Vektor kalkulus

Vektor kalkulusVektor kalkulusVektor kalkulusVektor kalkulus

Del-operatorDefinisjon og anvendelse

zyx

,,Del-operator

z

F

y

F

x

FF,F,F

z,

y,

xFF div 321

321

z

f

y

f

x

ff

zyxffgrad ,,,,

y

F

x

F,

x

F

z

F,

z

F

y

F

FFFzyx

kji

F,F,Fz

,y

,x

FF curl 123123

321

321

Gradient

Divergens

Curl

zyx

,,

Gradient RetningsderivertDivergens FluksCurl Sirkulasjon /

Rotasjon

Curl Sammenheng mellom curl og rotasjon

xyzxyz

zyx

kji

rv 211332321 ,,

2,,22,2,2,,

)()(),()(),()(

curl

321321332211

321321321321

211332

yzy

zxx

xyx

yzz

zxz

xyy

xyzxyzzyx

kji

vv

zyxr ,,

2 curl v

rv

Posisjon

Hastighet

zyx

,,

FF

curl

zyxr ,,

rv

Konservativt vektorfeltVei-uavhengighet

B

A

rdF

La

Vi sier da at integralet er vei-uavhengig.

Vi sier videre at F er konservativ og at vektorfeltet er konservativt.

være uavhengig av alle veiermellom A og B for alle A,B D.

F definert i et åpent område D i rommet.

A

B

Potensial-funksjon

Hvis det finnes en skalar-funksjon fsom er slik at

F = f F er gradienten til f

så kalles f for en potensial-funksjon til F

og vektorfeltet kalles for et gradientfelt.

F definert i et åpent område D i rommet.

Gradientfelt og vei-uavhengighet

)A(f)B(ffdfdf

dtdt

df

dtdt

dz

z

f

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dtdt

dz,

dt

dy,

dt

dx

z

f,

y

f,

x

f

dtdt

rdfrdF

B

A

B

AC

C

C

C

CC

F definert i et åpent område D i rommet. Bevis del 1:

Anta at det finnes en f slik at F = f.

dvs, integralet er vei-uavhengig,kun avhengig av endepunktene.

Det finnes en f slik at F = f

C

rdF

vei-uavhengig

Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver

uavhengigVei rdFrdF

rdFrdF

rdFrdF

0rdFrdF

0rdF

21

21

21

21

C Langs

B

A

C Langs

B

A

CC

CC

CC

C

F definert i et åpent område D i rommet. Bevis:

D i C lukkede 0rdF

C

F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig)

A

B

C1

C2

Gradientfelt og curl

0y

F

x

F,

x

F

z

F,

z

F

y

FF curl

y

F

x

f

yyx

f

y

f

xx

F

x

F

x

f

zxz

f

x

f

zz

F

z

F

y

f

zzy

f

z

f

yy

F

z

f,

y

f,

x

ffF

F,F,FF

123123

12

2

32

1

22

3

321

F definert i et åpent område D i rommet. Bevis 1:

0F curl

fF

F gradientfelt curl F = 0

0F curl 0F curl

Gradientfelt og eksakt differentialform

F = [ F1, F2, F3] definert i et åpent område D i rommet.

eksakter dzFdyFdxF

fF

321

Uttrykket F1dx + F2dy + F3dzer en differential form.Differentialformen kalles eksakthvis det finnes en skalar funksjon f slik at

dfdzz

fdy

y

fdx

x

fdzFdyFdxF 321

Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt

F definert i et åpent område D i rommet.

eksakter dzFdyFdxF

0F curl

D i C lukkede 0rdF

uavhengig)(vei vkonservati F

fF

321

C

Konservativt vektorfeltEks 1 - Oppgave

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]

1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig)

2. Bestem en potensialfunksjon til F

3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [1/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]

1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0

00,0,0)sin()sin(,,,,

1)sin(cos sinsin1sin

01 10cos

01sin 01

,, ,,

123123

12

31

23

123123

321

321

yezyezyyxxy

F

x

F

z

F

z

F

z

F

y

FFcurl

ezzyeyzyeyy

Fyezyezyexz

xx

F

yyzxyxx

Fyyyzye

zz

F

xxyexzzz

Fxxzxy

yy

F

y

F

x

F

x

F

z

F

z

F

y

F

FFFxxx

kji

FFcurlFFFF

xx

xxxxxx

x

x

Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [2/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]

2. Bestem en potensialfunksjon til F

z

f,

y

f,

x

ffF

zxy,ysinexz,yzycoseF

fFat slik

funksjon potensialfen finnes

v,konservatier FSiden

xx

cz2

1xyzycose)z,y,x(f cz

2

1h z

dz

dh

zxy

dz

dhxy0

z

f

)z(hxyzycose)z,y,x(f )z(hg 0y

g

ysinexz

y

gxzysine

y

f

)z,y(gxyzycose)z,y,x(f yzycosex

f

2x2

!

x

x

!

x

xx

Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [3/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]

3. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

.F lunksjon tipotensialfen er fhvor og

veienav sluttpunkt ogstart shenholdsvier B ogA hvor

f(A)f(B)n differanselik og

uavhengig vei væreF tilintegralet veivil

,uavhengig)- vei(dvs vkonservatier FSiden

)10071.1( 732cos9cos

)32

13212cos(

))1(2

1)1(979cos(

)3,2,1()1,9,7(

)()(

2

1cos),,(

37

21

27

)1,9,7(

)3,2,1(

2

ee

ce

ce

ffrdF

AfBfrdF

czxyzyezyxf

fF

B

A

x

Konservativt vektorfeltEks 2 - Oppgave

1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt

2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene:

)1,3,2(

)1,1,1(

4dzxdyydx

A (1,1,1)

B (2,3,-1)

Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [1/4]

1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0

00,0,011,00,00

y

F

x

F,

z

F

z

F,

z

F

y

FF curl

1yyy

F 1x

xx

F

04xx

F 0y

zz

F

0xzz

F 04

yy

F

y

F

x

F,

x

F

z

F,

z

F

y

FF curl F,F,FF

123123

12

31

23

123123321

C

C

321

C

321

dz4xdyydx

dzFdyFdxFrdF

4,x,yF,F,FF

Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt

Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [2/4]

C

C

321

C

321

dz4xdyydx

dzFdyFdxFrdF

4,x,yF,F,FF

z

f

y

f

x

ffF

xyF

fF

y

,,

4,,

at slik

funksjon potensialfen finnes

eksakt,er 4dzxdydxSiden

czxyzyxfczhdz

dhdz

dh

z

f

zhxyzyxfzhgy

g

xy

gx

y

f

zygxyzyxfyx

f

4),,( 4 4

4 0

)(),,( )( 0

),(),,(

!

!

2. Bestemmelse av potensialfunksjon f

Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [3/4]

F = [ y, x, 4]

2. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1)

.F lunksjon tipotensialfen er fhvor og

veienav sluttpunkt ogstart shenholdsvier B ogA hvor

f(A)f(B)n differanselik og

uavhengig vei væreF tilintegralet veivil

,uavhengig)- vei(dvs vkonservatier FSiden

3)1411())1(432(

)1,1,1()1,3,2(

)()(

4),,(

)1,3,2(

)1,1,1(

cc

ffrdF

AfBfrdF

czxyzyxf

fF

B

A

A (1,1,1)

B (2,3,-1)

F

Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [4/4]

dtdztz

dtdyty

dtdxtx

ttt

t

vt

v

2 21

2 21

1

21,21,1

3,2,11,1,1

r(t)r

:ABlinjen av gremstillinparameterfGlatt

3,2,111,13,12

:vektorRetnings

0

352)54(

)2(42)1(1)21(

4

1

0

21

0

1

0

)1,3,2(

)1,1,1(

t

t

t

t

t

t

ttdtt

dttt

dzxdyydx

A

B

2. Integralet kan også løses direkte

A (1,1,1)

B (2,3,-1)

F

Divergens (Flukstetthet)

Curl (Sirkulasjonstetthet)

limlim00 dA

dsnF

A

dsnF

AdA

dFFdiv dCC

AA

dA

dsTF

A

dsTF

A

C

dA

dCkFkFcurl dCC

AA

00limlim)() (

k

n

T

C

F

C

21

C

dxFdyFdsnF

Fluks

C

21

C

dyFdxFdsTFS

Strømning

k

n

T

C

F

Divergens

Curl

lim0 A

dsnF

dA

dFFdiv C

A

A

dsnF

dA

dCkFkFcurl C

A

0lim)() (

A

dA dC

Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [1/3]

C

21

C

dxFdyFdsnF

),( yx

),( yyxx

),(1 yxFF

),(2 yxxFF

),(4 yxFF

),(3 yyxFF

xjF )(11

yiF

22

xjF

33

yiF )(44

)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21

i

i

j

j

yiyxFxjyyxFyiyxxFxjyxF

yiFxjFyiFxjF

)(),(),(),()(),(

)()(

rektanglet avut fluks Netto

4321

4321

xy

x

y

Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [2/3]

Fy

F

x

F

x

F

y

F

x

yxFyxxF

y

yxFyyxF

yxdA

d

x

yxFyxxF

y

yxFyyxF

yx

yxx

yxFyxxF

y

yxFyyxF

yyxFyxxFxyxFyyxF

yyxFxyyxFyyxxFxyxF

yiyxFxjyyxFyiyxxFxjyxF

yiFxjFyiFxjF

yxyx

21121122

0,0,

1122

1122

1122

1212

4321

4321

),(),(),(),(limlim

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),( ),( ),( ),(

)(),(),(),()(),(

)()(

trektangele avut fluks Netto

y

F

x

FF,F

y,

xFF div 21

21

C

21

C

dxFdyFdsnF

)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21

Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [3/3]

FFFyxy

F

x

F

dydxy

Fdxdy

x

F

dxdydxdy

y

Fdydx

x

F

dxdy

dydxy

Fdxdy

x

F

dxdydxFFdyFF

dxdy

dxFdxFdyFdyFdxdy

dyFdxFdyFdxFdxdy

dyFdxFdyFdxFdxdy

dsnFdsnFdsnFdsnFdxdy

dxdy

dsnF

yx

dsnF

yxdA

dFdiv

dxdy

thorisontalvertikaltthorisontal

bunntopp

vertikalt

venstrehøyre

bunntoppvenstrehøyrevenstretopphøyrebunn

venstretopphøyrebunnvenstretopphøyrebunn

dCC

yxyx

2121

2121

212211

22111212

1212

0,0,

,,

1

1

1)()(

1

1

1

)()(1

1

limlim

F

dxdy

dsnF

yx

dsnF

yxdA

dFdiv dCC

yxyx

limlim0,0,

A B

F

n

CD

dAdy

dx

Divergens (Flukstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D

y

F

x

FF,F

y,

xFF div

dA

d 2121

Ekspanderende gassi punktet (x0,y0)

Komprimerende gassi punktet (x0,y0)

0),( 00 yxFdiv

0),( 00 yxFdiv

Divergens (Flukstetthet)Eks 2 - 2D

y2x3

y2xx2

)yxy(y

)yx(x

y

F

x

F F,F

y,

xFF div

22

2121

Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]

y

F

x

FF,F

y,

xFF div 21

21

Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [1/3]

CC

NdyMdxdsTFC

),( yx

),( yyxx

),(1 yxFF

),(2 yxxFF

),(4 yxFF

),(3 yyxFF

xiFC

11

yjFC

22

xiFC )(33

yjFC )(44

)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21

i

i

j

yjyxFxiyyxFyjyxxFxiyxF

yjFxiFyjFxiF

CCCCC

)(),()(),(),(),(

)()(

:klokka)mot (retning rektangletrundt n Sirkulasjo

4321

4321

j

CC

dyFdxFdsTFS 21

xy

x

y

Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [2/3]

kFy

F

x

F

y

yxFyxxF

x

yxFyyxF

yx

C

dA

dC

y

yxFyyxF

x

yxFyxxF

yx

C

yxx

yxFyxxF

y

yxFyyxF

yyxFyxxFxyxFyyxF

yyxFxyyxFyyxxFxyxF

yjyxFxiyyxFyjyxxFxiyxF

yjFxiFyjFxiF

CCCCC

yxyx

)(

),(),(),(),(limlim

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),( ),( ),( ),(

)(),()(),(),(),(

)()(

trektangelerundt n Sirkulasjo

121122

0,0,

1122

2211

2211

2121

4321

4321

y

F

x

F,0,0F,F

y,

xFF curl 12

21

)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21

CC

dyFdxFdsTFS 21

Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [3/3]

kFy

F

x

F

dydxy

Fdxdy

x

F

dxdydxdy

y

Fdydx

x

F

dxdy

dydxy

Fdxdy

x

F

dxdydxFFdyFF

dxdy

dxFdxFdyFdyFdxdy

dyFdxFdyFdxFdxdy

dyFdxFdyFdxFdxdy

dsTFdsTFdsTFdsTFdxdy

dxdy

dsTF

yx

dsTF

yx

C

dA

dC

dxdy

thorisontalvertikaltthorisontal

bunntopp

vertikalt

venstrehøyre

bunntoppvenstrehøyrevenstretopphøyrebunn

venstretopphøyrebunnvenstretopphøyrebunn

dCC

yxyx

)(

1

1

1)()(

1

)(1

1

)()(1

1

limlim

12

1212

121122

11222121

2121

0,0,

A B

F

T

CD

dAdy

dx

)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21

CC

dyFdxFdsTFS 21

y

F

x

F,0,0F,F

y,

xFF curl 12

21

Curl (Sirkulalsjonstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D

Rotasjon mot klokkai punktet (x0,y0)

Rotasjon med klokkai punktet (x0,y0)

0),( url 00 kyxFc

0),( 00 kyxFcurl

k

k

y

F

x

F,0,0F,F

y,

xFF curl 12

21

Divergens (FlukstetthetCurl (Sirkulasjonstetthet)

dsnFA

1limFF div

C0A

dsTFA

1limk)F(k)F (curl

C0A

n

C

F

T

C

F

A

A

Divergens

Curl

Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 2 - 2D

0

0,0,0

00,0,0

)x(y

)y(x

,0,0

y

F

x

F,0,0

0FF

0yx

kji

F,Fy

,x

F F curl

12

21

21

Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ]

Ingen rotasjons-tendens

y

F

x

F,0,0F,F

y,

xFF curl 12

21

Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 3 - 2D

1

)()(

0

0,,) (

22

y

yxy

yxyx

y

M

x

N

NMyx

kji

NMyx

FkFcurl

Finn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ]

k22,0,0

11,0,0

)y(y

)x(x

,0,0

y

F

x

F,0,0

0FF

0yx

kji

F,Fy

,x

F F curl

12

21

21

Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ -y, x ]

Rotasjons-tendens

y

F

x

F,0,0F,F

y,

xFF curl 12

21

Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 4 - 2D

1y

)yx(y

)yxy(x

y

F

x

F

1,0,0y

F

x

F,0,0 k

0FF

0yx

kji

kF,Fy

,x

k)F( k)F curl(

22

12

12

21

21

Finn k-komponenten av curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x2 – y, xy – y2 ]

y

F

x

F,0,0F,F

y,

xFF curl 12

21

Curl (Sirkulasjonstetthet)Fysisk tolkning av curl - 2D

R avArealet

Wk)F(curl

Rd)(c,kd))(c,F (curl

ningen)elverdiset(iflg.midd

benytt ogliten væreR La

:curlkonstant Ikke ktor konstantveF curl

dAk)F curl(dsTFCW

y

F

x

Fk

y

F

x

F,0,0kF,F

y,

xk)F(k)F curl(

dA

dC

RC

121221

curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjon rundt randen til R.curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt.curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.

y

F

x

F,0,0F,F

y,

xFF curl 12

21

k

T

C

F

R

Greens teoremDef - 2D

RRR

21

C

21

C

dAFdAFdivdxdyy

F

x

FdxFdyFdsnF

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

RRR

12

C

21

C

dAk)F(dAk)Fcurl(dxdyy

F

x

FdyFdxFdsTFC

Fluks - Divergens - Normalform

Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

Greens teoremDef - 2D - Fig

RRR

CC

dAFdAFdivdxdyy

F

x

F

dxFdyFdsnF

2 1

21

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

n

C

F

T

C

F

R

R

RRR

CC

dAkFdAkFcurldxdyy

F

x

F

dyFdxFdsTFC

)()( 12

21

Greens teoremDef - 2DNormalform

RRR

CC

dAFdAFdivdxdyy

F

x

F

dxFdyFdsnF

2 1

21

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

n

C

F

R

Normalformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C,dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av divergensen til F over det indre området R av kurven C,dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.

Greens teoremDef - 2DTangentiellform

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C,dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C,dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

T

C

F

R

RRR

CC

dAkFdAkFcurldxdyy

F

x

F

dyFdxFdsTFC

)()( 12

21

Greens teoremDef - 2D - Part

RRR

CC

dAFdAFdivdxdyy

F

x

F

dxFdyFdsnF

2 1

21

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

RRR

CC

dAkFdAkFcurldxdyy

F

x

F

dyFdxFdsTFC

)()( 12

21

n

C

F

T

C

F

R

R

Greens teoremBevis-skisse - Curl / Div - 2D

x

yC

Ci,j

Ci,j+1

Ci+1,j

Ci+1,j+1

Ri,j

Ri,j

I

II

III

IV

i j CP

RP

C jiP

dsTFdsTFdsTFC,

00limlim

RP

1jj1i

1iij

j1ji

i1i1j

y til x fra y y,x)y(rr IV

x til x fra x y,x)x(rr III

yyy y,x)y(rr II

xxx y,x)x(rr I

i j CP

RP

C jiP

dsnFdsnFdsnF,

00limlim

Greens teoremBevis-skisse - Curl - 2D

ij

j

j

i

i

i

i

j

j

j

j

i

i

j

j

i

i

j

j

i

i

jiji

R

y

y

x

x

x

x

y

y

y

y

ii

x

x

jj

y

y

i

x

x

j

y

y

i

x

x

j

IVIIIIII

CC

dAy

F

x

F

dydxx

Fdxdy

y

F

dyyxFyxFdxyxFyxF

dyyxFdxyxFdyyxFdxyxF

dyFdxFdyFdxF

dyFdxFdsTF

12

21

122111

121211

2121

21

),(),(),(),(

),(),(),(),(

1 11 1

11

11

11

,,

R

12

i j C0P

C

i j R

12

i j C

dAy

F

x

FdsTFlimdsTF

dAy

F

x

FdsTF

j,i

ijj,i

R

12

C

dAy

F

x

FdsTF

R

12

C

dAy

F

x

FdsTF

x

yC

F

T

Ri,j

I

II

III

IV

1jj1i

1iij

j1ji

i1i1j

y til x fra y y,x)y(rr IV

x til x fra x y,x)x(rr III

yyy y,x)y(rr II

xxx y,x)x(rr I

Greens teoremBevis-skisse - Div - 2D

ij

i

1i

j

1j

j

1j

i

1i

i

1i

j

1j

1j

j

1i

i

j

1j

i

1i

j,ij,i

R

21

x

x

y

y

2

y

y

x

x

1

x

x

1j2j2

y

y

1i1i1

y

y

1i1

x

x

j2

y

y

i1

x

x

1j2

IV

1

III

2

II

1

I

2

C

21

C

dAy

F

x

F

dxdyy

Fdydx

x

F

dx)y,x(F)y,x(Fdy)y,x(F)y,x(F

dy)y,x(Fdx)y,x(Fdy)y,x(Fdx)y,x(F

dyFdxFdyFdxF

dxFdyFdsnF

R

21

i j C0P

C

i j R

21

i j C

dAy

F

x

FdsnFlimdsnF

dAy

F

x

FdsnF

j,i

ijj,i

R

21

C

dAy

F

x

FdsnF

R

21

C

dAy

F

x

FdsnF

x

yC

F n

Ri,j

I

II

III

IV

1jj1i

1iij

j1ji

i1i1j

y til x fra y y,x)y(rr IV

x til x fra x y,x)x(rr III

yyy y,x)y(rr II

xxx y,x)x(rr I

Greens teoremFysisk tolkning - Uten hull

RRR

CC

dAFdAFdivdxdyy

F

x

F

dxFdyFdsnF

2 1

21

Green - Fluks - Divergens - Normalform

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

RRR

CC

dAkFdAkFcurldxdyy

F

x

F

dyFdxFdsTFC

)()( 12

21

C

R

n hull

RC

RC

dAy

F

x

FdsTF

dAy

F

x

FdsnF

12

21

Positiv og negativ fluksDef - 2D - Fig

RRR

CC

dAFdAFdivdxdyy

F

x

F

dxFdyFdsnF

2 1

21

Green - Fluks - Divergens - Normalform

FlomPositiv fluks

Uttapping av vannNegativ fluks

E

Elektrisk feltPositiv fluks / Negativ fluks

Elektrisk feltNull fluks

Greens teoremEks 1 - 2D

0 1 cos

1 1 sincos

cos sin

sin cos

222

111

y

F

x

FtxF

y

F

x

FttyxF

tdtdyty

tdtdxtx

221

2

0

2

0

22

0

21

1)01(

2

2cos1cos)sin)((cos))(cossin(cos

RRRRR

CC

dxdydxdydAy

F

x

FdAFdAFdiv

dtt

tdtdttttttdxFdyFdsnF

Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ]over området R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0 t 2

RRR

12

C

21

C

RRR

21

C

21

C

dAk)F(dAk)Fcurl(dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAFdAFdivdAy

F

x

FdxFdyFdsnF

212dxdy2dxdy))1(1(dAy

F

x

FdAk)F(dAk)Fcurl(

2tcos2

1tdt)tcostsin1(dt)t)(cost(cos)tsin)(tsint(cosdyFdxFdsTF

2

RRR

12

RR

2

0

22

0

2

0C

21

C

NormalformFluks

TangentialformSirkulasjon

Greens teoremOmråder med hull - 2D [1/2]

x

yC1

R ?1

C

x

yC11

R1

C1

C2

C22

C21

R2

J1J2

C12

21

21

22211211

22211212121121

CC

CC

CCCC

JCJCJCJCRRR

A B

Greens teoremOmråder med hull - 2D [2/2]

x

yC11

R1

C1

C2

C22

C21

R2

J1J2

C12

RCC

RCC

dAy

F

x

FdsTFdsTF

dAy

F

x

FdsnFdsnF

12

21

21

21

x

yC

R

Ri CC

Ri CC

dAy

F

x

FdsTFdsTF

dAy

F

x

FdsnFdsnF

i

i

12

21

C1

C2

C3

1 hull

n hull

Greens teoremFysisk tolkning - Med hull

RRR

i CC

dAFdAFdivdxdyy

F

x

F

dsnFdsnFi

2 1

Green - Fluks - Divergens - Normalform

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

RRR

i CC

dAkFdAkFcurldxdyy

F

x

F

dsTFdsTFCi

)()( 12

C

R

n hull

Ri CC

Ri CC

dAy

F

x

FdsTFdsTF

dAy

F

x

FdsnFdsnF

i

i

12

21

Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [1/3]

.retning positiv i origorundt går som

planet) (i kurveglatt lukket, enkel,en er Cnår

Bestem

hull )0,0(),( ,1

),( rfeltet Gitt vekto22

C

dsTF

yxxyyx

yxF

origo. om a radius med sirkelen væreC la å velger Vi

(0,0).punktet om klokka) med(rotasjon kurvelukket en er Chvor

dAy

F

x

FdsTFdsTF

:får vi hull,et er (0,0)Siden

a

a

R

12

CC a

x

yC

Ca

Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [2/3]

hull )0,0(),( ,1

),(22

yxxyyx

yxF

R

12

CC

dAy

F

x

FdsTFdsTF

a

x

yC

Ca

0yx

xy

yx

xy

x

F

x

F

)symmetri( yx

xy

yx

yx

yx

y

yyx

y

yy

F

yx

xy

yx

x2

yx

yx

yx

x2

yx

1

x2yx)1(xyx1yxxxyx

x

xx

F

yx

xF

yx

yF

222

22

222

2212

222

22

222

22

22221

222

22

222

2

222

22

222

2

22

22212212222

2

222221

Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [3/3]

hull )0,0(),( ,1

),(22

yxxyyx

yxF

2dtdttcostsin

dttcosa,tsinatcosa,tsinaa

1

rdF

dsTFdsTFdsTF

0dAy

F

x

FdsTFdsTF

2

0C

22

C2

C

CCC

R

12

CC

a

a

a

aa

a

x

yC

Ca

2,0t tsina,tcosa)t(r

Greens teoremEks - 2D [1/4]Uten Greens teorem

C

2dxyxydy : teoremGreensuten og med bådeBeregn

2

31

2

1

2

1

0 )1( 0

: teoremGreensUten

1

0

1

0

21

0

1

0

0

2

0

2

1010

2

10

2

00

2

x

x

y

y

x

x

y

y

IIIII

IVIIIIIIC

xydxydy

dxydy

dxyydyxdxydyyxdxyydyxdxydyyxdxyxydy

x

y C

1

1

I

II

III

IV

RCC

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAy

F

x

FdxFdyFdsnF

1221

2121

Greens teoremEks - 2D [2/4]Med Greens teorem (normal/tangential)

C

2dxyxydyBeregn

x

y C

1

1

I

II

III

IV

Fluks Sirkulasjon

I tillegg til direkte beregning,kan integralet beregnesvha Greens teorem,enten vha fluks- ellersirkulasjons-betraktninger.

F = [ xy, y2 ] F = [ -y2,xy ]

RCC

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAy

F

x

FdxFdyFdsnF

1221

2121

C

2dxyxydy C

2dxyxydy

Greens teoremEks - 2D [3/4]Normalform

C

2dxyxydy : teoremGreensuten og med bådeBeregn

2

3y

2

13ydy3dyxy3dyydx3ydA3

dAy2y

y,xyF dAy

F

x

FdxFdyF

dxyxydy

:(fluks) Normalform - teoremGreens Med

1y

0y

21y

0y

1y

0y

1x

0x

1y

0y

1x

0xR

R

2

R

21

C

21

C

2

x

y C

1

1

I

II

III

IV

RCC

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAy

F

x

FdxFdyFdsnF

1221

2121

Greens teoremEks - 2D [4/4]Tangentiellform

C

2dxyxydy : teoremGreensuten og med bådeBeregn

2

3

2

133333

2

,

:on)(sirkulasj lformTangentiel - teoremGreens Med

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

21221

2

y

y

y

y

y

y

x

x

y

y

x

xR

R

RC

C

yydydyxydyydxydA

dAyy

xyyFdAy

F

x

FdyFdxF

dxyxydy

x

y C

1

1

I

II

III

IV

RCC

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAy

F

x

FdxFdyFdsnF

1221

2121

Greens teoremEks - Kurve C [1/4]Tangentiellform

C

dxyxyxdyxxy )23()24( 22

RCC

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAy

F

x

FdxFdyFdsnF

1221

2121

Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planetsom gir minimumsverdi av følgende integral:

C1

C2

C3

Greens teoremEks - Kurve C [2/4]Tangentialform

C

dxyxyxdyxxy )23()24( 22

44 )2()24(

)23()24(

24),23(,

:on)(sirkulasj lformTangentiel - teoremGreens Med

222212

2122

2221

RRR

CC

dAyxdAxydAy

F

x

F

dyFdxFdxyxyxdyxxy

xxyyxyxFFF

RCC

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAy

F

x

FdxFdyFdsnF

1221

2121

44)23()24( 2222 RC

dAyxdxyxyxdyxxy

C1

C2

C3

R1

R2

R3

Greens teoremEks - Kurve C [3/4]Tangentialform

RCC

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAy

F

x

FdxFdyFdsnF

1221

2121

44)23()24( 2222 RC

dAyxdxyxyxdyxxy

C1

C2

C3

R1

R2

R3

112

44

044

2

2

2

2

22

22

yx

yx

yx

044 22 yx

044 22 yx

044 22 yx

C

R

Siden integranden i dobbeltintegralet over Rer null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen Cog negativ innenfor ellipsen C,så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdinår området R er området innenfor den gitte ellipsen C.

Ellipsen C

Greens teoremEks - Kurve C [4/4]Tangentialform

RCC

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF

dAy

F

x

FdxFdyFdsnF

1221

2121

44)23()24( 2222 RC

dAyxdxyxyxdyxxy

112

044

2

2

2

2

22

yx

yx

Ellipsen C 24),23(, 2221 xxyyxyxFFF

CC

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Innledning

R

dAA

Arealet av et område R i planet er gitt ved:

Vi skal se hvordan vi vha Greens teoremkan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integrallangs konturen av området.Det finnes uendelig mange slike formler.

x

y

C

R

Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt områdetnår vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF 12

21

Arealet av området R:

Greens teorem (tangentiell form)beregner arealet av R hvis:

x

y

C

RR

dAA

Greens teorem (tangentiell form):

1y

F

x

F 12

Mulig løsning:

CCRR

12

12

xdyxdydx0dA01dAA

0F xF

0y

F 1

x

F

CR

xdydAA

CR

xdydAA

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF 12

21

Arealet av området R:

Greens teorem (tangentiell form)beregner arealet av R hvis:

x

y

C

RR

dAA

Greens teorem (tangentiell form):

1y

F

x

F 12

Mulig løsning:

CCRR

ydxdydxydAdAA

yFF

y

F

x

F

0)1(0

0

1 0

12

12

CR

ydxdAA

CR

ydxdAA

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3

RCC

dAy

F

x

FdyFdxFdsTF 12

21

Arealet av området R:

Greens teorem (tangentiell form)beregner arealet av R hvis:

x

y

C

RR

dAA

Greens teorem (tangentiell form):

1y

F

x

F 12

Mulig løsning:

CRR

12

12

dxyxdy2

1dA

2

1

2

1dAA

y2

1F x

2

1F

2

1

y

F

2

1

x

F

CR

ydxxdy2

1dAA

CR

ydxxdydAA2

1

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1

CCCR

ydxxdy2

1ydxxdydAA

ab

ya

dya

00ady0

dyxdyxdyxdyx

xdyA

by

0y

by

0y

II

IV 0III 0II aI 0

C

x

y C

a

b

I

II

III

IV

Beregn arealet av et rektangelmed sider a og b

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2

CCCR

ydxxdy2

1ydxxdydAA

Beregn arealet av en sirkel med radius a

x

y

C

a

222t

0t

2

2t

0t

2

2t

0t

222

2t

0t

2222

2t

0t

C

a2a2

1ta

2

1

dta2

1

dttsintcosa2

1

dttsinatcosa2

1

dt)tsina(tsinatcosatcosa2

1

ydx-xdy2

1A

tdtcosady tsinay

tdtsinadx tcosax

2,0t asintacost,(t)r

Flate-integralAreal - Def

RS

dApf

fdSAreal

S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c

Planområdet R er projeksjonen av S (på figuren projeksjonen ned i xy-planet)

p enhetsnormalvektor på planområdet R

RS

dApf

fdSAreal

Arealet av S er gitt ved:

y

x

z

S

R

p

f

Flate-integralAreal - Bevis [1/2]

P

A

p

Q

R

S

PQRS parallellogramp enhetsnormalvektor på flaten A

p)vu(A

u

v

ps'uPP'QQ''uQQ'PP''uQQ'PP''u

QQ' 'uPP'

QQ'Q'P'PP'u

P’

Q’ R’

S’

pt'vPP'SS''uSS'PP''uSS'PP''v

SS' 'vPP'

SS'S'P'PP'v

0pp

ppstp'ut'vps'v'u)pt'v()ps'u(vu

A

'v'ucosp'v'up)'v'u(p)vu(

p)'v'u(p)vu(

1

'u 'v

RS

dApf

fdSAreal

Flate-integralAreal - Bevis [2/2]

RS

dApf

fdSA

S

Ak

p

fPk

Ak

R

kk

k

kkk

k

kkkkkkkkkk

dApf

fAreal ΔA

pf

f

fpf

ΔAΔP

f

pfcosγ cosγfcosγpfpf

cosγ

ΔAΔP cosγΔPcosγpvup)vu(ΔA

ku

kv

kk vup

RS

dApf

fdSAreal

R

Flate-integralAreal - Eks

Finn arealet av paraboloideflaten x2 + y2 – z = 0når paraboloiden kuttes av planet z = 4.

RS

dApf

fdSAreal

4

S

R

0,0,1p

222 2x y

La f(x,y,z) = x2 + y2 – z.Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0.

11pf

111)(02y02x0,0,112x,2y,pf

14y4x1)((2y)(2x)f

12x,2y,z

f,

y

f,

x

ff

zyxz)y,f(x,

22222

22

1)17(176

π1)dθ(17

12

1dθ1)(4r

12

1rdrdθ14r

dxdy14y4xdA1

14y4xdA

pf

fA

2π

0

2

32π

0

2

0

2

32

2π

0

2

0

2

R

22

R

22

R

Flate-integralAreal - Spesialtilfeller

Flate z = f(x,y)

La F(x,y,z) = z – f(x,y)S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0

4

S

R

0,0,1p

222 2x y

11pF

1110)f(0)f(0,0,1,1f,fpF

ff11)f()f(F

,1f,f,1y

f,

x

f

z

F,

y

F,

x

FF

y)f(x,zz)y,F(x,

yxyx

2y

2x

22y

2x

yx

R

2y

2x

R

2y

2x

R

dxdyff1dA1

ff1dA

pF

FA

y)f(x,z

R

2z

2x

R

2z

2y

R

2y

2x

dxdzff1A z)f(x,y

dydzff1A z)f(y,x

dxdyff1A y)f(x,z

RS

dApf

fdSAreal

Flate-integralDef

S Flate gitt ved f(x,y,z) = cg Kontinuerlig funksjon på SR Projeksjonen av Sp Enhetsnormal på R

RS

dApf

fgSgdSover g av integral-Flate

S

dA

f

p

dS

R

dApf

fSd dA

pf

fg Sgd

Sover g av integralFlate

RS

Fluks3D - Def

S Flate gitt ved f(x,y,z) = cF 3-dim vektorfeltR Projeksjonen av Sp Enhetsnormal på R

RS

dApf

fnFSdnF

S

dA

f

p

dS

R

dApf

fSd dA

pf

fnF SdnF

n retning i S flateorientert en over

Ft vektorfeldim-3et av Fluks

RS

n F

Fluks3D - Eks

Finn fluksen av F = [ 0, yz, z2 ]ut av flaten Savkuttet fra sylinderen y2 + z2 = 1, z 0og planene x = 0 og x = 1.

RS

dApf

fnFSdnF

y

x

z

nF

212dAdAz2

2zdA

pf

fnFdSnF

2z2zpf

2z0,0,10,2y,2zpf

z1z)zz(yzzyzy,0,zyz,0,nF

zy,0,2

0,2y,2z

f

fn

212zy24z4y(2z)(2y)0f

0,2y,2zz

f,

y

f,

x

ff

1z)y,f(x, nivåflaten S zyz)y,f(x,

RRRS

22322

2222222

22

Masse, moment og massesenter til tynne skallDef

M

M z

M

M y

M

M x

dSzδM dSxδM dSxδM

δdSdm M

xyxzyz

S

xy

S

xz

S

yz

SS

M

IR

δdSrI dS)yx(I dS)zx(I dS)zy(I

LL

S

2L

S

22z

S

22y

S

22x

Treghetsmoment

Masse

Moment

Massesenter

Gyrasjonsradius

Massesenter til tynne skallEks

Finn massesenteret til et tynt halvkuleskallmed radius a og konstant massetetthet .

y

x

2

a

δ2πa

δπa

M

Mz

δπaaaδdAaδdA2z

2azδdA

pf

fzδzdSδdSzδM

δ2πaa42

1δdSδδdSM

2z2zpf

2z0,0,12x,2y,2zpf

2azyx24z4y4x(2z)(2y)(2x)f

2x,2y,2zz

f,

y

f,

x

ff

az)y,f(x, nivåflaten S zyxz)y,f(x,

Symmetri 0yx

2

3xy

32

R avArealet

SRRSS

xy

22

S avArealet

SS

222222222

2222

z

S

R

S

S

S

Sxy

dApf

fδ

dApf

fzδ

δdS

dSzδ

M

Mz

Parameteriserte flaterDef

x

y

z

a

b

r(t)

C

(t)rr

y

x

z

S

[ ]t

u

v

r(u,v)

v)(u,rr

(t)rr

v)(u,rr

Kurve

Flate

Parameteriserte flaterAreal

S

A

p

f

S

A

ΔuΔvrrΔvrΔurΔS

Δvrv)(u,rΔv)v(u,r Δv

v)(u,rΔv)v(u,rr

Δu rv)(u,rv)Δu,(ur Δu

v)(u,rv)Δu,(urr

vuvu

vv

uu

v)u,(r

vvr

vu rrp

S

u

v

(u,v) u

v uur

v)u,(r

D

vu

RS

dudvrrdApf

fdSAreal

D

R

D

vu

RS

dudvrrdApf

fdSAreal

f

Parameteriserte flaterFlate-integral

S

A

p

f

S

A

ΔuΔvrrΔvrΔurΔS

Δvrv)(u,rΔv)v(u,r Δv

v)(u,rΔv)v(u,rr

Δu rv)(u,rv)Δu,(ur Δu

v)(u,rv)Δu,(urr

vuvu

vv

uu

v)u,(r

vvr

vu rrp

S

u

v

(u,v) u

v uur

v)u,(r

D

vu

RS

dudvrrgdApf

fggdS

D

R

D

vu

RS

dudvrrgdApf

fggdS

integralFlate

f

Parameteriserte flaterFlate-integral - Spesialtilfeller - Def

)y,x(fz

dxdyff1dxdyrrdS

1,f,ff,1,0f,0,1rr

f,1,0r f,0,1r )y,x(f,y,x)y,x(rr

2y

2xyx

yxyxyx

yyxx

Kartesiske koordinater

Sylinder-koordinater

Kule-koordinater

),r(fz

),(f

rdrdfr

1f1drdrrdS

rfrfrr

r,sinrfcosf,cosrf,sinfrr

),r(f,sinr,cosr),r(rr

2

2

2rr

22r

22r

rrr

dfdsin)ff(fddrrdS

sinffsinfffrr

r,sinrfcosf,cosrf,sinfr

cos),(f,sinsin),(f,cossin),(f),(rr

2222

2222422

rr

D

vu

RS

dudvrrgdApf

fggdS

integralFlate

Parameteriserte flaterEks 1 - Kjegle

0,1z yxz 22

r,sinr,cosr),r(rr

2,0 1,0r

r)sinr()cosr(yxz

sinry

cosrx

2222

x

y

z

r(t)

1

S

Kjegle

D

vu

RS

dudvrrgdApf

fggdS

integralFlate

Parameteriserte flaterEks 2 - Kule

2222 azyx

cosa,sinsina,cossina),(rr

,0 2,0

cosaz

sinsinay

cossinax

x

z

y

x

y

z

Kule

r(t)S

D

vu

RS

dudvrrgdApf

fggdS

integralFlate

Parameteriserte flaterEks 3 - Sylinder

5,0z 9)3y(x 22

z,sin6,2sin3

z,sinsin6,cossin6)z,(rr2

sin6r

0sin6r0r

0)sin6r(r

0sinr6r

0y6yx

99y6yx

9)3y(x

zz

sinry

cosrx

2

22

22

22

Sylinder

x

z

y

r(t) S

x

z

y

r(t) S

D

vu

RS

dudvrrgdApf

fggdS

integralFlate

3

Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [1/4]

0,1z yxz 22

r,sinr,cosr),r(rr

2,0 1,0rx

y

z

r(t)

1

S

Kjegle

D

vu

R

2y

2x

RS

dudvrrdxdyff1dApf

fdS

Areal

RS

dApf

fdSA

D

vu

S

dudvrrdSA

Beregn arealet av kjegleflaten

1Nivåflate

22 yxz)z,y,x(f

R

2y

2x

S

dxdyff1dSA2Spesialtilfelle )y,x(fz

3Parameterisering

Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [2/4]

2,0 1,0rx

y

z

r(t)

1

S

Kjegle

D

vu

R

2y

2x

RS

dudvrrdxdyff1dApf

fdS

Areal

212dA2dA1

2dA

pf

fdSA

11pf

11,0,01,yx

y,

yx

xpf

2111yx

yx1

yx

y

yx

xf

1,yx

y,

yx

x

1,y2)yx(2

1,x2)yx(

2

1

z

f,

y

f,

x

ff

2

RR RS

2222

22

222

22

2

22

2222

2222 21

21

1 Nivåflate 0z)y,f(x, :S )y(xzyxzz)y,f(x, 2

12222

0,1z yxz 22

Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [3/4]

2,0 1,0rx

y

z

r(t)

1

S

Kjegle

D

vu

R

2y

2x

RS

dudvrrdxdyff1dApf

fdS

Areal

2π1π2dA2

dxdyyx

yx1

dxdyyx

y

yx

x1

dxdy2y)y(x2

12x)y(x

2

11

dxdyff1dSA

)y(xyxf(x,.y)z

2

R

R22

22

R22

2

22

2

R

2

1222

122

R

2y

2x

S

2

12222

)y,x(fz

0,1z yxz 22

2 Spesialtilfelle

Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [4/4]

π,θ,r θ,rθ,rr(r,θrr 20 10sincos)

2,0 1,0rx

y

z

r(t)

1

S

Kjegle

D

vu

R

2y

2x

RS

dudvrrdxdyff1dApf

fdS

Areal

2ππ22

2dθ

2

2dθr

2

12dθrdr2

rdrdθ2

drdθrrdSA

2rr2r2rrrθ)sinr(θ)cosr(rr

θ,rsinrθ,cosr

0θcosrθsin-r

1θsinθcos

kji

rr

0θ,cosθ,rsin-rθ

rr 1θ,sinθ,cos

r

rr θ,rsinθ,rcosrr

π2θ

0θ

π2θ

0θ

1r

0r

1r

0r

2π2

0

1

0

D

D

θr

S

222222θr

θr

θr

3 Parameterisering

0,1z yxz 22

Parameteriserte flaterEks 5 - Flate-integral over kjegleflate

2,0 1,0rx

y

z

r(t)

1

S

Kjegle

4

22sin

4

1

2

1

4

2

2

2cos1

4

2

cos4

2

4

12cos2

cos22cos)cos(

222sincos

sincos

0cossin

1sincos

0cossin1sincossincos

2

0

2

0

2

0

22

0

1

0

1

0

42

0

1

0

23

232222

222222

πθ

θ

πθ

θ

πθ

θ

r

r

r

r

πθ

θ

r

r

DDD

θr

S

θr

θr

θr

dθ

dθdθrdθdrr

drdθrdrdθrrdrdθrrrdSx

rrrrrrθ)r(θ)r(rr

θ,rrθ,r

θrθ-r

θθ

kji

rr

θ,θ,r-rθ

rr θ,θ,

r

rr θ,rθ,rrr

Bestem integralet av G(x,y,z) = x2 over kjeglen 0,1z yxz 22

D

vu

RS

dudvrrgdApf

fggdS

integralFlate

Greens teoremDef - 2D

RRR

CC

dAFdAFdivdxdyy

F

x

F

dxFdyFdsnF

2 1

21

Green - Fluks - Divergens - Normalform

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

n

C

F

T

C

F

R

R

RRR

CC

dAkFdAkFcurldxdyy

F

x

F

dyFdxFdsTFC

)()( 12

21

RC

dAFdsnF

RC

dAkFdsTF

)(

Green - Div

Green - Curl

Gauss / Stokes teoremDef - 3D

DD

D

321

S

321

S

dVFdVFdiv

dxdydzz

F

y

F

x

F

dxdyFdzdxFdydzFdSnF

Gauss - Divergens

Stokes - Curl

SS

S

CCC

dSnFdSnFcurl

dxdyy

F

x

Fdzdx

x

F

z

Fdydz

z

F

y

F

dzFdyFdxFrdFdsTF

)(

123123

321

yx

z

S

CT

F

yx

z

S

n

FD

n

DS

dVFdSnF

SC

dSnFdsTF

)(

Gauss - Div

Stokes - Curl

Gauss / Stokes teoremBevis-skisse Gauss - 3D

yx

z

S

n

FD

DD

DS

V

S

zz

z

S

SS

SSSS

dVFdVFdiv

dxdydzz

F

y

F

x

FdSnF

dVz

F

dSdzz

F

dSzyxFzzyxF

dSFdSF

dSkFdSkFdSnFdSnF

xy

xy

bt

btbt

),,(),,(

)(

321

3

3

33

33

St

Sb

DS

dVFdSnF

SC

dSnFdsTF

)(

Gauss - Div

Stokes - Curl

Gauss / Stokes teoremBevis-skisse Stokes - 3D

SC

ABCDE

CDEBCEEABGreen

CDEBCEEABEABCDE

dSnFdsTF

dSnF

dSnFdSnFdSnF

dsTFdsTFdsTFdsTF

)(

)(

)()()(

A

B C

D

E

yx

z

S

CT

F

DS

dVFdSnF

SC

dSnFdsTF

)(

Gauss - Div

Stokes - Curl

n

Green - 2DGauss / Stoke - 3D

2D

Green - Normalform

3D

R

R

R

CC

dAF

dAFdiv

dxdyy

F

x

F

dxFdyFdsnF

21

21

Green - Tangensialform

R

R

R

C

CC

dAkF

dAkFcurl

dxdyy

F

x

F

dyFdxF

rdFdsTF

12

21

D

D

D

SS

dVF

dVFdiv

dxdydzz

F

y

F

x

F

dxdyFdzdxFdydzFdSnF

321

321

S

S

S

C

CC

dSnF

dSnFcurl

dxdyy

F

x

Fdzdx

x

F

z

Fdydz

z

F

y

F

dzFdyFdxF

rdFdsTF

123123

321

GaussDivergens

Stoke

Green’s teorem - Stoke’s teorem

ArealFluks

etFlukstetthDivergens

ArealnSirkulasjo

nstetthetSirkulasjoC

url

StokesCurl

DS

dVFdSnF

SC

dSnFdsTF

)(

RC

dAFdsnF

RC

dAkFdsTF

)(

Green / Gauss / StokesDef - 2D - 3D

DS

dVFdSnF

Gauss - Divergens

Stokes - Curl SC

dSn)F(dsTFC

RC

dAFdsnF

RC

dAk)F(dsTFC

Green - Divergens

Green - Curl

2D

3D

StokesMaksimal sirkulasjon

Stokes - Curl SC

dSn)F(dsTFC

Vektorfelt

FF curl

Maksimal sirkulasjoni dette planet

Maksimal sirkulasjonnår n er parallell med curl F

Stokes teoremEks 1 - Verifisering

Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ]Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9 z 0Rand : C : x2 + y2 = 9

SC

dSnFdsTF

)(

C y

x

z

S

RF

SC

dSnFdsTF

)(

Stokes teoremEks 1 - Sirkulasjon

18299)9(

9)cos(sin9)cos9sin9(

0,cos3,sin30,cos3,sin3

0,cos3,sin30,,

0,cos3,sin3 0,sin3,cos3)(

2

0

2222

ddrdFdsTF

ddd

drdF

xyF

drdr

rdFdsTF

CCC

CC

Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ]Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9 z 0Rand : C : x2 + y2 = 9

SC

dSnFdsTF

)(

C y

x

z

S

RF

Stokes teoremEks 1 - Flateintegral 1

183222

6)

3

2(

2

6,,

3

12,0,0

)()(

2,0,0

0

,,3

1

6

2,2,2 221,0,02,2,2

632922)2()2()2( 2,2,2,,

9),,( Nivåflaten: ),,( )(

2

222222

222

RR

R

RS

S

dAdAz

z

dAz

zyx

dApf

fnFdSnF

xyzyx

kji

F

zyxzyx

f

fnzzzyxkfpf

zyxzyxfzyxz

f

y

f

x

ff

zyxfSzyxzyxfdApf

fdSdSnF

SC

dSnFdsTF

)(

C y

x

z

S

RF

fn

kp

Stokes teoremEks 1 - Flateintegral 2

18322

)2(

1,0,02,0,0

)()(

2

2

R

R

R

RS

dS

dS

dS

dSnFdSnF

SC

dSnFdsTF

)(

C y

x

z

S

RF

kn

S2

Velger S2: x2 + y2 9 som ny flate.Også denne flaten har C som rand.

Stokes teoremEks 2 - Sirkulasjon

4tsin16t2sint2tcos3

8

dt)tcos16tsin4tcostsin8(rdFdsTF

dt)tcos16tsin4tcostsin8(

dt0,tcos2,tsin2tcos4,8,tsin2tcos4rdF

)tcos2(,24,tsin2)tcos2(x,z4,yxF

dt0,tcos2,tsin2rd 2,tsin2,tcos2)t(r

rdFdsTF

2t

0t

3

2

02

t2cos1

22

CC

22

22

2222

CC

Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x2-y, 4z, x2 ]langs (mot klokka) kurven Cfremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z = x2 + y2

SC

dSnFdsTF

)(

F

2,0 1,0rx

y

z

2C

Stokes teoremEks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate

4ddr)rcossinr2cosr4(

ddr2rr,sinr,cosr2r

11,cosr2,4dSn)F(

drd2rdrdrrdS

r,sinr,cosr2r

1

rr

rrn

1,cosr2,41,x2,4

xz4yxzyx

kji

F

2rrr r,sinr,cosrrr 0,cosr,sinrr

1,sin,cosr

2,0 2,0r r,sinr,cosr),r(rr

2

0

2r

0r

2

2

0

2r

0rS

r

r

r

22

rr

r

SC

dSnFdsTF

)(

F

2,0 2,0rx

y

z

n

2

S

Stokes teoremEks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate

SC

dSnFdsTF

)(

F

2,0 2,0rx

y

z n = [0,0,1]

2S

42dSdS1dS1,0,01,x2,4dSn)F(

1,x2,4

xz4yxzyx

kji

F

2

S avArealet

SSSS

22

Stokes teoremEks 3 - Oppgave

Bruk Stokes teorem til å beregne

for F = [ xz, xy, 3xz ]

hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z = 2som befinner seg i første oktantog C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra.

SC

dSnFdsTF

)(

C

rdF

F

xy

z

C

(1,0,0)

(0,2,0)

(0,0,2)

Stokes teoremEks 3 - Løsning

1)647()647(61,1,26

1,637,0)(

61

6

,637,0),22(3,0,3,0

3

11 11111021,0,01,1,2

1,1,26

1

6

1,1,2

6112 1,1,2,,

2),,( : 2),,(

)(

1

0

22

0

222

x

x

xy

yRRS

SC

dxdyyxdAyxdAyyxdSnF

dAdAdApf

fdS

yyxyyxxyzx

xzxyxzzyx

kji

F

pfkfpf

f

fn

fz

f

y

f

x

ff

zyxfNivåflatenSzyxzyxf

dApf

fdSdSnFrdF

SC

dSnFdsTF

)(

F

xy

z

C

(1,0,0)

(0,2,0)

(0,0,2)

n

Gauss teoremEks 1

Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet)for F = [ x, y, z ] over kula x2 + y2 + z2 = a2.

DDS

dVFdVFdivdSnF

x

z

y

F

Sa

n

33

kula av Volum

DDDD

a4a3

43dV3dV)111(dVz,y,x

z,

y,

xdVF

32

S av Overflaten

SS

222

SS

222222

2222

a4a4adSadS)zyx(a

1dSz,y,x

a

1z,y,xdSnF

z,y,xa

1

a2

z2,y2,x2

f

fn

a2zyx2)z2()y2()x2(f z2,y2,x2z

f,

y

f,

x

ff

a)z,y,x(f Nivåflate:S zyx)z,y,x(f

Gauss teoremEks 2

Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]ut av kubus-flaten i første oktantbegrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.

DDS

dVFdVFdivdSnF

2

3

2

1

2

1

2

1z

2

1z

2

1z

2

1dz)z

2

1

2

1(dzyzy

2

1y

2

1

dzdy)zy2

1(dzdyxzxyx

2

1dzdydx)zyx(

dVz

)xz(

y

)yz(

x

)xy(dVxz,yz,xy

z,

y,

x

dVFdSnF

1z

0z

21z

0z

1z

0z

1y

0y

2

1z

0z

1y

0y

1z

0z

1y

0y

1x

0x

21z

0z

1y

0y

1x

0x

DD

integralDivergens

D

fluks Utgående

S

y

x

z

S

n

F

D

Gauss teoremEks 2 - Alternativ: Symmetri

Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]ut av kubus-flaten i første oktantbegrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.

DDS

dVFdVFdivdSnF

2

3

2

13

2

133)(

)()()(,,,,

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

integralDivergensfluks Utgående

x

x

x

x

z

z

y

y

x

x

DD

DS

xxdxdzdydxzyx

dVz

xz

y

yz

x

xydVxzyzxy

zyx

dVFdSnF

yx

z

S

n

F

D

Symmetriegenskaper

ENDENDENDEND