View
323
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Finanza Computazionale
Introduzione alla Valutazione dei Prodotti Derivati
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Introduzione al pricing
Il principio di Arbitraggio
Il modello Binomiale
Il modello di Black e Scholes
Metodi alle Differenze Finite
Metodo Monte Carlo
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il Principio di Assenza di Arbitraggio Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho appena
comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”.
Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che acquistiamo e consumiamo.
Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore maggiore.
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il Principio di Assenza di Arbitraggio Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il principio di
arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch (pasto gratis).
Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo:
Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di
rischio.
E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio.
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il Principio di Assenza di Arbitraggio Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di
arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione. La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter
ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;
Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio.
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il Principio di Assenza di Arbitraggio Per mostrare in maniera semplice l’utilizzo dell’ipotesi di non arbitraggio per
la valutazione delle attività finanziarie utilizziamo un modello in cui il rischio è rappresentato da un insieme discreto di possibili scenari, o stati di natura.
L’esempio più semplice è quello di un mondo a due tempi e due stati. Assumiamo che sul mercato vengano scambiati due titoli rischiosi, il cui valore
denotiamo X(t) e Y(t). I due titoli rischiosi assumono valori diversi nei due stati del mondo H e L che si verificano al tempo T: abbiamo quindi X(H) > X(L) e Y(H) > Y(L).
Assumiamo che esista anche un titolo privo di rischio che alla scadenza T garantisce un pay-off di un Euro: il titolo privo di rischio al tempo T assume lo stesso valore nei due stati del mondo.
Il valore del titolo privo di rischio al tempo t è definito dalla funzione di sconto P(t,T), discussa nel primo capitolo, mentre il prezzo del titolo rischioso è Y(t).
Il problema è determinare il prezzo X(t) che esclude possibilità di arbitraggio.
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Un modello binomiale
Tempo t Tempo T Tempo T
Stato H L
Y(t) Y(H) Y(L)
X(t) X(H) X(L)
P(t,T) 1 1
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Relazioni di arbitraggio tra i prezzi Formiamo un portafoglio selezionando
Una posizione lunga (acquisto, segno +) in una unità di X Una posizione corta (vendita, segno -) in unità di Y
Se scegliamo
Il valore del portafoglio all’istante T nei due stati finali sarà pari a
)()(
)()(
LYHY
LXHX
)()(
)()(
LYHY
LXHX
)()(
)()()()()(
)()(
)()()()()(
LYHY
LYHXHYLXHY
LYHY
LXHXHXHYHX
)()(
)()()()()(
)()(
)()()()()(
LYHY
LYHXHYLXHY
LYHY
LXHXHXHYHX
)()(
)()()()()(
)()(
)()()()()(
LYHY
LYHXHYLXLY
LYHY
LXHXLXLYLX
)()(
)()()()()(
)()(
)()()()()(
LYHY
LYHXHYLXLY
LYHY
LXHXLXLYLX
)()( tYtXAttualeValore )()( tYtXAttualeValore
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Con questa scelta il valore del portafoglio è lo stesso sia in H che in L, indichiamolo con ;
Il portafoglio è quindi privo di rischio; infatti assume lo stesso valore in tutti gli stati del mondo.
Come possiamo replicare questo portafoglio? Acquistando in t unità del titolo privo di rischio. Per il principio di assenza di arbitraggio due attività
finanziarie che hanno lo stesso valore ad un tempo futuro T, devono avere lo stesso valore anche oggi.
Relazioni di arbitraggio tra i prezzi
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Relazioni di Arbitraggio fra i Prezzi Indicando con il valore del portafoglio
all’istante T, il principio di assenza di arbitraggio implica a t:
),()()( TtPtYtX ),()()( TtPtYtX
),()()( TtPtYtX ),()()( TtPtYtX
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Un esempio importante:
Put call parity Consideriamo un’opzione call alla scadenza
C(T) = max(0, S(T) -K) essendo S il valore del sottostante e K il valore dello strike price
(prezzo di esercizio)
… che può essere scritta nella forma C(T) = S(T) – min(S(T),K)
È facile verificare che le due scritture sono perfettamente equivalenti!
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Dalla relazione precedente C(T) – S(T) = -min(S(T),K)
Allo stesso modo si può verificare per la put P(T) - K = -min(S(T), K)
Da questa relazione otteniamo C(T) + K = P(T) + S(T)
Per l’assenza di arbitraggio questa relazione deve essere valida anche oggi per cui
c(t) + K exp[-r(T-t)] = p(t) + S(t)
Questa relazione è come put-call parity
Un esempio importante:
Put call parity
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Relazioni arbitraggio tra i prezzi Riprendiamo la relazione di arbitraggio
X (t) = Y(t) + P(t,T)
Poiché ci sono due stati del mondo all’istante T, possiamo
scrivere X(H) = Y(H) + X(L) = Y(L) +
da cui: = (X(H) – X(L))/(Y(H) – Y(L))
= -(X(H) Y(L) – X(L) Y(H))/(Y(H) – Y(L))
Sostituendo i valori di alfa e delta nella prima relazione e
raccogliamo i termini X(H) e X(L) otteniamo...
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Relazioni arbitraggio tra i prezzi
LYHY
TtPtYHYL
LYHY
LYTtPtYH
LXLHXHTtPtX
,/
,/
,
con
LYHY
TtPtYHYL
LYHY
LYTtPtYH
LXLHXHTtPtX
,/
,/
,
con
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
La misura risk-adjusted Si noti che
Y(L) < Y(t)/P(t,T) < Y(H) *(H), *(L) > 0 *(H) + *(L) = 1 * è una misura di probabilità e il prezzo di X(t) è
Si può verificare agevolmente che Y(t) = P(t,T) E *[Y(T)]
N.B.: la misura * deriva dal non-arbitraggio
TXETtPLX1HXTtPtX ,, TXETtPLX1HXTtPtX ,,
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Per analizzare le proprietà della misura di probabilità è immediato osservare che
dove Rf è il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio sul periodo da t a T.
La misura risk-adjusted
fR1TtP
11TXE
tX
1
1tX
TXE
tX
tXTXE
,)]([
)(
fR1TtP
11TXE
tX
1
1tX
TXE
tX
tXTXE
,)]([
)(
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Sotto la misura di probabilità , quindi, il rendimento atteso del titolo rischioso X è pari al tasso d'interesse privo di rischio.
Si può verificare che anche il rendimento dell'altro titolo rischioso è pari al tasso privo di rischio!
Si tratta quindi di una prerogativa della misura di probabilità : sotto questa misura, il rendimento di tutti i titoli rischiosi è pari al rendimento del titolo privo di rischio.
E' come se i rendimenti dei titoli venissero calcolati senza tenere conto del loro livello rischio.
Per questo motivo questa misura di probabilità è nota nella letteratura come "misura neutrale rispetto al rischio", oppure "misura aggiustata per il rischio".
La misura risk-adjusted
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Un altro modo di caratterizzare la misura aggiustata per il rischio è il seguente. Misuriamo i titoli rischiosi, ad esempio il titolo X, utilizzando quello privo di rischio come numerario. Definiamo così una nuova variabile
Dalle proprietà della misura aggiustata per il rischio otteniamo adesso
dove abbiamo usato la proprietà della funzione di sconto P(T,T) = 1. In altri termini, il valore futuro atteso della nuova variabile Z(t), misurato utilizzando la misura
aggiustata per il rischio è uguale al valore corrente. Questa caratteristica è nota nella teoria dei processi stocastici come proprietà di "martingala".
Per questo la misura di probabilità è nota anche come misura di martingala equivalente
(equivalent martingale measure, o EMM).
TtP
tXtZ
,
TtP
tXtZ
,
TZE
TTP
TXE
TtP
tXtZ
,,
TZETTP
TXE
TtP
tXtZ
,,
La misura risk-adjusted
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il Teorema Fondamentale della Finanza
(Harrison e Kreps, 1979 e Harrison e Pliska, 1981, 1983)Nel mercato non esistono possibilità di
arbitraggio se e solo se esiste una misura di probabilità sotto la quale i prezzi di tutte le attività finanziarie, misurate utilizzando il titolo privo di rischio come numerario, sono martingale.
Se questa misura è unica, il mercato è detto completo.
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Valutazione di un’opzione call
Tempo t Tempo T Tempo T
Stato H L
Y(t) Y(H) Y(L)
C (Y,t;T,K) Max(Y(H)-K,0) Max(Y(L)-K,0)
P(t,T) 1 1
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Relazioni arbitraggio tra i prezzi Consideriamo un portafoglio con
Una posizione lunga in una unità di C Una posizione corta in unità di Y
Calcoliamo
Al tempo T Max(Y(H) – K,0) - Y(H) = Max(Y(L) – K, 0) - Y(L) =
)()(
],)(max[],)(max[
)()(
)()(
LYHY
0KLY0KHY
LYHY
LCHC
)()(
],)(max[],)(max[
)()(
)()(
LYHY
0KLY0KHY
LYHY
LCHC
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Replica di un’opzione call Se K < Y(L) < Y(H)
= 1 e = - K
Se K > Y(H) > Y(L) = 0 e = 0
Se Y(L) < K < Y(H) 0 < < 1 e = -Y(H)
Replica di un’opzione call
C(Y,t;T,K) = Y(t) + P(t,T)
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Introduzione al pricing
Il principio di Arbitraggio
Il modello Binomiale
Il modello di Black e Scholes
Metodi alle Differenze Finite
Metodo Monte Carlo
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il modello Binomiale
In ogni periodo assumiamo che il prezzo del sottostante possa muoversi in due sole direzioni (Modello Binomiale);
Backward induction: partendo dalla data di scadenza del contratto derivato in cui si conosce il valore dell’opzione si risale verso la radice dell’albero calcolando ad ogni nodo la probabilità risk adjusted;
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il modello Binomiale Sia S il valore del sottostante e f il valore
dell’opzione scritta su di esso. Formiamo un portafoglio con una posizione
lunga in unità del sottostante e una corta in un’opzione call. Il valore del portafoglio nei due stati del
mondo sarà pari a
Sf
Su
fu
Sd
fd
d0
u0
fdS
fuS
d0
u0
fdS
fuS
Determiniamo il valore di che rende uguali questi due valori
dSuS
fffdSfuS
00
dud0u0
dSuS
fffdSfuS
00
dud0u0
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso di rendimento risk-free.
Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero
Il modello Binomiale
rTu00
rTu00 efuSSfefuSfS rT
u00rT
u00 efuSSfefuSfS
sostituendo ...sostituendo ...
du
depfp1pfef
rT
durT
dove )( du
depfp1pfef
rT
durT
dove )(
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il modello Binomiale: Un Esempio Numerico
S = 5.414
f = 0.432
Su = 5.630
fu = 0.630
Sd = 5.2
fd = 0.2
Opzione CALL su ENEL
Data Valutazione 8/11/2003
Consegna 19/11/2003
Strike = 5.00
S = 5.414
Var% giornaliera = 1.18%
tasso risk free ~ 1%
Variazione a scadenza stimata al 4%
t = 11/365 ~ 0.03
4150fp1pfef durT .
2
0.20.630 )(
4150fp1pfef du
rT .2
0.20.630 )(
21080
040
080
960e
du
dep
030010rT
/.
.
.
...
21080
040
080
960e
du
dep
030010rT
/.
.
.
...
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Y(0)
Y(H)
Y(L)
Y(LH)
Y(LL)
Y(HL)
Y(HH)
Estensione a più periodi
1-
H
L
1-L
1-H
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Bushy trees/Recombining trees Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero
solo dopo 100 steps genera
1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi
Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)
Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Recombining trees
Sostituendo un albero a cespuglio con un albero “ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri che portano allo stesso nodo
L’informazione può essere rilevante per valutare opzioni con pay-off path-dependent modelli della dinamica del tasso di interesse
Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per ridurre la crescita dei bushy-trees
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Y(0)
Y(H)
Y(L)
Y(LL)
Y(HL)Y(LH)
Y(HH)
Estensione a più periodi
1-
H
L
1-L
1-H
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Generalizzazione a più livelli
Riprendiamo la definizione di
probabilità risk-neutral
Poniamo
Inoltre ricordiamo che
)()(
)(),(
)(
*LYHY
LYTtPtY
)()(
)(),(
)(
*LYHY
LYTtPtY
SdLY
SuHY
StY
)(
)(
)(
SdLY
SuHY
StY
)(
)(
)(
)(),( tTreTtP )(),( tTreTtP
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Generalizzazione a più livelli
Possiamo quindi scrivere
Come determiniamo i fattori u e d? In funzione della volatilità del sottostante
La scelta d = 1/u garantisce che l’albero sia ricombinante (infatti con questa posizione si ha (Su)d = S)
teu
ud
1
du
de tr
*du
de tr
*
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Generalizzazione a più Livelli
22
2
0
T
0
T
2
2
0
T
2
0
T2
0
T22
0
T
d1uS
SE
d1uS
SE
tS
SE
S
SEr
S
Sr1
S
Sr
)(
)(
)(
)(
22
2
0
T
0
T
2
2
0
T
2
0
T2
0
T22
0
T
d1uS
SE
d1uS
SE
tS
SE
S
SEr
S
Sr1
S
Sr
)(
)(
)(
)(
La scelta di u e d si giustifica ricordando che la volatilità del rendimento dell’azione, nel nostro modello deve essere pari a 2t
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
tr2tr
trtr2trtr
222
22
2222222
euddue
eudedudu
eu
du
de
du1ud2du1
ud12d11u
ud12d1ud1ur
)(
))(()(
))(())((
)()()(
)()()()(
tr2tr
trtr2trtr
222
22
2222222
euddue
eudedudu
eu
du
de
du1ud2du1
ud12d11u
ud12d1ud1ur
)(
))(()(
))(())((
)()()(
)()()()(
Generalizzazione a più Livelli
Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo...
))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr ))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Generazione a più Livelli Verifichiamo che la posizione
porta al risultato desiderato. Sviluppando al primo ordine in t abbiamo infatti
da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine)
tt edeu ,tt edeu ,
t2
1t1dt
2
1t1u 22 , t
2
1t1dt
2
1t1u 22 ,
t2t2
1t1t
2
1t1tr1
2dutr1
222
)(
))((
t2t2
1t1t
2
1t1tr1
2dutr1
222
)(
))((
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Generazione dei valori per il sottostante
125.5
120.8
116.3 116.3
112 112
107.9 107.9 107.9
103.9 103.9 103.9
100 100 100 100
96.29 96.29 96.29
92.72 92.72 92.72
89.28 89.28
85.97 85.97
82.78
79.71
Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d.
s(0, 0) = PrezzoSottostanteFor n = 1 To NumeroSteps For j = n To 1 Step -1 s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1) Next j s(0, n) = d * s(0, n - 1)Next n
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Generazione dei valori per l’opzione
25.62125.5
21.12120.8
16.8 16.48116.3 116.3
12.86 12.33112 112
9.482 8.763 8.013107.9 107.9 107.9
6.766 5.975 5.054103.9 103.9 103.9
4.691 3.941 3.073 1.968100 100 100 100
2.53 1.821 1.00696.29 96.29 96.29
1.058 0.514 092.72 92.72 92.72
0.263 089.28 89.28
0 085.97 85.97
082.78
079.71
For j = 0 To NumeroSteps V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall)Next j
For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto Next jNext n
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Opzioni Americane Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di
tipo europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza; Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la
scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale; Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra
il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro (continuation value)
il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff)
For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _ * FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall)) Next jNext n
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Esempio ProgrammazioneVBA
Esempio ProgrammazioneVBA
Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Introduzione al pricing
Il principio di Arbitraggio
Il modello Binomiale
Il modello di Black e Scholes
Metodi alle Differenze Finite
Metodo Monte Carlo
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il modello di Black e Scholes
zStSS zStSS sottostante
Il prezzo dell’opzione deve essere una funzione di S e t pertanto per il lemma di Ito possiamo scrivere
zSS
ftS
S
f
t
fS
S
ff
222
2
2
1 zSS
ftS
S
f
t
fS
S
ff
222
2
2
1
I processi di Wiener da cui è influenzata la dinamica di f e di S sono gli stessi. Ne segue che scegliendo un portafoglio composto dall’azione e dal derivato il processo di Wiener può essere eliminato!
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Ipotesi Non esistono opportunità di arbitraggio; Il prezzo del sottostante segue un moto geometrico
browniano; E’ consentita la vendita allo scoperto dei titoli; Non ci sono costi di transazione né tasse (no friction),
inoltre i titoli sono infinitamente divisibili; Non vengono pagati dividendi durante la vita dell’opzione; Il tasso risk-free e la volatilità sono costanti; L’opzione può essere esercitata soltanto alla scadenza
(opzione europea).
Il modello di Black e Scholes
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il modello di Black e Scholes
Il portafoglio appropriato è così composto
-1 unità del derivato + f/ S unità del sottostante
Per definizione il valore del portafoglio così composto è pari a
SS
ffS
S
ff
SS
ffS
S
ff
tSS
f
t
f
222
2
2
1 tSS
f
t
f
222
2
2
1
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il modello di Black e Scholes Dato che in quest’equazione non figura il termine
dz il portafoglio deve essere privo di rischio nell’intervallo dt.
Quindi il rendimento del portafoglio così composto nel prossimo intervallo di tempo deve essere uguale al tasso risk free sullo stesso periodo di tempo altrimento emergerebbero opportunità di arbitraggio
Ne segue che
tr tr
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il modello di Black e Scholes
rfS
fS
2
1
S
frS
t
f
dtSS
ffrdtS
S
f
2
1
t
f
2
222
222
2
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
L’equazione di Black & Scholes L’equazione di Black & Scholes
ha molte soluzioni corrispondenti alle diverse condizioni al contorno che ossono essere definite.
Tali condizioni specificano il valore del derivato sui confini del dominio di integrazione rispetto a S e t.
Nel caso di un’opzione di tipo europeo le principali condizioni sono nel caso di una call:
e nel caso di una put:
rfS
fS
2
1
S
frS
t
f2
222
rf
S
fS
2
1
S
frS
t
f2
222
T t ),max( 0XSf T t ),max( 0XSf
T t ),max( 0SXf T t ),max( 0SXf
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
)()( 21 dNEedSNC rT
T
TrESd
)2/()/ln( 2
1
Tdd 12
)()( 21 dNEedSNC rT
T
TrESd
)2/()/ln( 2
1
Tdd 12
Tasso privo di rischio
Prezzo di EsercizioPrezzo del Sottostante
Volatilità del Sottostante
Tempo a Scadenza
Il modello di Black e Scholes
dye2
1zN
z2y2
/)(
dye2
1zN
z2y2
/)(
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Il modello di Black & Scholes
Utilizzando la put-call parity troviamo il valore della put nel modello di B&S
2rT
1
2rT
1
2rT
1
rT
dENdSN
dN1EdN1S
1dNE1dNS
ESTEtScallTEtSput
e
e
e
e ,;,,;,
2rT
1
2rT
1
2rT
1
rT
dENdSN
dN1EdN1S
1dNE1dNS
ESTEtScallTEtSput
e
e
e
e ,;,,;,
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Delta è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al prezzo dell’attività sottostate.
Gamma è il tasso di variazione del Delta dell’opzione rispetto al prezzo dell’attività sottostante.
Vega è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto alla volatilità dell’attività sottostante.
Theta è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al tempo.
Rho è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al tasso privo di rischio.
Il modello di Black e Scholes
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Analisi di Sensitività con le greek letters :
S
f
S
f
put unaper ])([
call unaper )(
01dN1
1dN0
1
1
Analisi di Sensitività con le greek letters :
2
2
S
f
S
2
2
S
f
S
TS
dN 1
)(
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Analisi di Sensitività con le greek letters :
2d1
21e
2
1tSdNtS
f /)(
2d1
21e
2
1tSdNtS
f /)(
Analisi di Sensitività con le greek letters :
put )(
call )(
2rT
2rT
dNTEe
dENTe
r
f
put )(
call )(
2rT
2rT
dNTEe
dENTe
r
f
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
La volatilità implicita Dato il prezzo di mercato di un’opzione,
Invertendo l’equazione di Black & Scholes possiamo ricavare la volatilità implicita nella quotazione.
L’inversione può essere effettuata solo con strumenti di calcolo numerico.
Nell’esempio in VBA utilizzeremo l’algoritmo di Newton-Raphson discusso a suo tempo per il tasso interno di rendimento.
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
La volatilità implicita Smile
Spesso sulla stessa azione sono quotate più opzioni con prezzi di esercizio e scadenza diversi;
Se il modello di Black & Scholes fose corretto le opzioni avrebbero prezzi differenti ma un identico valore per la volatilità implicita;
infatti è funzione dell’attività sottostante e non del prezzo di esercizio o del tempo;
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
La volatilità implicitaTuttavia è stato osservato che la volatilità implicita
per contratti con identica vita residua varia in
funzione del prezzo di esercizio!
18.00%
18.20%
18.40%
18.60%
18.80%
19.00%
19.20%
19.40%
19.60%
19.80%
20.00%
85.000 90.000 95.000 100.000 105.000 110.000 115.000
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
La volatilità implicita Smile
Di norma le opzioni “out” e “in” the money hanno un valore di volatilità implicita
maggiore di quelle at-the-money.
L’effetto, noto come volatility smile è accentuto per i contratti con scadenza breve ed
è quasi inesistente per quelli di lunga durata;
l’effetto smile contrasta con la teoria e rivela che il modello non è corretto;
il fatto che, dopo il crash del 1987, l’effetto sia più evidente ha indotto alcuni studiosi a
formulare l’ipotesi che il vero processo diffusivo dei prezzi sia a salti e non continuo.
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Esempio ProgrammazioneVBA
Esempio ProgrammazioneVBA
Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni CallCalcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Volatilità Implicita Il metodo della secante
L’efficienza del metodo di Newton-Raphson dipende dalla volatilità iniziale scelta;
una procedura meno sensibile al valore iniziale di è il metodo della secante;
il primo passo da compiere è di scegliere due valori per , uno basso e uno alto.
Il valore basso b stima C(b) minore di C, il valore alto a stima C(a) maggiore di C.
La volatilità implicita risulta dalla seguente interpolazione lineare:
ba
babb1 CC
CC
ba
babb1 CC
CC
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Volatilità Implicita Il metodo della secante
se il valore di C() ottenuto inserendo nel modello di Black & Scholes è inferiore al prezzo di mercato C, la nuova stima di è ottenuta sostituendo b con il valore della volatilità interpolata
Se il valore di C() ottenuto inserendo 1 nel modello è superiore al prezzo di mercato per la nuova stima di si sostituisce a a il valore della volatilità interpolata.
Quando C() coincide con C il processo iterativo termina è si è trovata la volatilità implicita.
Il metodo è in generale preferito a quello di Newton-Raphson perché non richiede la stima di Vega ad ogni iterazione.
1a
1a112 CC
CC
1a
1a112 CC
CC
Recommended