Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL SAYISAL YÖNTEMLERYÖNTEMLER

SAYISAL YÖNTEMLER

5.HAFTA İÇERİĞİ5.HAFTA İÇERİĞİ

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

Sayısal İntegrasyon

Basit fonksiyonların (Basit fonksiyonların (polinom, üstel ve polinom, üstel ve

trigonometrik gibi sürekli fks.lartrigonometrik gibi sürekli fks.lar) integrali ) integrali

analitikanalitik olarak hesaplanabilir. olarak hesaplanabilir.

Fakat integrali zor olan karmaşık yapıdaki Fakat integrali zor olan karmaşık yapıdaki

fonksiyonların analitik olarak hesaplanması ya fonksiyonların analitik olarak hesaplanması ya

zor ya da imkansızdır. zor ya da imkansızdır.

Bu gibi durumlarda sayısal integralden Bu gibi durumlarda sayısal integralden

yararlanılır.yararlanılır.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

Sayısal İntegrasyon

Sayısal integrasyon yukarda verilen herhangi bir Sayısal integrasyon yukarda verilen herhangi bir

integralin değerinin yaklaşık olarak integralin değerinin yaklaşık olarak

bulunmasıdır.bulunmasıdır.

İntegralin sınırları olan İntegralin sınırları olan a a ve ve bb sayıları sayıları sabit sabit ve ve

fonksiyon bu aralıkta fonksiyon bu aralıkta sürekli sürekli ise integralin ise integralin

sonucu sonucu sabit bir sayıdırsabit bir sayıdır. .

xd)x(fIb

a

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

Bu integralin değeri Bu integralin değeri

x=ax=a ve ve x= bx= b doğrularıdoğruları ile ile

y=f(x)y=f(x) eğrisinin eğrisinin altında altında

kalan kalan alana alana eşittir.eşittir.

0

y

xa b

f(x)

Sayısal integrasyon verilen a-b aralığında fonksiyon n Sayısal integrasyon verilen a-b aralığında fonksiyon n

parçaya ayrılarak her bir parçanın alanının bulunması parçaya ayrılarak her bir parçanın alanının bulunması

yöntemlerini içerir. Daha sonra ise toplam alan yani yöntemlerini içerir. Daha sonra ise toplam alan yani

integralin yaklaşık değeri hesaplanır.integralin yaklaşık değeri hesaplanır.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

• Dikdörtgenler Yöntemi

• Yamuk (Trapez) Yöntemi

• Simpson Yöntemi

• Orta Nokta Yöntemi

• Gauss Yöntemi

Sayısal İntegrasyon Yöntemleri

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

yo= f(xf(xoo) ) ve yn= f(xf(xnn))

Dikdörtgenler Yöntemi

0

y

xb=xn

f(x)

h h h h

x1 x2 … x3 a=xo

yo y1 y2 y3 … yn

…

so s1 s2 … Sn-1

so= h·yyoo = = h· f(xf(xoo))

s1= h·yy11 = = h· f(xf(x11))

Sn-1= h·yyn-1n-1 = = h· f(xf(xn-1n-1))

.

.

.

n

xxh n 0

a ve b arasını n adet

çubuk ile böldüğümüzde oluşan dikdörtgenlerin alanının hesaplanması amaçlanır.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLERÖRNEK ÖRNEK

8

12 2

2dx

x

xİntegralini n= 6 için

dikdörtgenler yöntemini kullanarak bulunuz.

I. Basamak

xn=8 ve xo=1 2x

2xf(x)

2

1666616

18xxh on ,

n

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

II. Basamak

k xk f(xk)

0 1 1

1 2,16666 0,6224

2 3,3333 0,4068

3 4,5 0,2928

4 5,6667 0,2247

5 6,833 0,1814

6 8 0,1515

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

Bu yöntemde integrasyon n sayıda yamuk kullanılarak hesaplanır. Bu yöntemde integrasyon n sayıda yamuk kullanılarak hesaplanır.

Yamuk Yöntemi

1n

0iii fhI

fi =f(xi)

hi =i. dikdörtgenin genişliği

hi =xi+1 - xi

Eğer dikdörtgenin genişliği sabit ise

h=(b-a)/n

= (xn-xo)/n

0

y

xxo=a xn=b

f(x)

xi

h

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

İntegralini [a,b] aralığında n eşit parçaya ayıralım.

0

y

xb=xn

y=f(x)

h h h h

x1 x2 …a=xo

yo y1 y2 … … yn

…

s1s2 … … sn

xd)x(fIb

a

Her bölme noktasından dikler çıkılır bu dikler ile f(x) eğrisinin kesiştiği noktalar birer doğru ile birleştirilir. Bu durumda n adet yamuk elde edilir.

AB C D E

F

G

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

xoABx1 yamuğunun alanı

0

y

xb=xn

y=f(x)

h h h h

x1 x2 …a=xo

yo y1 y2 … … yn

…

s1s2 … … sn

AB C D E

F

G

S1=(1/2)·h·(yo+y1)

S2=(1/2)·h·(y1+y2)

…

Sn=(1/2)·h·(yn-1+yn)

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

S=(1/2)·h·(yo+y1)+…+(1/2)·h·(yn-1+yn)

Toplam Alan

S=S1+S2+…+Sn

S=(1/2)·h·(yo+2y1+2y2+…+2yn-1+yn)

S=h·((yo+yn)/2+y1+y2+…+yn-1)

1n

1ii

no y2

yyhS

yo=f(xo) yn=f(xn)

xo=a xn=b

n

x-xΔxh on alarak yeniden düzenlersek

1n

1ko

no x)kf(x2

)f(x)f(xΔxS olur

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLERÖrnek

İntegralini n=4 için yamuk yöntemi

kullanarak hesaplayınız

xdx

I

1

02 1

1

I. Adım : xo=0 ve xn=1 0.254

01

n

xxx on

II. Adım : k xk f(xk)

0 0 1

1 0,25 0,94187

2 0,50 0,8

3 0,75 0,64

4 1 0,5

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

III. Adım :

1n

1ko

no x)kf(x2

)f(x)f(xΔxS

7827940640809418702

501250S ,,,,

,,

Bu fks.için gerçek integral :

7853980

04

011

1 10

11

02

,

arctgarctg

|xtgxdx

I

0033155078539510

782794078539510

,,

,,I

SIt

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

ÖDEV:ÖDEV:

integralinin değerini n=4 için yamuk

ve dikdörtgen yöntemleri ile çözünüz.

xdxsineI x

0

2