View
7
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 1 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija.
Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha.
Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U.
Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor
N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|
naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 2 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija.
Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 3 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha.
Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 3 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v),
a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 3 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe,
naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 3 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 3 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 3 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 3 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija.
Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 4 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha.
Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 4 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v),
a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 4 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe,
naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 4 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 4 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 4 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 4 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v) vrijedi
R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 5 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3
utocki P = r(u, v) vrijedi
R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 5 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v)
vrijedi
R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 5 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v) vrijedi
R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 5 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v) vrijedi
R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 5 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v) vrijedi
R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 5 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v) vrijedi
R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 5 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v) vrijedi
R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 5 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3
u tockiP = r(u, v) vrijedi
R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 6 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 u tockiP = r(u, v)
vrijedi
R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 6 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 u tockiP = r(u, v) vrijedi
R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 6 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 u tockiP = r(u, v) vrijedi
R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 6 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 u tockiP = r(u, v) vrijedi
R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 6 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba
Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 u tockiP = r(u, v) vrijedi
R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 6 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaSkalarna jednadzba
Neka je R = (X ,Y ,Z ), te neka su r = (x , y , z), r′u = (x ′u , y ′u , z ′u) ir′v = (x ′v , y ′v , z ′v ).
Opca jednadzba tangencijalne ravnine na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ = 0,dok kanonska jednadzba normale glasi
X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v
∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v
∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v
∣∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 7 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaSkalarna jednadzba
Neka je R = (X ,Y ,Z ),
te neka su r = (x , y , z), r′u = (x ′u , y ′u , z ′u) ir′v = (x ′v , y ′v , z ′v ).
Opca jednadzba tangencijalne ravnine na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ = 0,dok kanonska jednadzba normale glasi
X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v
∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v
∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v
∣∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 7 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaSkalarna jednadzba
Neka je R = (X ,Y ,Z ), te neka su r = (x , y , z), r′u = (x ′u , y ′u , z ′u) ir′v = (x ′v , y ′v , z ′v ).
Opca jednadzba tangencijalne ravnine na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ = 0,dok kanonska jednadzba normale glasi
X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v
∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v
∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v
∣∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 7 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaSkalarna jednadzba
Neka je R = (X ,Y ,Z ), te neka su r = (x , y , z), r′u = (x ′u , y ′u , z ′u) ir′v = (x ′v , y ′v , z ′v ).
Opca jednadzba tangencijalne ravnine na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi
∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ = 0,dok kanonska jednadzba normale glasi
X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v
∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v
∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v
∣∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 7 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaSkalarna jednadzba
Neka je R = (X ,Y ,Z ), te neka su r = (x , y , z), r′u = (x ′u , y ′u , z ′u) ir′v = (x ′v , y ′v , z ′v ).
Opca jednadzba tangencijalne ravnine na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ = 0,
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v
∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v
∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v
∣∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 7 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaSkalarna jednadzba
Neka je R = (X ,Y ,Z ), te neka su r = (x , y , z), r′u = (x ′u , y ′u , z ′u) ir′v = (x ′v , y ′v , z ′v ).
Opca jednadzba tangencijalne ravnine na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ = 0,dok kanonska jednadzba normale glasi
X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v
∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v
∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v
∣∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 7 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y),
onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x =
(1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y =
(0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N =
r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ =
− f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Uocimo da je
r′x = (1, 0, f ′x )
r′y = (0, 1, f ′y )
N = r′x × r′y =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y
∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 8 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Neka je P = r(x , y) = (x , y , f (x , y)) tocka na plohi.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P glasi
Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y),
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xf ′x
=Y − yf ′y
=Z − z−1 .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 9 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Neka je P = r(x , y) = (x , y , f (x , y)) tocka na plohi.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P glasi
Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y),
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xf ′x
=Y − yf ′y
=Z − z−1 .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 9 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha
Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.
Neka je P = r(x , y) = (x , y , f (x , y)) tocka na plohi.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P glasi
Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y),
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xf ′x
=Y − yf ′y
=Z − z−1 .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 9 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem.
Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,
te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0.
Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.
Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz.
Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0
⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P.
Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0
gradF · r′u = 0F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,
gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,
gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v
⇒ gradF⊥tang.rav. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav.
QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo
gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,
pa
F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0
F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.
Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QEDJelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,
te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi sa svojstvom gradF (P) 6= 0.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P(x , y , z) plohe glasi
F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xF ′x
=Y − yF ′y
=Z − zF ′z
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 11 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0, te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi
sa svojstvom gradF (P) 6= 0.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P(x , y , z) plohe glasi
F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xF ′x
=Y − yF ′y
=Z − zF ′z
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 11 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0, te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi sa svojstvom gradF (P) 6= 0.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P(x , y , z) plohe glasi
F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xF ′x
=Y − yF ′y
=Z − zF ′z
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 11 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0, te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi sa svojstvom gradF (P) 6= 0.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P(x , y , z) plohe glasi
F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xF ′x
=Y − yF ′y
=Z − zF ′z
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 11 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0, te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi sa svojstvom gradF (P) 6= 0.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P(x , y , z) plohe glasi
F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xF ′x
=Y − yF ′y
=Z − zF ′z
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 11 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0, te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi sa svojstvom gradF (P) 6= 0.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P(x , y , z) plohe glasi
F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xF ′x
=Y − yF ′y
=Z − zF ′z
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 11 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha
Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0, te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi sa svojstvom gradF (P) 6= 0.
Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P(x , y , z) plohe glasi
F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,
dok kanonska jednadzba normale glasi
X − xF ′x
=Y − yF ′y
=Z − zF ′z
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 11 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
parametarskir = r(u, v)
R(λ, µ) = r+ λr′u + µr′vR(t) = r+ t(r′u × r′v )∣∣∣∣∣∣
X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ = 0X−x∣∣∣∣∣∣y′u z ′uy ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣= Y−y∣∣∣∣∣∣z
′u x ′uz ′v x ′v
∣∣∣∣∣∣= Z−z∣∣∣∣∣∣x
′u y ′ux ′v y ′v
∣∣∣∣∣∣eksplicitnoz = f (x , y)
Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y)X−xf ′x= Y−y
f ′y= Z−z−1
implicitnoF (x , y , z) = 0
F ′x (X − x) + F ′y (Y − y) + F ′z (Z − z) = 0X−xF ′x
= Y−yF ′y
= Z−zF ′z
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 12 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha
i P = r(u, v) tockana plohi r. Definiramo skup
TP (r) ={
λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3
svih tangencijalnih vektora plohe r u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 13 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha i P = r(u, v) tockana plohi r.
Definiramo skup
TP (r) ={
λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3
svih tangencijalnih vektora plohe r u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 13 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha i P = r(u, v) tockana plohi r. Definiramo skup
TP (r) ={
λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3
svih tangencijalnih vektora plohe r u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 13 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha i P = r(u, v) tockana plohi r. Definiramo skup
TP (r) ={
λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3
svih tangencijalnih vektora plohe r u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 13 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha i P = r(u, v) tockana plohi r. Definiramo skup
TP (r) ={
λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3
svih tangencijalnih vektora plohe r u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 13 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Obzirom da je TP (r) zatvoren na zbrajanje i mnozenje sa skalarom, slijedida je TP (r) vektorski potprostor prostora R3.
Definicija. Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v). Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 14 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Obzirom da je TP (r) zatvoren na zbrajanje i mnozenje sa skalarom,
slijedida je TP (r) vektorski potprostor prostora R3.
Definicija. Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v). Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 14 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Obzirom da je TP (r) zatvoren na zbrajanje i mnozenje sa skalarom, slijedida je TP (r) vektorski potprostor prostora R3.
Definicija. Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v). Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 14 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Obzirom da je TP (r) zatvoren na zbrajanje i mnozenje sa skalarom, slijedida je TP (r) vektorski potprostor prostora R3.
Definicija.
Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v). Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 14 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Obzirom da je TP (r) zatvoren na zbrajanje i mnozenje sa skalarom, slijedida je TP (r) vektorski potprostor prostora R3.
Definicija. Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v).
Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 14 / 18
Vektor normale i tangencijalna ravnina
Obzirom da je TP (r) zatvoren na zbrajanje i mnozenje sa skalarom, slijedida je TP (r) vektorski potprostor prostora R3.
Definicija. Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v). Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 14 / 18
Krivulja na plohi
Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).
Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 15 / 18
Krivulja na plohi
Definicija.
Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).
Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 15 / 18
Krivulja na plohi
Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3,
akoje ρ(I ) ⊆ r(U).
Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 15 / 18
Krivulja na plohi
Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).
Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 15 / 18
Krivulja na plohi
Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).
Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno,
cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 15 / 18
Krivulja na plohi
Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).
Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 15 / 18
Krivulja na plohi
Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).
Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 15 / 18
Krivulja na plohi
Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).
Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 15 / 18
Krivulja na plohi
Krivulja u uv ravnini se umjesto parametarski:
kao (u(t), v(t)), pa je ρ(t) = r(u(t), v(t)),
cesto zadaje i eksplicitno:
kao v = v(u), pa je ρ(u) = r(u, v(u)),kao u = u(v), pa je ρ(v) = r(u(v), v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 16 / 18
Krivulja na plohi
Krivulja u uv ravnini se umjesto parametarski:
kao (u(t), v(t)), pa je ρ(t) = r(u(t), v(t)),
cesto zadaje i eksplicitno:
kao v = v(u), pa je ρ(u) = r(u, v(u)),kao u = u(v), pa je ρ(v) = r(u(v), v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 16 / 18
Krivulja na plohi
Krivulja u uv ravnini se umjesto parametarski:
kao (u(t), v(t)), pa je ρ(t) = r(u(t), v(t)),
cesto zadaje i eksplicitno:
kao v = v(u), pa je ρ(u) = r(u, v(u)),kao u = u(v), pa je ρ(v) = r(u(v), v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 16 / 18
Krivulja na plohi
Krivulja u uv ravnini se umjesto parametarski:
kao (u(t), v(t)), pa je ρ(t) = r(u(t), v(t)),
cesto zadaje i eksplicitno:
kao v = v(u), pa je ρ(u) = r(u, v(u)),
kao u = u(v), pa je ρ(v) = r(u(v), v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 16 / 18
Krivulja na plohi
Krivulja u uv ravnini se umjesto parametarski:
kao (u(t), v(t)), pa je ρ(t) = r(u(t), v(t)),
cesto zadaje i eksplicitno:
kao v = v(u), pa je ρ(u) = r(u, v(u)),kao u = u(v), pa je ρ(v) = r(u(v), v).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 16 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ =
r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}=
λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v
∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ
na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi
ρ = r′u u + r′v v =
{λ = uµ = v
}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),
Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 17 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo
(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo
(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija.
Imamo
(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo
(u(t), v(t)) ⇒
(u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo
(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo
(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒
v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo
(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo
(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒
u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Krivulja na plohi
Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:
ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.
Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo
(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)
v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu
u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv
Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 18 / 18
Recommended