema de Tales serepresenta gráficamente como seobserva en el dibujo, el haz derectas paralelas está formado porlas rectas t, u y v. Las rectas que secorta r y s . Según Talesa/b=c/d=e/f
Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales
Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es ladivisión de un segmento en partes iguales.
1. Por uno de los extremos A setraza una recta cualquiera s
2. Sobre la recta s se llevan
1.- Proporcionalidad
2. Sobre la recta s se llevantantos segmentos iguales, delongitud arbitraria, como númerode partes se quiera dividir elsegmento
3. Se traza la recta t uniendo elúltimo punto con el extremo B delsegmento dado
4. Se trazan paralelas a t por lospuntos 1, 2, 3, ... de la recta s.
Teorema de la altura
1.- Proporcionalidad
El teorema de la altura de Euclides afirma que en un triángulorectángulo se verifica la siguiente relación de proporcionalidad:
a/x = x/b, o bien a * b = x2
Se dice, que la altura (x) es la mediaproporcional de los dos segmentos [a, b) enque se divide de la hipotenusa.
Dados dos segmentos de longitudes a y b, lamedia proporcional de ambos (x), es elsegmento que cumple la relacióna/x = x/b, o a * b = x2
Empleando este teorema, por tanto,podemos determinar gráficamente la mediaproporcional de dos segmentos.
Teorema de la altura: determinación de la media proporcional
En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es mediaproporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa
1. Sobre la recta r se trasladan lossegmentos a=AB y b=CD, trazando una
a xx b
=
C b D
A a B
1.- Proporcionalidad
segmentos a=AB y b=CD, trazando unasemicircunferencia de diámetro la sumade ambos AD
2. Por el punto B-C se traza rectaperpendicular a r hasta cortar a lasemicircunferencia en el punto F.
El segmento x = AF es la media mediaproporcional buscada
A
x
a
B-CE
b
D r
F
Sección Áurea
Se denomina Sección Aurea de dichosegmento a la división que le produce unpunto B de forma que:
a x
x b=
Dados un segmento b = AC
A C
1.- Proporcionalidad
La proporción entre la parte máspequeña a y la más grande x es igual ala existente entre la parte más grandex y el todo b
b
ax
BA C
Trazado Sección Áurea de un Segmento
1.- Proporcionalidad
1.- Se traza el segmento AB y se hallaun punto intermedio O. Por el extremoB se levanta una perpendicular. Concentro en B y radio OB, se traza unarco que corte a la perpendicular en elpunto C, y se une C con Apunto C, y se une C con A
2.- Con radio CB, se traza desde C unarco que corte a AC en el punto D. Concentro en A y con radio AD se traza unarco que corte a AB en E. Este es elpunto que divide al segmento AB deforma que AE es su sección Aurea.
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad
Entre dos figuras se puede establecer una serie de relacionesproporcionales
B
D
E
FA
B’
D’
E’
F’
A’
Para construir una figura igual a otra se pueden seguir diferentesprocedimientos: traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos yreproducción de coordenadas.
B
C
B’
C’
La igualdad es una de estas relaciones, cuya proporción es 1 :1.Decimos que dos figuras son iguales cuando al superponerlas coincidentodos sus lados y ángulos.
Ahora veremos las siguientes construcciones…
B
D
E
F
A
B ’
D ’
E ’
F ’
A’A
B
D
TRASLACIÓN COORDENADAS TRIANGULACIÓN
C
D
B
E
C ’
B ’
D ’
E ’
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad
E’
D’
F’
B
C
B ’
A’ D ’
C ’B ’
O ’
C
A’
B ’
D ’
C ’
GIRO
C ’
D
C
B
A
O
C entro de giro
A A’
B
C
E
D
A
F
B’
A’
C’
COPIA DE ÁNGULOS
Igualdad por Traslación
Trasladar una figura consiste en desplazar todos sus vértices ensentido recto a una misma distancia.
Dada la figura ABCDEF se traza unaparalela por cada uno de sus vértices.Sobre la recta que contiene al vérticeA, se fija a una distancia el punto A’.
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad
A, se fija a una distancia el punto A’.
Se transporta esa misma distanciasobre cada una de lasparalelas, de modo que queden fijadoslos vértices de la nueva figura igual,A’B'C’D’E'F'.
Los lados correspondientes permanecenparalelos e iguales a los de la figurainicial,
Igualdad por Giro
Girar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentidocircular y con la misma amplitud. Como centro de giro se elige un puntocualquiera, O.
1.-A partir de O, se traza un arco por cada unode los vértices.
2.-Sobre el arco que contiene al punto A, se fija
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad
2.-Sobre el arco que contiene al punto A, se fijauna cierta amplitud de ángulo y se determinael vértice A’.
3.-Con esa misma amplitud se transportan elresto de los vértices.
4.-Con este procedimiento, la figura rotaalrededor del centro de giro, permaneciendoconstante la distancia de cada uno de susvértices al mismo. En este caso, OA= OA’.OB= OB', y el ángulo AOA' = ángulo BOB' =ángulo COC’
Igualdad por Triangulación
Triangular una figura consiste en descomponer su superficie entriángulos y trazar copias de los mismos. Esto es posible porque eltriángulo es el polígono más simple y se puede copiar de manera sencilla.
1.- Dada una figura ABCDE, se trazan diagonalesdesde un vértice, por ejemplo el A, de modo queesta quede dividida en triángulos con un vértice
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad
esta quede dividida en triángulos con un vérticecomún.
2.-Para construir la figura igual a la primera, setraza el lado AB', paralelo a AB.
3.-A continuación, se trasladan con el compás lasmedidas del lado BC y AC, en cuya intersecciónestará el punto C'. De esta manera se obtiene eltriángulo A’B'C', igual al ABC.
4.-Se trasladan las medidas del lado CD y AD,reproduciendo sucesivamente todos lostriángulos de la figura inicial y completando lafigura AB'C‘D'E'.
Igualdad por Transporte de ángulos
Este procedimiento consiste en transportar cada ángulo de la figuradada para construir una figura igual.
1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ =
Dado el polígono ABCDE
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad
1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ =AB
2. Con centro en B’ se traza un ánguloigual al B. (con el compás)
3. Se transporta el segmento B’C’ = BC.(con el compás)
4. Se repite la operación con todos losvértices
Igualdad por coordenadas
Los ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares A quepermiten asignar a cada punto del plano dos coordenadas. Esteprocedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la figura inicialsobre otros ejes
1.-Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad
1.-Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejesde coordenadas y se trazanperpendiculares a los mismos desde todoslos vértices de la figura.
2.-De este modo, se averiguan lascoordenadas de cada uno de ellos.
3.-Para dibujar la figura igual a la dada, setrasladan los ejes y se reproducen lasmismas coordenadas, estos puntos seránlos nuevos vértices de la figura AB'C‘D'
Manifestaciones artísticas de la igualdad
Algunas composiciones artísticas están basadas en la repetición defiguras iguales, siendo también un recurso muy utilizado en laornamentación, el diseño gráfico y la arquitectura.
Observa la sucesión de
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad
Observa la sucesión defiguras iguales en estacomposición pictórica, Lafinalidad de esterecurso estructural esproducir un efecto dehomogeneidad visual.
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza
Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos figuras,estas deben tener la misma forma; Si estas figuras tienen una orientación en elespacio contrapuesta, son simétricas y, si tienen distinto tamaño, sonsemejantes.
Simetría
La simetría es una relación entre dos figuras, en la que cada puntode la primera se corresponde con otro de la segunda, de modo que ambosequidistan de un eje, de un centro o de un plano de simetría.
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza
Simetría Central
La simetría central o respecto a un punto dispone que, dos puntossimétricos A y A' que están situados sobre una línea recta que pasa por unpunto, llamado centro de simetría, equidistan de él y están contrapuestos.
1.- Dada la figura ABCDE, se trazanrectas desde cada vértice al centro de
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza
1.- Dada la figura ABCDE, se trazanrectas desde cada vértice al centro desimetría O y se prolongan.
2.- Sobre estas rectas se transportanmedidas, de modo que lasdistancias de los vértices A, B, C, D yE al punto O sean iguales a lasdistancias del punto O a los vértices A',B', C', D' y E', respectivamente.
3.- Uniendo los vértices obtenidos seconstruye la figura
Semejanza
La semejanza es una relación entre figuras en la que los ánguloscorrespondientes de las mismas son iguales, y sus lados correspondientes,proporcionales.
Se pueden obtener figuras semejantes utilizando los siguientesprocedimientos.
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza
Semejanza por Radiación
1.-Se elige un punto O exterior a la figuray desde él se trazan rectas que pasen porlos vértices de esta.
2.-Sobre la prolongación de una recta, laque pasa por el punto A. se marca el punto
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza
2.-Sobre la prolongación de una recta, laque pasa por el punto A. se marca el puntoA. Por A se traza un segmento AB' paraleloal lado AB.
3.-Repitiendo la misma operación con todoslos lados se obtendrá la figura semejante.
Observa que se establece la proporción:
AB/AB' = BC/B'C‘ = CD/C‘D‘= …
Semejanza por radiación: (Desde un vértice)
1.-Dada una figura ABCDE, se elige elvértice A. y desde él se trazan rectas quepasen por los demás vértices2.-Se sitúa un punto B' en la prolongación
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza
2.-Se sitúa un punto B' en la prolongacióndel lado AB, Por el punto B' se traza unaparalela al lado BC, hasta cortar a laprolongación de AC en C’3.-A partir de él, se repite la mismaoperación hasta completar la figurasemejante.Comprueba que se establece la proporciónentre los lados:AB/A’B‘= BC/B’C‘=CD/C’D’=DE/D’E’=…
Aplicaciones en la expresión plástica
Como ocurre con la igualdad, la simetría y la semejanza se puedenutilizar como recursos para realizar obras artísticas y estructurasarquitectónicas, ornamentales y de diseño
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza
Esta fotografía se basa en un juego de formas circulares semejantes que producen una ligera
sensación de movimiento.
Este anuncio publicitario de papel presenta una estructura simétrica que simplifica el recorrido
visual del observador.
Las redes modulares son estructuras, generalmente
geométricas, que permiten relacionar figuras iguales o semejantes,
llamadas módulos, en una misma superficie.
La red modular debe compactar el plano,
4.-Redes Modulares
La red modular debe compactar el plano,es decir, cubrirlo por completo sin dejarsuperficies vacías
EJEMPLOS:Las formadas por Triángulos y Cuadradoso derivados de estos.
SI NO
Redes modulares simples
Las redes modulares simples están formadas por la repetición deuna sola figura.
Además de las redes triangulares y cuadradas básicas, existenotras con distintas peculiaridades: rectangulares, quebradas, romboides,etc.
4.-Redes Modulares
Redes modulares compuestas
Las redes modulares compuestas se forman por la yuxtaposición de varias figuras geométricas regulares o por la superposición de dos o más redes simples.
4.-Redes Modulares
5.- El móduloEl módulo es la figura básica que se repite en las estructuras
modulares.La combinación proporcionada de varios módulos sobre una red o
trama da lugar a la composición modular.
Cuando se combinan varios módulos básicos para formar una figuramás compleja aparece un supermódulo
Movimientos del módulo
Un módulo se puede colocar y combinar en distintas posiciones.Entre los movimientos más usuales destacan el giro y el desplazamiento, yaplicando el giro se puede llegar a situar los módulos en contraposición, esdecir formando una simetría
5.- El módulo
La circunferencia en la composición modular
La circunferencia es una figura que no puede compactar el espacio,al igual que el pentágono, por lo que no hay redes modulares circulares. Sinembargo, inscribiéndola en cuadrados, se utiliza como estructura paradiseñar módulos, dejando los espacios libres como formas de apoyo
5.- El módulo
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