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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ – UFPA
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ – CAMTUC
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA – FEE
GUILHERME LEITE SILVANO
SIMULAÇÃO DA IMPEDÂNCIA DE ENTRADA DE UMA ANTENA DIPOLO DE
MEIA ONDA: UMA APROXIMAÇÃO DIDÁTICA
TUCURUÍ - PA
2013
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ – UFPA
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ – CAMTUC
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA – FEE
GUILHERME LEITE SILVANO
SIMULAÇÃO DA IMPEDÂNCIA DE ENTRADA DE UMA ANTENA DIPOLO DE
MEIA ONDA: UMA APROXIMAÇÃO DIDÁTICA
Trabalho de conclusão de curso
apresentado ao Colegiado do Curso de
Engenharia Elétrica da faculdade Federal
do Pará – UFPA, como requisito parcial
para obtenção do grau de Engenheiro
Eletricista.
Orientador: Prof. Dr. Karlo Queiroz Costa
TUCURUÍ - PA
2013
“Dedico este trabalho aos meus pais,
Mônica e Rogério, e a minha namorada
Keyliane Fernandes, por todo amor,
apoio e incentivo em todos os dias da
minha vida”.
AGRADECIMENTOS
Quero agradecer, em primeiro lugar, a Deus, pela força e coragem durante toda
esta longa caminhada.
Agradeço a minha família, especialmente aos meus pais Mônica e Rogério, que
estiveram sempre comigo, apoiando todas as minhas decisões.
A minha namorada Keyliane Fernandes, ofereço um agradecimento mais do que
especial, por ter vivenciado comigo passo a passo todos os detalhes deste trabalho,
ter me ajudado, por ter me dado todo o apoio que necessitava nos momentos
difíceis, todo carinho, respeito, por ter me aturado nos momentos de estresse, e por
tornar minha vida cada dia mais feliz.
Agradeço aos meus amigos Ana, Carolina, Marcelo e Pedro. Tenho certeza que
a sólida amizade que construímos será para sempre.
Ao professor Karlo Queiroz, pela orientação, por confiar no meu trabalho e pela
receptividade quando o procurei para que me orientasse.
Enfim, a todos que de alguma forma contribuíram para a construção deste
trabalho, seja pela ajuda constante ou por uma palavra de amizade.
Silvano, Guilherme Leite. Simulação da Impedância de Entrada de uma Antena
Dipolo de Meia Onda: Uma Aproximação Didática. Trabalho de Conclusão de
Curso. Curso de Engenharia Elétrica. Universidade Federal do Pará. Tucuruí - PA,
2013.
RESUMO
Com o desenvolvimento do sistema de comunicação sem fio, a antena tem uma
participação indispensável no nosso mundo. Porém, existem vários parâmetros do
funcionamento da antena que necessitam serem ajustados para se obter uma maior
eficiência. Por exemplo, a impedância de entrada da antena. Portanto, se torna
prático a realização de simulações e testes para se ter uma ideia de como a antena
ira se comportar em várias situações. Visando resolver este problema, utilizou-se o
programa COMSOL para se calcular todas as variáveis do funcionamento de uma
antena. Além disso, apresenta-se uma abordagem didática sobre como operar o
programa COMSOL, tendo como objetivo auxiliar os próximos estudantes a
utilizarem essa poderosa ferramenta.
Palavras-Chaves: Antenas; Dipolo de meia onda; COMSOL; Abordagem
Didática; Impedância de entrada; Gráfico de Azimuthal.
Silvano, Guilherme Leite. Simulação da Impedância de Entrada de uma Antena
Dipolo de Meia Onda: Uma Aproximação Didática. Trabalho de Conclusão de
Curso. Curso de Engenharia Elétrica. Universidade Federal do Pará. Tucuruí - PA,
2013.
ABSTRACT
With the development of the wireless communication system, the antenna has been
widely used. However, there are many characteristic parameters for antennas that
need to be calculated to archive achieve an excellent efficiency. For example, the
input impedance of antennas. Therefore, it is quite practically to make some
simulations to have a view of how the antenna will behave. In order to solve this
problem, this thesis establishes the calculation procedure to simulate an half wave
dipole antenna using COMSOL. Also make a didactic approach of how to use the
program, looking for help furthers projects.
Palavras-Chaves: Antennas; Half Wave Dipole; COMSOL; Didactic approach; Input
Impedance; Azimuthal’s Graph.
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................. 11
LISTA DE TABELAS ................................................................................................ 14
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ................................................................................. 15
1.1. Considerações Iniciais .................................................................................... 15
1.3. Objetivo Geral ................................................................................................. 15
1.4. Estrutura Do Trabalho ..................................................................................... 16
CAPÍTULO 2 – REVISÃO TEÓRICA ........................................................................ 17
2.1. Considerações Iniciais .................................................................................... 17
2.2. Antena Transmissora ...................................................................................... 17
2.3. Antena Receptora ........................................................................................... 17
2.4. Linhas de Transmissão ................................................................................... 17
2.5. Tipos de Antena .............................................................................................. 18
2.5.1. Radiador Isotrópico ...................................................................................... 18
2.5.2. Dipolo Meia Onda e Maior do que Meia Onda ............................................. 19
2.5.3. Dipolo Ideal e Dipolo Curto .......................................................................... 19
2.5.4. Antena Tipo Loop ......................................................................................... 20
2.5.5. Antena Monopolo ......................................................................................... 20
2.5.6. Antenas Faixa Larga .................................................................................... 21
2.5.7. Antena Yagi-Uda .......................................................................................... 21
2.6. Desenho da Antena ........................................................................................ 21
2.6.1. Como Funciona a Antena ............................................................................ 22
2.6.2. A Importância do Comprimento da Antena .................................................. 23
2.6.3. Cálculo do Comprimento de uma Antena .................................................... 24
2.6.4. Casamento de Antena ................................................................................. 25
2.6.5. Sintonizando uma Antena ............................................................................ 27
2.7. Desempenho da Antena ................................................................................. 27
2.7.1. Padrão de Irradiação .................................................................................... 28
2.7.2. Ganho da Antena ......................................................................................... 28
2.7.3. Polarização da Antena ................................................................................. 30
2.7.4. Eficiência de uma Antena ............................................................................ 30
2.7.5. Múltiplos Caminhos ...................................................................................... 31
2.7.6. Regiões de Campo ...................................................................................... 31
2.7.7. Densidade de Potência ................................................................................ 33
2.7.8. Vetor de Poynting ......................................................................................... 34
2.7.9. Intensidade de Irradiação ............................................................................. 36
2.7.10. Diagrama de Radiação da Antena ............................................................. 38
2.7.11. Largura de Feixe ........................................................................................ 40
2.7.12. Diretividade ................................................................................................ 40
2.7.13. Ângulo Sólido do Feixe .............................................................................. 41
2.7.14. Ganho ........................................................................................................ 41
2.7.15. Abertura Efetiva ......................................................................................... 42
2.7.16. Potencial Magnético Vetorial e o Campo Distante ..................................... 43
2.8. Antenas Lineares ............................................................................................ 45
2.8.1. Dipolo de Meia Onda ................................................................................... 46
2.8.2. Método dos Momentos ................................................................................. 50
2.8.3. Equações integrais ....................................................................................... 50
2.8.4. Equação Integral de Pocklington .................................................................. 51
2.8.5. Vetor Potencial de uma Corrente Elétrica J ................................................. 52
2.8.6. Modelagem da Fonte ................................................................................... 61
2.8.7. Delta Gap ..................................................................................................... 61
2.8.8. Modelo de Componente Geradora ............................................................... 62
2.9. Método dos Momentos .................................................................................... 64
2.9.1. Funções Base .............................................................................................. 65
2.9.1.1. Funções Definidas em Cada Subdomínio ................................................. 65
2.9.1.2. Funções Definidas em Todo o Domínio .................................................... 66
2.9.2. Funções de Teste ..................................................................................... 66
CAPÍTULO 3 - SIMULAÇÃO .................................................................................... 69
3.1. Considerações Iniciais .................................................................................... 69
3.2. Definição do Modelo ....................................................................................... 69
3.2.3. Passo-a-Passo ............................................................................................. 70
CAPÍTULO 4 – RESULTADOS OBTIDOS ............................................................... 84
4.1. Considerações Iniciais .................................................................................... 84
4.2. Resultados ...................................................................................................... 84
CAPÍTULO 5 - CONCLUSÃO E PROPOSTAS FUTURAS ...................................... 91
11.1. Conclusão ..................................................................................................... 91
11.2. Propostas Futuras ......................................................................................... 91
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 93
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2. 1-Esquematização de um cabo coaxial. .... Erro! Indicador não definido.
FIGURA 2. 2-Dipolo (a) Curto, (b) Meia Onda, (c) e (d) Outros valores de L. ........... 19
FIGURA 2. 3-(a) Dipolo, (b) Loop Circular, (c) Helicoidal.Erro! Indicador não
definido.
FIGURA 2. 4- Elementos de uma Antena Yagi. ........................................................ 21
FIGURA 2. 5-Forma Básica de Toda Onda Eletromagnética. ................................... 22
FIGURA 2. 6-Antena Simples. ................................................................................... 23
FIGURA 2. 7-Curvas de Ressonância. ...................................................................... 24
FIGURA 2. 8-Figura Mostrando os Vários Tipos de Antenas Dipolo. ........................ 25
FIGURA 2. 9-Casamento de Duas Antenas. ............................................................. 26
FIGURA 2. 10-Sintonia de uma Antena. ................................................................... 27
FIGURA 2. 11-Padrão de Irradiação de Diversas Antenas. ...................................... 28
FIGURA 2. 12-Analogia da Lanterna. ........................................................................ 29
FIGURA 2. 13-Ganho de uma Antena. ...................................................................... 29
FIGURA 2. 14-Polarização de Antenas. .................................................................... 30
FIGURA 2. 15-Múltiplos Caminhos. .......................................................................... 31
FIGURA 2. 16-Regiões de Campo de uma Antena e Alguns Limites Comuns
Usados. ..................................................................................................................... 32
FIGURA 2. 17-Campos Vetoriais em Coordenadas Esféricas. ................................. 34
FIGURA 2. 18-Densidade do Fluxo de Potência em uma Superfície Esférica de Raio
r. ................................................................................................................................ 35
FIGURA 2. 19-Exemplo de Diagrama Tridimensional da Antena. ............................. 37
FIGURA 2. 20-(a) Representação do Diagrama de Radiação do Campo Elétrico (ou
Magnético) em Coordenadas Retangulares. (b) Representação do Diagrama de
Radiação do Campo Elétrico (ou Magnético) em Coordenadas Polares. ................. 39
FIGURA 2. 21-Representação do Diagrama de Radiação do Campo Elétrico (ou
Magnético) Tridimensional. ....................................................................................... 39
FIGURA 2. 22-Representação da Largura de Feixe de Meia Potência (LFMP). ....... 40
FIGURA 2. 23-Antenas Transmitindo e Recebendo. ................................................. 42
FIGURA 2. 24-Fonte de Corrente Arbitrária Gerando o Potencial Magnético Vetorial
no Campo Distante. ............................................................................................... 44
FIGURA 2. 25- A geometria de um dipolo infinitesimal simetricamente colocado
sobre o plano xy. ....................................................................................................... 45
FIGURA 2. 26-Gráfico 2D do Campo Eletromagnético de uma Antena Dipolo de
Meia Onda com o Comprimento l Variando em l=λ/50, l=λ/4, l=λ/2, l=3λ/4 e l=λ. ..... 47
FIGURA 2. 27-Gráfico 3D do Campo Eletromagnético de uma Antena Dipolo de
Meia Onda. ................................................................................................................ 48
FIGURA 2. 28-Distribuição da Corrente ao Longo da Antena. .................................. 50
FIGURA 2. 29-Campos Radiados Usando Vetores Potenciais. ................................ 52
FIGURA 2. 30-Plano Uniforme da Onda Incidente em um Fio Condutor. ................. 55
FIGURA 2. 31-Dipolo Cilíndrico e sua Segmentação. ............................................... 56
FIGURA 2. 32-Segmentação e Corrente Equivalente do Dipolo. .............................. 58
FIGURA 2. 33- Corrente Equivalente ou Linha de Corrente na Superfície de um
Condutor.................................................................................................................... 60
FIGURA 2. 34-Modelagem da Fonte. ........................................................................ 62
FIGURA 3. 1-Modelo da Antena. ............................................................................... 70
FIGURA 3. 2-Primeiros Passos. ................................................................................ 70
FIGURA 3. 3-Definindo os Parâmetros. .................................................................... 71
FIGURA 3. 4-Desenhando a Esfera. ......................................................................... 72
FIGURA 3. 5-Desenhando o Cilindro. ....................................................................... 73
FIGURA 3. 6-Segmentando o Cilindro. ..................................................................... 74
FIGURA 3. 7-Definindo a Antena. ............................................................................. 74
FIGURA 3. 8-Definindo o Corpo da Antena. ............................................................. 75
FIGURA 3. 9-Definindo o Domínio do Campo Distante. ............................................ 75
FIGURA 3. 10-Perfectly Matched Layer. ................................................................... 76
FIGURA 3. 11-Impedance Boundary Condition. ........................................................ 77
FIGURA 3. 12- ........................................................................................................... 77
FIGURA 3. 13-Lumped Port. ..................................................................................... 78
FIGURA 3. 14-Definindo o Sentido de a_h. .............................................................. 78
FIGURA 3. 15-Definindo o Domínio Distante. ........................................................... 79
FIGURA 3. 16-Definindo os Materiais. ...................................................................... 80
FIGURA 3. 17-Aplicação da Malha. .......................................................................... 81
FIGURA 3. 18-Simulação. ......................................................................................... 81
FIGURA 3. 19-Campo Elétrico. ................................................................................. 82
FIGURA 3. 20-Desenhando um Gráfico Polar........................................................... 82
FIGURA 3. 21-Gráfico 3D.......................................................................................... 83
FIGURA 3. 22-Gráfico da Impedância. ...................................................................... 83
FIGURA 4. 1-Irradiação 3D. ...................................................................................... 85
FIGURA 4. 2-Padrão de Irradiação 3D de uma Antena Dipolo de Meia Onda. ......... 86
FIGURA 4. 3-Gráfico Azimuthal. ............................................................................... 86
FIGURA 4. 4-Resultado Teórico. ............................................................................... 87
FIGURA 4. 5-Gráficos da Irradiação Polar nos Planos xz e yz Respectivamente. .... 88
FIGURA 4. 6-Corte Ortogonal da Antena Dipolo de Meia Onda. .............................. 89
FIGURA 4. 7-Impedância de Entrada COMSOL. ...................................................... 89
FIGURA 4. 8-Impedância de Entrada. ....................................................................... 90
LISTA DE TABELAS
TABELA 3. 1-Definição dos Parâmetros da Simulação ............................................. 73
15
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1.1. Considerações Iniciais
A sociedade está cada vez mais dependente do sistema de comunicação sem
fio o que torna cada vez mais urgente a necessidade de aperfeiçoar a confiabilidade
e a eficiência do mesmo. Tornar uma antena mais eficiente pode ter consequências
em vários aspectos, seja tanto na economia em material, quanto no aumento da
área de operação.
O bom funcionamento da antena depende de vários fatores, como o tamanho da
mesma em relação ao comprimento de onda no espaço livre desejado, a frequência
no qual ela opera, se esta casada com a linha de transmissão ou não, a localização
da antena e o material do qual ela é feita. Um dos principais parâmetros para tornar
eficiente a potência utilizada para transmitir sinais é a impedância de entrada no
ponto de encontro entre a antena dipolo e a linha de transmissão. Porém, antes de
se construir uma antena, deve-se realizar simulações buscando estudar o
comportamento da mesma em funcionamento, podendo variar os parâmetros até
torna-la o mais eficiente possível. Uma das ferramentas mais estabelecidas no
mercado é o programa COMSOL.
COMSOL é um pacote de software que realiza analise por elementos finitos,
tendo muitas aplicações na física e na engenharia, especialmente na área de
eletromagnetismo. Além de permitir uma interface instintiva, COMSOL Multiphysics
permite simular sistemas acoplados de equações derivadas parciais. Tornando-se
uma poderosa ferramenta para simular o comportamento de antenas.
Tendo em mente que o programa está em inglês, tornando o acesso a ele
relativamente restrito a quem possui um domínio da língua. Este trabalho apresenta
uma abordagem didática de como se utilizar o programa, diminuindo um pouco a
barreira inicial para futuros trabalhos que utilizem este programa.
1.3. Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é a aplicação do programa COMSOL para
simular uma antena dipolo de meia onda, comparando os resultados com a
16
literatura. Além de apresentar um tutorial passo-a-passo de como se utilizar o
programa.
1.4. Estrutura Do Trabalho
Este trabalho está dividido em cinco capítulos.
No capítulo 2 é apresentado um breve resumo da teoria de antenas.
O capítulo 3 é dedicado a explicação sobre como se utilizar o programa
COMSOL para realizar uma simulação de uma antena dipolo.
O capítulo 4 apresenta os resultados obtidos, comparando-os com a teoria.
No capítulo 5 são apresentadas as conclusões gerais deste trabalho e as
propostas de continuidade para trabalhos futuros, relacionados ao tema
desenvolvido.
17
CAPÍTULO 2 – REVISÃO TEÓRICA
2.1. Considerações Iniciais
A antena é o componente elétrico responsável pela transmissão das ondas
eletromagnéticas pelo espaço e também pela recepção destas. Essencialmente, a
antena é um transdutor que converte corrente alternada em ondas eletromagnéticas.
A antena do transmissor e receptor possuem as mesmas características, no entanto
elas serão tratadas de forma separadas a seguir, uma vez que as antenas de rádio
transmissor são mais críticas do ponto de vista construtivo. ´´
2.2. Antena Transmissora
A antena transmissora acopla a energia presente no circuito de saída de rádio
frequência (RF) do rádio transmissor ao espaço físico da forma mais eficiente
possível transformando a corrente alternada presente no circuito de saída em ondas
eletromagnéticas irradiadas. Em resumo, a antena deve ser construída com o
objetivo de tornar este acoplamento o mais eficiente possível. As antenas
transmissoras são normalmente menos eficientes que as antenas receptoras. A
antena transmissora deve ser desenhada para ter a máxima eficiência na frequência
do circuito de RF do transmissor.
2.3. Antena Receptora
A antena receptora tem como função converter as ondas eletromagnéticas
irradiadas pela antena transmissora em sinais elétricos. Quando a onda
eletromagnética atinge uma antena receptora a energia eletromagnética presente na
onda gera uma pequena tensão na antena receptora que faz com que uma pequena
corrente possa fluir pelo circuito do rádio receptor.
A antena receptora deve ser desenhada para ter a máxima eficiência na
frequência do transmissor que deseja sintonizar.
2.4. Linhas de Transmissão
A linha de transmissão é a conexão elétrica entre a antena e o circuito de saída
de RF do transmissor. A linha de transmissão é necessária quando o transmissor e a
antena estão montados em lugares diferentes, isto é o que ocorre no caso dos
18
transmissores de maior porte, já nos transmissores pequenos o circuito de RF e a
antena estão próximos. Como exemplo de transmissor pequeno tem-se o celular,
onde a antena é montada dentro da caixa do aparelho celular, de forma que ela
pareça não existir para o usuário; contrastante aos modelos de antigamente, quando
os celulares vinham com antenas externas. Já um exemplo de transmissor grande é
a célula do sistema de telefonia celular, neste caso as antenas são montadas em
torres de grande altura.
A linha de transmissão é construída com um cabo especial, chamado cabo
coaxial, como o mostrado na FIGURA 2.1. Eletricamente o cabo coaxial é um
complexo circuito RLC com uma impedância bem característica.
FIGURA 2.1-Esquematização de um cabo coaxial. FONTE: http://mundodigitalpe.com.br/categoria/P/cabletech/11
2.5. Tipos de Antena
Este trabalho tem como base a antena dipolo de meia onda, mas é válido citar
os principais tipos de antenas existentes na literatura.
2.5.1. Radiador Isotrópico
O radiador isotrópico é uma antena hipotética que irradia igualmente em todas
as direções, como se fosse uma fonte pontual. Normalmente as propriedades das
outras antenas são definidas com respeito ao radiador isotrópico.
19
2.5.2. Dipolo Meia Onda e Maior do que Meia Onda
O dipolo meia onda é uma antena tipo filamentar que possui tamanho l = /2 e é
o mais usado na prática, devido a sua facilidade de construção e de casamento de
impedância. Outras antenas de tamanho maior como de um comprimento de onda,
um e meio comprimento de onda, etc., também podem ser encontradas na literatura.
A FIGURA 2. 3 mostra um dipolo meia onda com sua
distribuição de corrente ao longo do mesmo. A FIGURA 2. 4 apresenta um dipolo
para outros comprimentos diferentes do meio comprimento de onda, com suas
distribuições de correntes.
FIGURA 2. 2-Dipolo Curto FIGURA 2. 3-Dipolo Meia Onda
FIGURA 2. 4-Dipolo Outros valores de L. FONTE: http://engeletricaservicos.blogspot.com.br/2013/08/fundamento-em-antenas.html
2.5.3. Dipolo Ideal e Dipolo Curto
O dipolo curto e dipolo ideal são antenas do tipo filamentar cujo comprimento l
das mesmas é muito menor do que o comprimento de onda ( l << ) . Estas antenas
são usadas quando a frequência é muito baixa, como é o caso de f < 1 Mhz. A
FIGURA 2. 5a apresenta um dipolo curto alimentado por uma corrente de
intensidade linear I. O grande problema destas antenas surge devido ao casamento
de impedância, pois a resistência de radiação das antenas dipolo curto é muito
baixa. Estas antenas apresentam também um elemento capacitivo dificultando o
casamento de impedância, sendo necessário adicionar uma bobina no circuito da
20
antena. A vantagem desta antena é possuir um tamanho reduzido, pois quando se
trabalha com baixas frequências o comprimento de onda é grande, e o tamanho da
antena dipolo meia onda fica muito impraticável (como por exemplo, para uma
frequência de 1 MHz, uma antena dipolo meia onda terá comprimento de 150m).
2.5.4. Antena Tipo Loop
A antena tipo loop é apresentada na forma de uma espira ou mais, como mostra
a FIGURA 2. 5b. Pode, às vezes, ser construída como uma bobina em que o núcleo
pode ser feito de ar ou ferrite. Uma antena das mais utilizadas na prática quando é
usada polarização circular é a antena helicoidal, como mostra a Erro! Fonte de
eferência não encontrada.c.
FIGURA 2. 5-(a) Dipolo, (b) Loop Circular, (c) Helicoidal. FONTE: http://engeletricaservicos.blogspot.com.br/2013/08/fundamento-em-antenas.html
2.5.5. Antena Monopolo
A antena dipolo curto é uma antena filamentar de tamanho igual a um quarto de
comprimento de onda ( l = /2). Elas são usadas em transmissão de rádio AM, são
colocadas verticalmente próximas à superfície da terra, e como a frequência é baixa,
a terra se torna boa condutora fazendo com que a teoria das imagens seja aplicada,
e tudo se passa em termos de radiação como se antena fosse de meio comprimento
de onda. Para aumentar a condutividade do solo colocam-se fios de cobre
radialmente distribuídos; a partir do ponto central é colocada à antena. Em algumas
situações estas antenas são colocadas sobre regiões pantanosas, pois nestas
regiões a condutividade do solo é alta.
21
2.5.6. Antenas Faixa Larga
As antenas faixa larga são usadas quando se deseja que a mesma opere em
uma faixa de frequência larga como é o caso da banda dos canais de TV. As duas
antenas mais comuns usadas como faixa larga são: helicoidal e log-periódica.
A antena helicoidal é construída como uma hélice e sua polarização é circular. A
antena log-periódica é constituída de vários dipolos colocados em paralelo. O ganho
desta antena pode variar de 10 até aproximadamente 100 vezes comparado ao
radiador isotrópico.
2.5.7. Antena Yagi-Uda
A antena Yagi-Uda (FIGURA 2. 6) possui três tipos de elementos colocados
sobre uma vara de ligação longitudinal, designados como condutor, refletor e
diretores. Observa-se que apenas o condutor é conectado à alimentação. Os
elementos diretores servem para tornar a antena diretiva, sendo alimentados pelo
campo eletromagnético induzido pelo condutor. Na direção da vara de ligação existe
uma interferência construtiva dos diferentes campos, enquanto que na direção
perpendicular a interferência é destrutiva. A função do refletor é produzir uma onda
que anule a onda que viaja nesse sentido através da interferência destrutiva.
FIGURA 2. 6- Elementos de uma Antena Yagi.
FONTE: http://engeletricaservicos.blogspot.com.br/2013/08/fundamento-em-antenas.html
2.6. Desenho da Antena
O segredo da eficiência de uma antena é o seu desenho físico, pois ele irá
determinar as características elétricas (RLC) da antena. A frequência do circuito
equivalente RLC da antena deve ser o mais próximo possível da frequência do
22
circuito do RF do transmissor. Quando isto ocorre você diz que a antena e o circuito
de RF estão casados. Quando a antena está casada toda energia do transmissor é
transferida para a antena. Quando uma parte da energia não é transmitida pela
antena, esta energia é refletida pela linha de transmissão, a energia não transmitida
é considerada uma perda. A medição da energia transmitida e da energia refletida é
uma forma de medir a eficiência de uma antena. Esta medição é chamada SWE
(Stand Wave Radio), e é calculada pela razão entre a energia transmitida e refletida.
Uma forma comum de expressar esta grandeza é pela medição da energia na forma
da tensão presente na saída do transmissor e da tensão refletida pela linha de
transmissão (VSWR).
2.6.1. Como Funciona a Antena
As ondas eletromagnéticas são transmitidas na forma de campos elétricos e
campos magnéticos irradiados pela antena.
FIGURA 2. 7-Forma Básica de Toda Onda Eletromagnética.
FONTE: http://fisicasemmisterios.webnode.com.br/products/ondas-eletromagneticas/
Uma antena pode ser construída simplesmente pela conexão do cabo coaxial da
linha de transmissão em dois cabos em ângulo reto com a linha, como mostra a
FIGURA 2. 8. Este tipo de antena é chamado de dipolo de meia onda.
23
FIGURA 2. 8-Antena Simples.
FONTE: http://www.radiocomms.com.au/articles/47814-Down-to-basics-with-antennas
A construção simples mostrada acima é suficiente para irradiar energia na forma
de ondas eletromagnéticas pelo espaço. Desde que os condutores separados
possuam diferentes níveis de tensão isto é suficiente para gerar um campo elétrico
(H). Estes campos são gerados simultaneamente pela antena transmissora e estão
fisicamente defasados em 90 graus entre um e o outro, assim, quando o campo
elétrico está no seu máximo valor o campo magnético está no seu mínimo.
2.6.2. A Importância do Comprimento da Antena
Como foi visto anteriormente, montar uma antena parece simples. Basta dois
fios esticados, um para cada lado no final da linha de transmissão. No entanto, para
que esta antena transmita com eficiência o sinal de RF, o fator crítico é a dimensão
da antena. O dimensionamento da antena fará com que esta apareça para o circuito
do transmissor como um circuito RLC. Quando a antena estiver perfeitamente
casada o circuito RLC será vista pelo transmissor apenas com um circuito resistivo,
caso contrário o circuito poderá ser RC ou RL dependendo do comprimento. A
presença o capacitor ou do indutor acarreta numa perda extra de energia e, por sua
vez, na perda da eficiência da antena.
A máxima eficiência da antena ocorre quando a antena é construída com a
dimensão correta, neste caso diz-se que a antena está sintonizada.
Uma forma de medir a sintonia da antena é através do coeficiente VSWR. A
FIGURA 2. 9 apresenta a medição para os três casos possíveis: No ponto (A) a
ressonância está abaixo da frequência ideal, isto ocorre quando o comprimento da
24
antena é muito longo, no ponto (C) a ressonância está acima da frequência desejada
indicando que o comprimento está muito curto, já no ponto (B) a frequência de
ressonância está exatamente sobre a frequência desejada.
FIGURA 2. 9-Curvas de Ressonância.
FONTE: http://www.digikey.com/us/en/techzone/wireless/resources/articles/antennas-design-application-
and-performance.html
Deixa-se claro que a dimensão da antena é o fator crítico na sua construção.
2.6.3. Cálculo do Comprimento de uma Antena
Existem dois tipos de dipolo bastante utilizados: Antena Marconi, ou ¼ de onda,
este é o tipo de antena mais comum em transmissores de pequena potência e a
antena de ½ onda.
Uma antena não precisa ter o comprimento da onda transmissora, mas, pode ter
uma fração deste comprimento. Assim as antenas com um comprimento igual à
metade do comprimento da onda ou um quarto do comprimento da onda são as
mais comuns, estes tipos de antenas são chamados de antenas de meia onda ou
um quarto de onda.
25
A FIGURA 2. 10 apresenta estes tipos de antenas, observa-se que a antena de
um quarto de onda na verdade funciona com a outra metade refletida na terra, que
pode ser um bom aterramento ou ainda a placa do circuito impresso.
FIGURA 2. 10-Figura Mostrando os Vários Tipos de Antenas Dipolo.
FONTE: http://www.radiocomms.com.au/articles/47814-Down-to-basics-with-antennas
2.6.4. Casamento de Antena
Além da ressonância, a antena possui como característica a impedância. Uma
antena está perfeitamente casada quando está em ressonância com o circuito de
saída de RF e ainda possui a mesma impedância deste circuito, pois, a máxima
transferência de potência ocorre quando a impedância da carga e do circuito de
saída são iguais.
Quando uma antena está em ressonância a medição do VDWR é a menor
possível, no entanto, quanto menor o valor do VSWR melhor é o casamento da
antena. Na FIGURA 2. 11 pode-se observar duas antenas que estão em
ressonância, porém a antena “B” possui um valor de VSWB menor, logo, ela possui
um rendimento melhor.
26
FIGURA 2. 11-Casamento de Duas Antenas.
FONTE: http://www.radiocomms.com.au/articles/47814-Down-to-basics-with-antennas
A ressonância da antena é dada basicamente pela sua dimensão, na
ressonância a antena tem um comportamento resistivo.
Os fatores que determinam a característica resistiva de uma antena são:
A resistência do próprio condutor com que a antena é feita.
A resistência de radiação (Rr). Este é um fator muito importante. A
resistência de radiação é uma resistência teórica, que colocada no lugar da
antena, dissipa a mesma energia que a antena dissipa para irradiar a onda
pelo espaço.
A resistência de fuga. Esta é a resistência do dielétrico que compõe o
detector da antena; é a fuga de energia para elementos parasitas como
capacitâncias e indutâncias em paralelo com a antena.
Como a resistência dos condutores e a resistência de fuga têm pouca influência
na resistência da antena, a resistência de radiação é a que representa a maior
perda. Esta resistência depende do tipo de antena; é uma função da sua forma. A
resistência típica para uma antena de ¼ de onda vertical é da ordem de 37 Ohms, e
a resistência de uma antena de meia onda é de 73 Ohms.
27
2.6.5. Sintonizando uma Antena
Sintonizar uma antena é o procedimento para ajustar a antena no seu melhor
rendimento, para isto você pode usar complexos equipamentos como analisadores
de espectro ou ainda instrumentos mais simples, como um circuito simples composto
de um indutor e um capacitor sintonizados na frequência desejada, mais um
voltímetro para indicar a energia recebida.
O ajuste da sintonia normalmente é feito pelo ajuste da dimensão da antena.
Entretanto, esta sintonia pode ser ajudada pela introdução de um capacitor variável
em série com a antena, sendo que um ajuste da ressonância nem sempre leva a um
efetivo aumento da energia transmitida. A FIGURA 2. 12 mostra o circuito
equivalente da antena em função da sua sintonia.
FIGURA 2. 12-Sintonia de uma Antena.
FONTE: http://www.digikey.com/us/en/techzone/wireless/resources/articles/antennas-design-application-
and-performance.html
2.7. Desempenho da Antena
Além das características anteriores, será visto mais algumas que complementam
o estudo das características de uma antena.
28
2.7.1. Padrão de Irradiação
O padrão de irradiação mostra na forma de um desenho como a energia é
distribuída no espaço. O termo antena isotópica é usado para definir uma antena
com um padrão de irradiação perfeito em todas as direções. Esta é uma antena
teórica e servirá de referência para os outros tipos de antenas.
No mundo real cada tipo de antena possui uma característica de irradiação. A
FIGURA 2. 13 mostra a característica de irradiação das principais antenas. Existem
antenas que irradiam igualmente em todas as direções, são as chamadas
omnidirecionais. Outras irradiam melhor em uma direção, sendo o caso das antenas
Yagi, muito utilizadas em televisão.
FIGURA 2. 13-Padrão de Irradiação de Diversas Antenas.
FONTE: http://www.digikey.com/us/en/techzone/wireless/resources/articles/antennas-design-application-
and-performance.html
2.7.2. Ganho da Antena
O ganho de uma antena é a potência efetivamente irradiada em comparação
com uma antena de referência. Normalmente a antena de referência é uma antena
isotópica. Neste caso a unidade é dBi, que significa: Ganho em dB sobre uma
antena isotópica.
Outra forma é comparar a antena a uma antena padrão do tipo dipolo. A
variação aceitável entre uma antena isotópica e uma antena dipolo é de 2,2 dBi. Por
exemplo, uma antena com ganho de 15 dBi pode ser indicada como tendo um ganho
de 12,8 dB comparada com uma antena padrão do tipo dipolo.
29
Observe que o ganho não é o aumento da potência na antena em relação a
saída do circuito de RF, sendo isto impossível, já que a antena é um elemento
passivo.
Uma forma simples de ver o ganho é usando a analogia com lanternas. A
lanterna com o foco que cobre uma área mais extensa seria aquela a ter um brilho
igualmente distribuído. A lanterna com melhor foco parece ter uma luz mais intensa
em um ponto pequeno a sua frente, com uma intensidade luminosa mais forte nesta
direção (FIGURA 2. 14). Entende-se que uma antena que não irradia em todas as
direções, mas concentra a sua energia radiante em uma direção, possuirá um ganho
maior nesta direção, de maneira análoga (FIGURA 2. 15).
FIGURA 2. 14-Analogia da Lanterna.
FONTE: http://www.digikey.com/us/en/techzone/wireless/resources/articles/antennas-design-application-
and-performance.html
FIGURA 2. 15-Ganho de uma Antena.
FONTE: http://www.digikey.com/us/en/techzone/wireless/resources/articles/antennas-design-application-
and-performance.html
30
2.7.3. Polarização da Antena
A polarização é uma característica importante para uma antena e diz respeito a
orientação dos fluxos dos campos elétricos e magnéticos gerados pela antena.
Uma antena montada na vertical é dita com polarização vertical, uma antena
montada na horizontal é dita com polarização horizontal.
A recepção melhor ocorre quando a antena receptora e a antena transmissora
possuem a mesma polarização, caso contrário, parte da energia transmitida é
perdida.
Na maioria das vezes há pouca possibilidade de se ajustar a polarização da
antena. Na transmissão UHF e VHF, antenas com polarização horizontal geralmente
apresentam melhor desempenho.
A FIGURA 2. 16 mostra o efeito da polarização na antena.
FIGURA 2. 16-Polarização de Antenas.
FONTE: http://www.digikey.com/us/en/techzone/wireless/resources/articles/antennas-design-application-
and-performance.html
2.7.4. Eficiência de uma Antena
Nem toda a energia entregue a uma antena é transformada em campo
irradiante, parte é perdida no próprio material de construção da antena e parte é
perdida no meio que cerca a antena. Abaixo, conceituam-se potências diferentes.
Potência direta: É a potência entregue a antena.
31
Potência refletida: É a parte da potência refletida para o circuito de
saída de RF devido à falha de sintonia da antena.
Potência da rede: É a potência efetivamente transmitida. A potência da
rede é normalmente calculada como a diferença entre a potência direta e a
potência refletida.
2.7.5. Múltiplos Caminhos
Uma onda ao se propagar pelo espaço pode ser refletida pela terra ou por
obstáculos chegando à antena receptora por múltiplos caminhos, como mostra a
FIGURA 2. 17.
FIGURA 2. 17-Múltiplos Caminhos.
FONTE: http://www.digikey.com/us/en/techzone/wireless/resources/articles/antennas-design-application-
and-performance.html
As ondas refletidas perdem energia e chegam mais fracas a antena receptora,
muitas vezes com atraso de fase o que causa uma distorção na informação. A tais
ondas se soma a radiação de fundo do Big-Bang, ocorrendo um efeito bastante
conhecido na radiodifusão televisiva como fantasma.
2.7.6. Regiões de Campo
O espaço que envolve uma antena transmissora é dividido em duas principais
regiões: a região de campo próximo e a região de campo distante. A região de
campo próximo pode ser subdividia em duas regiões: o campo próximo reativo e o
campo próximo irradiante.
32
A FIGURA 2. 18 ilustra essas regiões. A primeira região, a mais próxima à
antena, é chamada região de campo próximo reativo ou de indução. Ela deriva seu
nome a partir do campo próximo reativo que se encontra próximo a todo condutor
pelo qual flui corrente elétrica. O campo reativo, dentro dessa região, domina todos
os campos irradiados.
FIGURA 2. 18-Regiões de Campo de uma Antena e Alguns Limites Comuns Usados.
FONTE: http://www.digikey.com/us/en/techzone/wireless/resources/articles/antennas-design-application-
and-performance.html
Para a maioria das antenas, o limite externo dessa região é determinado por:
√
Em que é a distância a partir da antena, L é a maior dimensão (ou dimensão
característica) da antena e é o comprimento de onda.
Entre a região de campo próximo reativo e a região de campo distante, encontra-
se a região de campo próximo irradiante. Embora os campos de irradiação dominem
dentro dessa região, a distribuição angular ainda depende da distância da antena.
Essa região é também chamada de região de Fresnel, uma terminologia emprestada
do campo de ótica. Os limites dessa região são:
33
√(
)
( )
No limite exterior da região de campo próximo reativo, a intensidade de campo
reativo torna-se desprezível em relação à intensidade de campo irradiado. O campo
distante ou região de irradiação, também chamada região de Fraunhofer, começa
em
e estende-se para fora indefinidamente no espaço livre. Nessa região a
distribuição de campo angular do campo da antena não é dependente da distância
da antena.
2.7.7. Densidade de Potência
Os campos irradiantes da antena transportam energia que pode ser capturada
por antenas receptoras distantes. Essa energia é utilizada em sistemas de
comunicações. Assumem-se os campos elétricos e magnético fasoriais
propagantes, gerados por uma antena isotrópica (fonte pontual), determinados em
coordenadas esféricas, como:
Os componentes de campos elétrico e magnético distantes no sistema de
coordenadas esféricas se relacionam como a seguir.
Em que (120π Ω) é a impedância intrínseca do vácuo.
Ao supor o meio intrínseco sem perda, as variações temporais dos campos
elétrico ( ) e magnético ( ) instantâneos podem ser obtidas a partir das
equações a baixo. Assim,
( )
( )
( ) (2.2)
( )
( )
( ) (2.3)
34
Os componentes dos campos elétricos em (2.2) e magnético em (2.3) se
propagam na direção e são polarizados nas direções e , respectivamente.
Esses campos distantes são mutuamente perpendiculares e são tangentes à esfera
cujo raio é . A FIGURA 2. 19 ilustra os campos vetoriais em coordenadas esféricas.
FIGURA 2. 19-Campos Vetoriais em Coordenadas Esféricas.
FONTE: CAMARGO, 2008.
2.7.8. Vetor de Poynting
O vetor de Poynting é o produto vetorial das intensidades de campos elétrico e
magnético e é definido como:
(2.4)
O vetor de Poynting é uma medida da densidade do fluxo de potência ( )
instantânea em cada ponto sobre a superfície em volta da fonte, como ilustrado na
FIGURA 2. 20. Substituindo (2.2) e (2.3) em (2.4), obtém-se:
( )
[ ( )] (2.5)
35
FIGURA 2. 20-Densidade do Fluxo de Potência em uma Superfície Esférica de Raio r.
FONTE: CAMARGO, 2008.
O primeiro termo de (2.5) representa a densidade do fluxo de potência média
temporal longe da antena, enquanto o segundo termo representa um fluxo e refluxo
instantâneo. Tomando a média temporal de (2.5), a densidade do fluxo de potência
média pode ser definida. Assim,
( )
∫
( )
(2.6)
O cálculo da densidade de potência média temporal é equivalente a executar um
cálculo no espaço fasorial:
| ( )|
(
)
| | ( )
A equação (2.7) representa o fluxo da densidade de potência média da antena
isotrópica e assim não é uma função de θ ou Ø. Para antenas práticas, a densidade
de potência é sempre uma função de r e pelo menos de uma coordenada angular.
A potência total irradiada por uma antena é obtida pela integral de superfície
fechada da densidade de potência ao longo de uma região esférica tomada em volta
da antena. Isto é equivalente a aplicar o teorema da divergência para a densidade
de potência. A potência total é então dada por:
36
∮∮ ∫ ∫ ( )
∮∮ ∫ ∫ ( ) ( )
Em que é o elemento de ângulo sólido ou o ângulo sólido
diferencial.
No caso isotrópico, no qual a densidade de potência não varia com θ ou Ø, (2.8)
é simplificada. Portanto,
∫ ∫ ( ) ( )
Ou
( )
Assim, para antenas isotrópicas, a densidade de potência é encontrada
distribuindo uniformemente a potência total irradiada ao longo da superfície de uma
esfera de raio Dessa forma, a densidade diminui inversamente com . Também é
interessante observar que a densidade de potência é função apenas da potência
real ( ) entregue aos terminais da antena. A potência reativa não contribui para os
campos irradiados na região de campo distante.
2.7.9. Intensidade de Irradiação
A intensidade de irradiação em uma determinada direção é definida como a
potência irradiada a partir de uma antena por unidade de ângulo sólido. A
intensidade de irradiação é um parâmetro de campo distante, e ela pode ser obtida
simplesmente multiplicando a densidade de potência pelo quadrado da distância. Na
forma matemática é expressada como:
( ) | ( )| ( )
( )
A equação (2.11) pode alternativamente ser ainda expressa por:
37
( )
| ( )|
( )
| ( )| ( )
Essa definição também simplifica o cálculo da potência total irradiada pela
antena. A equação (2.8) pode ser repetida substituindo a intensidade de irradiação:
∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
( )
Para uma antena isotrópica, U(θ, Ø) será independente dos ângulos θ e Ø,
como foi o caso para . Assim, (2.13) pode ser escrita como:
∫ ∫
∫ ∫
( )
Ou a intensidade de irradiação de uma antena isotrópica como:
( )
FIGURA 2. 21-Exemplo de Diagrama Tridimensional da Antena.
FONTE: ALVES, 2008.
38
A intensidade de irradiação, em geral, indica o diagrama de radiação da antena
em três dimensões. Todas as antenas anisotrópicas têm uma intensidade de
irradiação não uniforme e, portanto, um diagrama de irradiação não uniforme. A
figura acima ilustra um exemplo de um diagrama tridimensional em coordenadas
retangulares. Esse diagrama da antena ou forma de feixe é uma indicação das
direções nas quais o sinal é irradiado. No caso da FIGURA 2. 21, a irradiação
máxima está na direção ou ao longo do eixo
2.7.10. Diagrama de Radiação da Antena
Um diagrama de radiação da antena ou diagrama da antena é definido como
uma função matemática ou uma representação gráfica das propriedades de radiação
da antena como uma função das coordenadas espaciais. Na maioria dos casos, o
diagrama de radiação é determinado na região de campo distante e é representado
como uma função das coordenadas direcionais. As propriedades de radiação
incluem a densidade do fluxo de potência, a intensidade de irradiação, a intensidade
do campo, a diretividade e a fase ou polarização. A propriedade de radiação de
maior interesse é a distribuição espacial bidimensional ou tridimensional da energia
irradiada como uma função da posição observada ao longo de um percurso ou
superfície de raio constante.
A FIGURA 2. 22 (a) e (b) ilustra o diagrama de radiação do campo elétrico (ou
magnético) bidimensional em coordenadas retangulares e em coordenadas polares.
O lóbulo principal e os lóbulos secundários do diagrama são indicados. O lóbulo
principal do diagrama indica a máxima irradiação na direção desejada.
A FIGURA 2. 22 pode ser vista como representação bidimensional de um
diagrama de radiação tridimensional. A FIGURA 2. 23 ilustra o mesmo diagrama de
radiação em três dimensões. A representação tridimensional é útil para fins
ilustrativos, mas frequentemente projetos de antenas apresentam representações
bidimensionais nos planos principais, azimutal ou elevação, dos diagramas
tridimensionais.
39
FIGURA 2. 22-(a) Representação do Diagrama de Radiação do Campo Elétrico (ou Magnético) em
Coordenadas Retangulares. (b) Representação do Diagrama de Radiação do Campo Elétrico (ou
Magnético) em Coordenadas Polares.
FONTE: ALVES, 2008.
FIGURA 2. 23-Representação do Diagrama de Radiação do Campo Elétrico (ou Magnético)
Tridimensional.
FONTE: ALVES, 2008.
40
FIGURA 2. 24-Representação da Largura de Feixe de Meia Potência (LFMP).
FONTE: ALVES, 2008.
2.7.11. Largura de Feixe
A largura de feixe é medida a partir dos pontos de queda de 3 dB do lóbulo
principal do diagrama de radiação. A FIGURA 2. 24 ilustra um corte bidimensional da
FIGURA 2. 23. A largura de feixe é o ângulo entre os pontos de 3 dB. No caso de
um diagrama da potência, os pontos de 3 dB são também os pontos de meia
potência.
2.7.12. Diretividade
A diretividade de uma antena é definida como a razão da intensidade de
irradiação em uma dada direção a partir da antena pela intensidade de irradiação
média sobre todas as direções. A intensidade de irradiação média é igual a potência
irradiada total pela antena dividida por 4π. Se a direção não é especificada, a
direção da intensidade de irradiação máxima é introduzida. Por outro lado, de
forma mais simples, a diretividade de uma antena anisotrópica é igual à razão de
sua intensidade de irradiação em uma dada direção sobre aquela de uma antena
isotrópica. Na forma matemática, usando (2.15), a diretividade é dada por:
( ) ( )
( )
( )
41
A diretividade pode ser mais explicitamente expressa substituindo (2.13) em
(2.16), que resulta em
( ) ( )
∫ ∫ ( )
( )
A diretividade máxima, representada por , é o máximo de (2.17), resultando
em:
( )
∫ ∫ ( )
( )
2.7.13. Ângulo Sólido do Feixe
O ângulo sólido do feixe ( ) é aquele ângulo sólido pelo qual toda potência da
antena propagaria se sua intensidade de irradiação fosse constante (e igual ao valor
máximo de U) para todos os ângulos dentro de ( ). O ângulo sólido do feixe pode
ser obtido expressando (2.18) como:
∫ ∫ ( )
( )
Em que
∫ ∫ ( )
( )
É o ângulo sólido do feixe.
O ângulo sólido do feixe é dado em esferorradianos (sr), em que 1
esferorradiano é definido como ângulo sólido de uma esfera subtendendo uma área
da superfície da esfera igual a . Assim há 4π esferorradianos em uma esfera.
2.7.14. Ganho
A diretividade de uma antena é uma indicação do grau de direcionamento do
feixe de uma antena e, ela informa sobre a capacidade de uma antena em orientar
energia em direções pré-determinadas. A diretividade assume que não há perdas na
antena, como perdas de condução, perdas dielétricas ou perdas causadas por
descasamento na linha de transmissão. O ganho da antena é uma modificação da
42
diretividade a fim de incluir os efeitos de perdas da antena. O ganho reflete melhor o
desempenho da antena real. O ganho de uma antena é dado por:
( ) ( )
( ) ( )
Em que é a eficiência total da antena, incluindo os efeitos de perdas e
descasamento. O diagrama produzido pelo ganho é idêntico ao diagrama produzido
pela diretividade exceto pelo fator de escala de eficiência
2.7.15. Abertura Efetiva
Uma antena pode transmitir e receber energia em várias direções pré-
determinadas. Esse princípio é chamado reciprocidade. A FIGURA 2. 25 ilustra
antenas transmitindo e recebendo. A antena que transmite está transmitindo com
potência e irradia uma densidade de potência
Uma antena receptora intercepta uma parte da densidade de potência
incidente fornecendo potência à carga. A antena receptora pode ser vista como
uma abertura efetiva de área que captura uma parte da densidade de potência
disponível. Assim, usando (2.16) e (2.21), pode-se escrever:
FIGURA 2. 25-Antenas Transmitindo e Recebendo.
FONTE: ALVES, 2008.
A potência recebendo como:
( )
( )
Em que são as coordenadas esféricas locais da antena.
43
Se as antenas na Figura acima são revestidas, tal que a antena receptora
transmite e a antena transmissora recebe, resulta:
( )
( )
Em que são as coordenadas esféricas locais da antena 2.
A demonstração está fora do âmbito deste texto, mas ela pode ser mostrada a
partir de (2.20) e (2.21) que a abertura efetiva está relacionada à diretividade de uma
antena por:
( )
( )
( ) ( )
2.7.16. Potencial Magnético Vetorial e o Campo Distante
Todas as antenas irradiam campos elétricos e magnéticos em virtude de cargas
elétricas aceleradas na antena. Essas cargas formam uma corrente AC (alternate
currente). O cálculo dos campos distantes irradiados diretamente das correntes da
antena é relativamente complexo. Um procedimento mais simples é calcular o
potencial magnético vetorial e desse se obter os campos distantes irradiados.
A relação pontual ou diferencial obtida da lei de Gauss estabelece que
[ ]. No entanto, como o divergente do rotacional de qualquer vetor é sempre
identicamente igual a zero. O campo magnético ( ) pode ser definido em termos do
potencial magnético vetorial ( ), como:
( )
Mas , então:
( )
Em que é a permeabilidade magnética do vácuo.
O campo elétrico, em uma região livre de fonte, pode ser deduzido a partir do
campo magnético:
44
FIGURA 2. 26-Fonte de Corrente Arbitrária Gerando o Potencial Magnético Vetorial no Campo
Distante.
FONTE: ALVES, 2008.
( )
Então, se é conhecido o potencial magnético vetorial, podem ser
subsequentemente calculados os campos .
A FIGURA 2. 26 ilustra uma fonte de corrente arbitrária gerando um potencial
vetor O potencial vetor é relacionado à fonte de corrente por:
∫
( )
( )
Em que
( ) ( ) (
) ( ) , é a fonte de corrente em três dimensões;
, é vetor posição em coordenadas da fonte de corrente;
é vetor posição em coordenadas de campo;
( ) ( ) ( ) é o vetor distância a partir de
qualquer ponto da fonte de corrente ao ponto de observação, | |
45
√
, é o número de onda no vácuo;
, é a permeabilidade magnética do vácuo, ( );
é a permissividade elétrica do vácuo,( );
é a frequência angular, ( )/
é a frequência da onda; Hz
é o comprimento de onda; m
é comprimento diferencial da fonte de corrente.
FIGURA 2. 27- A geometria de um dipolo infinitesimal simetricamente colocado sobre o plano xy.
FONTE: ALVES, 2008.
2.8. Antenas Lineares
Entende-se por antena linear aquela que possui a dimensão longitudinal muito
maior que a dimensão transversal, sendo esta pequena em relação λ/4. Sob o ponto
de vista geométrico, tais antenas podem apresentar as seguintes formas: cilíndricas,
cônicas, esferoidais ou outras, desde que sejam satisfeitas as condições anteriores.
46
2.8.1. Dipolo de Meia Onda
O procedimento necessário para se desenvolver uma antena de comprimento
infinito ou finito são praticamente idênticos, sendo que um dipolo finito pode ser visto
como a concatenação de numerosos dipolos infinitesimais, usando o princípio da
superposição para encontrar os campos. Para reduzir a complexidade matemática
será desconsiderado o diâmetro da antena. Provendo uma boa aproximação de uma
antena dipolo finito. Um tipo de antena comumente utilizado são as antenas dipolo
de meia onda ( ). Porque sua resistência de radiação é igual a 73 ohms(Ω),
bem próximo da impedância característica de linhas de transmissão (50 ohms(Ω) ou
75 ohms(Ω)), simplificando o seu casamento com elas.
Os componentes do campo eletromagnético da antena dipolo de meia onda
podem ser obtidos por:
[ (
)
] ( )
[ (
)
] ( )
A densidade de potência média e a intensidade de radiação podem ser escritos,
respectivamente, como:
| |
[ (
)
]
| |
( )
| |
[ (
)
]
| |
( )
Onde o gráfico gerado utilizando ambas as equações (2.32 e 2.33) é
demostrado na FIGURA 2. 28 e na FIGURA 2. 29, em 2D e 3D, consecutivamente.
Vale ressaltar que no gráfico 3D foi retirado um setor de ângulo de 90º para ilustrar
com mais detalhe a formação do gráfico.
47
FIGURA 2. 28-Gráfico 2D do Campo Eletromagnético de uma Antena Dipolo de Meia Onda com o
Comprimento l Variando em l=λ/50, l=λ/4, l=λ/2, l=3λ/4 e l=λ.
FONTE: BALANIS, 2005.
48
FIGURA 2. 29-Gráfico 3D do Campo Eletromagnético de uma Antena Dipolo de Meia Onda.
FONTE: BALANIS, 2005.
A potência total radiada pode ser obtida por:
| |
∫
( )
( )
Que pode ser reduzido em:
| |
∫ (
)
| |
( )
( )
Sendo ( ) é igual a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Utilizando as equações (3.34), (3.35) e (3.36) a diretividade máxima de uma
antena dipolo de meia onda se reduz a:
( )
( )
A área correspondente onde a efetividade é máxima é igual a:
49
( ) ( )
E a resistência de radiação para o espaço livre (η≈120π), é dado por:
| |
( ) ( ) ( )
A resistência de radiação para o espaço livre (3.39) pode ser utilizado para se
calcular a resistência de radiação na entrada dos terminais (resistência de entrada),
já que a corrente máxima para o dipolo de meia onda se encontra na entrada dos
terminais (FIGURA 2. 30). A parte imaginária da impedância de entrada de um
dipolo é equivalente ao comprimento dos braços da antena (para l=λ/2, temos j42.5).
Portanto, a impedância de entrada é igual a:
( )
Para se reduzir a parte imaginária da impedância de entrada para zero, a antena
deve estar casada ou reduzir seu comprimento ate que a reatância desapareça.
Sendo o ultimo mais comumente utilizado por sua praticidade.
Dependendo do raio da antena, o comprimento do dipolo para a primeira
ressonância equivale a l=0.47λ para 0.48λ, portanto quanto mais fino o diâmetro da
antena maior será a parte removida da antena dipolo para se obter ressonância.
50
FIGURA 2. 30-Distribuição da Corrente ao Longo da Antena.
FONTE: BALANIS, 2005.
2.8.2. Método dos Momentos
Foi comentado anteriormente sobre como calcular a reatância da impedância de
entrada de uma antena dipolo de meia onda, nessa seção iremos utilizar o método
dos momentos para calcular com maior precisão a parte imaginaria da impedância
de entrada. Existem duas formas de se resolver a equação da distribuição de
correntes ao longo da antena, pode-se utilizar o método de Pocklington ou de
Hallén. O programa do matlab utilizado nesse trabalho utiliza ambos.
2.8.3. Equações integrais
Existem muitas formas de equações integrais, como as equações integrais de
campo elétrico e as equações integrais de campo magnético. As equações integrais
51
de campo elétrico impõem condições de contorno do campo elétrico tangencial e
são válidas tanto para superfícies fechadas quanto para superfícies abertas,
enquanto que as equações integrais de campo magnético impõem condições de
contorno nas componentes tangenciais de campo magnético e são válidas para
superfícies fechadas. Essas equações podem ser usadas para problemas de
radiação e/ou espalhamento. As equações integrais de campo elétrico mais
conhecido para problemas de radiação, principalmente em antenas, são: a equação
integral de Hallén e a equação integral de Pocklington, que podem ser usadas para
encontrar a distribuição nos elementos condutores. A equação integrodiferencial de
Pocklington, no entanto, é mais geral e é adaptável a vários tipos de fontes de
alimentação.
Na modelagem de antenas filamentares, é comum assumir a distribuição de
corrente como uniforme ou senoidal. Porém, esta é uma abordagem imprecisa na
maioria das aplicações práticas (elementos de diâmetros geralmente maiores que
0,05λ a distribuição de corrente senoidal é representativa, mas não precisa), pois
não se leva em consideração os efeitos das múltiplas interferências entre os
elementos, restringindo os tipos de estruturas passíveis de investigações. Para
achar uma distribuição de corrente mais precisa em um elemento cilíndrico, uma
equação integral é derivada normalmente e resolvida. Pode-se fazer uso de métodos
iterativos para a resolução da equação integral, porém é conhecida na literatura a
conveniência do Método dos Momentos.
Como o Método dos Momentos se baseia na solução numérica de equações
integrais, o mesmo será uma ferramenta fundamental para se trabalhar
corretamente com configurações arbitrárias que exigem soluções numéricas, a
exemplo das antenas.
2.8.4. Equação Integral de Pocklington
A “equação integrodiferencial de Pocklington” é uma equação de integração
tridimensional clássica, e pode ser usada para determinar a distribuição de corrente
em um condutor. Será utilizada a Equação Integral de Pocklington por ser bem geral
e adaptável a muitos tipos de fontes de alimentação, através da alteração de sua
função de excitação ou matriz de excitação, e também a um pulso magnético muito
fino. Esta equação de Pocklington requer a invensãro de uma matriz de ordem N.
52
Uma vez conhecida a voltagem nos terminais de alimentação de uma antena
filamentar e achados a impedância de entrada e o padrão de radiação, pode-se
obter a distribuição de corrente a partir da derivação da equação integral.
Similarmente, se uma onda atinge a superfície de um elemento condutor, ela induz
uma densidade de corrente a qual determina o campo espalhado.
A derivação da equação integral de Pocklington é geral, mas pode-se usar
qualquer derivação quando o elemento for um espalhador ou uma antena. Para
tanto, veremos os Vetores Potenciais de uma Fonte Elétrica.
2.8.5. Vetor Potencial de uma Corrente Elétrica J
Normalmente é mais simples determinar os campos radiados pelas fontes se
utilizarmos vetores potenciais (FIGURA 2. 31).
A é o Vetor Potencial magnético
F é o Vetor Potencial Elétrico
FIGURA 2. 31-Campos Radiados Usando Vetores Potenciais.
FONTE: CHAGAS, 2011.
Das Equações de Maxwell, temos que . O fluxo magnético B é sempre
senoidal, logo pode ser representado como o rotacional de outro vetor. Fazendo uso
da identidade vetorial, válida para qualquer vetor, , onde A é arbitrário.
Assim, podemos definir o vetor potencial magnético pela relação:
( )
Daí, temos:
53
( )
Substituindo (3.41) na Equação de Maxwell
( )
Obtemos a seguinte equação:
( )
Pois,
Da equação (3.44), temos que e, portanto, podemos
escrever:
[ ] ( )
Da identidade vetorial (onde é um potencial elétrico arbitrário)
( ) ( )
Temos
( )
Ou simplesmente:
( )
Fazendo a aplicação do operador rotacional em ambos os lados de (2.41) e
fazendo uso da identidade vetorial ( ) , teremos:
( ) ( ) ( )
Esta equação (2.49) para o meio homogêneo é reduzida a:
( ) ( )
Comparando (2.50) com a equação de Campo Elétrico de Maxwell
, temos:
( ) ( )
54
Substituindo (2.48) em (2.51), teremos:
( ) ( ) ( )
( )
Onde
Definindo a divergência de A pela condição de Lorentz, temos:
( )
De (2.52) e (2.53) obtemos finalmente:
( )
A equação (2.54) é uma equação não homogênea conhecida por Equação de
Helmholtz e que permite calcular o vetor potencial A partir do conhecimento da
densidade da corrente J da fonte. Então, é possível supor que uma onda incidente
venha atingir a superfície de um condutor, determinada Campo Elétrico Incidente (Eî
(r)), vide FIGURA 2. 32:
55
FIGURA 2. 32-Plano Uniforme da Onda Incidente em um Fio Condutor.
FONTE: CHAGAS, 2011.
O ( ) produzido por uma antena é alimentado através de uma fenda, ver figura
a baixo. Parte do ( ) encontrado induz em sua superfície uma densidade de
corrente linear ( ( )).
A densidade de corrente induzida irradia e produz um campo elétrico ( ),
chamado Campo Elétrico Espalhado. O Campo Elétrico Total ( ( )) é a soma do
Campo Incidente com o Campo Elétrico Espalhado, em qualquer ponto do espaço,
como mostrado na equação a baixo (2.55)
( ) ( ) ( ) ( )
O campo elétrico radiado pelo dipolo tem uma componente radial e uma
componente tangencial em coordenadas cilíndricas.
Na equação (2.55), quando , ou seja, o ponto observado é deslocado para
a superfície do condutor, e se este condutor for perfeito, a componente tangencial do
campo elétrico total se anula.
56
( )
( ) ( ) ( )
Ou seja,
( )
( ) ( )
FIGURA 2. 33-Dipolo Cilíndrico e sua Segmentação.
FONTE: CHAGAS, 2011.
O campo elétrico espalhado gerado pela densidade de corrente induzida pode
ser determinado por:
( )
( )
[ ( )] ( )
57
Que é a equação (3.48) reescrita em termos do vetor potencial magnético A, que
uma vez conhecido pode ser usado para encontrar o campo elétrico espalhado na
equação (2.58).
Para as observações na superfície de um condutor é necessária somente a
componente z do campo elétrico espalhado. Desta forma, reescrevemos como
na equação (2.59).
( )
(
) ( )
Desprezando os efeitos das extremidades, obtemos:
∫∫
∫ ∫
( )
Em um condutor muito fino a densidade de corrente não é uma função do
ângulo azimutal Logo podemos escrever como:
( )
(
) ( )
Onde ( ) é uma linha de corrente localizada na distância radial do eixo
de z, ver FIGURA 2. 34.
58
FIGURA 2. 34-Segmentação e Corrente Equivalente do Dipolo.
FONTE: CHAGAS, 2011.
Desta forma, (2.60) reduz-se a:
∫ [
∫
( )
]
( )
√( ) ( ) ( )
√ ( ) ( )
Onde é a distância radial ao ponto observado e a é o raio.
Em decorrência da simetria do espalhador, as observações não são função de
Escolheremos por simplicidade. As observações na superfície do
espalhador reduzem (2.62) a (2.63) e R a (2.65):
( ) ∫ ( ) [
∫
]
59
∫ ( ) [
∫
] ( )
Onde
( )
∫
( )
E
( ) √ (
) ( ) ( )
A componente z do Campo elétrico Espalhado em observações na superfície do
espalhador ( ) é tomada como:
( )
(
)∫
( ) ( ) ( )
Esta, utilizando (2.57) fica reduzida a (2.67).
(
)∫ (
) ( )
( ) ( )
Ou
(
)∫ (
) ( )
( ) ( )
Alternando integração com a diferenciação, podemos reescrever (2.68) como:
∫ ( ) [(
) ( )]
( ) ( )
A equação (2.69) é chamada Equação Integral de Pocklington. Esta equação
pode ser usada para determinar a corrente equivalente da fonte filamentar do
condutor e a do condutor, sabendo o na superfície do condutor. Se
assumirmos que o condutor é muito fino (a<<λ) tal que (2.64) reduz-se a equação
(2.70):
60
( ) ( )
( )
A equação (2.69) pode ser expressa de forma mais conveniente como:
∫ (
)
[( )( ) ( ) ]
( ) ( )
Onde para observações ao longo do centro do condutor e
√ ( ) ( )
FIGURA 2. 35- Corrente Equivalente ou Linha de Corrente na Superfície de um Condutor.
FONTE: CHAGAS, 2011.
( ) representa a corrente equivalente da linha de corrente localizada na
superfície do condutor, ver figura a cima . Esta corrente equivalente é obtida
conhecendo o Campo Elétrico Incidente em z na superfície do condutor. Nas
61
técnicas de casamento resolve-se casando as condições de fronteiras em pontos
discretos na superfície do condutor.
No interior do condutor, é geralmente mais fácil escolher os pontos casados,
principalmente ao longo do eixo, onde ( ) é localizado na superfície do condutor.
Na FIGURA 2. 34 (a) é análoga a (b) onde se assume que a corrente equivalente da
fonte filamentar está localizada ao longo do eixo central do condutor e os pontos
casados são selecionados na superfície do condutor. A corrente equivalente ( )
pode ser determinada a partir de qualquer uma das configurações (a) ou (b) na
FIGURA 2. 34.
2.8.6. Modelagem da Fonte
Supondo que o elemento da FIGURA 2. 35 seja simetricamente alimentado por
uma fonte de tensão, como mostrado FIGURA 2. 36. Para usar, por exemplo, a
equação integrodiferencial de Pocklington (2.69) ou (2.71), precisa-se saber como
expressar ( ). Tradicionalmente existem dois métodos usados para modelar
a excitação e representar ( ) em todos os
pontos da superfície do dipolo: a fonte “delta gap” (delta-lacuna) e o modelo gerador.
2.8.7. Delta Gap
A modelagem fonte de abertura-delta é a mais simples e a mais amplamente
utilizada, porém também é a menos precisa, especialmente para impedâncias.
Geralmente é mais precisa para aberturas de larguras menores. Usando a abertura-
delta, presume-se que a tensão de excitação nos terminais de alimentação é de um
valor V constante e zero em outro lugar. Portanto, o campo incidente elétrico E
também é uma constante ( onde é a largura da fenda) sobre a abertura de
alimentação e zero em outro lugar, daí o nome abertura-delta.
Para o modelo abertura-delta, a abertura alimentar da FIGURA 2. 36 (a) é
substituída por uma faixa estreita de tiras de densidade magnética equivalente atual
de:
( )
A densidade da corrente magnética é esquematizada na FIGURA 2. 36:
62
FIGURA 2. 36-Modelagem da Fonte.
FONTE: CHAGAS, 2011.
2.8.8. Modelo de Componente Geradora
O modelo gerador foi introduzido para calcular o campo próximo e os campos
longe da zona das aberturas coaxiais. Neste modelo, a diferença de alimentação é
substituída por uma densidade de corrente magnética circunferencialmente dirigida,
onde existe mais de uma abertura anular com raio interno (a) e externo (b), como
apresentado na FIGURA 2. 34 (b).
O dipolo é normalmente alimentado por linhas de transmissão, o raio externo (b)
de abertura equivalente da componente geradora anular é encontrado usando a
expressão para a impedância característica da linha de transmissão. Durante a
abertura do anel a componente geradora, o campo elétrico é representado pela
distribuição do campo. O modo de uma linha de transmissão coaxial é dado por:
63
( )
( )
Portanto, a densidade de corrente magnética (Mf) correspondente a componente
geradora usada para representar a abertura é:
( )
( )
O campo gerado pela componente geradora (2.75) sobre a superfície do
elemento é encontrado utilizando:
(
)
( ( )
( )
[
(
)]
[(
(
( )
))(
)
(
)]) ( )
Onde:
√ ( )
O campo gerado sobre a superfície do elemento computado (2.76) pode ser
aproximado por aqueles encontrados ao longo do eixo (ρ = 0), logo, tem-se a
expressão:
(
)
( )
[
] ( )
Onde:
√ ( )
64
√ ( )
2.9. Método dos Momentos
O método dos momentos é uma técnica de resolução de equações integrais
complexas por resolução destas a um sistema de equações lineares simples. Nas
antenas cada elemento é dividido em N segmento muito pequenos em relação ao
comprimento de onda (λ). Calcula-se a corrente para cada segmento e os campos
parciais são sobrepostos na condição de campos distantes.
As equações (2.69) e (2.71) possuem a forma
( ) ( )
Onde F é um operador linear conhecido, h é uma função de excitação conhecida
e g é a função resposta. F é chamado de operador integrodiferencial em (2.69) e o
operador integrante em (2.71). Sendo F e h especificados, tem-se por objetivo
identificar g, que é denominado “problema de inversão”.
Desta forma, pode-se encontrar g pela técnica do Método dos Momentos (MoM),
que consiste em expandir g como combinação linear de N termos como mostra a
equação (2.82):
( ) ( ) (
) ( ) ∑ ( )
( )
Onde an (n=1,2,3,...,N) são constantes desconhecidas e gn(z’) são funções
conhecidas denominadas funções base, onde o domínio dessas funções é o mesmo
de g(z’).
Ao substituir g em (2.81) pela expressão (2.82) tem-se:
( ( )) ∑ ( )
( )
As funções base devem ser escolhidas de tal forma que cada F(gn) seja
numericamente obtida, necessitando encontrar somente as constantes (an).
Expandindo (2.82) tem-se uma equação com N termos desconhecidos que são
65
obtidos calculando (2.82) em N pontos distintos, formando assim um sistema de N
equações lineares:
∑ ( )
( )
Sua forma matricial é:
[ ] [ ] ( )
onde
( )
Para determinar os coeficiente an utiliza-seo método da Eliminação de Gauss,
com n = 1,2,...,N.
2.9.1. Funções Base
Para qualquer solução numérica é necessário escolher as funções bases que
são, em geral, um conjunto de funções que conseguem representar com precisão a
função desconhecida, que é a solução do problema, levando-se em consideração
um esforço computacional mínimo possível.
Teoricamente existe uma infinidade de conjuntos de funções base que podem
ser escolhidos, porém na prática só utiliza-se um número limitado de funções e
podem ser divididas em duas classes: funções definidas em subdomínios e funções
definidas em todo domínio da função desconhecida.
2.9.1.1. Funções Definidas em Cada Subdomínio
Das classes de funções apresentadas para constituírem as funções de base, as
funções definidas em cada subdomínio são as mais utilizadas, pois ao contrário das
funções de todo-o-domínio, estas não implicam o conhecimento antecipado da
natureza da função a determinar.
66
Aproximação em subdomínio envolve N subdivisões da estrutura em estudo.
Essas subdivisões são segmentos colineares e de comprimentos iguais, embora
esta não seja uma condição necessária.
2.9.1.2. Funções Definidas em Todo o Domínio
Funções definidas em todo o domínio, como o próprio nome indica, são funções
definidas e diferentes de zero em todo o domínio de sua estrutura, o que quer dizer
que, em sua aplicação, nenhum tipo de segmentação será realizado.
Estas funções são pouco utilizadas, pois ao contrário das funções de
subdomínio, implicam o conhecimento antecipado da natureza da função a
determinar.
2.9.2. Funções de Teste
Para melhorar a solução de ponto de correspondência de (2.84) e (2.85) um
produto interno <w,g> pode ser definido, onde o mesmo é uma operação escalar
satisfazendo as propriedades:
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ (2.86)
⟨ ⟩
Onde e β são escalares e g* representa o complexo conjugado de g. Um
típico, mas não único, produto interno é:
⟨ ⟩ ∬
( )
Onde w é a função peso e S a superfície analisada. Esta técnica é conhecida
como Método dos Momentos (MOM).
Logo, é definido um conjunto de N funções peso wm = w1,w2,...,wn no domínio
de F. Fazendo o produto interno entre cada uma das funções, (2.81) resulta em
67
∑ ⟨ ( )⟩ ( )
A forma matricial deste grupo de N equações é:
[ ][ ] [ ] ( )
Onde
[ ] [⟨ ( )⟩ ⟨ ( )⟩ ⟨ ( )⟩ ⟨ ( )⟩
] ( )
[ ] [
] e [ ] [
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
] ( )
A escolha dos elementos wn é muito importante, pois esses elementos devem
ser linearmente independentes, de forma que as N equações também o sejam.
Geralmente escolhem-se as funções de teste de forma a simplificar o programa
computacional, tendo sempre em conta a independência linear. Por isso, essas
funções base são usadas tanto como funções peso quanto de expansão. Uma
escolha particular para as funções peso e as funções base é que elas sejam as
mesmas, ou seja, wn = gn. Esta técnica é conhecida como método de Galerking.
Notemos que há N2 termos a serem avaliados na equação (2.90). Cada termo
requer normalmente duas ou mais integrações, pelo menos uma para cada F (gn)
avaliada e outra para executar o produto interno de (2.87). Como essas integrações
frequentemente são feitas numericamente, o tempo computacional pode ser muito
alto. Há, entretanto, um conjunto exclusivo de funções peso que reduzem o número
de integrações necessárias. Este é o conjunto de funções de ponderação delta de
Dirac:
[ ] [ ( )] [ ( ) ( ) ] ( )
68
Onde p especifica uma posição em relação a algumas referências (origem) e pm
representa um ponto em que a condição de contorno é imposta. Usando (2.87) e
(2.92) reduz-se (2.88) para:
⟨ ( ) ⟩ ∑
⟨ ( ) ( )⟩ ( )
∬ ( ) ∑ ∬ ( ) ( )
( )
| ∑
( )| ( )
Essa simplificação pode levar a soluções que seriam impraticáveis se as funções
de ponderação forem outras. Fisicamente, o uso de funções de ponderação delta
Dirac é visto como o relaxamento das condições de contorno para que elas sejam
aplicadas apenas em pontos discretos na superfície da estrutura, daí o nome ponto
de correspondência.
69
CAPÍTULO 3 - SIMULAÇÃO
3.1. Considerações Iniciais
Neste trabalho utiliza-se o COMSOL, que é um programa comercial
(www.comsol.com) que utiliza o método dos elementos finitos para resolver
problemas físicos que possam ser descritos por equações com derivadas parciais.
Para especificar um problema típico no COMSOL deve-se definir a geometria, as
condições de fronteira e propriedades dos meios, criar uma malha e resolver
sistemas de equações resultantes.
3.2. Definição do Modelo
O modelo dessa antena consiste em dois cilindros representando os “braços” do
dipolo. Para que o comprimento de onda no espaço livre ( ) da antena seja 2m,
seus braços terão que ter 1 m de comprimento (alinhado com o eixo z). O raio dos
“braços” (arm_length) da antena será de 0.05 m. O espaço entre os braços (gap)
será de 0.01 m. A estrutura da fonte não será explicitamente modelada, pois será
assumido que a tensão será aplicada de maneira uniforme em volta do espaço entre
os “braços” da antena. Esta fonte induz campos eletromagnéticos e corrente de
superfície nas faces condutivas adjacentes.
A superfície dos “braços” (arm_length) do dipolo foi modelada utilizando as
Condições de Limite da Impedância, utilizada quando a superfície condutora for bem
maior que a profundidade do objeto. Essas condições promovem uma condutividade
finita para a superfície, assim como perdas pela resistência.
A área em volta da antena é composta por uma esfera de ar com 2 metros de
raio, que é aproximadamente o limite entre os campos próximos e distantes. Esta
esfera de ar foi truncada com uma camada PML (Perfectly Matched Layer) que
absorve radiação. O modelo campo distante é calculado no limite entre o domínio do
ar e do PML.
A malha foi ajustada manualmente de tal maneira que tenha 5 unidades por
comprimento de onda no espaço livre e que os cantos da antena formem uma malha
bem fina. O PML é composto por 5 unidades na direção radial (FIGURA 3. 1).
70
FIGURA 3. 1-Modelo da Antena. FONTE: COMSOL.
3.2.3. Passo-a-Passo
Após iniciar o programa COMSOL, deve-se definir que tipo de sistema será
simulado, já que este trabalho tem como foco o estudo do comportamento das
antenas dipolo de meia onda, será escolhido Radio Frequency>Electromagnetic
Waves, Frequency Domain (emw). Após selecionar o sistema, deve-se selecionar
o tipo de estudo a ser realizado, o método mais adequado é o Preset
Studies>Frequency Domain (FIGURA 3. 2).
FIGURA 3. 2-Primeiros Passos. FONTE: O Autor.
71
Depois de definir qual a finalidade da simulação, devem-se definir os parâmetros
tornando a simulação mais fácil de ajustar. Na aba Model Builder>Parameters é
definido os parâmetros da simulação (FIGURA 3. 3):
FIGURA 3. 3-Definindo os Parâmetros. FONTE: O Autor.
TABELA 3. 1-Definição dos Parâmetros da Simulação
Nome Expressão Descrição
lambda0 2[m] Comprimento de onda
no espaço livre
Arm_length lambda0/2 Comprimento do braço
da antena
r_antena braço/20 Raio do braço da antena
gap Braço/100 Espaço entre os braços
da antena
FONTE: O Autor.
Definindo-se os parâmetros (TABELA 3. 1), falta desenhar o corpo da antena e
os domínios que engloba ela. Na janela Model Builder, dentro do Model I é
escolhido à opção Sphere, definindo o raio como 2.5*arm_length e a espessura
0.5*arm_length. Esta esfera será o domínio de ar (FIGURA 3. 4).
72
FIGURA 3. 4-Desenhando a Esfera. FONTE: O Autor.
Próximo passo é a montagem da antena em si, escolhendo Cylinder com raio
de r_atena e comprimento de 2*arm_length+gap, é selecionada a posição do sólido
cilíndrico no espaço, para ficar centralizado, altera-se a posição (Position) para –
(arm_length+gap/2). Sua espessura será determinada na aba Layers, definindo
como arm_length. As caixas Layers on bottom e Layers on top serão marcadas,
enquanto a Layers on side será desmarcada (FIGURA 3. 5).
73
FIGURA 3. 5-Desenhando o Cilindro. FONTE: O Autor.
Como foi criado um sólido com o tamanho de dois braços da antena mais o
espaço entre eles, se faz necessário dividir para se criar o corpo da antena. Na aba
Boolean Operations>Difference, é selecionado sph I e no Objects to substract é
selecionado cyl I e depois Build All (FIGURA 3. 6).
74
FIGURA 3. 6-Segmentando o Cilindro. FONTE: O Autor.
Para se tornar mais fácil a simulação, se faz necessário definir uma pre-seleção
de limites, definindo-se os objetos importantes. Na aba Model Builder>Model
I>Definitions>Selections>Explicit, na seção Input Entities selecionamos
Boundary da lista Geometric entity level e definimos 13-15, 18-20, 28, 30, 39 e 41.
Renomeie para Antena por meio da tecla f12 (FIGURA 3. 7).
FIGURA 3. 7-Definindo a Antena. FONTE: O Autor.
75
FIGURA 3. 8-Definindo o Corpo da Antena. FONTE: O Autor.
Definindo outro corpo, é aberto outro Explicit e o Domain 5 é selecionado,
definindo o domínio campo distante. Renomeia como Campo distante.
FIGURA 3. 9-Definindo o Domínio do Campo Distante. FONTE: O Autor.
76
Por último, se faz necessário definir o Far-field calculation, em
Selections>Explicit, define-se Geometric entity level como Boundary e
seleciona-se 9-12, 26, 27, 34 e 37. Renomeia como Calculo campo distante
(FIGURA 3. 9).
Próximo passo é definir uma camada perfeitamente casada, em
Definitions>Pefectly Matched Layer, os domínios 1-4 e 6-9 e o tipo (Type) é
definido como esférico (Spherical) (FIGURA 3. 10).
FIGURA 3. 10-Perfectly Matched Layer. FONTE: O Autor.
Deve-se definir qual modelo o COMSOL deve simular. Será incluído Impedance
Boundary Condition que incluirá uma impedância na antena ao invés de ser um
condutor perfeito (PEC). No Model I>Electromagnetic Waves>Frequency
Domain>Impedance Boundary Condition, Atena é selecionando na lista de
seleção (Selection) (FIGURA 3. 11).
77
FIGURA 3. 11-Impedance Boundary Condition.
FONTE: O Autor.
Próximo sistema é o circuito de parâmetros concentrados (Lumped Port), na aba
Electromagnetic Waves>Frequency Domain>Lumped Port, seleciona-se os
limites (Boundaries) 16, 17, 29 e 40 (FIGURA 3. 12).
FIGURA 3. 12- FONTE: O Autor.
78
FIGURA 3. 13-Lumped Port. FONTE:O Autor
Na aba Lumped Port, seleciona-se Port Properties e define-se o tipo de porta
(Type of port) substituindo e por respectivamente arm_length e
2*pi*r_antena. Na lista, Wave excitation at this port foi ativada selecionando On e
na tabela , é definido o sentido preferencial da antena (FIGURA 3. 14):
FIGURA 3. 14-Definindo o Sentido de a_h. FONTE: O Autor.
79
A próxima parte que será simulada é o domínio distante, onde será definido o
domínio do campo distante (Far-Field Domain), na aba Electronmagnetic
Waves>Frequency Domain>Far-Field Domain>Domain Selection, escolhe-se
Far-field domain na lista de seleção. Expande-se o Far-Field Domain I, depois o
Far-Field Calculation I na lista Boundary Selection o Far-field calculation
(FIGURA 3. 15).
FIGURA 3. 15-Definindo o Domínio Distante. FONTE: O Autor.
Próximo passo será definir os materiais para os objetos já construídos, em
Model I>Materials>Open Material Browser foi escolhe-se a opção Built-in>Air e
em seguida Add Material to Model habilitando o material ar em seguida os passos
são repetidos para o material Copper, habilitando o cobre como material na lista.
Faltando apenas definir a Antena como feita de cobre (Model
I>Materials>Copper>Geometric Entity Selection>Boundary>Antena) e a esfera
em volta da antena como ar (FIGURA 3. 16).
80
FIGURA 3. 16-Definindo os Materiais. FONTE: O Autor.
Em seguida se faz necessário transformar todos os objetos em uma malha, onde
o programa pode discretizar o objeto, tornando a simulação possível. O tamanho da
malha depende de vários fatores, entre eles a frequência na qual a simulação será
realizada. Como a frequência necessária para obter um gráfico mais detalhado é
elevada, utilizou-se uma malha extra fina. Em Model I>Mesh I>Size>Geometric
entity level>Domain na lista de seleção, seleciona-se Far-field domain. O Element
Size foi escolhido Extra fine. Em seguida, se faz necessário definir mais
profundamente como a malha deve ser formada, logo, em Mesh I>Size>Geometric
Entity Selection>Boundary seleciona-se a antena e o tamanho do objeto é limitado
em r_antena/1.5 no Element Size Parameters>Maximum elemento size. Então,
em Mesh I>Free Tetrahedral>Domain selection>Geometric entity level>Domain
seleciona-se Far-field domain. Por fim, aplica-se a malha em Model I>Mesh
I>Distribution>Buid All (FIGURA 3. 17).
81
FIGURA 3. 17-Aplicação da Malha. FONTE: O Autor.
Para iniciar a simulação, deve-se definir o tipo de estudo e a frequência na qual
será realizada. Como o espectro para este experimento é grande utiliza-se um
espectro de frequência que varia de 50MHz a 500MHz, pulando 17,5MHz. Em Study
I>Step I:Frequency Domain>Study Settings>Frequencies escreve-se
range(50[MHz],17.5[MHz],500[MHz]) e por último a simulação se inicia ao
selecionar Compute (FIGURA 3. 18).
FIGURA 3. 18-Simulação. FONTE: O Autor.
Após a simulação finalizar, devem-se obter os gráficos. Primeiro Model
Builder>Electric Field (emw)>Multislice>Multiplane Data, digita-se 0 na subseção
x-planes e z-planes na seção Range>Manual color range seleciona-se 1 como
Maximum value (FIGURA 3. 19).
82
FIGURA 3. 19-Campo Elétrico. FONTE: O Autor.
Um dos resultados interessantes de se obter nesta simulação é o gráfico polar
da tensão. Em Model Builder>Results>Polar Plot Group 2>Axis é selecionado a
opção Manual axis limits, defini-se como 0 o r minimum e como 1 o r maximum
(FIGURA 3. 20).
FIGURA 3. 20-Desenhando um Gráfico Polar. FONTE: O Autor.
O gráfico em 3D já é definido automaticamente durante a simulação (3D Plot
Group 3 (FIGURA 3. 21).
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FIGURA 3. 21-Gráfico 3D. FONTE: O Autor.
Para obter o gráfico da resistência e reatância de entrada da antena, abre-se a
aba Results>1D Plot Group. Cria-se uma nova seleção, e em seguida deve-se
selecionar 1D Plot Group>Line Graph (FIGURA 3. 22).
FIGURA 3. 22-Gráfico da Impedância. FONTE: O Autor.
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CAPÍTULO 4 – RESULTADOS OBTIDOS
4.1. Considerações Iniciais
Este trabalho tem como objetivo realizar uma comparação entre uma simulação
e a teoria da impedância de entrada. Foi utilizado o programa COMSOL, porque
tornar prática à simulação de sistemas complexos de antenas, pois analisa uma
grande gama de situações que ocorrem na prática. Tendo, também, como propósito
a criação de um tutorial passo-a-passo de como se utilizar o programa COMSOL,
tornando mais simples a realização de futuros projetos por novos alunos,
apresentando-os a essa poderosa ferramenta.
A antena simulada foi uma antena de meia onda com o comprimento de seus
braços mais o espaço entre elas próximo de λ/2 o seu raio λ/20. O material utilizado
para construir a antena foi o cobre. O meio que a antena se encontra é o ar. O
espectro que antena vai operar vai de 50 MHz a 500MHz.
A simulação do COMSOL foi realizada a partir de manuais encontrados na
página oficial do programa
4.2. Resultados
Depois de completar o passo-a-passo apresentado no capítulo 3, foi possível
obter várias informações a partir do COMSOL. Primeiro foi obtido o gráfico 3D do
diagrama de irradiação da antena dipolo (FIGURA 4. 1):
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FIGURA 4. 1-Irradiação 3D. FONTE: O Autor.
Sendo impossível construir uma antena que irradie igualmente em todas as
direções, como a hipotética antena isotrópica utilizada para se calcular o ganho das
antenas, As antenas dipolos têm um padrão bem semelhantes de irradiação, tendo
uma potência irradiada igual nas direções perpendiculares à antena e diminuindo a
medida que o ângulo do eixo diminua para zero. Este padrão ilustra o principio geral
que se o formato da antena é simétrico, seu padrão de irradiação terá a mesma
simetria. Pode-se notar que a antena dipolo de meia onda irradia em direção ao
horizonte (perpendicular à antena). Vale ressaltar que a antena foi construída
segundo o eixo z com seu centro localizado na origem de coordenadas da esfera.
Observa-se que a simulação foi bem sucedida, pois ela obedece a todos os
parâmetros básicos de um gráfico gerado na prática a partir de uma antena dipolo
de meia onda. Comparando-se o gráfico obtido com os gráficos na literatura,
comprava-se o fato de que foi possível utilizar o COMSOL simular o comportamento
previsto na teoria (FIGURA 4. 2).
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FIGURA 4. 2-Padrão de Irradiação 3D de uma Antena Dipolo de Meia Onda. FONTE: O Autor.
O próximo gráfico obtido foi cortando o gráfico 3D no plano xy, conhecido como
gráfico polar ou como plano de irradiação Azimuth. É possível perceber que o
padrão de irradiação não é direcional, ou seja, a antena irradia sua energia
igualmente em todas as direções do plano Azimuth. Logo, o plano gerado é um
círculo que possui ganho máximo em todos os ângulos (FIGURA 4. 3).
FIGURA 4. 3-Gráfico Azimuthal. FONTE: O Autor.
87
Nota-se que existem vários círculos, sendo que cada um é uma resposta para
cada frequência simulada. Tendo em mãos esse resultado, foi possível observar que
existe uma frequência ótima para o funcionamento da antena dipolo de meia onda,
frequência essa que representa o ganho máximo da antena. É possível notar
também, que em algumas frequências, principalmente as elevadas, o
comportamento do campo gerado se altera, começando a ter interferência positivas
e negativas em alguns ângulos, pois eles começam a ficar fora de fase entre si.
Extrapolando o sistema poderíamos observar uma formação arbitrária de ganhos
reforçados e áreas sem recepção de sinal da antena (FIGURA 4. 4).
FIGURA 4. 4-Resultado Teórico. FONTE: http://brashleraudio.wordpress.com/tag/antenna/
Como esse gráfico representa uma visão do plano xy, não existe diferença entre
o teórico e o simulado, porém o simulado permitiu dados extras com apenas uma
simulação, podendo proporcionar um estudo mais rápido do comportamento das
antenas.
Além do corte no xy, é possível obter gráficos nos plans xz e yz, sendo ambos
praticamente idênticos. Sendo um corte do plano ortogonal da figura 3D, ele possui
um formato característico, principalmente em antenas dipolo de meia onda (FIGURA
4. 5).
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FIGURA 4. 5-Gráficos da Irradiação Polar nos Planos xz e yz Respectivamente. FONTE: O Autor.
Estes gráficos representam a evolução do comportamento do campo de
irradiação gerado pela antena dipolo de acordo com o aumento do espectro da
frequência utilizada pela antena. É possível notar o comportamento destrutivo da
onda à medida que a frequência aumenta, formando bolsões de ganhos e sombras
onda não a transmissão de sinal e a transmissão é limitada até o ângulo de 78º,
acima deste ângulo o sinal enfraquece rapidamente, chegando a perdas de 3 dB.
Portanto a largura do feixe de irradiação das antenas dipolos é limitada até o ângulo
de 78º. O sinal ótimo apareceu novamente, se destacando dos demais,
comprovando a importância de se planejar uma antena, obtendo um ganho de
eficiência inegável.
Os gráficos simulados são compatíveis com a literatura, mas é possível notar
quando se olha os gráficos teóricos que o ganho da antena dipolo de meia onda é
de aproximadamente 2.2 dBi. Este valor aparece no plano de Azimuth, plano xy
cortado no meio da antena. Estes são os ganhos máximos que a antena dipolo de
meia onda obtém, mas vale lembrar que os dipolos disponíveis no mercado não
conseguem alcançar a perfeição da teoria (FIGURA 4. 6).
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FIGURA 4. 6-Corte Ortogonal da Antena Dipolo de Meia Onda. FONTE: http://brashleraudio.wordpress.com/tag/antenna/
Dados esses padrões, pode-se concluir que uma antena dipolo deve ser
montada orientada na vertical em relação ao solo, obtendo uma maior eficiência na
transmissão de sinais, aumentando a área de cobertura da antena. A sombra gerada
no eixo z da antena irá apontar para cima e para baixo da antena, geralmente isto
não se torna um problema nem mesmo dentro das residências, pois o teto promove
a reflexão do sinal transmitindo.
Por ultimo, foi obtido o gráfico da impedância de entrada da antena (FIGURA 4.
7). Este gráfico ilustra tanto a resistência (Azul) quanto a reatância (Verde) de
entrada, o formato de onda representado no gráfico é idêntico ao registrado na
literatura (FIGURA 4. 8).
FIGURA 4. 7-Impedância de Entrada COMSOL. FONTE: O Autor.
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É possível observar que o gráfico obtido pela simulação tem um formato menos
sinuoso, pois foram simulados menos pontos que o gráfico teórico. Porém a
similaridade entre eles é inegável.
FIGURA 4. 8-Impedância de Entrada. FONTE: http://w4rnl.net46.net/amod141.html
É possível notar que ao aumentar a frequência operante, a resistência ressona
com a reatância cada vez mais, diminuindo a diferença entre elas.
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CAPÍTULO 5 - CONCLUSÃO E PROPOSTAS FUTURAS
11.1. Conclusão
Neste trabalho foi realizada uma revisão teórica sobre o funcionamento das
antenas, resumindo os vários tipos de antenas, os parâmetros de projeto, o
comportamento do sinal transmitindo, a importância de se obter um casamento da
antena e foi dada uma visão geral das antenas dipolo de meia onda, cobrindo os
detalhes que a caracteriza.
Em seguida foi apresentada a ferramenta COMSOL, que é um pacote de
software que é utilizado em muitas aplicações na física e na engenharia, no qual foi
realizada a simulação de uma antena dipolo de meia onda.
A simulação comportou-se de maneira satisfatória com relação ao propósito que
foi construída. Foi possível analisar com uma boa precisão os diagramas de
irradiação adquiridos e foi possível confirmar os comportamentos característicos de
uma antena dipolo de meia onda, entre eles: apresentar irradiação omnidirecional no
plano horizontal, possuir um ângulo de potência média próximo de 78º e ressonância
entre a resistência de entrada com sua reatância e o seu formato de onda.
Este trabalho tinha como objetivo somente a comparação entre os resultados
obtidos pela utilização do programa COMSOL com a teoria, porém como o programa
não é tão instintivo se viu oportuno criar um tutorial mostrando como utiliza-lo
visando diminuir qualquer barreira inicial para se utilizar esta ferramenta.
Conclui-se que é confiável utilizar o programa COMSOL para simular o
comportamento de uma antena e que se mostrou relevante criar um tutorial
preenchendo uma lacuna, já que esse tipo de literatura se mostra rara em
português.
11.2. Propostas Futuras
Com o objetivo de aperfeiçoar o trabalho realizado nesta dissertação seguem
algumas sugestões com propostas para trabalhos futuros:
Realizar o mesmo experimento com vários tipos de antenas.
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Utilizar outros softwares disponíveis no mercado, comparando os resultados
obtidos.
Integração dos dados ao MATLAB.
Realizar testes in loco e comparar os resultados obtidos com a simulação e a
teoria.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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MENEZES, G. C. B. Análise Do Comportamento De Antenas Sob Sinais De Largura De Faixa. 2009. Dissertação de Mestrado. Instituto Nacional de telecomunicações. Santa Rita do Sapucaí.
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