[15.05.01] Bèzier Curve

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Bèzier Curve13045 박현민

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목차

Chapter 1: Curve

Chapter 2: Bèzier Curve

Chapter 3: Application

Appendix A: B-Spline Curve

Appendix B: Reference

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CURVEChapter 1

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곡선

조정점

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곡선 (Cont.)

보간 (Interpolation)

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곡선 (Cont.)

보간 곡선의 위험성

계산 시간 많다

원치 않는 진동

거듭제곱으로 오차 민감

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곡선 (Cont.)

근사 (Approximation)

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BÈZIER CURVEChapter 2

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베지에 곡선

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베지에 곡선 (Cont.)

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베지에 곡선 (Cont.)

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베지에 곡선 (Cont.)

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𝑝 (𝑢 )=∑𝑖=0

𝑛

(𝑛𝑖 )𝑢𝑖 (1−𝑢)𝑛− 𝑖𝑃 𝑖

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그려지는 과정

2 차

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그려지는 과정 (Cont.)

3 차

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그려지는 과정 (Cont.)

4 차

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그려지는 과정 (Cont.)

5 차

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■ 2 차 베지에

곡선

■ 3 차 베지에

곡선

■ 4 차 베지에

곡선

■ 5 차 베지에

곡선

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그려지는 과정 (Cont.)

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https://www.jasondavies.com/animated-bezier/

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한계

기반함수

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2 차 베지에 곡선의 기반 함수

3 차 베지에 곡선의 기반 함수

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한계 (Cont.)

Global Modification 성질

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복합 베지에 곡선

공통 조정점

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접선 연속 복합 베지에 곡선접선 불연속 복합 베지에 곡선

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복합 베지에 곡선 (Cont.)

곡선의 연속성 Positional Continuity : 점이 일치• G0, C0

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복합 베지에 곡선 (Cont.)

곡선의 연속성 (Cont.) Tangential Continuity : 접선 벡터가 일치 (1 차 미분 연속 )• G1: 접선 벡터의 방향만 일치

• C1: 접선 벡터의 방향과 크기가 일치

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복합 베지에 곡선 (Cont.)

곡선의 연속성 (Cont.) Curvature Continuity : 연속곡률이 일치 (2 차 미분 연속 )• G2: 곡률이 일치

• C2: 2 차 미분 벡터가 일치

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복합 베지에 곡선 (Cont.)

복합 베지에 곡선의 연속성

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G1 연속C0 연속

G0 ~ C1 연속성 표현 가능

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APPLICATIONChapter 3

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글꼴

트루타입 (TTF) : 2 차 베지에 곡선

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글꼴 (Cont.)

오픈타입 (OTF) : 3 차 베지에 곡선

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글꼴 (Cont.)

비교

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글꼴 (Cont.)

비교 (Cont.)

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파일 타입 트루타입 (TTF) 오픈타입 (OTF)

사용 범위MS Office, 한글 등

화면용 프로그램Adobe 제품군 등출력용 프로그램

곡선 표현 방법

2 차 베지에 곡선 3 차 베지에 곡선

권장 사용자 일반 사용자 및 디자이너고해상도 출력이 필요한

디자이너

속도 빠름 느림

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B-SPLINE CURVEAppendix A

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베지에 곡선의 한계

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베지에 곡선

낮은 Locality

복합 베지에 곡선

G0 ~ C1 연속성 표현 가능

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복합 베지에 곡선의 한계

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복합 베지에 곡선

G0 ~ C1 연속성 표현 가능

B- 스플라인 곡선

G0 ~ C2 연속성 표현 가능

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B- 스플라인 곡선

조정점별 기반함수의 중첩

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B- 스플라인 곡선 (Cont.)

3 차 B- 스플라인 곡선

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B- 스플라인 곡선 (Cont.)

C2 연속성

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B- 스플라인 곡선 (Cont.)

C2 연속성 (Cont.)

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G1? G0?

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B- 스플라인 곡선 (Cont.)

균등 나트벡터

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B- 스플라인 곡선 (Cont.)

차등 나트벡터

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NURBSNon-Uniform Rational B-Spline

차등 유리 B- 스플라인

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REFERENCEAppendix B

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참고 문헌

http://cfile5.uf.tistory.com/attach/201118174B09FA1D74BCBE http://web.hallym.ac.kr/~

cgsong/data/lecture/graph1/lec_data/06_ref13_spline.ppt http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve http://en.wikipedia.org/wiki/File:Quadratic_Beziers_in_string_art.svg http://sketchpan.com/?yeji123=510758 http://en.wikipedia.org/wiki/File:B%C3%A9zier_2_big.svg http://en.wikipedia.org/wiki/File:B%C3%A9zier_3_big.svg http://en.wikipedia.org/wiki/File:B%C3%A9zier_4_big.svg http://en.wikipedia.org/wiki/File:B%C3%A9zier_2_big.gif http://en.wikipedia.org/wiki/File:B%C3%A9zier_3_big.gif http://en.wikipedia.org/wiki/File:B%C3%A9zier_4_big.gif http://commons.wikimedia.org/wiki/File:BezierCurve.gif http://yoon-talk.tistory.com/64

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감사합니다

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