Francesca Serato3^ ASo

Il concetto di curva ha conosciuto una profonda evoluzione negli ultimi secoli. Con la nascita e lo sviluppo nel ‘600 della geometria analitica a opera di importanti matematici, come Pierre Fermat, la nozione di curva cominciò a precisarsi assieme ai concetti di funzione; questi concetti furono dati da Dirichlet nell’Ottocento.Una curva è formalmente considerata come una “funzione di una variabile x, definita in un certo insieme D, che è una grandezza y, tale che per ogni valore della x in D assuma un determinato valore.”.Nel caso particolare che questa curva sia rappresentata su una superficie piana, questa funzione (reale di variabile) può fornire la rappresentazione cartesiana di una curva piana, detta così perché tutti i suoi punti sono contenuti nel piano (x,y). Tutte le curve in un piano sono definite come “luogo dei punti le cui coordinate (x,y) soddisfano un’equazione del tipo: F(x,y)=0”.

Le curve sono ENTI MATEMATICI ASTRATTI, assegnati per mezzo di una funzione definita su un insieme di numeri reali e valori in uno spazio genericamente a n dimensioni.

Alcuni tipi particolari di curve geometriche sono dette coniche.

In matematica per sezione conica (o semplicemente per conica) si intende una curva piana: luogo dei punti ottenibili come intersezione di un cono con un piano variabilmente orientato. Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali delle coniche.

Due coniche bene visualizzabili sono la circonferenza e l‘ellisse, le due specie di curve chiuse che si ottengono intersecando un cono e un piano. La circonferenza è un caso particolare di ellisse, relativo alla intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare al suo asse.

Se si interseca il cono con un piano parallelo a una retta generatrice del cono si ottiene una conica chiamata parabola. Infine una intersezione con un piano non parallelo ad alcuna retta generatrice che determina una curva aperta, fornisce una cosiddetta iperbole; in questo caso il piano interseca entrambe le parti del cono, producendo due curve non connesse.

Consideriamo la superficie conica in figura, ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta r (detta generatrice) intorno a una retta secante a (detta asse), e sia α l'angolo tra le due rette (angolo di semiapertura del cono): intersechiamola con un piano π non passante per il vertice V e formante un angolo β con la retta a, asse del cono:

•se l'angolo che il piano forma con l'asse del cono è maggiore dell'angolo di semiapertura del cono (β>α) otteniamo la curva nota col nome di ellisse.•se π passa per il vertice V e β>α si avrà una ellissi degenerecostituita da un solo punto.

L'ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO:

L'ellisse, nel piano cartesiano, è definita come il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi (F1 e F2).

L'EQUAZIONE DELL'ELLISSE:

(x/a)2 + (y/b)2 = 1

conc2 = a2 - b2      se a > b, ossia se i fuochi sono sull'asse xc2 = b2 - a2      se a < b, ossia se i fuochi sono sull'asse y

ove i parametri a, b e c hanno il significato geometrico mostrato in figura.

Consideriamo la superficie conica in figura, ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta r (detta generatrice) intorno a una retta secante a (detta asse), e sia α l'angolo tra le due rette (angolo di semiapertura del cono): intersechiamola con un piano π non passante per il vertice V e formante un angolo β con la retta a, asse del cono:

se β= 90° , si ha un caso particolare di ellissi, la curva ottenuta è, dunque, una circonferenza.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO:

La circonferenza, nel piano cartesiano, è definita come il luogo dei punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato centro. Tale distanza viene detta raggio.

L'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA:

x 2 + y 2 + ax + by + c = 0

Coordinate del centro: C=(-a/2;-b/2) Raggio: r=radq[(a/2)2+(b/2)2-c]

F ≡ F1 = C

Consideriamo la superficie conica in figura, ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta r (detta generatrice) intorno a una retta secante a (detta asse), e sia α l'angolo tra le due rette (angolo di semiapertura del cono): intersechiamola con un piano π non passante per il vertice V e formante un angolo β con la retta a, asse del cono:

•se l'angolo che il piano forma con l'asse del cono è uguale all'angolo di semiapertura del cono (β = α) otteniamo la curva nota col nome di parabola.•se π passa per il vertice V e β = αsi avrà una parabola degenerecostituita da due rette coincidenti.

LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO:

La parabola, nel piano cartesiano, è definita come il luogo dei punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato fuoco (F) e da una retta fissa chiamata direttrice (d).

L'EQUAZIONE DELLA PARABOLA:

y = ax2 + bx + c          se l'asse di simmetria è parallelo all'asse y x = ay2 + by + c          se l'asse di simmetria è parallelo all'asse x

Coordinate del vertice:    V = (-b/2a;-δ/4a)               V1 = (-δ/4a;-b/2a)

                         Fuoco:    F = (-b/2a;-1-δ/4a)           F1 = ( -1-δ/4a);-b/2a)

Equazione della direttrice:    Y = -(1+δ/4a)                    X = -(1+δ/4a)

Equazione dell' asse:    X =-b/2a                            Y = -b/2a

Consideriamo la superficie conica in figura, ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta r (detta generatrice) intorno a una retta secante a (detta asse), e sia α l'angolo tra le due rette (angolo di semiapertura del cono): intersechiamola con un piano π non passante per il vertice V e formante un angolo β con la retta a, asse del cono:

•se l'angolo che il piano forma con l'asse del cono è minore dell'angolo di semiapertura del cono (β<α) otteniamo la curva nota col nome di iperbole.•se π passa per il vertice V e β<αsi avrà un’iperbole degenere.

L'IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO:

L'iperbole, nel piano cartesiano, è definita come il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi (F1 e F2).

L'EQUAZIONE DELL'IPERBOLE:

 (x/a)2 - (y/b)2 = 1          se i fuochi sono sull'asse x (x/a)2 - (y/b)2 =-1         se i fuochi sono sull'asse y

conc2 = a2 + b2

La Parabola in 3D