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Structures caténaires
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Analysed’une structure
caténaire parune méthode
graphique
Conception de structuresAutomne 2012
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
Qu’est-ce qu’une structure caténaire ?
Une structure caténaire est une structure qui, lorsqu’elle est soumise à un ensemble de charges donné, est sollicitée uniquement en tension ou en compression.
Une corde à linge représente un bon exemple de structure caténaire. Sous le poids des vêtements qui y sont suspendus, la corde va se déformer pour adopter une géométrie qui assure son équilibre statique mais en ne générant que des efforts de tension car elle possède une résistance nulle en compression ou en flexion.
2
Forme caténaire
On distingue deux types de formes caténaires. D’une part, les câbles suspendus qui sont sollicités uniquement en traction et, d’autre part, les arches qui sont sollicitées uniquement en compression.La forme caténaire est associée à une combinaison de charges donnée. Dans le cas des structures tendues, elles ne peuvent supporter aucun effort de flexion ce qui signifie que toute variation des charges amène une modification de géométrie. Quant aux structures comprimées, elles sont rigides et doivent résister aux efforts de flexion qui peuvent être causés par des variations de charge.
3
Équilibre statiqued’une structure
caténaire
4
5Équilibre statique des forcesà chacun des noeudsLa figure ci-dessous montre la vue en élévation d’un câble qui supporte trois charges concentrées sur une portée de 26 m.
200 kN150 kN
300 kN
G
D
10 m 6 m 6 m4 m
ab c
200 kN
a
noeud a
150 kN
b
noeud b
300 kN
c
noeud c
200 kN
a
150 kN
b
300 kN
c
polygone de forces
On peut trouver les efforts dans le câble en faisant l’équilibre des forces à chacun des noeuds.En regroupant les polygones de forces obtenus à chacun des noeuds, on peut tracer un polygone de forces pour la structures entière.
6Méthode graphiqueOn peut utiliser la méthode graphique pour tracer le polygone de forces. Par convention, on désignera par la lettre O l’espace en-dessous du câble et par des lettres les intervalles entre les forces au-dessus le câble.
200 kN
150 kN300 kN
G
D
10 m 6 m 6 m4 m
Polygone de forces
O
A B C D
a
b
c
d
o
diagramme de forme
7Méthode graphiqueSi on inverse le polygone de forces en plaçant le point O à gauche de l’axe vertical des charges externes sur le polygone de forces, on obtient alors une arche de forme caténaire où toutes les membrures sont sollicitées en compression.
D
Polygone de forces
O a
b
c
d
o
200 kN
150 kN300 kN
G10 m 6 m 6 m4 m
A B C D
diagramme de forme
8Réactions d’appuiLe polygone de forces nous permet de trouver les réactions d’appui aux extrémités du câble. On pourrait décomposer ces réactions en deux composantes orthogonales, l’une verticale, l’autre horizontale.
200 kN
150 kN300 kN
G
D
10 m 6 m 6 m4 m
Polygone de forces
O
A B C D
a
b
c
d
o
D
Dh
Dv
G
Gh
Gv
résultantedes forcesexternes
diagramme de forme
9Multiplicité des formes caténairesEn déplaçant le point o sur le polygone de forces, on obtient une autre forme caténaire pour le câble.
200 kN
150 kN300 kN
10 m 6 m 6 m4 m
Polygone de forces
O
A B C D a
b
c
d
o
G
D
diagramme de forme
10
En déplaçant le point o sur le polygone de forces, on obtient une autre forme caténaire pour le câble.
200 kN
150 kN300 kN
10 m 6 m 6 m4 m
Polygone de forces
O
A B C Da
b
c
d
o
G
D
Multiplicité des formes caténaires
diagramme de forme
11Corde de fermeture et point zQuelle que soit la forme caténaire retenue, la corde de fermeture croisent toujours l’axe vertical du polygone de forces au même point z
Polygone de forces
a
b
c
d200 kN
150 kN300 kN
10 m 6 m 6 m4 m
O
A B C D
G
D
D
D
corde de fermeture
corde de fermeturecorde de fermeture
z
diagramme de forme
12
Polygone de forces
a
b
c
d
z
250 kN
400 kN
Signification physique du point z
Toutes les formes caténaires associées au même cas de charge possèdent le même point z. Physiquement, ce point définit les réactions d’appui d’une poutre simplement appuyée qui supporterait les mêmes charges.
200 kN150 kN
300 kN
10 m 6 m 6 m4 m250 kN 400 kN
Sur le polygone de forces, le point o est toujours situé sur une ligne parallèle à la corde de fermeture et passant par le point z.
o
o
o
Résultante des forces 13
200 kN
150 kN300 kN
10 m 6 m 6 m4 m
corde de fermeture650 kN
200 kN
150 kN300 kN
10 m 6 m 6 m4 m
corde de fermeture
650 kN
Comme la résultante des forces externes (650 kN) forme avec les deux réactions d’appui un ensemble de 3 forces non-parallèles, ces trois forces convergent vers un même point.
200 kN
150 kN300 kN
10 m 6 m 6 m4 m
corde de fermeture
650 kN
Forme caténairepassant pardeux points
14
Exemple 15
On souhaite construire un voile de béton qui épouse une forme caténaire pour recouvrir un gymnase annexé à une école secondaire. Le voile de béton fait 10 cm d’épaisseur et on souhaite que ce voile passe par les deux points d’appui illustrés à la figure ci-dessous. Sachant que la charge totale majorée (wf) est égale à 8 kN/m2 et que la contrainte admissible dans le béton est égale à 5 MPa, tracez la forme du voile caténaire qui passe par les deux points d’appui illustrés sur la figure ci-dessous.
50 m
10 m
Exemple - étape 1 16
On subdivise notre structure, par exemple, en 10 intervalles de 5 m de largeur (plus le nombre d’intervalles sera élevé, plus la courbe tracée sera précise). Si on considère une bande de toiture de 1 m de largeur (dans la direction perpendiculaire à l’illustration), on trouve alors que le voile supporte 9 charges concentrées Pf = 8 kN/m2 x 5 m x 1 m = 40 kN.
50 m
10 m
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
diagramme de forme
Exemple - étape 2 17
50 m
10 m
a
b
cd
ef
gh
ijA B C D E F G H I J
Oz
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
On place le point o arbitrairement sur le polygone de forces et on trace une courbe caténaire associée à ce polygone.
On trace la corde de fermeture et on trouve le point z sur le polygone de forces.
o
polygone de forcesdiagramme de forme
Exemple - étape 3 18
50 m
10 m
a
b
cd
ef
gh
ij
A B C D E F G H I J
Oz
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
No
polygone de forces
o
On trace une corde de fermeture entre les deux points d’appui sur le diagramme de forme et on rapporte sur le polygone de forces une ligne parallèle à cette corde et passant par le point z.
diagramme de forme
Exemple - étape 4 19
L’effort maximal de compression dans le voile de béton ne doit pas dépasser Pr :
b
cd
ef
gh
ij
polygone de forces
o
aPr = ϕ σadm x A = 0,6 x 5 N x 1000 mm x 100 mm mm2 1000 = 300 kN
On place un nouveau point o sur le polygone de forces de telle sorte qu’il soit situé sur la corde de fermeture et que l’effort maximal dans l’arche (i.e. la force oa dans ce cas-ci) soit égale à 300 kN.
o
300 k
N
Exemple - étape 5 20
50 m
10 m
a
b
cd
ef
gh
ijA B C D E F G H I J
O o
z
polygone de forces
Finalement on trace un nouveau polygone de force ainsi que le profil de la structure caténaire correspondante.
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
40 k
N
o
diagramme de forme
Passerelle Traversina I
La passerelle Traversina I est un pont piétonnier construit dans les Alpes suisses en 1996. Le tablier s’appuie sur une structure formée de 23 triangles de bois de hauteur variable supportés par deux câbles paraboliques.Malheureusement cette structure spectaculaire n’a été en service que très peu de temps car elle a été détruite par une avalanche de pierres en 1999.
21
Une structure légèreLa finesse des câbles confèrent une grande légèreté à la structure qui semble flotter au-dessus du vide. Le site étant peu accessible, la passerelle est si légère (4 300 kg) qu’elle a pu être entièrement préfabriquée avant d’être transportée et déposée sur place à l’aide d’un hélicoptère.
22
23
La structure est constituée de trois parties:
Le pontage laminé en bois qui contribue à la reprise des charges latérales de vent et une main courante en contreplaqué qui contribue à rigidifier la structure verticalement.
La structure lenticulaire constitue des câbles caténaires ainsi que des cadres triangulaires en bois. L’ajout de tirants en forme de X contribue à contreventer cette structure dans la direction longitudinale de la passerelle.
Un assemblage de pièces de bois en forme de H qui unit le pontage à la structure lenticulaire. 24
25
Ces photographies illustrent quelques détails d’assemblage de la structure
26
47 m
34 m
Vue en élévation de la structure
27
s
s
Une propriété des structures caténaires supportant une charge uniformément répartie
Le «sag» d’une structurecaténaire désigne la distancemaximale entre la corde defermeture et le point le plus basde la structure (s).
Si une structure caténaire supporte une chargeuniformément répartie, les deux réactions d’appui se croisent au centre de la structure à une distance égale à 2s sous la corde de fermeture.
diagramme de forme
polygone de forces
oz
28
s
s
Réactions d’appui
Les réactions d’appui aux extrémités de la passerelle peuvent être décomposées en une force verticale, qui est transmise aux fondations, et une force parallèle au tablier qui va induire une force de compression dans le pontage en bois.
réaction d’appui
effo
rt v
ertic
al tr
ansm
is a
ux fo
ndat
ions
effort de compression dans le tablier
vue en coupe de la passerelle
Résistante aux efforts horizontaux provoqués par le vent
29
vue en plan de la passerelle
W(poids de la structure)
H (charge de vent)
charge de vent
H
W
polygone de forcesef
fort
de tr
actio
n
dans
le c
âble
cat
énai
re
effort dansle tablier
Forme caténairepassant partrois points
30
Passerelle Traversina II
31
Après la destruction de la passerelle Traversina I par une avalanche en 1999, on a décidé de reconstruire une autre passerelle, 70 m plus loin, en 2005.Cette passerelle reprend également une forme caténaire, différente de la première passerelle, mais tout aussi spectaculaire.
Passerelle Traversina II
32
La passerelle est en fait constituée d’un escalier en bois qui descend de la rive nord vers la rive sud et qui est suspendu à deux câbles caténaires. L’escalier franchit 56 m au-dessus du vide et les câbles font 95 m de portée. Les câbles de suspente qui unissent l’escalier au câble caténaire sont inclinés ce qui confère une plus grande stabilité à l’ouvrage. L’ancrage du câble caténaire au massif rocheux nécessite des culées de béton importantes.
33
56 m
95 m
Vues de l’escalier
34
Culée en béton
35
Détails d’assemblage
36
37Étape 1Sur la figure ci-dessous, nous avons identifié trois points par lesquels nous voulons que passe notre forme caténaire (les deux points d’appui ainsi que le point le plus bas).
P P P P P
Nous allons subdiviser le tablier en 6 intervalles de même largeur avec 5 charges concentrées de même intensité (P) puisque la charge est uniformément répartie sur le tablier.
38Étape 2Nous allons tracer un premier polygone de forces, et la forme caténaire correspondante, en plaçant le point o arbitrairement sur le polygone de forces.
P P P P P
diagramme de forme polygone de forces
O
A B C D E
a
b
c
d
e
f
o
En traçant la corde de fermeture sur le diagramme de forme, nous trouvons le point z sur le polygone de forces.
z
F
39Étape 3À partir du diagramme de forme nous allons tracer deux lignes reliant les trois points de notre forme caténaire situés à la verticale des trois points par lesquels nous voulons que passe notre courbe.
diagramme de forme polygone de forces
Si on ramène ces deux lignes sur le polygone de forces, l’interception de ces lignes avec l’axe vertical nous permet de placer les points x et y qui, comme le point z sont une caractéristique de toute la famille de courbes caténaires soumises au même chargement.
P P P P P
O
A B C D E
a
b
c
d
e
f
o
z
Fx
y
o-x
o-y
40Étape 4Sur le diagramme de forme, on trace maintenant deux lignes reliant les trois points par lesquels on veut faire passer notre forme caténaire et on les ramène sur le polygone de forces à l’intersection des point x et y.
diagramme de forme
L’intersection de ces deux lignes nous donnent la position finale du point o.
polygone de forces
P P P P P
O
A B C D E
a
b
c
d
e
f
oF
o-x
x
o-y
y
z
o
On peut vérifier que la corde de fermeture (o-z) passe aussi par le point o.
o-z
41Étape 5À partir du point o, on trace notre polygone de forces et on le diagramme de forme de notre structure caténaire qui passe par les trois points souhaités.
diagramme de forme polygone de forces
P P P P P
O
A B C D E
a
b
c
d
e
f
oF
o-x
x
o-y
y
z
oo-z
42
Stabilitédes structures
caténaires
Stabilité 43
Comme nous l’avons mentionné, une forme n’est caténaire que pour uncas de charge donné. Dans la réalité, les charges varient avec le temps et une structure doit être en mesure de résister à divers types de chargement.
Dans le cas des structures caténaires tendues, la forme du câble va se modifier selon la répartition des charges qui le sollicitent. L’enjeu de stabilité consiste alors à s’assurer que les déformations que subiront la structure demeurent en-deçà de limites acceptables et que cette même structure ne soit pas soumise à des vibrations excessives.
Dans le cas des structures caténaires comprimées, la rigidité de la structure fait en sorte que sa forme ne varie pas beaucoup selon la répartition des charges qui le sollicitent. En revanche, toute variation de la répartition de la charge entraînera des efforts de flexion à l’intérieur de la structure. L’enjeu de stabilité consiste alors à s’assurer que la structure est en mesure de résister à ces efforts de flexion.
44
Une forme caténaire est associée à un cas de charge donné (généralement une charge uniformément répartie). Si la sollicitation varie, la forme varie également.
Par exemple la figure ci-contre montre un pont suspendu qui se déforme avec le passage d’un piéton.
Bien souvent, le principal défi qui se pose au concepteur n’est pas d’assurer à la structure une résistance suffisante aux efforts externes mais plutôt de lui conférer une rigidité suffisante pour que les déformations demeurent en-deçà d’un seuil acceptable.
On peut assurer la stabilité d’une structure caténaire de différentes façons.
L’une d’entre elles consiste à alourdir volontairement la structure de manière à ce que les variations de la charge vive demeurent relativement petites comparativement à la charge totale.
Cette méthode simple permet souvent de maintenir les déformations de la structure en-dessous d’un seuil acceptable. Elle présente cependant l’inconvénient majeur d’accroître les efforts internes dans la structure. 45
tablier plus lourd
46
L’aéroport de Dulles à Washington représente un bel exemple de cette stratégie. La toiture est entièrement supportée par des câbles suspendus de 66 m de portée. Des dalles de béton armé de 10 cm d’épaisseur recouvrent la toiture et leur poids (250 kg/m2) qui confère à cette toiture une grande stabilité sous les charges de vent. Les poteaux inclinés qui supportent la toiture sont très massifs pour pouvoir résister aux très grands efforts de flexion qui les sollicitent.
Exemple d’une passerelle piétonne soutenue par un câble caténaire où le poids du tablier en béton assure la stabilité de la structure.
47
48
Une autre solution consiste à rigidifier le tablier qui est supporté par la structure caténaire.
Ainsi lorsque la charge vive ne correspond pas à la charge ayant servi à définir la forme caténaire (généralement une charge uniformément répartie), une partie de la charge est reprise par la structure caténaire et l’autre partie par le tablier qui se comporte alors comme une poutre.
Dans ce cas, le tablier doit être suffisamment rigide pour reprendre une partie significative des charges externes appliquées à la structure.
49
La figure ci-contre illustre schématiquement un pont suspendu.Le câble caténaire supporte les charges uniformément réparties.Dans le cas où la structure devrait supporter une charge concentrée, la poutre en treillis qui supporte le tablier du pont sera sollicitée en flexion pour résister à cette charge.
diagramme de moment
Photographie montrant les déformations du tablier du Lion Gates Bridge à San-Francisco sous l’action du vent. Des modifications structurales ont ultérieurement été apportées pour accroître la rigidité du tablier.
50
La photographie de gauche montre le pont Georges Washington à New York peu après sa construction. On constate que le tablier est très mince et que toute les charges est reprise par les câbles suspendus. La photographie de droite montre le même pont après que le tablier ait été profondément modifié pour accroître sa rigidité et assurer une plus grande stabilité de la structure.
51
Exemple d’une arche caténaire qui supporte un tablier de pont. Dans cet ouvrage, on a choisi d’accroître la rigidité du tablier pour assurer la stabilité de l’arche.
52
Infante Bridge, Portugal
53
Federal Reserve BankMinneapolis
54
Tout le bâtiment est supporté par une structure caténaire pour libérer une esplanade de 82 m de portée sous le bâtiment.
Federal Reserve Bank, Minneapolis
55
56
Federal Reserve BankMinneapolis
Le treillis au sommet de bâtiment assure la stabilité de la structure en plus de résister aux forces horizontales importantes imposées aux points d’appui de la structure caténaire.
New River George BridgeVirginie, États-Unis
57
Contrairement aux exemples précédents, on a choisi ici de donner plus de volume à l’arche pour accroître sa rigidité et assurer sa stabilité.
58
Cold Springs BridgeCalifornie
Dans cet exemple on a voulu amincir le tablier au maximum et conférer aux deux arches en acier une rigidité suffisante pour assurer la stabilité de la structure.
Cold Springs Bridge, Californie
59
Salginatobel Bridge, Suisse
60
Conçu par Robert Maillart à l’aide de la méthode graphique, le Salginatobel Bridge est un ouvrage très célèbre qui franchit une portée de 90 m dans les montagnes suisses.Toutes les charges sont supportées par une arche en béton de 30 cm d’épaisseur.La stabilité de l’ouvrage est assurée pour un mince voile de béton placé au-dessus de l’arche et capable de résister aux efforts de flexion qui pourraient être causés par divers cas de charge.
61
Salginatobel Bridge, Suisse
62
Salginatobel Bridge, Suisse
voile de bétonstabilisateur
63
voile de bétonstabilisateur
Salginatobel Bridge, Suisse
64
Une troisième stratégie consiste à ajouter des diagonales entre la structure caténaire (câble ou arche) et le tablier. La structure acquiert alors la capacité de travailler comme un treillis pour reprendre les efforts de flexion qui pourraient être associés à différents profils de charge qui sollicitent la structure.
65
Dans cet exemple d’arche caténaire en acier, la présence de diagonales permet de réduire la taille des membrures.
Dans cet exemple d’arche caténaire en acier, la présence de diagonales permet de réduire la taille des membrures.
66
Passerelle Traversina I
67
Passerelle Traversina II
68
69
Une quatrième stratégie consiste à retenir certains points de la structure caténaire pour prévenir son déplacement latéral.
Plus le nombre de points de retenue sera élevé, plus la structure sera stable
Dans cette structure, la voûte en verre se comporte comme une arche caténaire et une série de câbles radiaux lui confère une grande stabilité en limitant le déplacement des noeuds
70
Broadgate Office BuildingLondres
71cette membrure travaille en tension pour ne transmettre
que des charges verticales aux fondations
ces membrures restreignent les déformations del’arche et réduisent sa longeur de flambement
72
Broadgate Office Building, Londres
Une cinquième stratégie consiste à utiliser des câbles stabilisateurs qui adoptent une forme caténaire de courbure inversée p/r à la structure porteuse. Le câble porteur supporte toutes les charges orientées vers le bas alors que le câble stabilisateur reprend toutes les charges dirigées vers le haut
Cette méthode offre l’avantage de préserver la légèreté de la structure et, par conséquent, de réduire les efforts internes.
73
câble porteur
câble porteur
câble stabilisateur
câble porteur
câble stabilisateur
câble stabilisateur
(a) le câble stabilisateur est placé sous le câble porteur
(b) le câble stabilisateur est placé au-dessus câble porteur
(c) les deux câbles se croisent
74
La photographie ci-contre montre un pont suspendu en acier avec un tablier très mince qui est rigidifié à l’aide d’un câble stabilisateur qui adopte une forme caténaire de courbure inversée p/r au câble porteur.
câble porteur
câblestabilisateur
Exemple du toiture en verre conçue par Renzo Piano et qui utilise le principe d’une structure caténaire constituée d’un câble porteur jumelé à un câble stabilisateur.
75
câble porteur
câble stabilisateur
76
77
Passerelle Simone de Beauvoir, Paris
78
Passerelle Simone de Beauvoir, Paris
79
Passerelle Simone de Beauvoir, Paris
80
Optimisationde treillis
81
82
a
b
c
g
d
e
f
1
2,3
4,5
6,7
8,9
10
On peut optimiser la forme d’un treillis en s’inspirant des formes caténaires.Par exemple, pour le treillis illustré ci-contre, l’aile inférieure du treillis suit une forme caténaire. L’effort de compression est donc constant sur toute les membrures de l’aile supérieure et les efforts internes sont nuls dans les diagonales (qui pourraient alors être supprimées).
BA EC
2
G
FD
1 43 5
786
9 10
polygone de forces
diagramme de forme
forme idéale
Alamodome Stadium, San Antonio, Texas
83
Alamodome Stadium, San Antonio84
Alamodome Stadium,San Antonio, Texas
Toute la toiture du stade repose sur deux immenses treillis de 110 m de portée. La forme de ces treillis a été optimisée pour la corde inférieure reproduise une forme caténaire.
110 m
Alamodome Stadium, San Antonio, Texas
85
Alamodome Stadium, San Antonio, Texas
86
Alamodome Stadium, San Antonio, Texas
87
On pourrait également souhaiter que la charge soit uniforme sur toute la membrure inférieure du treillis.Dans ce cas, on tracerait un arc de cercle sur le polygone de forces de façon à ce que la force soit la même sur toute l’aile inférieure du treillis.Cela signifie que l’on devrait incliner les membrures verticles et que les efforts sont toujours nuls dans les diagonales. 88
1
a
b
cg
d
e
f
1
2,3
4,5
6,7
8,9
10polygone de forces
A B C D E F
G
12 3
45 6
78 9
10
diagramme de forme
forme idéale
Exemple d’un pont en arche où l’on a incliné les membrures verticales pour que la force de compression soit uniforme tout au long de l’arche.
89
Passerelle Solferino, Paris
90
Passerelle Solferino, Paris
91
92
Passerelle Solferino, Paris
forme idéale
On peut souhaiter que les deux ailes de treillis adopte une forme caténaire.Dans ce cas, on obtient une structure dite lenticulaire.Encore une fois les membrures diagonales ne reprennent aucun effort.
93
1
BA
C D E F
1 23
45 6
78
9 10
polygone de forces
diagramme de formea
b
c
gd
e
f
1
10
2,3
4,56,78,9
égal
égal
Exemple de pont adoptant une forme lenticulaire
94
Treillis lenticulaire soutenant une toiture
95
En applicant la même logique d’optimisation pour concevoir une ferme de toiture à deux versants inclinés, on obtiendrat les figures illustrées ci-contre.C’est exactement la démarche adoptée par Robert Maillart pour la conception de son Magazzini Generali.
96
A
B
C D
E
F
1 23 4
5 6
7 89 10
forme idéale
diagramme de forme
f
a
b
cg
d
e
1
10
6,7
8,92,3
4,5
polygone de forces
Magazzini Generali, Suisse
97
Magazzini Generali, Suisse
98
Magazzini Generali, Suisse
99
On pourrait appliquée la même logique à une tour soumise à des charges horizontales de vent et on obtiendrait alors... la tour Eiffel.
100
A
B
C
D
E
F
G
12
34
56
789
1011
diagrammede forme
a b c d e f gh,
1,12
3,4
5,6
7,8
9,10
11
polygonede forces
formeidéale
Tour Eiffel, Paris
101
Recommended