WYKŁAD 13 DYFRAKCJA FRAUNHOFERA NA POJEDYNCZYM OTWORZE

WYKŁAD 13

DYFRAKCJA FRAUNHOFERA NA

POJEDYNCZYM OTWORZE

PLAN WYKŁADU

Zasada Babineta i zasada Huyghensa-Fresnela

Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhofa w przybliżeniu Fraunhofera

Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym

Dyfrakcja Fraunhofera na otworze kołowym

Dyfrakcja Fraunhofera na innych otworach

PODSUMOWANIE

Zasada Babineta

Zasada Babineta

S1 E = PE

Bez ekranu i zatyczki

Zasada Babineta

Z ekranem i zatyczką

S1 E = PE

Bez ekranu i zatyczki

0 = PE2

Zasada Babineta

Z ekranem i zatyczką

S1 E = PE

Bez ekranu i zatyczki

0 = PE2

ekran3 E = PE

Z ekranem bez zatyczki

Zasada Babineta

Z ekranem i zatyczką

S1 E = PE

Bez ekranu i zatyczki

0 = PE2

Z zasady superpozycji

zatyczkiekran2 E+E = PE ekran3 E = PE

Z ekranem bez zatyczki

Zasada Babineta

Z ekranem i zatyczką

S1 E = PE

Bez ekranu i zatyczki

0 = PE2

Z zasady superpozycji

zatyczkiekran2 E+E = PE ekran3 E = PE

Z ekranem bez zatyczki

zatyczki3 E - = PE

zatyczki3 E - = PE

Obrazy dyfrakcyjne od otworu i komplementarnej do niego zatyczki są takie same (pręt i szczelina,

otwor i kulka itd.)

Zasada Babineta

Pola fali świetlnej wytworzone przez ekran i zatyczkę różnią się tylko fazą

Zasada Huyghensa-Fresnela

Każdy punkt do którego dociera fala pierwotna staje się źródłem nowej fali wtórnej. Obwiednia fal

wtórnych tworzy nowe czoło fali.

Źródłem fal wtórnych są fikcyjne oscylatory Huyghensa rozłożone w obszarze otworu

zatyczki3 E - = PE

Jak obliczyć pole fali świetlnej w punkcie P?

Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhoffa w przybliżeniu Fraunhofera

Korzystamy z zasady Huyghensa-Fresnela; pole w punkcie P pochodzi od fikcyjnych oscylatorów

Huyghensa rozłożonych w otworze

Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:

Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:

tkRiexpE = 0E 100S

Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:

tkRiexpE = 0E 100S

Do punktu x w otworze fala pierwotna ma „bliżej”, więc, w przybliżeniu Fraunhofera (xsinθ1 jako różnica dróg):

Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:

tkRiexpE = 0E 100S

tsinkxkRiexpE = xE 1100S

Do punktu x w otworze fala pierwotna ma „bliżej”, więc, w przybliżeniu Fraunhofera (xsinθ1 jako różnica dróg):

Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:

tkRiexpE = 0E 100S

tsinkxkRiexpE = xE 1100S

Do punktu x w otworze fala pierwotna ma „bliżej”, więc, w przybliżeniu Fraunhofera (xsinθ1 jako różnica dróg):

Ponieważ oscylatory Huyghensa mają różne fazy więc fale wtórne także będą miały różne fazy:

Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:

tkRiexpE = 0E 100S

tsinkxkRiexpE = xE 1100S

Do punktu x w otworze fala pierwotna ma „bliżej”, więc, w przybliżeniu Fraunhofera (xsinθ1 jako różnica dróg):

Ponieważ oscylatory Huyghensa mają różne fazy więc fale wtórne także będą miały różne fazy:

dx tsinxsinxRRkiexpExdE 2120100S

W dwóch wymiarach:

położenie źródła S (X1,Y1), położenie punktu P (X2,Y2)

Uwzględnienie drugiego wymiaru, y, prowadzi do:

Uwzględnienie drugiego wymiaru, y, prowadzi do:

dxdytsinsiny

sinsinxRRikexpE

y,xdE

21

2120100

S

Uwzględnienie drugiego wymiaru, y, prowadzi do:

dxdytsinsiny

sinsinxRRikexpE

y,xdE

21

2120100

S

dxdy y,xdE =PE SS całka Fresnela-Kirchhofa

Uwzględnienie drugiego wymiaru, y, prowadzi do:

dxdytsinsiny

sinsinxRRikexpE

y,xdE

21

2120100

S

dxdy y,xdE =PE SS całka Fresnela-Kirchhofa

dxdyy,xTe

eE= PE

2121

2010

sinsinysinsinxik-

tRRki0S

gdzie: . otworem poza 0,

otworu wewn. yx, dla 1 = y,xT

T(x,y) to funkcja otworu

gdzie: . otworem poza 0,

otworu wewn. yx, dla 1 = y,xT

T(x,y) to funkcja otworu

12 12 Punkt P0

gdzie: . otworem poza 0,

otworu wewn. yx, dla 1 = y,xT

T(x,y) to funkcja otworu

12 12 Punkt P0

Punkt P0 to punkt przecięcia ekranu i prostej przechodzącej przez źródło S i początek układu

współrzędnych O (środek obrazu dyfrakcyjnego)

gdzie: . otworem poza 0,

otworu wewn. yx, dla 1 = y,xT

T(x,y) to funkcja otworu

12 12 Punkt P0

Punkt P0 to punkt przecięcia ekranu i prostej przechodzącej przez źródło S i początek układu

współrzędnych O (środek obrazu dyfrakcyjnego)

dxdyyx,T e E=PE tRRki00S

2010

dxdyyx,T e E=PE tRRki00S

2010

dxdyyx,T e E=PE tRRki00S

2010

PGPE = PE S0SS

dxdyyx,T e E=PE tRRki00S

2010

PGPE = PE S0SS

gdzie:

dxdyyx,T e E=PE tRRki00S

2010

PGPE = PE S0SS

dxdyyx,T

dxdye yx,T = PG

2121 sinsinysinsinxik-

S

gdzie:

dxdyyx,T e E=PE tRRki00S

2010

PGPE = PE S0SS

dxdyyx,T

dxdye yx,T = PG

2121 sinsinysinsinxik-

S

to czynnik dyfrakcyjny

gdzie:

2S0SS PG PI = PI

gdzie: *000S EE PI

zmodyfikowana przez czynnik dyfrakcyjny:

2S PG

Ostatecznie:

to stała wartość

Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym

;PGPI = PI 2S0SS

dxdye yx,TS1

= PG 2121 sinsinysinsinxik-S

Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym

;PGPI = PI 2S0SS

dxdye yx,TS1

= PG 2121 sinsinysinsinxik-S

21

21

sinsinb

=

;sinsina

=

b/2+

b/2-

by

i2-a/2+

a/2-

ax

i2-dye xde

ba1

= PG

b/2+

b/2-

by

i2-a/2+

a/2-

ax

i2-dye xde

ba1

= PG

= 2/a

2/ae

ai2-

1 = dxe

xa

i2-

2/a

2/a

xa

2i

b/2+

b/2-

by

i2-a/2+

a/2-

ax

i2-dye xde

ba1

= PG

sina= ee

ai2-

1

= 2/a

2/ae

ai2-

1 = dxe

ii-

xa

i2-

2/a

2/a

xa

2i

b/2+

b/2-

by

i2-a/2+

a/2-

ax

i2-dye xde

ba1

= PG

sina= ee

ai2-

1

= 2/a

2/ae

ai2-

1 = dxe

ii-

xa

i2-

2/a

2/a

xa

2i

sinsin

= PGS

2

2

2

2

0SSsinsin

PI = PI

Rozkład natężenia na ekranie dla otworu prostokątnego

Charakterystyczny „krzyż”,

nakładanie się maksimów

głównych jednego rozkładu na boczne

drugiego

Położenie źródła S: 011

Położenie źródła S: 011

LX

; RX

sin 2

20

2

,LR20 22 ,Położenie punktu

obserwacji P:

Położenie źródła S: 011

LX

; RX

sin 2

20

2

,LR20 22 ,

LXa

a

2

LYbb

2

Położenie punktu obserwacji P:

Położenie źródła S: 011

LX

; RX

sin 2

20

2

,LR20 22 ,

LXa

a

2

LYbb

2

bL

= Y i aL

= X 22

Położenie punktu obserwacji P:

Związek pomiędzy współrzędnymi X2 i Y2 punktu P na ekranie, a parametrami α i β

I-sze minima, α i β równe ±1, X2 i Y2

równe Lλ/a

Interpretacja minimum dla kąta

λ/a:

destruktywna interferencja oscylatorów

Huyghensa (oscylator 1 znosi się z

oscylatorem 2 itd.)

Dyfrakcja Fraunhofera na otworze kołowym

Źródło S w punkcie O1

(θ1, φ1 = 0)

Punkt P na osi O2X2 (φ2 = 0)

20 PGPI = PI

dxdye yx,TS1

= PG 2121 sinsinysinsinxik-

Dyfrakcja Fraunhofera na otworze kołowym

20 PGPI = PI

2/D

2/D

sinikx2 dxxy2e

D

4 = PG

y(x) z całkowania funkcji T(x,y) po y

Podstawiamy: 22

x4

D = xy ; sin

D =

Podstawiamy: 22

x4

D = xy ; sin

D =

D/2+

2/D

22

Dx

i2-

2 dxx4

D2e

D

4 = PG

Podstawiamy: 22

x4

D = xy ; sin

D =

D/2+

2/D

22

Dx

i2-

2 dxx4

D2e

D

4 = PG

Dx2u Wprowadzamy nową zmienną:

Podstawiamy: 22

x4

D = xy ; sin

D =

D/2+

2/D

22

Dx

i2-

2 dxx4

D2e

D

4 = PG

Dx2u Wprowadzamy nową zmienną:

= dueeu-12

= ....+......

= dueu-12

= PG

1

0

uiui2

+1

0

0

1-

1

1

ui2

Ostatecznie:

1

0

2 duu cos u14

=PG

Ostatecznie:

1

0

2 duu cos u14

=PG

21

01 2J

PI = PI ; 2J

= PG

Ostatecznie:

1

0

2 duu cos u14

=PG

21

01 2J

PI = PI ; 2J

= PG

Ostatecznie:

1

0

2 duu cos u14

=PG

21

01 2J

PI = PI ; 2J

= PG

D1.22 min

Centralny jasny krążek Airy’egokolejne minima

(ciemne pierścienie):

α = 2.23, 3.24 itd

Dyfrakcja Fraunhofera na innych otworach

Otwory (niżej) i ich obrazy dyfrakcyjne (wyżej)

Dyfrakcja Fraunhofera na innych otworach

Obrazy dyfrakcyjne otworów o prostych lub zakrzywionych bokach pokazują zbiory prążków przy czym prostej krawędzi otworu odpowiada

zbiór liniowych prążków wzajemnie równoległych i równoległych do tej krawędzi. Krawędziom zakrzywionym towarzyszą prążki o pewnej

krzywiźnie, rosnącej długości i szybko malejącym natężeniu w miarę oddalania się od centrum obrazu

dyfrakcyjnego.

PODSUMOWANIE

Zasada Huyghensa; każdy punkt do którego dociera czoło fali staje się źródłem nowej fali elementarnej. Superpozycja wszystkich fal elementarnych daje

nowe czoło fali

W oparciu o zasadę Huyghensa możemy znaleźć pole fali świetlnej w dowolnym punkcie na ekranie,

całkując wkłady od oscylatorów Huyghensa rozmieszczonych na powierzchni otworu w nieprzeźroczystym ekranie znajdującym się

pomiędzy źródłem fali pierwotnej i ekranem.

PODSUMOWANIE

Dyfrakcja Fraunhofera na pojedynczym otworze prostokątnym prowadzi do powstania

charakterystycznego „krzyża” odpowiadającego nałożeniu dwóch rozkładów opisanych funkcjami:

gdzie parametry α i β związane są z współrzędnymi źródła i punktu P (X2, Y2) na

ekranie.

22

2

2 sinsin

PODSUMOWANIE

bL

= Y i aL

= X 22

gdzie X2, Y2 to współrzędne punktu obserwacyjnego P na ekranie, a i b to szerokość i wysokość otworu,

L odległość ekranu od otworu i λ długość fali.

Dla źródła umieszczonego na osi optycznej układu (X1 = 0, Y1 = 0):

,a

b

Pierwsze minima powstaną dla:

PODSUMOWANIE

gdzie D to średnica otworu.

Dla otworu kołowego i dla źródła umieszczonego na osi optycznej (X1 = 0, Y1 = 0):

Obrazy dyfrakcyjne otworów o większej liczbie krawędzi pokazują rozdzielne zbiory liniowych

prążków równoległych do każdej krawędzi. Krawędziom zakrzywionym towarzyszą prążki o

pewnej krzywiźnie, rosnącej długości i szybko malejącym natężeniu w miarę oddalania się od

centrum obrazu dyfrakcyjnego.

D1.22 min