Vektor normale i tangencijalna ravninagradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika... · Vektor normale i tangencijalna ravnina De–nicija. Neka je r : U !R3 regularna parametrizirana

Vektor normale i tangencijalna ravnina

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 1 / 18


Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor

N(u, v) =r′u(u, v)× r′v (u, v)|r′u(u, v)× r′v (u, v)|

naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.



Definicija.

Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor





Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha.

Vektor












naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U.

Svaki vektorokomit na vektor N naziva se tangencijalnim vektorom plohe r u tocki(u, v) ∈ U.

































Definicija.

Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).




Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).



Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v),

a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).



Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe,

naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).



Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravninakoja prolazi tockom P = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v)plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r u tocki P = r(u, v).









Definicija.

Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).




Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).



Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v),

a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).



Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe,

naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).



Definicija. Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravackoji prolazi tockom P = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v)plohe, naziva se normala plohe r u tocki P = r(u, v).








Vektor normale i tangencijalna ravninaVektorska jednadzba

Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v) vrijedi

R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v (u, v).



Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3

utocki P = r(u, v) vrijedi




Za tangencijalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 utocki P = r(u, v)

vrijedi
























Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3

u tockiP = r(u, v) vrijedi

R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).



Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 u tockiP = r(u, v)

vrijedi

R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).



Za normalu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 u tockiP = r(u, v) vrijedi

R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).




R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).




R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).




R(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v (u, v)).


Vektor normale i tangencijalna ravninaSkalarna jednadzba

Neka je R = (X ,Y ,Z ), te neka su r = (x , y , z), r′u = (x ′u , y ′u , z ′u) ir′v = (x ′v , y ′v , z ′v ).

Opca jednadzba tangencijalne ravnine na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v

∣∣∣∣∣∣ = 0,dok kanonska jednadzba normale glasi

X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v

∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v

∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v

∣∣∣∣ .



Neka je R = (X ,Y ,Z ),

te neka su r = (x , y , z), r′u = (x ′u , y ′u , z ′u) ir′v = (x ′v , y ′v , z ′v ).



X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v

∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v

∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v

∣∣∣∣ .






X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v

∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v

∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v

∣∣∣∣ .




Opca jednadzba tangencijalne ravnine na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v


X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v

∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v

∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v

∣∣∣∣ .





∣∣∣∣∣∣ = 0,

dok kanonska jednadzba normale glasi

X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v

∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v

∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v

∣∣∣∣ .






X − x∣∣∣∣y ′u z ′uy ′v z ′v

∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z ′u x ′uz ′v x ′v

∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x ′u y ′ux ′v y ′v

∣∣∣∣ .


Vektor normale i tangencijalna ravninaEksplicitno zadana ploha

Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y), onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.

Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k



Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f (x , y),

onda jer(x , y) = (x , y , f (x , y)) njena regularna parametrizacija.

Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x =

(1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y =

(0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N =

r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ =

− f ′x i− f ′y j+ k




Uocimo da je

r′x = (1, 0, f ′x )

r′y = (0, 1, f ′y )

N = r′x × r′y =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 f ′x0 1 f ′y

∣∣∣∣∣∣ = − f ′x i− f ′y j+ k




Neka je P = r(x , y) = (x , y , f (x , y)) tocka na plohi.

Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P glasi

Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y),


X − xf ′x

=Y − yf ′y

=Z − z−1 .






Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y),


X − xf ′x

=Y − yf ′y

=Z − z−1 .






Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y),


X − xf ′x

=Y − yf ′y

=Z − z−1 .


Vektor normale i tangencijalna ravninaImplicitno zadana ploha

Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo

gradF (P) 6= 0⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P. Dakle,vrijedi

F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa

F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0gradF · r′u = 0

F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,gradF · r′v = 0.

Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QED



Teorem.

Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo



F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa






Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,

te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo



F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa






Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0.

Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz. Imamo



F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa






Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.

Dokaz. Imamo



F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa






Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,te neka je P(x , y , z) tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P) 6= 0. Tadaje vektor gradF (P) okomit na tangencijalnu ravninu na plohu S u tockiP.Dokaz.

Imamo



F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa







gradF (P) 6= 0

⇒ ∃r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))


F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa









F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa








gdje je r regularna lokalna parametrizacija plohe S oko tocke P.

Dakle,vrijedi

F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa









F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa









F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa

F ′x · x ′u + F ′y · y ′u + F ′z · z ′u = 0

gradF · r′u = 0F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,

gradF · r′v = 0.







F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa









F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa


F ′x · x ′v + F ′y · y ′v + F ′z · z ′v = 0,

gradF · r′v = 0.







F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa









F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa



Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v

⇒ gradF⊥tang.rav. QED






F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa



Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav.

QED






F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

pa



Dakle, vrijedi gradF⊥r′u , r′v ⇒ gradF⊥tang.rav. QEDJelena Sedlar (FGAG) Vektor normale i tangencijalna ravnina 10 / 18


Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0,

te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi sa svojstvom gradF (P) 6= 0.

Opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P(x , y , z) plohe glasi

F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,


X − xF ′x

=Y − yF ′y

=Z − zF ′z

.



Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0, te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi

sa svojstvom gradF (P) 6= 0.


F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,


X − xF ′x

=Y − yF ′y

=Z − zF ′z

.



Neka je ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0, te neka jeP(x , y , z) tocka na plohi sa svojstvom gradF (P) 6= 0.


F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,


X − xF ′x

=Y − yF ′y

=Z − zF ′z

.





F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,


X − xF ′x

=Y − yF ′y

=Z − zF ′z

.





F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,


X − xF ′x

=Y − yF ′y

=Z − zF ′z

.





F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,


X − xF ′x

=Y − yF ′y

=Z − zF ′z

.





F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,


X − xF ′x

=Y − yF ′y

=Z − zF ′z

.



parametarskir = r(u, v)

R(λ, µ) = r+ λr′u + µr′vR(t) = r+ t(r′u × r′v )∣∣∣∣∣∣

X − x Y − y Z − zx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v

∣∣∣∣∣∣ = 0X−x∣∣∣∣∣∣y′u z ′uy ′v z ′v

∣∣∣∣∣∣= Y−y∣∣∣∣∣∣z

′u x ′uz ′v x ′v

∣∣∣∣∣∣= Z−z∣∣∣∣∣∣x

′u y ′ux ′v y ′v

∣∣∣∣∣∣eksplicitnoz = f (x , y)

Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y)X−xf ′x= Y−y

f ′y= Z−z−1

implicitnoF (x , y , z) = 0

F ′x (X − x) + F ′y (Y − y) + F ′z (Z − z) = 0X−xF ′x

= Y−yF ′y

= Z−zF ′z



Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha

i P = r(u, v) tockana plohi r. Definiramo skup

TP (r) ={

λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3

svih tangencijalnih vektora plohe r u tocki P.



Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha i P = r(u, v) tockana plohi r.

Definiramo skup

TP (r) ={

λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3




Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha i P = r(u, v) tockana plohi r. Definiramo skup

TP (r) ={

λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3





TP (r) ={

λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3





TP (r) ={

λ · r′u(u, v) + µ · r′v (u, v) : λ, µ ∈ R}⊆ R3




Obzirom da je TP (r) zatvoren na zbrajanje i mnozenje sa skalarom, slijedida je TP (r) vektorski potprostor prostora R3.

Definicija. Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v). Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.



Obzirom da je TP (r) zatvoren na zbrajanje i mnozenje sa skalarom,

slijedida je TP (r) vektorski potprostor prostora R3.









Definicija.

Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v). Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.




Definicija. Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha iP = r(u, v).

Vektorski prostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor ploher u tocki P.






Krivulja na plohi

Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).

Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).


Krivulja na plohi

Definicija.

Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, akoje ρ(I ) ⊆ r(U).



Krivulja na plohi

Definicija. Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3,

akoje ρ(I ) ⊆ r(U).



Krivulja na plohi




Krivulja na plohi


Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno,

cešce se definirakao kompozicija ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)).


Krivulja na plohi




Krivulja na plohi




Krivulja na plohi




Krivulja na plohi

Krivulja u uv ravnini se umjesto parametarski:

kao (u(t), v(t)), pa je ρ(t) = r(u(t), v(t)),

cesto zadaje i eksplicitno:

kao v = v(u), pa je ρ(u) = r(u, v(u)),kao u = u(v), pa je ρ(v) = r(u(v), v).


Krivulja na plohi






Krivulja na plohi






Krivulja na plohi




kao v = v(u), pa je ρ(u) = r(u, v(u)),

kao u = u(v), pa je ρ(v) = r(u(v), v).


Krivulja na plohi






Krivulja na plohi

Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi

ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),

Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).


Krivulja na plohi


ρ =

r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),



Krivulja na plohi


ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),



Krivulja na plohi


ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}=

λr′u + µr′v ∈ TP (r),



Krivulja na plohi


ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v

∈ TP (r),



Krivulja na plohi


ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),



Krivulja na plohi


ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),

Kazemo da krivulja ρ zadaje tangencijalni smjer ρ

na plohi r u tockiP = ρ(t) = r(u(t), v(t)).


Krivulja na plohi


ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),



Krivulja na plohi


ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),



Krivulja na plohi


ρ = r′u u + r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),



Krivulja na plohi

Uocimo da iz ρ = r′u u + r′v v slijedi:

ako dvije krivulje imaju isti u i v , onda ce one zadavati isti smjer naplohi r.

Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija. Imamo

(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu

u = u(v) ⇒ u′(v) =dudv


Krivulja na plohi




(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu



Krivulja na plohi



Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija.

Imamo

(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu



Krivulja na plohi




(u(t), v(t)) ⇒

(u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu



Krivulja na plohi




(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu



Krivulja na plohi




(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒

v ′(u) =dvdu



Krivulja na plohi




(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu



Krivulja na plohi




(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu

u = u(v) ⇒

u′(v) =dudv


Krivulja na plohi




(u(t), v(t)) ⇒ (u, v) = (du, dv)

v = v(u) ⇒ v ′(u) =dvdu



Documents

Vektor normale i tangencijalna ravninagradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika... · Vektor normale i tangencijalna ravnina De–nicija. Neka je r : U !R3 regularna parametrizirana