Γ΄ Γυμνασίου Άλγεβρα / Θεωρία και παραδείγματα

http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών

Γ΄ Γυμνασίου – Άλγεβρα - Κεφάλαιο 1ο Ενότητα 1η

Ρητοί αριθμοί

Ρητοί αριθμοί είναι οι αριθμοί της μορφής α/β , όπου οι α,β είναι ακέραιοι αριθμοί και ο β είναι διαφορετικός από το μηδέν. Π.χ, οι -4/5 , 4/6 ,

1=1/1 , 2 =2/1 , -3=-3/1 είναι ρητοί αριθμοί

Άρρητος είναι κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. Π.χ, π,√2 , √5, κ.λ.π

Πραγματικοί αριθμοί

Πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών.

Π.χ, οι αριθμοί 1,-3,3/2,-1/2,√2 ,π είναι πραγματικοί

Ιδιότητες των πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών :

Ιδιότητες της πρόθεσης

Ιδιότητα Πρόσθεση Αντιμεταθετική α+β=β+α παράδειγμα 2+3=3+2=5 Προσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γ παράδειγμα 2+(1+3)=(2+1)+3=6 Ουδέτερο στοιχείο α+0=0+α=α παράδειγμα 1+0=0+1=1

http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

Το 0 είναι το απορροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού,δηλαδή για κάθε πραγματικό α

ισχύει :

0.α=α.0=0

Π.χ : 1.0=0.1=0

Αντίθετος αριθμού α+(-α)=(-α)+α=0 παράδειγμα 1+(-1)=(-1)+1=0

www.mathschool-online.com

Ιδιότητα Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α.β=β.α παράδειγμα 2.3=3.2=6 Προσεταιριστική Α.(β.γ)=(α.β).γ παράδειγμα 2.(1.3)=(2.1).3=6 Ουδέτερο στοιχείο α.1=1.α=α παράδειγμα 1.2=2.1=2 Αντίστροφος αριθμού α 1

𝛼 = 1

𝛼 α = 1, α≠0

παράδειγμα 2.(1/2)=(1/2).1=1 Επιμεριστική του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση

α(β+γ)=αβ+αγ

παράδειγμα 2(1+3)=2.1+2.3=8 www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr

Σειρά πού εκτελούμε τις πράξεις:

Πρώτα οι δυνάμεις

Έπειτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις

Τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις

Προσοχή!

Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται

Παράδειγμα 1o (Λύση της άσκησης 1.β,σελ.15 του σχολικού

βιβλίου)

2+3.(4-12) : (-4+1) = 2+3.(-8) : (-3)=2-24 : (-3) =

2+8 = 10

Παράδειγμα 2o

(Λύση της άσκησης 1.γ,σελ.15 του σχολικού βιβλίου)

-3.(-2)-5+4 : (-2)-6 = +6-5-2-6 = 6-6-5-2 = 0-5-2 = -7

Δυνάμεις των φυσικών αριθμών

Νιοστή δύναμη του φυσικού αριθμού α ονομαζουμε το γινόμενο του α επί τον εαυτό του ν

φορές.

Δηλαδή , α ν = ....α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α

ν φορές

http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr

Ο αριθμός α λέγεται βάση της ν-οστής δύναμης και το ν λέγεται εκθέτης.

Παράδειγμα

Για α=2 και ν=3 έχω:

23=2.2.2=8

3 φορές το 2 επί τον εαυτό του !

Ορίζουμε α1=α , α0=1 , α-ν=1/αν . Π.χ, 21=2 , 20=1 ,2-

2=1/22=1/4

Ιδιότητες των δυνάμεων

ακ.αλ=ακ+λ,π.χ, 22.23=22+3=25

ακ:αλ=ακ-λ,π.χ, 22:23=22-

3= 2-1=1/2

ακ.βκ=(αβ)κ,π.χ, 22.32=(2.3)2=36

ακ:βκ=(α:β)κ,π.χ, 22:32=(2:3)2=4:9

(ακ)λ=ακλ,π.χ, (22)2=22.2=24=16

www.mathschool-online.com

Παράδειγμα 1ο

(Λύση της άσκησης 1.α) σελ.19 του σχολικού βιβλίου)

2-5.28=2-5+8=23=2.2.2=8

http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr

Παράδειγμα 2ο

(Λύση της άσκησης 1.δ) σελ.19 του σχολικού βιβλίου)

(5-2)-4=5(-2).(-4)=58=5.5.5.5.5.5.5.5=390625

Tα παραπάνω αποτελούν ένα μικρό δείγμα

Aν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online