View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Samo jedan zadatak Branka Antunović-Piton
Sveučilište Jurja Dobrile u Puli
Fakultet za odgojne i obrazovne znanosti
Van Hilova teorija u matematičkom obrazovanju
Sveučilište u Zadru,
Odjel za izobrazbu učitelja i odgojitelja
HUNI, Hrvatska udruga nastavnika istraživača
Zadar, 25. - 26. travnja 2019.
• U radu se razmatra didaktička uloga matematičkog zadatka tj. snaga i bogatstvo samo jednog zadatka. Kao polazište za promišljanje razmatra se jedan zadatak s državne mature vezan uz geometrijske sadržaje ( trokut, kutovi, kružnica).
• Prvi cilj je pokazati kolika je uloga i značaj ovakvih
zadataka u razvoju i njegovanju matematičkih procesa, ali i u povezivanju, primjeni i otkrivanju veza među matematičkim objektima/konceptima.
• Drugi cilj je ukazati na potrebu oblikovanja i
primjene ovakvih zadataka na svim razinama obrazovanja.
• Promišljamo li kroz Bloomovu taksonomiju i /ili kroz Van Hielove razine pružaju se nove perspektive “samo jednog zadatka“ . Zadatak učenicima postaje izazov, a proces učenja i poučavanja dinamičan, u skladu s karakteristikama suvremene nastave. S druge strane osiguravamo minimalne i nužne uvjete da učenici prijeđu na slijedeću Van Hielovu razinu
Samo jedan zadatak
Samo jedan zadatak = ljepota jednog zadatka
• Iskustvo
• Vizualno mišljenje
• Očekivani odgovori
Možemo li kroz jedan matematički zadatak povezati niz matematičkih sadržaja ?
Da.
Navedite primjer .
Zašto to činimo ?
oRevidirana Bloomova taksonomija oOsobnost učenika i stilovi učenja oplaniranje nastavnog sata (ishodi učenja, aktivnosti učenika)
o Jer je manje-više! o … i ne samo Bloom…Van Hiel
o pitanja, razgovor, diskusija, produbljivanje sadržaja, kreativnost, drugi pristupi rješavanju problema, …svi mogu!
RA
Z
INE
CILJEVI (ISHODI) UČENJA - Značenje razine
I.
DOSJETITI SE (Znanje) Dosjetiti se, prepoznati ili reproducirati informaciju, ideju i princip u približno onakvom
obliku u kojem su naučeni.
II.
SHVATITI (Razumijevanje) Uočiti i povezati glavne ideje. Prevesti, razumjeti, objasniti ili interpretirati naučeni sadržaj.
Opisati tijek događaja ili procesa. Izvesti logičan zaključak iz dostupnih informacija.
Zaključiti o uzroku i predvidjeti posljedice.
III.
PRIMIJENITI (Primjena) Rješavati probleme primjenom naučenog u kontekstu učenja ili u novoj situaciji na rutinski ili
na nov način. Koristiti apstrakcije. Odabrati i primijeniti podatke i principe za rješavanje
problema ili zadatka u drugom području uz minimum vođenja.
IV.
ANALIZIRATI (Analiza) Razlikovati važne od nevažnih dijelova prezentiranog materijala. Raščlanjivati informacije
kako bi se utvrdili dijelovi cjeline, njihovi međusobni odnosi, organizacijski principi, uzroci i
posljedice, izveli dokazi i zaključci i podržale generalizacije.Uočiti obrazac. Prepoznati
skriveno značenje. Razlikovati činjenice i zaključke.
V.
PROSUĐIVATI (Evaluacija) Usporediti i pronaći sličnosti i razlike među idejama. Procijeniti valjanost ideja i/ili kvalitete
uratka na temelju poznatih kriterija. Otkriti nekonzistentnost unutar procesa ili produkta.
Otkriti prikladnost postupka s obzirom na zadatak ili problem. Dokazati vrijednost. Izabrati
mogućnost i argumentirano obrazložiti.
VI.
STVARATI (Sinteza) Kreativno ili divergentno koristiti postojeće znanje za stvaranje nove cjeline (kombinirati
poznate dijelove u novu cjelinu). Stvarati nove ideje i rješenja. Izvoditi generalizacije na
temelju dobivenih podataka. Povezati znanje iz različitih područja. Uočavati nove obrasce.
RA
ZI
NE
CILJEVI (ishodi) UČENJA
Značenje razine
KLJUČNI GLAGOLI
Opisuju aktivnost koju treba vježbati i mjeriti na svakoj razini.
I. DOSJETITI SE
(Znanje)
prepoznati, pokazati, pronaći, označiti, povezati, dopuniti, smjestiti, poredati, imenovati,
navesti, nabrojati, reći tko, kada, gdje, zašto, koliko, definirati, citirati, ponoviti, opisati
II. SHVATITI
(Razumijevanje)
izraziti, ispričati/napisati svojim riječima, izvijestiti, opisati, sažeti, proširiti,
preoblikovati, pretvoriti, prevesti, izraziti formulom, rastumačiti, objasniti, raspraviti,
obrazložiti, dokazati, dati primjer, procijeniti, izračunati, predvidjeti, razvrstati, smjestiti
, izdvojiti, istaknuti, (aktivno) sudjelovati
III. PRIMIJENITI
(Primjena)
demonstrirati, dramatizirati, pokazati (postupak), dokazati, provesti (pokus), izvršiti,
upotrijebiti, primijeniti, koristiti , prikazati (grafički), izvesti (formulu), prikazati u
kratkim crtama, prilagoditi, promijeniti, dovršiti, otkriti, riješiti (problem), predložiti
(rješenje), isplanirati, izabrati, napraviti, izračunati, procijeniti, napisati, razvrstati,
svrstati , sastaviti
IV. ANALIZIRATI
(Analiza)
rastaviti, raščlaniti, razdijeliti, pronaći, izdvojiti, istaknuti, prepoznati neizrečene
pretpostavke, opravdati, protumačiti, objasniti, usporediti, razlikovati, suprotstaviti,
komentirati, kritizirati, saopćiti, izvijestiti, raspraviti, razvrstati, svrstati, grupirati,
rasporediti, poredati, organizirati, urediti, oblikovati, grafički prikazati, napraviti pokus,
ispitati, istražiti, provjeriti, preispitati, procijeniti, proračunati, odrediti važnost
podataka, prekontrolirati, dovesti u vezu, pretpostaviti, razlikovati uzrok i posljedicu,
odgovoriti ”što ako?”, zaključiti
V. PROSUĐIVATI
(Evaluacija)
provjeriti, prosuditi (primjerenost zaključka), procijeniti, ocijeniti, izmjeriti, odrediti
vrijednost, utvrditi, odmjeriti, vrednovati, usporediti, razlikovati, kritizirati, raspraviti,
diskutirati, preispitati, dokazati, uvjeriti, obraniti stav, opravdati, poduprijeti, zastupati
mišljenje, istražiti, odlučiti, izabrati mogućnost, odabrati, preporučiti, otkloniti, poredati
(s obzirom na važnost), rangirati, stupnjevati, pretpostaviti, predvidjeti, zaključiti, reći
zašto, izvesti
VI. STVARATI (Sinteza)
zamisliti, dizajnirati, razviti, stvoriti, izmisliti, smisliti, izumiti, konstruirati, kreirati,
proizvesti, izazvati, formulirati (hipotezu), predvidjeti, prognozirati, prirediti, pripremiti,
propisati, napraviti plan, skicirati, predložiti, objediniti, kombinirati, skupiti, sastaviti,
sklopiti, spojiti, povezati, složiti, skladati, komponirati, sabrati, organizirati, preurediti,
promijeniti, presložiti, preraditi, poboljšati, kompletirati, kompilirati, voditi, upravljati,
napisati, podnijeti, iznijeti, predočiti, postaviti (teoriju), poopćiti
• u svakom razrednom odjelu ima velikih razlika u osobnosti među pojedinim učenicima
• u poučavanju važan individualni pristup svakom učeniku da
bi se njegovi potencijali potpuno razvili
• izazov - pronaći učinkovite načine i metode poučavanja
učenika različitih sposobnosti i interesa.
A novi kurikulum!
DIMENZIJA
ZNANJA
DIMENZIJA KOGNITIVNIH PROCESA
dosjetiti se shvatiti primijeniti analizirati prosuđivati stvarati
Činjenično
Konceptualno
Proceduralno
Meta-kognitivno
DIMENZIJA ZNANJA DIMENZIJE KOGNITIVNIH PROCESA
PAMTITI RAZUMJETI PRIMIJENITI ANALIZIRATI VRJEDNOVATI KREIRATI
ČINJENIČNO ZNANJE
osnovni elementi koje učenici moraju znati da
bi bili upoznati s disciplinom i mogli rješavati
probleme (poznavanje terminologije, posebnih
detalja i elemenata)
nabrojiti, navesti,
popisati,
prepoznati
razlikovati,
izračunati,
navesti primjer,
sabrati, sažeti
primijeniti,
izračunati,
klasificirati,
odrediti, razvrstati,
svrstati
analizirati,
usporediti, raščlaniti,
urediti,
odrediti slijed
poredati,
procijeniti niz,
kategoriju
objediniti,
povezati,
razvrstati
KONCEPTUALNO ZNANJE
povezanost osnovnih elemenata u
funkcionalnim strukturama (poznavanje
klasifikacija i kategorija, načela i generalizacija,
teorija, modela i struktura)
opisati,
prepoznati,
označiti
interpretirati,
objasniti,
prevoditi,
tumačiti,
razjasniti
izvesti
eksperiment,
pokus,
upotrijebiti,
pokazati
pojasniti,
protumačiti,
rezimirati,
zaključiti,
razlikovati,
prepoznati, povezati,
odabrati,
procijeniti,
argumentirati,
vrjednovati,
usporediti
konstruirati,
planirati,
osmisliti,
postaviti
hipoteze,
izraditi nacrt,
smišljati
PROCEDURALNO ZNANJE
koristiti se istraživanjima, vještinama,
tehnikama i metodama
(poznavanje posebnih vještina i algoritama,
posebnih tehnika i metoda, kriterija za
određivanje kada se koristiti određenim
postupcima)
prikazati u
kratkim crtama,
iznijeti, sastaviti
tablicu
izvesti
zaključak,
predvidjeti,
provjeriti
izračunati, otkriti,
upotrijebiti,
preoblikovati,
pokazati,
upravljati, riješiti,
procijeniti
kombinirati,
sastaviti,
kategorizirati,
preoblikovati,
razlikovati
prosuditi,
povezati,
zaključiti
reorganizirati,
razviti,
sastaviti,
kreirati,
slagati,
proizvoditi
METAKOGNITIVNO ZNANJE
spoznaja, svjesnost i razumijevanje vlastitih
kognitivnih procesa
(znanje o tome kako učiti, koja se razina
kognitivnih procesa očekuje u zadatku,
svjesnost o razini vlastitog znanja)
odgovarajuća,
prikladna,
primjerena
upotreba termina
izvesti, provesti,
riješiti
sastaviti sintezu provesti, ostvariti djelovati,
primijeniti
aktualizirati,
ostvariti
Geometrijski sadržaji…dobar trening
• Geometrijski zadatci – Važnost geometrije
– Vizualizacija,vizualno mišljenje -> apstraktno mišljenje
– OŠ->SŠ
– Geometrija + aritmetika (NOK)
– Veza sa svakodnevnim životom, matematičko modeliranje
– IKT, dinamička geometrija
– komunikacija
Prvi “samo” zadatak
Prvi “samo” zadatak • …nastavljamo savijanje papira • što sve mogu u 5., u 6. u 7. i 8. razredu
Analiza evaluacija (prosuđivanje)
sinteza(stvaranje) • Što mogu učenici s posebnim potrebama, a što nadareni
• Konkretni podaci, mjerenje, kalkulator, boje • Varijanta -škare – preslažemo 4 jednakostranična trokuta
Zadan je trokut ABC.
Mjera kuta u vrhu A je 46 , a kuta u vrhu C je 60 .
Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu
u točkama C i D .
Kolika je mjera kuta CBD ?
a) 104 b) 120 c)134 d)150
“samo” zadatak
DM, 2012.
Drugi “samo”zadatak a) “doživljaj “ slike
- Geometrijski objekti
- Svojstva
- Veze među objektima
- Uspoređivanje…
- Nastavni listić (mjerenje)
30
Drugi “samo” zadatak – b) slika i tekst
Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D. Kolika je mjera kuta CBD ?
a) 104 b) 120 c) 134 d) 150
Drugi “samo” zadatak – c) slika i tekst
Ako je ICBDI= δ=150 tada … Ako je ICBDI= δ=134 tada … Ako je ICBDI= δ=120 tada …
a) 104
Drugi “samo” zadatak - d) konstrukcija
1. Konstrukcija trokuta 2. Konstrukcija
simetrale dužine 3. Konstrukcija
opisane kružnice trokutu
4. Konstrukcija simetrale kuta
5. tetive kružnice
Korak po korak do tražene slike
6. Izračunavanje /mjerenje veličine kuta CBA
7.Izračunavanje/mjerenje veličine kuta ABD
8. Izračunavanje veličine traženog kuta CBD
9. Označavanje kutova, orijentirani kut
Učenici pronalaze svoje putove rješavanja problema …
- vršni kutovi - sličnost trokuta - vanjski kutovi trokuta
… a zadatak skriva i tetivni četverokut
Obodni kutovi nad kružnim lukom BC δ= 180- (46 +30)
Obodni kutovi nad kružnim lukom AD ε =30 β= 180- (46 +60) δ= β+ε
(5.razred) predmetna nastava OŠ
Nacrtajte ∆ ABC ako je IABI=… , IAI=43 i IACI=…
a) Izmjerite veličine unutarnjih kutova ∆ ABC u vrhu B i u vrhu C
b) Konstruirajte simetrale stranica ∆ ABC
c) Opišite trokutu ABC kružnicu d) Nacrtajte tetivu 𝐶𝐷 duljine … e) Mjerenjem odredite veličine
kutova ∡CBA, ∡BDC, ∡ CBD f) USPOREDITE…A što ako…? pitanja…pitanja…
Srednja škola – novi kurikulum
Podrška… NCVVO Međunarodna istraživanja TIMSS, PISA
• PRIRUČNIK ZA UNAPREĐIVANJE NASTAVE
MATEMATIKE S PRIMJERIMA ZADATAKA IZ MEĐUNARODNOGA ISTRAŽIVANJA TIMSS 2015.
Važno je istaknuti da su uspješni i u područjima koja se sustavno ne poučavaju u razrednoj nastavi, a uključena su u istraživanje TIMSS te se postavlja pitanje je li obrazovni sustav Republike
Hrvatske usklađen s obrazovnim mogućnostima učenika.
Drugi“samo” zadatak – matematičko modeliranje
Na rubu obzora mladi astronom i planinar Sanjin (točka S) , promatra 4 planinska vrha A, D, B i C, kao na slici.
Popevši se na vrh A, pomoću astronomskih grablji izmjerio je da se iz točke A, dužina 𝐵𝐶 vidi pod kutom od 46°.
Popeo se i na vrh C. Izmjerio je da se iz vrha C , dužina 𝐴𝐵 vidi se pod kutom od 60°, a dužina 𝐵𝐷 pod kutom od 30°.
Sanjin više nije provodio mjerenja nego je primijenio znanja iz matematike i odredio pod kojim kutom se iz točke B vidi dužina 𝐶𝐷.
30
Objasnite kako je Sanjin odredio pod kojim kutom se iz točke B vidi dužina 𝐶𝐷.
• Astronomske grablje - izrađuju se od dvije letvice (dulja 58
cm i kraća 50 cm) koje se pričvrste
jedna na drugu u obliku slova T
- Pomoću konca pričvršćenog za kraj dulje letvice, na kraćoj se nacrta zakrivljena crta koja je zapravo dio kružnice čiji je opseg 360 cm, tako da jednom centimetru (udaljenosti na luku kružnice) odgovara 1˚ (kutne udaljenosti). Olovkom se na zakrivljenoj crti označe točke na svakih 1cm i na te točke se zakucaju čavlići. Zatim se pričvrsti vizir, na kojem je probušena rupica, na kraj dulje letvice.
Drugi“samo” zadatak – matematičko modeliranje
Za OŠ More gradi se polivalentna dvorana kružnog oblika.
Promotri sliku.
Kružni isječak nad tetivom AC bit će gledalište.
Arhitekt za uređenje unutarnjeg prostora Matko Brodarić odlučio se za poseban način rasvjete.
U točkama A, B, C, D postavit će se reflektori različite širina svjetlosnog snopa .
(Svjetlosni snop predstavlja kut svjetlosnog snopa reflektorske žarulje)
U točki A postavit će se reflektor širine snopa 46° tako da krakovi kuta svjetlosnog snopa prolaze točkama B i C .
U točki C postavit će se reflektor širine snopa 60 °, tako da krakovi kuta svjetlosnog snopa prolaze točkama A i B uz uvjet da su kutovi ∡ACD i ∡ DCB sukladni.
Koliki snop svjetlosti će imati reflektor u točki B tako da krakovi kuta svjetlosnog snopa prolaze točkama C i D ?
DIMENZIJA ZNANJA DIMENZIJE KOGNITIVNIH PROCESA
PAMTITI RAZUMJETI PRIMIJENITI ANALIZIRATI VRJEDNOVATI KREIRATI
ČINJENIČNO ZNANJE
osnovni elementi koje učenici moraju znati da
bi bili upoznati s disciplinom i mogli rješavati
probleme (poznavanje terminologije, posebnih
detalja i elemenata)
nabrojiti,
navesti, popisati,
prepoznati
razlikovati,
izračunati,
navesti primjer,
sabrati, sažeti
primijeniti,
izračunati,
klasificirati,
odrediti,
razvrstati, svrstati
analizirati,
usporediti, raščlaniti,
urediti,
odrediti slijed
poredati,
procijeniti niz,
kategoriju
objediniti,
povezati,
razvrstati
KONCEPTUALNO ZNANJE
povezanost osnovnih elemenata u
funkcionalnim strukturama (poznavanje
klasifikacija i kategorija, načela i
generalizacija, teorija, modela i struktura)
opisati,
prepoznati,
označiti
interpretirati,
objasniti,
prevoditi,
tumačiti,
razjasniti
upotrijebiti,
pokazati
pojasniti,
protumačiti,
rezimirati,
zaključiti,
razlikovati,
prepoznati, povezati,
odabrati,
procijeniti,
argumentirati,
vrjednovati,
usporediti
konstruirati,
planirati,
osmisliti,
postaviti
hipoteze,
izraditi nacrt,
smišljati
PROCEDURALNO ZNANJE
koristiti se istraživanjima, vještinama,
tehnikama i metodama
(poznavanje posebnih vještina i algoritama,
posebnih tehnika i metoda, kriterija za
određivanje kada se koristiti određenim
postupcima)
prikazati u
kratkim crtama,
iznijeti, sastaviti
tablicu
izvesti
zaključak,
predvidjeti,
provjeriti
izračunati, otkriti,
upotrijebiti,
preoblikovati,
pokazati,
upravljati, riješiti,
procijeniti
kombinirati,
sastaviti,
kategorizirati,
preoblikovati,
razlikovati
prosuditi,
povezati,
zaključiti
reorganizirati,
razviti,
sastaviti,
kreirati,
slagati,
proizvoditi
METAKOGNITIVNO ZNANJE
spoznaja, svjesnost i razumijevanje vlastitih
kognitivnih procesa
(znanje o tome kako učiti, koja se razina
kognitivnih procesa očekuje u zadatku,
svjesnost o razini vlastitog znanja)
odgovarajuća,
prikladna,
primjerena
upotreba termina
izvesti,
provesti, riješiti
sastaviti sintezu provesti, ostvariti djelovati,
primijeniti
aktualizirati,
ostvariti
1. Vizualizacija/prepoznavanje rade s fizičkim modelima
slažu oblike, mjere, prebrojavaju
crtaju na papiru i u raznim mrežama
prepoznaju / identificiraju određene likove unutar grupe
2. Analiza Mjere radi prepoznavanja svojstava određenih likova i radi
uspostavljanja veza među njima
Opisuju klase likova, nabrajanjem njihovih svojstava.
Uspoređuju likove prema uočenim svojstvima te ih postupno klasificiraju
Istražuju i empirijski izvode pravila i stvaraju generalizacije
3. Neformalna dedukcija Proučavajući svojstva stvaraju inkluzivne odnose među likovima
Svoja objašnjenja temelje na argumentima, služeći se raznim vizualnim prikazima
BLOOM- CILJEVI (ISHODI) UČENJA
I. DOSJETITI SE (Znanje)
II. SHVATITI (Razumijevanje)
III. PRIMIJENITI (Primjena)
IV. ANALIZIRATI (Analiza)
V. PROSUĐIVATI (Evaluacija)
VI. STVARATI (Sinteza)
.
Van Hiell
I. VIZUALIZACIJA, prepoznavanje
II. ANALIZA, opisivanje
III. NEFORMALNA DEDUKCIJA
“samo” jedan zadatak
Van Hiell
1 vizualizacija /prepoznavanje 2 analiza /opisivanje
3 neformalna dedukcija
Bloom
• Analiza • evaluacija (prosuđivanje)
• sinteza(stvaranje)
A što govore rezultati… ”samo jednog zadatka”
Zadatak 9. na ljetnom roku državne mature iz Matematike na višoj razini 2012. godine rješavalo je 10929 pristupnika koji su trebali odabrati jedan od četiri ponuđena odgovora. Njih 215 nije dalo nikakav odgovor a ostali su se odlučili ovako: • Odgovor A. odabralo je 39 % pristupnika (točan
odgovor) • Odgovor B. odabralo je 27 % pristupnika • Odgovor C. odabralo je 26 % pristupnika • Odgovor D. odabralo je 6 % pristupnika.
• Psihometrijske karakteristike ovog zadatka su vrlo
loše, tj. rezultat na ovom zadatku u vrlo je niskoj korelaciji s rezultatom na cijelom ispitu. Ili jednostavnije rečeno – vrlo veliki postotak pristupnika (uključujući i one s najboljim rezultatom na cijelom ispitu) rješavalo je ovaj zadatak pogađanjem.
Prokomentirajte rezultate Što možemo iz svega toga isčitati?
…trajna Znanja… ili …
Primijeniti strategiju preživjeti i samo proći ispit iz matematike .
Uz “samo jedan zadatak” :
aktivira se, analizira i primjenjuje veća količina stečenog znanja; znanja se produbljuju i proširuju novim znanjima razvijaju se i njeguju matematički procesi povećava se aktivnost učenika i njihov interes za matematiku.
Od geometrije… uzorci…algebre i funkcija
Od geometrije… uzorci…algebre i funkcija
Kvadratni brojevi 1+3+5+…+(2n-1)= ?
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
Geometrijska interpretacija https://www.geogebra.org/m/xjzZrGvY
Funkcije… Van Hiel Korištenje geometrijskih uzoraka za bolje razumijevanje
funkcijskih odnosa
1+3+5+…+(2n-1)= n2
f(1)=1 f(2)=4 f(3) =9
…
Algebraic reasoning takes various forms, including functional thinking in which students explore generalizing patterns to
describe functional relationships, (Blanton and Kaput 2005).
• Any math task can be opened up…180, Baler
Hvala na pažnji ! bpiton@unipu.hr
Literatura: • NCVVO, DM 2012, ljetni ispitni rok; Zadelj, Z. • MZO https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2019_01_7_146.html • Baranović,N.:https://www.academia.edu/32216192/O_razvoju_geometrijskog_mi%C5
%A1ljenja_u_nastavi_matematike_prema_van_Hiele-ovoj_teoriji
• Kurnik, Z. (2010): Posebne metode rješavanja matematičkih problema,Element, Zagreb
• Čižmešija, A.; Svedrec R.; Radović, N.; Soucie, T. (2010): Geometrijsko mišljenje i prostorni zor, Zbornik radova četvrtog kongresa nastavnika matematike, ŠK, Zagreb.
• Jo Boaler (2016): Mathematical mindset, Jossey-Bass, CA • Susan N., Frier and Kimberly A. MarkworthA (2009),Framework for Analyzing
Geometric Pattern Tasks, http://mjmorneau.pbworks.com/f/Framework+for+Analyzing+Geometric+Article.pdf
Recommended