View
486
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
DINAMICA ESTRUCTURAL
Citation preview
CLASE DE DINAMICA
REALIZADO POR:ING. ROMEL VALENZUELAING. FERNANDO LEIVA CLASE 8
Vibraciones libres Amprtiguadas con un solo grado de libertad
Cualquier sistema físico con movimiento tiene presente fuerzas friccionantes o de amortiguamiento, estas fuerzas forman mecanismos que disipan o transforman la energía mecánica en otra forma de energía, como por ejemplo el calor
Estas fuerzas disipativas son proporcionales a la magnitud de la velocidad y opuesta a la dirección del movimiento, este tipo de amortiguamiento se denomina amortiguamiento viscoso.
C= coeficiente de amortiguamiento viscoso
Aplicando la 2da ley de Newton :
Diagrama de cuerpo Libre
퐹 = 푚푎
퐹 푡 − 푘푥 − 푐푣 = 푚푎
푚푎 + 푘푥 + 푐푣 = 퐹(푡)Ecuación fundamental de la dinámica estructural para el caso amortiguado
Sujeto a las condiciones iniciales
푥 푡 = 0 = 푥
푣 푡 = 0 = 푣
퐹 푡 = 0
푚푎 + 푘푥 + 푐푣 = 0
푎 +푘푚푥 +
푐푚푣 = 0
휔 =푘푚
푎 +푘푚 푥 +
2푐2푚 푣 = 0
Se define :
훽 =푐2푚
푎 + 휔 푥 + 2훽푣 = 0
푑 푥푑푡 + 휔 푥 + 2훽푣 = 0
La solución de la ecuación diferencial es de la forma:
푥 푡 = 퐶푒
C y u son constantes
푣 푡 = 퐶 푢 푒
푎 푡 = 퐶 푢 푒
Sustituyendo en:
푎 + 휔 푥 + 2훽푣 = 0
퐶 푢 푒 + 휔 퐶푒 + 2훽퐶 푢 푒 =0
Cancelando el factor común :
퐶 푒 = 0
푢 + 2훽 푢 + 휔 = 0
Ecuación Característica
Como la Ecuación Característica es una ecuación lineal
푢 , = −푢 ± 훽 − 휔
La solución de la ecuación diferencial es:
푥 = 퐶 푒 + 퐶 푒
Donde C1 y C2 son cte de iteración determinadas de las condiciones iniciales
Sin embargo la forma de la ecuación depende de:
훽 − 휔
Caso II Sistema con amortiguamiento Critico
훽 − 휔 =0
Caso I Sistema sub amortiguado
훽 − 휔 < 0
Caso III Sistema con Sobre amortiguamiento
훽 − 휔 > 0
Caso I ( Sistema sub amortiguado)
훽 − 휔 < 0
Es decir que el Valor del radical es negativo y las raíces de la ecuación característica es compleja
휔 = 푓푟푒푐푢푒푛푐푖푎 푛푎푡푢푟푎푙 푑푒푙 푠푖푠푡푒푚푎
휔 = 휔 − 훽 > 0
훽 − 휔 = −1(휔 − 훽 )
−1 휔 = 푖휔
푢 , = −훽 ± 푖휔
Evaluando la ecuación para los valores de u1 y u2
푥 = 퐶 푒 + 퐶 푒푥 = 퐶 푒 + 퐶 푒
푥 = 퐶 푒 + 퐶 푒( )
푥 푡 = 푒 ∗ 퐶 푒 + 퐶 푒
Utilizando la formula de Euler que relaciona las ecuaciones exponenciales y trigonométricas de la siguiente forma:
푒 = cos 휃 +isen(θ)
푒 = cos 휃 − isen(θ)
푥 푡 = 푒 퐶 cos 휔 푡 + 푖 푠푒푛 휔 푡 + 퐶 cos 휔 푡 − 푖 푠푒푛 휔 푡
푥 푡 = 푒 ∗ 퐶 + 퐶 cos 휔 푡 + 푖 퐶 + 퐶 푠푒푛 휔 푡
퐴 = 퐶 + 퐶 퐵 = 푖(퐶 + 퐶 )
푥 푡 = 푒 ∗ 퐴 cos 휔 푡 + 퐵푠푒푛 휔 푡
푆푠푖:
푥 0 = 푥
푣 0 = 푣
퐴 = 푥
푣 푡 = −훽 푒 퐴 cos 휔 푡 + 퐵 푠푒푛 휔 푡 + 푒 (−퐴 휔 푠푒푛 휔 푡 + 퐵 휔 cos(휔 푡))
푒푛 푡 = 0
푣 = −퐴훽 + 퐵 휔 퐴 = 푥
퐵 =(푣 +훽 푥 )
휔
Remplazando en x(t)
푥 푡 = 푒 ∗ 푥 cos 휔 푡 +(푣 +훽 푥 )
휔푠푒푛 휔 푡
Donde:
훽 =푐2푚 휔 = 휔 − 훽
También podemos determinar las ecuaciones de velocidad y aceleración
푥 푡 = 푒 ∗ 퐴 cos 휔 푡 + 퐵푠푒푛 휔 푡
푣 푡 = 푒 −훽퐴 + 퐵 휔 cos 휔 푡 − 훽 퐵 + 퐴 휔 푠푒푛 휔 푡
푣 푡 = 푒 퐶 cos 휔 푡 − 퐷 푠푒푛 휔 푡
퐶 = −훽퐴 + 퐵 휔 = −훽푥 +푣 + 훽푥
휔 휔 = 푣
퐷 = 훽퐵 + 퐴휔 =훽 푣 + 훽 푥
휔 + 푥 휔 =훽푣 + 휔 푥
휔
La expresión se rescribe
푣 푡 = 푒 푣 cos 휔 푡 −훽푣 + 휔 푥
휔 푠푒푛 휔 푡
푎 푡 = 푒 − 훽퐶 + 퐷 휔 푐표푠 휔 푡 + 훽퐷 − 퐶휔 푠푒푛 휔 푡
퐸 = 훽퐶 + 퐷 휔 = 훽 푣 + 훽 푣 + 휔 푥 = 2훽푣 + 휔 푥
퐹 = 훽퐷 − 퐶 휔 =훽 푣 + 훽휔 푥
휔 − 푣 휔 =푣 훽 − 휔 + 훽휔 푥
휔
푎 푡 = 푒 − 2훽푣 + 휔 푥 푐표푠 휔 푡 +푣 훽 − 휔 + 훽휔 푥
휔 푠푒푛 휔 푡
푆푠푖 훽 = 0
휔 = 휔
퐴 = 푥 +푣 + 훽푥
휔
Si multiplicamos y dividimos A por x(t)
푥 푡 = 퐴푒 ∗푥퐴
cos 휔 푡 +(푣 +훽 푥 )
퐴휔푠푒푛 휔 푡
cos 훼 =푥
푥 + 푣 + 훽푥휔
푠푒푛 훼 =
(푣 +훽 푥 )휔
푥 + 푣 + 훽푥휔
푥 푡 = 퐴푒 ∗ cos (α )cos 휔 푡 + 푠푒푛(훼 )푠푒푛 휔 푡
푇 =2휋휔
Periodo Amortiguado
Frecuencia Amortiguado
푓 =1푇
Relación de amortiguamiento
휀 =훽휔 =
푐2푚휔 =
푐푐
푐 = 2푚휔
푥 > 0
푣 > 0
퐶 = 푎푚표푟푡푖푔푢푎푚푖푒푛푡표 푐푟푖푡푖푐표
Para el caso donde 훽 < 휔, 푐 < 퐶
Frecuencia Natural:
휔 = 휔 − 훽 = 휔 1 − 휀
퐴 푒 = 0 ; 푡 → ∞
Para encontrar el valor máximo de amplitud hay que encontrar el tiempo t que hace que v(t)=0
푣 푡 = 퐴 ∗ 푒 ∗ −휔 푠푒푛 휔 푡 − 훼 − 훽 cos 휔 푡 − 훼
푡 → ∞
퐴 ∗ 푒 = 0
−휔 푠푒푛 휔 푡 − 훼 − 훽 cos 휔 푡 − 훼 = 0
푠푒푛 휔 푡 − 훼cos 휔 푡 − 훼 = −
훽휔
푡푎푛 휔 푡 − 훼 = −훽휔
푡 =atan − 훽
휔 + 훼
휔
푓 푡 = 퐴 ∗ 푒 푓 푡 = −퐴 ∗ 푒
푥 푡 = 퐴 푒 (cos (휔 푡 − 훼 )
En los seg.
퐴 푒 (cos 휔 푡 − 훼 = 퐴 ∗ 푒
(cos 휔 푡 − 훼 =1
(cos 휔 푡 − 훼 ) =1
La expresión dentro del paréntesis es:
휔 푡 − 훼 = 2푗휋
푗 = 0,1,2,3, …
푡 =2푗휋 + 훼
휔
푝푎푟푎 푓 푡 = 퐴 ∗ 푒
푡 =휋 2푗 + 1 + 훼
휔
푗 = 0,1,2,3, …
푝푎푟푎 푓 푡 = −퐴 ∗ 푒
CLASE DE DINAMICA
REALIZADO POR:ING. ROMEL VALENZUELAING. FERNANDO LEIVA CLASE 9
Caso II ( Sistema críticamente amortiguado)
Ocurre cuando:
훽 = 휔
Y la expresión dentro del radical es =0
푐2푚 −
푘푚 = 0
푐 = 2푚휔
Las dos soluciones de la ecuación característica son iguales entonces:
푢 , = −훽 = −휔
푥 푡 = 퐶 푒 + 퐶 푡 푒
Sujeto a condiciones iniciales
푥 0 = 푥
푣 0 = 푣
퐶 = 푥
푣 푡 = −휔 퐶 푒 퐶 (푒 − 휔푡푒 )
퐶 = 푣 + 휔 푥
푥 푡 = 푥 푒 + (푣 + 휔 푥 )푡푒
푥 푡 = 푒 푥 + 푣 + 휔푥 푡
푣 푡 = 푒 푣 − 푣 + 휔 푥 휔푡
푎 푡 = 푒 (−휔 2푣 + 휔푥 + 푣 휔푥 휔푡)En 1 푣 > 0
En 2 푣 = 0
En 3 푣 < 0 y el termino 푣_0 + 휔푥 > 0
En 4 푣 < 0 y el termino 푣_0 + 휔푥 < 0
Caso III ( Sistema sobre amortiguado)
La curva que se muestra representa losdesplazamientos de sistemas sobre amortiguados ,los cuales son similares a los desplazamientos delmovimiento críticamente amortiguado. Pero elregreto a la posición de equilibrio requiere muchomas tiempo
훽 > 휔
Las raíces de la ecuación característicason reales, de manera que:
푥 푡 = 퐶 푒 + 퐶 푒
Donde:
푢 = −훽 + 훽 − 휔
푢 = −훽 − 훽 − 휔
Sustituyendo las condiciones iinicialestenemos:
푥 0 = 푥
푣 0 = 푣
푥 = 퐶 + 퐶
퐶 = 푥 − 퐶
푣 = 푢 퐶 + 푢 퐶
Sustituyendo:
푣 = 푢 퐶 + 푢 (푥 − 퐶 )
퐶 =푣 − 푢 푥푢 − 푢
퐶 = 푥 − 퐶
퐶 = 푥 −푣 − 푢 푥푢 − 푢
퐶 =푥 푢 − 푢 − 푣 + 푢 푥
푢 − 푢
퐶 =푥 푢 − 푣푢 − 푢
Sustituyendo:
푥 푡 = 퐶 푒 + 퐶 푒
푥 푡 =푣 − 푢 푥푢 − 푢 푒 +
푥 푢 − 푣푢 − 푢 푒
푥 푡 =푣 − 푢 푥푢 − 푢 푒 +
푥 푢 − 푣푢 − 푢 푒
Definiendo :
휔′ = 훽 − 휔
휔 = 휔 휀 − 1
푢 = −훽 + 휔
푢 = −훽 − 휔
Sustituyendo:
퐶 =푣 − (−훽 − 휔 )푥
2휔 =푥 훽 + 휔 + 푣
2휔
푢 − 푢 = −훽 + 휔 − (−훽 − 휔 )
푢 − 푢 = 2휔
퐶 =푣 − 푢 푥푢 − 푢
퐶 =푥 푢 − 푣푢 − 푢
퐶 =푥 −훽 + 휔 − 푣
2휔
푥 푡 = 퐶 푒 + 퐶 푒
푥 푡 =푥 훽 + 휔 + 푣
2휔 푒 +푥 −훽 + 휔 − 푣
2휔 푒( )
푥 푡 =푥 훽 + 휔 + 푣
2휔 푒 푒 +
푥 −훽 + 휔 − 푣2휔
푒 푒
푥 푡 = 푒푥 훽 + 휔 + 푣
2휔 푒 +
푥 −훽 + 휔 − 푣2휔
푒
푥 푡 = 푒푥 훽2휔
푒 − 푒 + 푥 푒 + 푒 +푣
2휔푒 − 푒
Si :
푠푒푛ℎ 푥 =12 (푒 − 푒 ) cosh 푥 =
12 푒 + 푒
푥 푡 = 푒푥 훽2휔 푒 − 푒 + 푥 푒 + 푒 +
푣2휔 푒 − 푒
푥 푡 = 푒 (푥 cosh 휔 푡 +푥 훽 + 푣
휔 )푠푒푛ℎ(휔 푡))
Ya que :
휀 =훽휔 훽 = 휀휔
푥 푡 = 푒 (푥 cosh 휔 푡 +푥 훽 + 푣
휔 )푠푒푛ℎ(휔 푡))
La ecuación de desplazamiento no representa una oscilación debido a que la resistencia viscosa estan grande que cuando el cuerpo es libre no vibra solamente se desliza gradualmente hacia laposición de equilibrio
Decrecimiento logarítmico :
푥 푡 = 푒 (푥 cosh 휔 푡 +푥 훽 + 푣
휔 )푠푒푛ℎ(휔 푡))
En el caso de sobre amortiguamiento se establece que la proporción de amortiguamiento dependede:
훽휔
Y también que la relación de amplitud sucesivas 푥 푦 푥 es:
푥푥
=퐴푒
퐴푒= 푒 = 푒
푓 = ln푥푥 = 훽 ∗ 푇 ≈
2휋훽휔
Si se desea una mayor aproximación seusa una relación de dos ciclos
푥푥
= 푒
“j” es numero de oscilaciones tomadadespués de la oscilación “i”
푓 =1푗 ∗ ln
푥푥
Existen casos en los que al contrario laenergía es guardada dentro delsistema y como resultado la amplitudde la vibración, en estos casos se utilizael concepto de amortiguamientonegativo.
Si 훽 es negativa entonces 푒 crece con el tiempo ylas vibraciones se superponen gradualmente
Si se considera que 훽 es positivo y las vibracionesdecrecen, se encuentra en un movimiento estable.
Se puede concluir que si 훽 es negativo, entonces esun sistema inestable
Recommended