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Alonso Fernández Galián
- 1 -
TEMA 11: VECTORES EN EL ESPACIO
El estudio de la geometría en el espacio es análogo al de la geometría en el plano. En particular,
los vectores constituyen una herramienta básica que, por ejemplo, nos permite operar con
coordenadas.
11.1 COORDENADAS DE PUNTOS Y COORDENADAS DE VECTORES
Para situar puntos en el espacio debemos fijar tres ejes de
coordenadas: es decir, tres rectas no coplanarias con
intersección común que, por comodidad tomaremos
perpendiculares dos a dos. La intersección de los ejes de
coordenadas se denomina origen de coordenadas, y se denota
por O.
Si las coordenadas de P son x, y y z escribimos ),,( zyxP .
Coordenadas de un vector. Un vector es un segmento orientado. Si el vector u tiene como
origen el punto A y como extremo B escribimos ABu =
.
Las coordenadas de un vector se obtienen restando a las
coordenadas de su extremo las coordenadas de su origen. Es
decir, dados 1 2 3( , , )A a a a y 1 2 3( , , )B b b b , el vector ABu =
tiene
coordenadas:
1 1 2 2 3 3( , , )AB b a b a b a= − − −
Equivalencia de vectores. Dos vectores son equivalentes cuando
tienen igual módulo, dirección y sentido o, equivalentemente,
cuando tienen las mismas coordenadas.
AB CD= 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )b a b a b a d c d c d c − − − = − − −
Un vector cualquiera puede representarse, mediante un vector
equivalente a él, tomando como origen cualquier punto del plano. Es
por esto por lo que se dice a veces que los vectores son libres.
Operaciones con vectores. Igual que en el plano, en el espacio hay dos operaciones básicas con
vectores, la suma y el producto por escalares, que se definen de manera obvia.
Suma: Producto por escalares:
vu
+ = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3) ),,( 321 uuuu =
•Ejemplo: Dados los puntos )4,0,2( −A y )2,1,3(−B , calcular las coordenadas de los
vectores AB y BA .
( ) ( )6,1,5)4(2,01,23 −=−−−−−=AB y ( ) ( )6,1,524,10),3(2 −−=−−−−−=BA
Notemos que se trata de vectores opuestos.
Matemáticas II
- 2 -
La base canónica. Los vectores se representan habitualmente tomando como origen el origen
de coordenadas, de manera que sus coordenadas coinciden con las coordenadas de su extremo.
Se denomina base canónica a los vectores unitarios determinados
por los ejes. Se denotan por i
, j
y k
. El vector de coordenadas
1 2 3( , , )u u u u= se expresa en la base canónica como
1 2 3u u i u j u k= + +
Comprobación de si tres puntos están alineados. Para comprobar si los puntos A, B y C están
alineados basta observar si los vectores AB y AC son linealmente dependientes:
A, B y C están alineados AB y AC son l.d. ABAC = para algún ℝ
Por ejemplo, dados los puntos )5,3,1(−A , )1,1,3( −B y )4,0,5( −C se tiene:
ABACAC
AB==
−
−=
−
−=
−−=
−−=5,15,1
6
9
2
3
4
6
)9,3,6(
)6,2,4(
Como los vectores AB y AC son proporcionales (l.d.), los puntos están alineados.
Nota: En lugar de AB y AC se pueden usar, por ejemplo, AB y BC .
El módulo de un vector. Según el teorema de Pitágoras, la proyección del vector
),,( 321 uuuu =
sobre el plano x-y tiene longitud:
2 2
1 2u u u = + .
Utilizando de nuevo el teorema de Pitágoras obtenemos:
( )222 2 2 2 2 2 2 2
3 1 2 3 1 2 3u u u u u u u u u= + = + + = + +
Despejando u deducimos finalmente:
2 2 2
1 3 3u u u u= + +
Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos A y B es igual al módulo del vector
que los une, AB .
•Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos )0,1,3( −A y )5,2,1( −B .
( ) 2 2 2, (1 3) (2 1) ( 5 0) 38d A B AB= = − + + + − − = u.l.
•Ejemplo: Calcular el módulo del vector )4,3,1( −=u
:
2 2 21 ( 3) 4 26u = + − + =
Tema 11: Vectores en el espacio
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11.2 EL PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de vectores es una de las herramientas fundamentales de la geometría
analítica, pues permite, entre otras cosas, calcular ángulos y estudiar la perpendicularidad.
Definición: Se define el producto escalar de los vectores ),,( 321 uuuu =
y ),,( 321 vvvv =
como:
332211321321 ),,(),,( vuvuvuvvvuuuvu ++==
Propiedades del producto escalar. El producto escalar cumple las siguientes propiedades:
1. (Conmutativa) Dados los vectores u
y v
se cumple:
uvvu=
2. (Asociativa con escalares) Dados los vectores u
y v
, y el escalar se cumple:
)()( vuvu=
3. (Distributiva) Dados los vectores u
, v
y w
se cumple:
wuvuwvu
+=+ )(
Nota (el módulo de un vector): Al calcular el producto escalar de un vector ),,( 321 uuuu =
consigo mismo obtenemos: 23
22
21 uuuuu ++=
Observemos que tomando la raíz cuadrada se obtiene el módulo de u
. Es decir, el módulo del
vector u
puede escribirse como:
u u u=
Expresión geométrica del producto escalar. El producto escalar de
dos vectores no nulos es igual al producto de sus módulos por el
coseno del ángulo que forman:
cosu v u v =
Demostración: Consideremos la siguiente figura:
Aplicando el teorema del coseno obtenemos:
2 2 2 2 22 cosu v u v u v − = + −
•Ejemplo: Calcular el producto escalar de )0,3,2( −=u
y )2,1,5(=v
.
7201)3(52)2,1,5()0,3,2( =+−+=−= vu
•Ejemplo: Calcular el módulo del vector )5,1,2(=u
:
2 2 2(2,1, 5) (2,1, 5) 2 1 5 30u u u= = = + + =
Matemáticas II
- 4 -
Por otro lado ( ) ( )2
u v u v u v− = − − . Así:
( ) ( )2 2 2
2 2u v u v u v u u u v v v u u v v− = − − = − + = − +
Igualando ambas expresiones obtenemos:
2 2 2 22 2 cosu u v v u v u v − + = + −
Simplificando esta igualdad obtenemos la fórmula que buscábamos.
Interpretación geométrica del producto escalar. Sea v
la proyección ortogonal de v
sobre u
.
De la figura se deduce que cosv v = . Así:
cosu v u v u v = =
Es decir, el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por el módulo
de la proyección del otro sobre él.
Ángulo de dos vectores. De la expresión geométrica del producto escalar se deduce la siguiente
expresión para el coseno del ángulo que forman los vectores u
y v
:
cosu v
u v
=
Perpendicularidad. Sean u
y v
dos vectores no nulos y sea el ángulo que forman. De la
expresión geométrica para el producto escalar, cosu v u v = , se deduce:
u
y v
son perpendiculares 00cosº90 === vu
Es decir, dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es nulo:
vu
⊥ 0= vu
•Ejemplo: Calcular el ángulo que forman los vectores )1,0,1(=u
y )1,1,1(=v
.
Sea el ángulo que forman u
y v
. El coseno de es:
2 2 2 2 2 2
(1, 0,1) (1,1,1) 1 0 1 2 6cos
(1, 0,1) (1,1,1) 361 0 1 1 1 1
u v
u v
+ += = = = =
+ + + +
Por tanto, el ángulo que forman u
y v
es:
º353
6arccos
=
•Ejemplo: Comprobar si los vectores )3,1,2( −=u
y )2,2,4( −=v
son perpendiculares.
=−−=−−= 0628)2,2,4()3,1,2(vu
u
y v
son perpendiculares ( vu
⊥ )
Tema 11: Vectores en el espacio
- 5 -
11.3 EL PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de ),,( 321 uuuu =
por ),,( 321 vvvv =
es el vector que se obtiene
desarrollando formalmente el siguiente “determinante”:
321
321
vvv
uuu
kji
El producto vectorial de u
por v
se denota por vu
(o en algunos textos por vu
). Así:
kvv
uuj
vv
uui
vv
uu
vvv
uuu
kji
vu
21
21
31
31
32
32
321
321 +−==
O, escrito en coordenadas:
−=
21
21
31
31
32
32,,
vv
uu
vv
uu
vv
uuvu
Propiedades del producto vectorial. A partir de las propiedades de los determinantes se
deducen las propiedades del producto vectorial:
1. (Anticonmutativa) Para cualquier par de vectores u
y v
se cumple que:
vuuv
−=
2. Para cualquier par de vectores u
y v
, y cualquier número real ℝ se cumple que:
( ) ( )vuvu
= y ( ) ( )vuvu
=
3. (Distributiva) Para cualesquiera tres vectores u
, v
y w
se cumple que:
( ) wvwuwvu
+=+ y ( ) wuvuwvu
+=+
4. El producto vectorial de dos vectores no nulos es 0 si y sólo si los vectores son linealmente
dependientes. Es decir, si u
y v
son dos vectores no nulos, se tiene que:
uvvu
== 0 para algún ℝ
5. El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a ambos. Es decir, dados u
y v
,
vuu
⊥ y vuv
⊥
De aquí se deduce que el producto escalar de u
o de v
por vu
es nulo:
( ) 0
= vuu y ( ) 0
= vuv
•Ejemplo: Calcular el producto vectorial de )4,1,2(−=u
por )3,0,2( −=v
.
kjikji
kji
vu
223
02
12
32
42
30
41
302
412 −+−=−
+−
−−
−=
−
−=
Escrito en coordenadas:
)2,2,3( −−= vu
Matemáticas II
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Interpretación geométrica del producto vectorial. En términos geométricos, el producto
vectorial de u
por v
es el vector vu
que tiene:
-Módulo: El producto de los módulos de u
y v
multiplicado por el seno de ángulo que forman:
sen u v u v =
-Dirección: La recta perpendicular al plano determinado por u
y v
.
-Sentido: El determinado por la regla de la mano derecha. Es decir, rotemos u
hasta v
por el
camino más corto,
(a) si hemos rotado en sentido antihorario, vu
apunta “hacia arriba”.
(b) si hemos rotado en sentido horario, vu
apunta “hacia abajo”.
Aplicación al cálculo de áreas. Calculemos el área del paralelogramo que tiene por lados a los
vectores u
y v
. De acuerdo con la figura, esta área es:
paralelogramoA u h=
Como sen h v = , tenemos que:
paralelogramo sen A u v =
Pero esta expresión es precisamente el módulo del producto vectorial de u
y v
. Así:
paralelogramoA u v=
Consecuentemente, el triángulo que tiene por lados
a los vectores u
y v
tiene área:
triángulo
1
2A u v=
•Ejemplo: Calcular el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores )2,2,1(=u
y
)3,1,5(=v
.
El producto vectorial de u
por v
es:
)9,7,4(974
315
221 −=−+== kji
kji
vu
Por tanto, el área pedida es:
2 2 24 7 ( 9) 146 12,08A u v= = + + − = u.s
Tema 11: Vectores en el espacio
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11.4 EL PRODUCTO MIXTO
Se define el producto mixto de los vectores u
, v
y w
(en ese orden) como:
( )wvuwvu
=,,
Expresión analítica del producto mixto. Es fácil comprobar que el producto mixto de los
vectores ),,( 321 uuuu =
, ),,( 321 vvvv =
y ),,( 321 wwww =
viene dado por:
( )
321
321
321
,,
www
vvv
uuu
wvuwvu ==
Propiedades del producto mixto. Veamos las principales propiedades del producto mixto:
1. Si un vector es combinación lineal de los otros, el producto mixto es cero. Por ejemplo:
0,, =+ vuvu
2. En particular, si hay dos vectores iguales, el producto mixto es cero. Por ejemplo:
0,, =vvu
3. Si un vector se escribe como suma de dos, el producto mixto también se escribe como una
suma, con un sumando por cada vector. Por ejemplo:
wvuwvuwwvu +=+
,,,,,,
4. Si un vector se multiplica por un escalar, el producto mixto también queda multiplicado por
ese escalar. Por ejemplo:
wvuwvu
,,,, =
5. Si intercambiamos dos vectores, el producto mixto cambia de signo. Por ejemplo:
wvuwuv
,,,, −=
•Ejemplo: Calcular el producto mixto de )5,2,1(=u
, )3,0,1(−=v
y )1,1,2( −−=w
.
El producto vectorial de v
por w
es:
)1,5,3(53
112
301 =++=
−−
−= kji
kji
wv
Así, el producto mixto de u
, v
y w
es:
( ) 185103)1,5,3()5,2,1(,, =++=== wvuwvu
•Ejemplo: Calcula el producto mixto de )5,2,1(=u
, )3,0,1(−=v
y )1,1,2( −−=w
.
El producto mixto de los vectores u
, v
y w
es:
1832125
112
301
521
,, =+−+=
−−
−=wvu
Matemáticas II
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Interpretación geométrica del producto mixto. El
valor absoluto del producto mixto de los vectores u
,
v
y w
es igual al volumen de paralelepípedo definido
por estos vectores:
wvuV
,,pedoparalelepí =
Demostración: Consideremos la siguiente figura:
Según vimos, el área de la base es el producto vectorial de v
por w
:
base v w=
Sea el ángulo que forman u
y wv
. La altura del paralelepípedo viene dada por:
cosh u =
(se toma el valor absoluto porque wv
puede tener sentido contrario al representado en la
figura). Así, el volumen del paralelepípedo es:
paralelepípedo cosV base h u v w = =
Pero este valor es precisamente el valor absoluto del producto escalar de u
por wv
. Así:
( ) wvuwvuV
,,pedoparalelepí ==
Un paralelepípedo se divide en seis tetraedros iguales. Así, el
volumen del tetraedro es:
wvuV
,,6
1tetraedro =
•Ejemplo: Calcular el volumen del paralelepípedo formado por los vectores )3,1,2(−=u
)1,1,1(−=v
y )0,2,2(=w
.
El producto mixto de u
, v
y w
es:
64626
022
111
312
,, −=+−+−=−
−
=wvu
Por lo tanto, el volumen pedido es:
66,,pedoparalelepí =−== wvuV
u.v.
Tema 11: Vectores en el espacio
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ANEXO: ESPACIOS VECTORIALES
Mediante el concepto de espacio vectorial se generalizan las propiedades de la suma y del
producto por escalares de los vectores libres para aplicarlas a contextos no geométricos.
Propiedades. Es fácil ver que la suma y el producto por escalares satisfacen las siguientes
propiedades.
P1. uvvu
+=+ (conmutativa).
P2. ( ) ( )wvuwvu
++=++ (asociativa).
P3. uuu
=+=+ 00 (elemento neutro).
P4. ( ) ( ) 0
=+−=−+ uuuu (elemento opuesto).
P5. ( ) ( )uu
= (asociativa para escalares).
P6. uu
=1 (elemento unidad).
P7. ( ) vuvu
+=+ (distributiva).
P8. ( ) uuu
+=+ (distributiva).
Estas propiedades caracterizan la “estructura algebraica” de las operaciones entre vectores
libres, en el sentido de que cualquier otra propiedad se deduce de ellas.
Espacios vectoriales. Hay otros conjuntos en los que las operaciones ‘suma’ y ‘producto por
escalares’ satisfacen estas propiedades. A estos conjuntos se les denomina espacios vectoriales.
Es decir:
Se denomina espacio vectorial a un conjunto en el que estén definidas dos operaciones (suma y
producto por escalares) que satisfacen las propiedades P1-P8.
De esta forma, los elementos de un espacio vectorial son objetos que algebraicamente se
comportan igual que los vectores libres del plano y del espacio. Por analogía se les denomina
también vectores.
Ejemplos: Veamos varios ejemplos de espacios vectoriales.
1.) El conjunto de vectores libres del espacio, 3V , es un espacio vectorial. Igualmente, el
conjunto de vectores libres del plano, 2V , también es un espacio vectorial.
2.) El conjunto n de n-uplas de números reales para un n dado es un espacio vectorial.
3.) El conjunto de matrices de un orden dado, m n , es un espacio vectorial. Se suele denotar
por ( )m nM .
4.) El conjunto de sucesiones de números reales, /n nna a= , es un espacio vectorial.
5.) El conjunto de polinomios de grado menor o igual que n para un n dado es un espacio
vectorial. Se denota habitualmente por ( )nP .
6.) Dado un intervalo real ,a b , el conjunto de funciones reales cuyo dominio es ,a b es un
espacio vectorial. También lo es, por ejemplo, el conjunto de funciones continuas sobre
,a b .
El hecho de que todos los ejemplos anteriores sean espacios vectoriales nos permite, por
ejemplo, hablar de combinaciones lineales o de dependencia lineal en todos ellos.
Matemáticas II
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Bases de un espacio vectorial. Se denomina base de un espacio vectorial a un conjunto de
elementos (‘vectores’) que son linealmente independientes entre ellos y tales que cualquier otro
elemento del espacio vectorial es combinación lineal suya. Por ejemplo, el conjunto 2 31, , ,x x x
es una base del espacio de polinomios de grado menor o igual que 3.
El concepto de base permite definir las coordenadas de un vector de un modo más general a
como lo hemos hecho en el texto.
Bases de V3. Se denomina base de espacio a un conjunto de tres vectores linealmente
independientes (es decir, no coplanarios), 321 ,, eeeB
= .
Dada una base 321 ,, eeeB
= , cualquier vector u
del espacio puede expresarse de manera
única como una combinación lineal de sus elementos:
332211 eueueuu
++=
Los coeficientes 1u , 2u , 3u son las coordenadas de u
en la base 321 ,, eeeB
= .
Bases ortonormales. Una base 321 ,, eeeB
= se denomina ortonormal si:
(i) Sus elementos son perpendiculares (u ortogonales) entre sí:
21 ee
⊥ 31 ee
⊥ 32 ee
⊥
(ii) Sus elementos tienen módulo 1:
11 =e
12 =e
13 =e
El producto escalar. Veamos como se calcula el producto escalar de dos vectores en una base
cualquiera 321 ,, eeeB
= . Sean u
y v
como sigue:
332211 eueueuu
++= y 332211 evevevv
++=
El producto escalar de u
y v
es:
( ) ( ) +++=++++= 313121211111332211332211 eevueevueevueveveveueueuvu
333323231313323222221212 eevueevueevueevueevueevu++++++
Esta expresión puede escribirse sintéticamente como:
( )
=
3
2
1
332313
322212
312111
321
v
v
v
eeeeee
eeeeee
eeeeee
uuuvu
En particular, si la base 321 ,, eeeB
= es ortonormal la matriz del producto escalar es la
identidad y obtenemos la expresión del producto escalar que ya conocíamos:
( ) 332211
3
2
1
321
100
010
001
vuvuvu
v
v
v
uuuvu ++=
=
Tema 11: Vectores en el espacio
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Coordenadas de puntos y vectores
1. Calcula en cada caso las coordenadas del vector AB .
(a) ( )2,3,5 −A y ( )4,2,1B .
(b) ( )7,4,0 −A y ( )4,5,5 −B .
2. Dados los puntos ( )0,0,1A , ( )0,1,2 −B , y ( )1,0,0C , encuentra el punto D tal que CDAB = .
3. Escribe el vector ( )9,5,2−=v
como combinación lineal de los vectores ( )3,0,1=a
,
( )1,1,2−=b
y ( )1,2,4 −=c
,
4. Comprueba en cada caso si los puntos están alineados:
(a) ( )1,1,1A , ( )1,0,2B y ( )1,2,0C . (b) ( )3,2,1A , ( )1,4,2B y ( )1,1,1C .
5. Calcula el módulo de los siguientes vectores:
(a) ( )3,2,3 −=u
. (b) ( )2,5,3−=v
. (c)
=
5
2,0,3w
.
6. Encuentra un vector unitario con la misma dirección que ( )4,0,7=u
.
7. Calcula la longitud del segmento de extremos ( )1,0,4 −A y ( )1,3,0 −B .
El producto escalar de dos vectores
8. Dados los vectores ( )8,5,3 −=u
, ( )3,4,1 −−=v
y ( )5,3,3 −−=w
calcula:
(a) vu (b) wu
(c) wv
9. Calcula el ángulo que forman los vectores ( )5,3,2 −=u
y ( )0,1,6 −=v
.
10. Calcula el ángulo que forman los vectores ( )4,1,3 −−=u
y ( )5,1,2 −−=v
.
Ortogonalidad
11. Indica cuáles de los siguientes vectores son perpendiculares a ( )1,1,5 −=u
:
( )3,4,2 −=v
( )7,3,2 −=w
( )10,0,2 −−=t
¿Son perpendiculares entre ellos?
12. Calcula x e y sabiendo que el vector ( )1,, yx es perpendicular a los vectores ( )0,2,3 y
( )1,1,2 − .
13. Encuentra un vector perpendicular a ( )4,3,2=u
y ( )5,3,1 −−=v
que tenga módulo 1.
EJERCICIOS DEL TEMA 11
Matemáticas II
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14. Encuentra un punto P situado en el eje z de manera que el vector PQ , con ( )1,3,2−Q , sea
ortogonal al vector ( )5,6,1−=v
.
El producto vectorial de dos vectores
15. Calcula el producto vectorial de los vectores ( )2,0,1−=u
y ( )1,1,2 −=v
, y comprueba que
el resultado es perpendicular a ambos vectores.
16. Dados los vectores ( )6,1,3=u
y ( )2,4,3 −=u
, comprueba que uvvu
−= .
17. Calcula el área del paralelogramo formado por los vectores ( )5,1,2=u
y ( )1,3,2=v
.
18. Calcula el área del triángulo de vértices ( )5,1,3 −A , ( )1,0,2B y ( )4,2,3C .
19. Dados los puntos ( )1,2,2A , ( )2,5,3B y ( )2,0,1−C , calcula el cuarto vértice del
paralelogramo ABCD y el área de éste.
El producto mixto
20. Calcula, aplicando la definición, el producto mixto de los vectores ( )4,1,3=u
, ( )0,1,2=v
y ( )1,2,1 −=w
.
21. Dados los vectores ( )1,2,1=a
, ( )2,1,3 −=b
y ( )0,1,4 −=c
, calcula los productos mixtos
[ cba
,, ] y ],,[ bca
.
22. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores ( )0,1,2=u
,
( )1,2,3=v
y ( )0,1,0=j
.
Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU
_____________________________________________________________________________
Junio 2010-2011
Junio 2017-2018
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