5.1.robezhas

VIRKNE, VIRKNES ROBEŽA

Ja katram naturālam skaitlim n ir pakārtots kāds skaitlis xn, tad ir dota skaitļu virkne.

Virkne – skaitļu kopums, kurā skaitļi ir sagrupēti noteiktā kārtībā tā, ka, zinot kāda skaitļa vietas numuru, var atrast šo skaitli.

xn, kur n patvaļīgs vietas numurs jeb indekss, sauc par virknes vispārīgo locekli

Skaitļu virknes uzdošanas veidi

• Skaitļu virknes uzdošana ar pietiekami lielu locekļu skaitu, lai būtu saskatāms likums, pēc kura var atrast tālākos virknes locekļus.

• Vispārīgā locekļa xn kā funkcijas uzdošana .• Kārtulas un algoritma uzdošana vārdos.

Skaitļu virknes uzdošanas veidi

• Virkni sauc par augošu, ja

• Virkni sauc par dilstošu, ja

......21 nxxx

......21 nxxx

n

xn

xn

x

nn

n

n

112

12

12

Skaitļu virkni sauc par ierobežotu, ja eksistē tāds pozitīvs skaitlis M, ka visiem virknes locekļiem ir spēkā nevienādība

Mxn

Skaitli a sauc par virknes robežu, ja katram > 0, lai cik mazs tas arī būtu, var atrast tādu naturālu skaitli N, ka visiem n > N ir spēkā nevienādība.

axn

Izmantojot definīciju, noteikt robežu virknei

Sākot ar kādu kārtas numuru, virknes locekļi no virknes robežas atšķiras mazāk nekā 0,01?

153

nnxn

Ja n = 1000, tad

2,049991003

11000531000

1000

x

Pēc definīcijas

axn

51

153

nn

15515

155155

nn

nn

525

16n

525

16n

52516 n

52516 n

51625 n

25516

n

25516

n

Ja = 0,01, tad

01,02501,0516

n

25,005,016

n

25,005,16

n

2,64n

Virknes locekļi ar kārtas numuru

lielāku par 64 no virknes robežas 0,2

atšķiras mazāk nekā 0,01.

Konverģenta virkne – virkne, kurai ir robeža.Diverģenta virkne – virkne, kurai nav robeža.

n

xn

xn

x

nn

n

n

112

12

12

FUNKCIJA, FUNKCIJAS ROBEŽA

nm, Punkts x = a y = f(x)

,...,...,, 21 nxxx

,...,...,, 21 nxfxfxf

Funkcijas robežas definīcijas pēc Heines

Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x a, ja jebkurai argumenta x vērtību virknei, kuras robeža ir a, bet neviens loceklis nesakrīt ar a, atbilst funkcijas vērtību virkne, kuras robeža ir b.

Funkcijas robežas definīcija pēc Košī

Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x a, ja katram > 0, lai cik mazs tas būtu, var atrast tādu > 0, ka

Visām tām x vērtībām, kas apmierina nevienādības

bxf

axax ,

Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x +, ja katram > 0, lai cik tas mazs būtu, var atrast tādu skaitli M > 0, ka visiem x >M ir spēkā nevienādība

bxf

Funkcijas robežas

xxxy2

xxxy2

Papildnosacījums:Visām x vērtībām jābūt vai nu lielākām, vai mazākām

par a.

Papildnosacījuma izpildīšanās gadījumā tiek iegūtas vienpusējas robežas:

Robeža no labās puses:

Robeža no kreisās puses:

0limlim0

afxfxfax

axax

0limlim0

afxfxfax

axax

Funkcijas lēciens

Kādā punktā aprēķinātu vienpusēju robežu starpības absolūto vērtību sauc par funkcijas lēcienu šajā punktā. Tātad funkcijas y = f(x) punktā x = a lēciens ir

00 afaf

Bezgalīgi lielas funkcijas

Funkcijas y = f(x) robeža ir bezgalība, kad x a, ja katram M > 0, lai cik tas liels būtu, var atrast tādu > 0, ka f(x) > M visiem x, kam spēkā nevienādības x – a < , x ≠ a.

Ja f(x) ir bezgalīgi liela funkcija, tad

xfax

lim

yxx

22

yxx

22

yxx

33

yxx

33

Ierobežota funkcija

Funkciju y=f(x) sauc par ierobežotu dotajā intervālā, ja eksistē tāds pozitīvs skaitlis M, ka visām x vērtībām no šī intervāla ir spēkā nevienādība f(x) M. Pretējā gadījumā, ja tāds M neeksistē, tad funkcija ir neierobežota.

Īpašības

1. Bezgalīgi lielas funkcijas un ierobežotas funkcijas summa ir bezgalīgi liela funkcija.

2. Divu bezgalīgi lielu funkciju summa ne vienmēr ir bezgalīgi liela funkcija.

3. Divu bezgalīgi lielu funkciju reizinājums ir bezgalīgi liela funkcija.

Bezgalīgi mazas funkcijas

Funkciju y = f(x) sauc par bezgalīgi mazu, kad x a, ja

0lim

xfax

Bezgalīgi mazu funkciju īpašības

Bezgalīgi mazu funkciju algebriska summa ir bezgalīgi maza funkcija, ja saskaitāmo skaits ir galīgs.

Bezgalīgi mazas funkcijas (x) dalījums ar funkciju f(x), kuras robeža atšķiras no nulles, ir bezgalīgi maza funkcija

0,0 limlim

bxfkurxfx

axax

Bezgalīgi mazu funkciju īpašības

Ierobežotas funkcijas f(x) un bezgalīgi mazas funkcijas (x) reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija.– Bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar

konstanti ir bezgalīgi maza funkcija.– Bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar konstanti,

kura atšķiras no nulles, ir bezgalīgi maza funkcija.

– Divu vai vairāku bezgalīgi mazu funkciju reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija.

Pamatteorēmas par robežām

Funkcijas algebriskas summas robeža ir vienāda ar atsevišķo saskaitāmo funkciju robežu algebrisko summu, ja vien saskaitāmo skaits ir galīgs.

lim (u + v - w) – lim u + lim v –lim w

Funkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar reizinātāju robežu reizinājumu, ja vien reizinātāju skaits ir galīgs.

lim (u ∙ v) = lim u ∙ lim v

Secinājumi

Patstāvīgu reizinātāju drīkst iznest pirms robežas zīmes.

lim (c ∙ u) = c ∙ lim u

Pakāpes robeža ir vienāda ar bāzes robežas pakāpi

lim (un) = (lim u)n

Pamatteorēmas par robežām

Divu funkciju dalījuma robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu dalījumu, ja vien dalītāja robeža atšķiras no nulles

Ja funkcijas u vērtības ir nenegatīvas, kad x a vai x , t.i., u 0 un eksistē lim u = b, tad b 0.

0,limlimlim vkurvu

vu

Pamatteorēmas par robežām

Ja divu funkciju u = u(x) un v = v(x) atbilstošajām vērtībām ir spēkā nevienādība v u un abām funkcijām ir robeža, kad x a vai (x ), tad lim v lim u.

Ja triju funkciju u = u(x), w = w(x) un v = v(x) atbilstošajām vērtībām ir spēkā nevienādības u w v, pie tam u(x) un v(x), kad x a vai x , tiecas uz vienu un to pašu robežu b, t.i., lim u = b un lim v = b, tad arī funkcija w(x) tiecas uz to pašu robežu, t.i., lim w = b.

Pamatteorēmas par robežām

Jebkurai ierobežotai monotonai funkcijai ir robeža, kad arguments monotoni tiecas uz galīgu robežu a vai neierobežoti aug (vai dilst).

Nenoteiktības

00

00010

Pirmā ievērojamā robeža

xx

x

sinlim0

ABAOS AOB 21

AO

BCRACSsektAOC

21

R

R

D

CDAOS AOD 21

RtgxRRRxxRR sin

RACSsektAOC 21CDAOS AOD 2

1

ABAOS AOB 21

ABAORACABAO 21

21

21

tgxxx sin

tgxxx sin

xxx

cos1

sin1

1cos11,0

limlim00

xtadxJa

xx

xxx cossin1

1sinlim00

x

x

xx

Piemēri

kkxkxk

kxkxk

xkx

xxx

sinsinsin limlimlim000

1cos1sin limlimlim

000

xxx

xtgx

xxx

1arcsinlim0

x

xx

21

2

2sin

21

24

2sin2

2sin2cos1

2

02

2

02

2

02

0limlimlimlim

x

x

x

x

x

x

xx

xxxx

Skaitlis e

Funkcijai

punktā  x = + eksistē galīga robeža, kuru apzīmē ar e.Skaitļa  vērtība ar 26 zīmēm pēc komata ir

Otrā ievērojamā robeža.Piemēri

n

n ne

11lim

k

kn

n

kn

ne

nn

1111 limlim

kkx

n

n

ne

knk

111 limlim