Hacia el concepto de límite

Fabián Antonio Arias AmayaProfesor TC

Universidad Tecnológica de BolívarCartagena, septiembre 30 de 2010

Hacia el concepto de Límite

Preliminares

Valor absoluto de un número real

Definición. Sea un número real.Llamamos valor absoluto de alnúmero real dado por

ObservaciónEl valor absoluto de un número es el mismo númerosi éste es no negativo, o el inverso aditivo si elnúmero es negativo, por consiguiente, el valorabsoluto siempre es no negativo. Esto se escribe así

Ejemplo

El valor absoluto de -1/2 es ½, y el ½ también es ½. El valor absoluto de 0 es 0. Esto es,

Distancia entre dos números

Llamamos distancia entre dos números reales

e a la distancia entre los puntos que

ellos representan en la recta real. Estadistancia está dada por el valor absoluto de ladiferencia entre dichos números, es decir,

Comentarios

La distancia entre dos puntos nos permite resolver algunos problemas. Entre estos están:

1. Determinar cuán distante está un punto de otro.

2. Decidir cuál número dentro de un conjunto dado, está más próximo a un número dado.

3. Determinar si un número dado está o no dentro de un intervalo dado.

Vecindad de un número real

Definición. Dados un número real y un real positivo . Llamamos vecindad con centro en y radio , al conjunto

Observación

Según la definición tenemos que:

Por tanto,

Lo anterior nos indica que una vecindad abierta no es más que un intervalo abierto con el mismo centro y radio.

Ejemplos:

a. La vecindad B(-1;1/2) se corresponde con

el intervalo (-3/2, -1/2).

b. El intervalo (1,3) corresponde a la vecindad

B(2;1).

c. El elemento ¼ pertenece a la vecindad

B(1/2;1/2) porque la distancia entre 1/4 y

½ es ¼, la cual es menor que ½.

Definición de Límite

Definición. Sean c un número real dado y f una

función definida en un intervalo de la forma (c-r, c+r) para algún r>o. Decimos que un número real L, si existe es un límite de f(x)cuando x tiende a c, si para cualquier vecindad

B(L; ϵ) de L, existe una vecindad B(c;δ) tal que para todo x en el dominio de f se cumple

Esto es equivalente a la siguiente implicación

Teorema. Si una función f tiene límite L en x=c. entonces este límite es único. En tal caso escribimos