Vectors and Motion In Space

Vectors and Motion In Space

170 121 Engineering Mathematics II

16 พฤศจกิายน 2547

Chapter 10

2

Content

เน้ือหาในบทนี้Cartesian Coordinate, vector และ operations ในสามมติิ, เสน้ตรงและระนาบในสามมติิ,พื้นผิวสามมติิ, vector-valued functions และ curve สามมติิ, ความยาวของ curve และ unit vector ท่ีสมัผัสกับ curve

คำาวา่ Space (แปลตรงตัววา่ อวกาศ ) ในทางคณิตศาสตรไ์มไ่ด้หมายถึงท่ีๆ ไมม่ีอากาศ แต่หมายถึง ท่ีท่ีบรรจุระบบของเราเอาไว ้เชน่ตัวเราเองก็อยูใ่น Three Dimensional Space คือเราอยูใ่นระบบสามมติิท่ีมทัีง้ความกวา้ง ความยาวและความสงู

(ความจรงิ Space ท่ีเราอยูม่มีากกวา่สามมติิ เชน่ทฤษฎีสมัพทัธภาพได้นับเอาเวลาเป็นอีกมติิหนึ่ง และอาจจะมมีติิมากกวา่น้ีท่ีเหนือการรบัรูข้องเราแต่เนื้อหาของเราในวชิานี้ใชแ้ค่ Space สามมติิก็เพยีงพอ)

3

Cartesian Coordinateการบอกตำาแหน่งใน 3 มติิ เรานิยมใช ้Cartesian Coordinate ซึ่งประกอบด้วยเลข 3 ตัว (x,y,z) ซึ่งแทนระยะทางตามแนวแกน X, Y และ Z ตามลำาดับวดัเทียบกับจุด Origin (0,0,0)

แกน X แกน Y และแกน Z จดัเรยีงตามระบบมอืขวา (Right Hand System)ดังรูป กล่าวคือ ถ้านิ้วมอืขวาทัง้ 4 กวาดจากแกน X ไปยงัแกน Y แล้ว นิ้วหวัแมม่อืจะชี้ไปทางแกน Z

X

Y

ZP(x,y,z)

(0,0,0)

xy

z

X

Y

Z

4

Cartesian Coordinate

X

Y

Z

P(x,y,z)

Cartesian Coordinate มชีื่อเรยีกอีกชื่อวา่ Rectangular Coordinateเนื่องจากวา่ แกน X, Y, Z ตัง้ฉากกันดังนัน้จุด (x,y,z) ก็คือจุดยอดของกล่องสีเ่หล่ียม (Rectangular box) จุดท่ีอยูต่รงขา้มกับจุด (0,0,0)

(0,0,0)

5

เมื่อเราใชแ้กน XYZ เป็นแกนอ้างอิง (Reference frame) เราสามารถแบง่Space โดยใชร้ะนาบ x=0, ระนาบ y=0 และระนาบ z=0 ออกเป็น 8 สว่นเท่าๆกันเรยีกวา่ Octant สว่นท่ี x เป็น +, y เป็น +, z เป็น + เรยีกวา่ First Octant

Octants

X

Y

Z

ระนาบ z=0(เรยีกวา่ XY plane)

ระนาบ x=0(เรยีกวา่ YZ plane)

ระนาบ y=0(เรยีกวา่ XZ plane)

6

Cylinder ใน 3 มติิเราสามารถสรา้งพื้นผิวของทรงกระบอกท่ีมแีกน Z เป็นแกนกลางได้จากสมการ

2 2 2x y R

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

โดย R คือรศัมขีองทรงกระบอก

สมการน้ีออกมาเป็นพื้นผิวทรงกระบอกได้เพราะวา่ ค่า z ไมไ่ด้ถกูระบุไวใ้นสมการ แปลวา่ z จะเป็นอะไรก็ได้ ดังนัน้ท่ีความสงู z = ค่าคงท่ีใดๆ เราก็จะได้วงกลม 1 เสมอ เมื่อนำาวงกลมท่ีทกุๆค่า z มาต่อกันก็จะได้ผิวทรงกระบอกออกมา

7

Component Form of a Vector in Space

เราสามารถอธบิาย vector ใน Space 3 มติิได้หลายรูปแบบ เชน่แบบ Component Form

X

Y

Z

V

1 2 3, ,V v v v

1v2v

3v

v1, v2, v3 คือสว่นประกอบของ ในแนวแกน X,Y, Z ตามลำาดับ

V

8

Standard Unit Vectors For 3D Space

X

Y

Z

V

i j

k

เราสามารถอธบิาย vector โดยใช ้standard unit vector ดังน้ี

1 2 3V v i v j v k

โดย คือ standardUnit vectors ตามแนวแกน X, Y,Z ตามลำาดับ ดังรูป

i

j

k

9

Position Vectorเมื่อเราใช ้vector ในการบอกตำาแหน่ง เราเรยีก vector น้ีวา่ Position vector

เชน่ , ,x y zr เป็น Position vector ของจุด P(x,y,z)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

10

Directed Line Segment

1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )PP x x i y y j z z k

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

11

Magnitude of Vectors

2 2 21 2 3V v v v

ขนาดของ vector สามารถคำานวณได้จากสตูร

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

12

Unit Vector

ใชใ้นการบอกทิศทางของ vector โดยขนาดของ unit vector จะเป็น 1 เสมอ1 2 3

2 2 21 2 3

v i v j v kVV v v v

เราสามารถเขยีน vector ในรูปของ “ขนาดและทิศทาง” ได้ดังน้ี

VV VV

ขนาดของ ทิศทางของ

V

V

V

13

Dot Product

นิยาม1 1 2 2 3 3U V u v u v u v

เป็น operation ระหวา่ง vector กับ vector ท่ีได้ผลเป็น Scalarสามารถใชห้ามุมระหวา่ง vector สองตัวได้

cosU V

1cos U VU V

V

U

0U V

ถ้า ตัง้ฉากกับ จะได้

14

Properties of Dot Product

U V V U

cU V V cU c V U

U V W U V U W

2U U U

0 0U

1.

2.

3.

4.

5.

15

Vector Projection

Projection of onto หมายถึงสว่นประกอบของ ในทิศทางเดียวกับ

Proj V

V V U VU U VV VV V

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

Proj V U

U

V

U

V

16

Vector Project

Proj Proj V VU U U U

สว่นประกอบของท่ีขนานกับ

สว่นประกอบของท่ีตัง้ฉากกับ

U

U

V U

V

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

เราสามารถแบง่ ออกเป็น 2 สว่นประกอบ

17

Cross Productนิยาม sinU V U V n

เป็น Operation ระหวา่ง กับ ท่ีใหผ้ลเป็นvector อีกตัวท่ีตัง้ฉากกับทัง้ และ

U

V

U

V

(นับตามตามกฎมอืขวา)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

18

ขนาดของ เท่ากับพื้นท่ีสีเ่หล่ียมด้านขนาน (Parallelogram) ท่ีมดี้านประกอบเป็น และ

Cross Product

sinU V U V

U

V

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

19

Properties of Cross Product

U V V U

1.

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

20

Properties of Cross Product

rU sV rs U V

U V W U V U W

0 0 0U U

2.

3.

4.

5.

V W U V U W U

21

Cross Products of Standard Unit Vectors

i j k

j k i

k i j

j i k

k j i

i k j

i j

k

i j

k

i j

k

-

--ลบ

บวก

0i i

0j j

0k k

22

Determinant Formula for Cross Product

1 2 3

1 2 3

i j kU V u u u

v v v

1 2 3 1 2

1 2 3 1 2

i j k i ju u u u uv v v v v

2 3u v i

3 1u v j

1 2u v k

2 1u v k

3 2u v i

1 3u v j

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v i u v u v j u v u v k

23

Application of Cross Product: Torque

Torque ในทางกลศาสตรห์มายถึงแรงกระทำาท่ีทำาใหเ้กิดการหมุน คำานวณได้จาก

Torque r F

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

24

Box Product (Triple Scalar Product)นิยาม Box product ระหวา่ง (เรยีงตามลำาดับ) คำานวณจาก

cosU V W U V W

U

V

W

มค่ีาเท่ากับปรมิาตรของ parallelpiped ดังรูป

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

25

Formula for Box Product

1 2 3

1 2 3

1 2 3

u u uU V W v v v

w w w

Box product สามารถคำานวณได้โดยใชส้ตูร Determinant ดังน้ี

คณุสมบติัของ Box product

1. U V W V W U W U V

2. U V W U V W

26

Lines in Space

เราสามารถสรา้งเสน้ตรงได้ ก็ต่อเมื่อเรารูจุ้ด P0 ท่ีเสน้ตรงลากผ่าน และทิศทาง vของเสน้ตรง

เมื่อเรารูว้า่เสน้ตรงผ่านจุด P0 และ P เราจะได้วา่ vector ขนานกับ v0P P

กล่าวคือ 0P P t v

t เป็นค่า scalar ค่าหนึ่ง

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

27

Equations for a Line in Space

0P P t v

จากเราได้

0 0 0 1 2 3( ) ( ) ( )x x i y y j z z k t v i v j v k

และ 0 0 0 0( ) ( ) ( )P P x x i y y j z z k

เขยีนใหอ้ยู ่Parametric Equations for a Line เราได้0 1x x v t 0 2y y v t 0 3z z v t

เราสามารถคำานวณหาจุดใดๆบนเสน้ตรงนี้ได้ตามสมการขา้งบนนี้ถ้าเขยีนในรูป vector equation เราจะได้

0 t r r v , ,x y zr

0 0 0 0, ,x y zr

โดย Positionvector

28

Example: Lines in Spaceจงเขยีนสมการเสน้ตรงท่ีผ่านจุด (-2,0,4) และ (0,4,2)

0

วธิทีำา 1. คำานวณทิศทาง

2. เขยีนสมการ

0 1

(0 ( 2)) (4 0) (2 4)

2 4 2

P P

i j k

i j k

v

2 244 2

x ty tz t

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

29

Distance Between a Point and a Line

ระยะทางจากจุด S ถึงเสน้ตรง L คำานวณได้จาก

sin VPS PSV

L

30

Planes in Space เราจะสรา้งระนาบได้ก็ต่อเมื่อเราทราบตำาแหน่งของจุด P0 ท่ีอยูบ่นระนาบและVector ท่ีตัง้ฉากกับระนาบ (Normal vector)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

n

n

n

เน่ืองจาก ตัง้ฉากกับระนาบ ดังนัน้ Dot product ระหวา่ง vector ใดๆในระนาบกับ จะเป็น 0 เสมอ

31

Equations for a Plane in Space

0 0 0 0( ) ( ) ( )P P x x i y y j z z k

เป็น vector บนระนาบ M ดังนัน้เราจะได้สมการของระนาบเป็น

0 0P P n

เมื่อ Ai B j Ck n

เป็น normal vector ของระนาบ M

ให ้P0(x0,y0,z0) และ P(x,y,z)เป็นจุดใดๆบนระนาบ M เราจะได้

32

Equations for a Plane in Space

0 0P P n

จากสมการระนาบ

เราสามารถเขยีนเป็น

0 0 0( ) ( ) ( ) 0Ai B j Ck x x i y y j z z k

0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z จะได้

หรอื Ax By Cz D

โดย0 0 0D Ax By Cz

33

Example: a Plane in Space

จงสรา้งสมการของระนาบท่ีผ่านจุด A(0,0,1), B(2,0,0) และ C(0,3,0)

วธิทีำา 1. สรา้ง vector 2 ตัวท่ีอยูบ่นระนาบนี้

2. คำานวณ normal vector ของระนาบ

3. จดัรูป

AB

AC

AB AC n

0 0P P n

=

34

Example: a Plane in Space

ระนาบท่ีผ่านจุด A(0,0,1), B(2,0,0) และ C(0,3,0)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

35

Lines of Intersection Between Planes

เราสามารถคำานวณหาทิศทาง v ของเสน้ตรงท่ีเกิดจากการตัดกันของระนาบได้จาก

1 2 v n n

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

36

Example: a Line of Intersection Between Planes

1. คำานวณทิศทางของเสน้ตรง

2. คำานวณหาจุดท่ีเสน้ตรงผ่าน

3. สรา้งสมการเสน้ตรง

1 2 v n n

3 6 2 15x y z 2 2 5x y z จงคำานวณหาเสน้ตรงท่ีเกิดจากการตัดกันระหวา่งสองระนาบ

37

Distance Between a point and a Plane

ระยะทางจากจุด S ถึงระนาบ M คำานวณได้จาก

M

cosPS PS nn

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

38

Example: Distance Between a point and a Plane

PS

n

PS nn

39

Cylinders ตามปกติเมื่อพูดถึง Cylinder เรามกัจะนึกถึง ท่อทรงกระบอกกลมๆ แต่ในท่ีนี้ Cylinder ไมไ่ด้จำากัดอยูท่ี่ทรงกระบอกกลมๆอยา่งเดียว แต่ Cylinder หมายถึง พื้นผิวท่ีประกอบขึ้นมาจากเสน้ตรงท่ีขนานกับเสน้ตรงเสน้หนึ่งท่ีกำาหนดให้

ตัวอยา่ง2y x

เสน้ตรง ขนานกับแกน z เสมอ ไมว่า่ x0 เป็นค่าอะไร

20 0x i x j zk

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

สมการ ใน space3 มติิคือรูปนี้

40

Example: Cylinder2 24 4x z

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

คือพื้นผิวในรูป

41

Cylinders

จากตัวอยา่งจะเหน็วา่- ถ้าสมการของ Cylinder อยูใ่นรูป f(x,y) = c เราจะได้ Cylinder ท่ีประกอบด้วยเสน้ตรงท่ีขนานกับแกน Z- ถ้าสมการของ Cylinder อยูใ่นรูป f(x,z) = c เราจะได้ Cylinder ท่ีประกอบด้วยเสน้ตรงท่ีขนานกับแกน Yสรุปได้วา่

สมการของ 2 ตัวแปรในระบบ Cartesian coordinate 3 มติิคือสมการของ Cylinder ท่ีขนานกับแกนของตัวแปรท่ีเหลือ

อยา่งไรก็ตาม Cylinder ไมจ่ำาเป็นท่ีจะต้องขนานกับแกนใดแกนหน่ึงเสมอไป Cylinder อาจจะวางเฉียงๆก็ได้

42

Example: Cylinder

พื้นผิวของ Cylinder 2 2 1y z

(ขนานกับแกน X)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

43

Quadric Surfaces

สำาหรบัใน 2 มติิเราคงจะคุ้นเคยกับ Ellipses, Parabolas และ Hyperbolasเชน่เดียวกัน ใน Space 3 มติิเรามี Quadric Surfaces ท่ีสำาคัญคือEllipsoids, Paraboloids, Elliptic Cones และ Hyperboloidsสำาหรบัทรงกลม (Sphere) นับเป็น Ellipsoid แบบหนึ่ง

Quadric Surface เป็น graph ใน Space ของสมการดีกร ี2 ของตัวแปรx,y, และz โดยมรีูปแบบทัว่ไปดังน้ี

2 2 2 0Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Jz K

โดย A, B, C, D, E, F, G, H, J และ K คือค่าคงท่ี

(1)

44

Analysis of Quadric Surface

เวลาท่ีเราต้องการวเิคราะหถึ์งรูปรา่งของ Quadric surface วา่เป็นอยา่งไร เรามกัจะนิยมสงัเกตท่ี Graph ท่ีเกิดจากการตัดกันของ Quadric surface กับระนาบ XY,ระนาบ YZ และระนาบ XZ (ระนาบเหล่าน้ีเรยีกวา่ Coordinate planes)

เมื่อต้องการด ูGraph ท่ีเกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ YZ เราสามารถทำาได้โดยการตัง้ค่าให ้x ในสมการของ Quadric surface เป็น 0เมื่อต้องการด ูGraph ท่ีเกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ XY เราสามารถทำาได้โดยการตัง้ค่าให ้z ในสมการของ Quadric surface เป็น 0เมื่อต้องการด ูGraph ท่ีเกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ XZ เราสามารถทำาได้โดยการตัง้ค่าให ้y ในสมการของ Quadric surface เป็น 0

Graph ท่ีเกิดจาการตัดกันของระนาบกับ Quadric Surface จะเป็น Curveในเรื่องภาคตัดกรวย

45

Ellipsoid

สมการทัว่ไปของ Ellipsoid ท่ีมจุีดศูนยก์ลางท่ี (0,0,0) คือ2 2 2

2 2 2 1x y za b c

Ellipsoid ท่ีมจุีดศูนยก์ลางท่ี (0,0,0) จะมีจุดตัดแกน X ท่ี (a,0,0) และ (-a,0,0)

มจุีดตัดแกน Yท่ี (0,b,0) และ (0,-b,0)

มจุีดตัดแกน Z ท่ี (0,0,c) และ (0,0,-c)

c

-c

ba

(2)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

46

Cross Sections of an Ellipsoid

เมื่อ set ให ้z = 0 เราได้วงรี

เมื่อ set ให ้x = 0 เราได้วงรี

เมื่อ set ให ้z = z0 เราได้

22 20

2 2 2 1zx y

a b c

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

47

2 2

2 2 2 20 0

1(1 ( / ) ) (1 ( / ) )

x ya z c b z c

Cross Sections of an Ellipsoid

จะเหน็วา่ Cross sections ของ Ellipsoid กับ Coordinate planesจะเป็นสมการของวงร ี(Ellipse) เสมอสำาหรบั Cross section ของ Ellipsoid กับระนาบ z = z0 เราจะได้

22 20

2 2 2 1zx y

a b c

จดัรูปใหมเ่ป็น

ซึ่งยงัคงเป็นสมการของวงรี

ถ้าค่า a,b,c ของสมการ Ellipsoid คู่ใดคู่หน่ึงเท่ากันเราเรยีกวา่ Ellipsoidof Revolution และถ้าค่า a,b,c เท่ากันทัง้หมดเราจะได้ทรงกลม (Sphere)

48

Elliptic Paraboloid

สมการทัว่ไปของ Elliptic Paraboloid ท่ีสมมาตรกับแกน X และ Y คือ2 2

2 2

x y za b c

สมการน้ีผ่านจุด Origin (0,0,0)ซึ่งเป็นจุด Vertex ของ Graphและมแีกน z เป็นแกนของ Paraboloid

(0,0,0)

รูปทรงของจานรบัสง่สญัญาณดาวเทียมโดยทัว่ไปท่ีใชใ้นการสื่อสารเป็นทรงของ Elliptic Paraboloid ท่ีมค่ีา a = b

(3)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

49

Cross Sections of Paraboloid

เมื่อ set ให ้z = c เราได้วงรี

เมื่อ set ให ้x = 0 เราได้

เมื่อ set ให ้y = 0 เราได้

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

50

Cross Sections of Paraboloid

- Cross section ท่ีเกิดจากระนาบ z = z0, z0 > 0 ตัด Paraboloid ในสมการท่ี 3 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ

- ระนาบแนวดิ่งท่ีบรรจุแกน z เอาไว ้เมื่อตัดกับ Paraboloid ในสมการท่ี 3จะได้ Parabola เสมอ

51

Cone

สมการทัว่ไปของ Elliptic Paraboloid ท่ีมแีกน z เป็นแกนของกรวย คือ

2 2 2

2 2 2

x y za b c

สมการน้ีผ่านจุด Origin (0,0,0)และสมมาตรกับแกน X และ Y

ถ้าค่า a และ b เท่ากัน เราจะได้กรวยท่ีเรยีกวา่ Circular cone

(4)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

52

Cross Sections of a Cone

1เมื่อ set ให ้z = c เราได้วงรี

เมื่อ set ให ้x = 0 เราจะได้เสน้ตรง 2 เสน้

cz yb

เมื่อ set ให ้y = 0 เราจะได้เสน้ตรง 2 เสน้

cz xa

เมื่อ set ให ้z = 0 เราจะได้จุดตัดแกน z ซึ่งเท่ากับจุด Origin(0,0,0)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

53

Cross Sections of a Cone

สำาหรบัสมการของกรวย เมื่อ set ให ้z = z0 โดย z0 ไมเ่ท่ากับ 0, เราได้วงรี2 2 2

2 2 20

1c x yz a b

เมื่อ set ให ้x = x0 โดย x0 ไมเ่ท่ากับ 0 เราได้

เมื่อ set ให ้y = y0 โดย y0 ไมเ่ท่ากับ 0 เราได้

54

Cross Sections of a Cone

- Cross section ท่ีเกิดจากระนาบ z = z0, z0 ไมเ่ท่ากับ 0, ตัดกรวยในสมการท่ี 4 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ

- ระนาบแนวดิ่งท่ีบรรจุแกน z เอาไว ้เมื่อตัดกับกรวยในสมการท่ี 4 จะได้เสน้ตรง2 เสน้ท่ีตัดกันท่ีจุด (0,0,0) เสมอ

55

Hyperboloid

Hyperboloid ม ี2 ชนิด

Hyperboloid of One Sheet Hyperboloid of Two Sheets

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

56

Hyperboloid of One Sheet

สมการทัว่ไปของ Hyperboloid of One Sheet ท่ีมแีกนเป็นแกน Z คือ2 2 2

2 2 2 1x y za b c

สมการน้ีได้พื้นผิวเป็นแผ่นเดียว ท่ีสมมาตรกับCoordinate planes ทัง้สามถ้า a = b เราเรยีก Hyperboloid น้ีวา่Surface of Revolution

(5)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

57

Cross Sections of Hyperboloid of One Sheet

เมื่อ y = 0 เราได้

เมื่อ z = c เราได้

เมื่อ z = 0 เราได้

เมื่อ x = 0 เราได้

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

58

Cross Sections of Hyperboloid of One Sheet

- Cross section ท่ีเกิดจากระนาบ z = z0 ตัด Hyperboloid ในสมการท่ี 5 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ ถ้า a = b เราจะได้รอยตัดเป็นรูปวงกลม

- ระนาบแนวดิ่งท่ีบรรจุแกน z เอาไว ้เมื่อตัดกับ Hyperboloid ในสมการท่ี 5 จะได ้Hyperbola เสมอ

59

Hyperboloid of Two Sheets

สมการทัว่ไปของ Hyperboloid of Two Sheets ท่ีมแีกนเป็นแกน Z คือ2 2 2

2 2 2 1z x yc a b

สมการน้ีได้พื้นผิวเป็น 2 แผ่นแยกกันซึ่งจะสมมาตรกับ coordinate planes ทัง้สามแต่จะไมตั่ดกับระนาบ XY

จุด (0,0,c) และ (0,0,-c) เป็นจุด Verticesของ Graph

(0,0,c)

(0,0,-c)

(6)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

60

Cross Sections of Hyperboloid of Two Sheets

เมื่อ y = 0 เราได้เมื่อ x = 0 เราได้

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

61

Cross Sections of Hyperboloid of Two Sheets

- Cross section ท่ีเกิดจากระนาบ z = z0, |z0| > c, ตัด Hyperboloidในสมการท่ี 6 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ ถ้า a = b เราจะได้รอยตัดเป็นรูปวงกลม

- ระนาบแนวดิ่งท่ีบรรจุแกน z เอาไว ้เมื่อตัดกับ Hyperboloid ในสมการท่ี 6 จะได้ Hyperbola เสมอ

62

HyperboloidsBoth hyperboloids are asymptotic to cone

จากสมการท่ี 5 และ 6 ถ้าเราเปล่ียน เลข 1 ทางขวาของสมการใหเ้ป็น 0

เราจะได้สมการของกรวย2 2 2

2 2 2

x y za b c

หมายความวา่ Hyperboloid สามารถบรรจุ (ถกูล้อม) ไวใ้นกรวยได้

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

63

Hyperbolic Paraboloid: a Saddle

พื้นผิวทรงอานมา้ (Saddle) หรอื Hyperbolic Paraboloid มสีมการดังนี้2 2

2 2

y x zb a c

โดย c > 0

Saddle น้ีสมมาตรกับระนาบ x=0 (ระนาบ YZ)และระนาบ y = 0 (ระนาบ XZ)

(7)

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

64

Cross Sections of a Saddle

เมื่อ x = 0 เราได้

เมื่อ z = c เราได้

เมื่อ z = -c เราได้

(เมื่อ y = 0) (ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

65

Cross Sections of a Saddle

- Cross section ท่ีเกิดจากระนาบ z = 0 ตัดกับ Saddle ในสมการท่ี 7 จะเป็นเสน้ตรง 2 เสน้ท่ีตัดกันท่ีจุด (0,0,0)

- Cross section ท่ีเกิดจากระนาบ z = z0, z0 ไมเ่ท่ากับ 0, ตัดกับ Saddleในสมการท่ี 7 จะเป็นรูป Hyperbola

- ระนาบตัง้ฉากกับแกน X เมื่อตัดกับ Saddle ในสมการท่ี 7 จะได้ Parabolaท่ีหงายขึ้น

- ระนาบตัง้ฉากกับแกน Y เมื่อตัดกับ Saddle ในสมการท่ี 7 จะได้ Parabolaท่ีควำ่าลง

66

Saddle Point

เมื่อเราให ้x = 0 เราจะได้ Parabola หงายท่ีมจุีดตำ่าสดุ (minimum) ท่ี (0,0,0)

เมื่อเราให ้x = 0 เราจะได้ Parabola ควำ่าท่ีมจุีดสงูสดุ (Maximum) ท่ี (0,0,0)

รวมแล้วเรยีกวา่จุด Minimax หรอืSaddle Point

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

67

Vector-Valued Functions in 3-D: Space Curve

Space curve ในท่ีนี้หมายถึง curve ใน 3 มติิซึ่งประกอบด้วย 3 componentsจุด P(x,y,z) บน curveอยูใ่นรูป

( )x f t ( )y g t ( )z h t t II = time interval

Space curve เขยีนในรูป Position vector ได้เป็น( ) ( ) ( ) ( )t f t i g t j h t k r

เราสามารถจนิตนาการSpace curve ได้กับทางเดินของอนุภาคท่ีล่องลอยในอวกาศ

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

68

Examples: Space Curves

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

Function เรยีกวา่ vector-valued function หรอื vector function( )tr

69

Example: Helix

Helix คือ space curve ท่ีมลัีกษณะเป็นเหมอืนขดสปรงิ สำาหรบั Helix ในรูปอธบิายได้ด้วยสมการ ( ) cos( ) sin( )t t i t j tk r

เมื่อพจิารณาเฉพาะค่า x และ y เราจะได้cos( )x t sin( )y t

ถ้าใน 2 มติิแล้ว (x,y) น้ีจะเป็นจุดบนวงกลม2 2 1x y

จากรูปจะพบวา่ Helix รูปนี้อยูบ่น Cylinder2 2 1x y

เน่ืองจากตำาแหน่ง x และ y เคล่ือนท่ีเป็นวงกลมขณะท่ีค่าความสงู z ของจุดบน Helix แปรผันตรงกับ t ทำาใหเ้กิดทางเดินแบบขดสปรงิขึ้น

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

70

Examples: Helix

อัตราการเปล่ียนค่า z เป็นตัวกำาหนดความเรว็ในการเคล่ือนท่ีในแกน z ซึ่งสง่ผลต่อจำานวนขดของ Helix ต่อระยะทางดังแสดงในรูป

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

71

Examples: Helix

MATLAB Code

t = 0:0.1:30;

x = cos(t);

y=sin(t);

z = t;

plot3(x,y,z)

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

00.5

10

5

10

15

20

25

30

กำาหนดค่าเริม่ต้นให ้t=0 และให ้t เพิม่ค่าทีละ 0.1จนถึง ค่าสดุท้าย t = 30

คำานวณค่า x,y,z

แสดงผล

72

Limit

นิยามของ Limit สำาหรบั vector functions

0 0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )t t t t t t t t

t f t i g t j h t k

r

(คือทำา limit แต่ละ component ของ นัน่เอง)( )tr

Continuity A vector function จะต่อเน่ือง (continuous) ท่ีจุด t = t0 ก็ต่อเมื่อ

( )tr

00lim ( ) ( )

t tt t

r r

( )tr

จะเป็น continuous function ก็ต่อเมื่อ ต่อเนื่องท่ีทกุๆจุดใน Domain ของ

( )tr

( )tr

73

Example: Limit and Continuity

( ) cos( ) sin( )t t i t j tk r

/ 4lim ( )

tt

r

ต่อเน่ืองหรอืไม่( )tr

74

Derivative at a Point

( ) ( ) ( ) ( )t f t i g t j h t k r

A vector function is differentiable at t = t0 if f, g and h are differentiable at t0.

is differentiable if it is differentiable at every point of its domain.

นิยาม

( )tr

0

( ) ( )( ) lim

t

d t t ttdt tdf dg dhi j kdt dt dt

r r rr

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

75

Tangent Line

เสน้ตรงท่ีสมัผัสกับ ท่ีจุด P0(x0,y0,z0) คือเสน้ตรงท่ีผ่านจุด P0 และมทิีศทางขนานกับ

( )tr

0( )tr

Tangent Line

0( )tr

P0

X

Y

Z

0

76

Smooth Curve

Curve traced by is smooth if is continuous

and

( )tr

( )tr

( ) 0t r

Piecewise Smooth

Curve ท่ีประกอบด้วย smooth curve หลายๆ curve มาต่อกันเราเรยีกวา่ Piecewise smooth curve

77

Velocity, Speed, Acceleration, Direction of Motion

นิยาม ถ้าให ้ เป็นตำาแหน่งของอนุภาคเคล่ือนท่ีไปบน smooth curve ( )tr

1. ความเรว็ (Velocity)( )( ) d tt

dt

rv

( )tv

จะสมัผัสกับ curve

2. อัตราเรว็ (Speed) หมายถึงขนาดของความเรว็( )tv

3. ความเรง่ (Acceleration)2

2

( ) ( )( ) d t d ttdt dt

v ra

4. ทิศทางการเคล่ือนท่ี (Direction of Motion) คือ( )( )tt

vv

78

Example: A Hang Glider

เครื่องรอ่นเครื่องหนึ่งเคล่ือนท่ีเป็นรูปก้นหอยตามสมการน้ี2( ) 3cos( ) 3sin( )t t i t j t k r

จงคำานวณหา Velocity, Speed, Acceleration และจงคำานวณหาเวลาท่ีVelocity กับ Acceleration ตัง้ฉากกัน

79

Differentiation Rules for Vector Functions

ให ้ และ เป็น Differentiable vector functions ของตัวแปร t เป็นค่าคงท่ีแบบ vector, c เป็นค่าคงท่ีแบบ scalar, และ f เป็น differentiable scalar function

U

V

C

1. Constant Function Rule:

2. Scalar Multiple Rules:

3. Sum and Difference Rules:

0d Cdt

( ) ( )d cU t cU tdt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d f t U t f t U t f t U tdt

( ) ( ) ( ) ( )d U t V t U t V tdt

80

Differentiation Rules for Vector Functions

4. Dot Product Rule

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d U t V t U t V t U t V tdt

5. Cross Product Rule

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d U t V t U t V t U t V tdt

6. Chain Rule

( ( )) ( ( )) ( )d U f t U f t f tdt

81

Proof of the Cross Product Rule

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( )

(lim

h

h

h

h

d U t h V t h U t V tU t V tdt h

U t h V t h U t V t h U t V t h U t V th

U t h U t V t h V tV t h U th h

U

0 0 0

) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) limh h h

t h U t V t h V tV t h U th h

82

Proof of the Chain Rule

ให้ ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )

( )

( ( )) ( )

U s a s i b s j c s k s f t

d da db dcU s i j kdt dt dt dt

da ds db ds dc dsi j kds dt ds dt ds dtda db dc dsi j kds ds ds dt

U f t f t

83

Derivative of Triple Scalar Product Show that if are differentiable vector functions of t, then

d dU dV dWU V W V W U W U Vdt dt dt dt

( ), ( ), ( )U t V t W t

84

Vector Functions of Constant Length

ตัวอยา่งโจทยก์รณีพเิศษ เมื่ออนุภาคเคล่ือนท่ีบนผิวทรงกลมท่ีมศูีนยก์ลางท่ีจุด OriginPosition vector ของอนุภาคจะมคีวามยาวเท่ากันหมด ไมว่า่อนุภาคจะอยูท่ี่ใดบนผิวทรงกลม เราเรยีกวา่ Vector function of Constant length

จากคณุสมบติัท่ีวา่ สมัผัสกับ Curve เสมอ และ Curve น้ีอยูบ่นผิวทรงกลม ทำาใหเ้ราได้วา่ตัง้ฉากกับ เสมอดังรูป

( )( ) d ttdt

rv

( )tr

( )tr

( )d tdtr

หรอื( ) ( ) 0d t t

dt

r r

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

85

Property of Vector Functions of Constant Length

( ) ( )

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

2 ( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

t t c

d t tdt

t t t t

t t

d t tdt

r r

r r

r r r r

r r

r r

จะได้วา่

จากคณุสมบติัTake derivative ทัง้สองขา้ง

86

Integral of Vector Function

A differentiable vector function is an antiderivative

of a vector function on an interval I if

at each point of I.

Indefinite Integral

( )tr

( )tR

( ) ( )d t tdt

R r

( ) ( )t dt t C r R

C

คือค่าคงท่ีแบบ vector ตัวอยา่ง

2

1 2 3

2

cos( ) 2 cos( ) 2

sin( ) ( ) ( )

sin( )

t i j tk dt t dti dt j tdtk

t C i t C j t C k

t i t j t k C

87

Definite Integral

If the component of areIntegrable over [a,b], then the definite integral of From a to b is

( ) ( ) ( ) ( )t f t i g t j h t k r

( )tr

( ) ( ) ( ) ( )b b b b

a a a a

t dt f t dt i g t dt j h t dt k

r

Example

0 0 0 0

20 0 0

2

cos( ) 2 cos( ) 2

sin( )

[0 0] [ 0] [ 0]

t i j tk dt t dti dt j tdtk

t t t

i j k

2j k

88

Example: the Flight of a GliderAn acceleration of a glider is At time t = 0, the glider is at (3,0,0) with velocityFind the equation of the glider position

( ) 3cos( ) 3sin( ) 2a t t i t j k

(0) 3v j

( )( ) dv ta tdt

จาก ได้ 1

1

( ) ( )

3sin( ) 3cos( ) 2

v t a t dt C

t i t j tk C

คำานวณหา โดยการแทนค่า(0) 3v j

1C

1(0) 3sin(0) 3cos(0) 2(0) 3v i j k C j

ดังนัน้ได้ 1 0C

( )( ) dr tv tdt

จาก ได้ 2

22

( ) ( )

3cos( ) 3sin( )

r t v t dt C

t i t j t k C

คำานวณหา โดยการแทนค่า(0) 3r i

2C

21(0) 3cos(0) 3sin(0) (0) 3r i j k C i

ดังนัน้ได้ 2 0C

89

0

5

10

15

0

0.5

11.5

2-1

-0.5

0

0.5

1

Example: Motion along a Cycloid

Curve ( ) ( sin( )) (1 cos( ))t t t i t j r

is called a cycloid.

Find the maximum andMinimum of andv

a

90

Arc Length Along a Curve

ความยาวของ smooth curveคำานวณได้จาก

( ) ( ) ( ) ( ) , t f t i g t j h t k a t b r

2 2 2b

a

df dg dhL dtdt dt dt

or

( )b

a

L v t dt

91

Example: Distance Traveled by a Glider

( ) cos( ) sin( )t t i t j tk r ตำาแหน่งของเครื่องรอ่นเครื่องหนึ่งอธบิายได้จาก

จงคำานวณหาระยะทางท่ีเครื่องรอ่นเดินทางจากเวลาt = 0 ถึง t = 2

( )dv tdt

r

2

0

22 2 2

0

2

0

( )

( ) ( ) ( )

L v t dt

dt

dt

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

92

Arc Length As a Function of Timeเราสามารถคำานวณ Arc length ท่ีเป็น function of t ได้จาก

0

2 2 2( ) ( ) ( ) ( )t

t

s t x y z d

โดยม ี เป็น Base point0( )P t

ในกรณีน้ีเราจะได้ s(t) เป็นฟงัก์ชนัของเวลาท่ีบอกวา่ระยะทางจากจุด ถึงตำาแหน่งท่ีเวลา t เป็นเท่าไร

0( )P t

ตัวอยา่ง ( ) cos( ) sin( )t t i t j tk r

0

( ) ( )t

s t v d

เมื่อให้ 0 0t

93

ซึ่งจะได้ตำาแหน่ง ในรูปของฟงัก์ชนัของระยะทาง s จากจุดเริม่ต้น

จากฟงัก์ชนั ท่ีแสดงถึงความสมัพนัธร์ะหวา่งเวลาและความยาวของ curve

Arc Length Parameterization

0

( ) ( )t

t

s t v d

ถ้าเราสามารถหา inverse function ของ s(t) ได้กล่าวคือ ( )t t s

เราจะสามารถเขยีน ใหอ้ยูใ่นรูป ได้( )tr

( ( ))t sr

r

0( )P t

เราเรยีกการเขยีน ในรูปฟงัก์ชนัของ s วา่ Arc length parameterization

r

94

Arc Length Parameterization

โดยทัว่ไปเรามกัจะอธบิายตำาแหน่งของวตัถใุนรูปของฟงัก์ชนัของเวลาเชน่ มรีถยนต์คันหน่ึงแล่นออกจากจงัหวดัขอนแก่นไปทางทิศตะวนัออกเฉียงเหนือด้วยความเรว็ 90 km/hr. อยากทราบวา่อีกหน่ึงชัว่โมงต่อมารถยนต์คันน้ีอยูท่ี่ใดซึ่งคำาตอบก็ไมอ่ยาก เพราะเอาเวลาคณูความเรว็เขา้ไปก็จะได้ตำาแหน่ง

แต่ถ้าถามวา่ รถยนต์คันน้ีอยูท่ี่ตำาแหน่งใดเมื่อรถยนต์แล่นไปได้ระยะทาง 30 kmจากจงัหวดัขอนแก่น คำาตอบน้ีเราจะต้องทราบวา่ ตำาแหน่งของรถ สามารถคำานวณจากระยะทางได้อยา่งไรเสยีก่อน ซึ่งวธิกีารนี้เราต้องใช ้Arc length parameterization

95

Length is independent of Parameterization

ในการทำา Arc length parameterization นัน้ function ท่ีได้จะไมข่ึ้นกับ parameter ไมว่า่เราจะใช ้parameter ท่ีแตกต่างกัน

( ( ))t sr

1. ( ) cos( ) sin( )t t i t j tk r

ได้ ( ( ))t s r

2. ( ) cos( / 2) sin( / 2) ( / 2)t t i t j t k r

ได้ ( ( ))t s r

หมายเหตุ ตำาแหน่งของอนุภาคในขอ้ 1 และขอ้ 2 อยูบ่นทางเดินเดียวกันแต่อนุภาคในขอ้ หนึ่งมอัีตราเรว็เป็นสองเท่าของอนุภาคในขอ้ 2

96

Speed on a Smooth Curve

Speed หรอือัตราเรว็คำานวณได้จาก ซึ่งจากนิยาม อัตราเรว็หมายถึงอัตราการเปล่ียนแปลงระยะทาง s เทียบกับเวลา t เราจะได้

v

ds vdt

Unit Tangent Vector

ทิศทางการเคล่ือนท่ีคำานวณได้จากvTv

เนื่องจาก( )( ) d tv t

dt

r

และ

11/dt dsds dt v

ดังนัน้1d d dt vv T

ds dt ds v v

r r

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

97

Unit Tangent Vectorนิยาม

//

d d dt vTds dt ds v

r r

Example 2( ) 3cos( ) 3sin( )t t i t j t k r

v

vTv

98

Curvature Curvature เป็นสิง่ท่ีบอกวา่ curve มกีารหมุนหรอืการตีโค้งอยา่งไรโดยเราสามารถดไูด้จากอัตราการเปล่ียนทิศทางของ curve เป็นหลัก

นิยาม If is the unit tangent vector of a smooth curve,the curvature function of a smooth curve is

T

dTds

เราสามารถคำานวณจาก 1/

1

dT dT dt dTds dt ds ds dt dt

dTdtv

99

Example: Curvature of a Circle( ) cos( ) sin( )t a t i a t j r

วงกลมรศัม ีa สามารถเขยีนเป็น

( )( ) d tv tdt

r

2 2( ) ( ) ( )v t

vTv

dTdt

dTdt

1 dTdtv

100

Principal Unit Normal

โดยปกติ จะตัง้ฉากกับ ทิศทางของ คำานวณได้จาก

นิยาม At any point where the principal unit normal vector for a curve in the plane is

T dT

ds

dTds

0

1 dTNds

เราสามารถคำานวณได้จาก

//

dT dtNdT dt

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

101

Example: Principal Unit Normal( ) cos(2 ) sin(2 )t t i t j r

( )( ) d tv tdt

r

2 2( ) ( ) ( )v t

vTv

dTdt

dT

dt

//

dT dtNdT dt

102

Circle of CurvatureDefinition: The circle of curvature or osculating circle at a point P on a plane curve where is the circle in the plane of the curve that1. is tangent to the curve at P2. has the same curvature the curve has at P3. lies toward the concave or inner side of the curve

0

Radius of Curvature1

Center of Curvature = center of the circle(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

103

Example: Find Osculating Circle of a Parabola at t = 0

2( )t ti t j r ( )( ) d tv t

dt

r

2 2( ) ( ) ( )v t

vTv

dTdt

1(0) (0)(0)

dTdtv

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)

104

Tangential and Normal Components of Acceleration

d d ds dsv Tdt ds dt dt

r r

จาก

ดังนัน้2

2

2

2

2

2

22

2

dv d ds d s ds dTa T Tdt dt dt dt dt dt

d s ds dT dsTdt dt ds dt

d s ds dsT Ndt dt dt

d s dsT Ndt dt

(ภาพจากหนังสอื Thomas’ Calculus)