Integrales numériques

Samir Chtita

UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAHFACULTE DES SCIENCES

DHAR EL MEHRAZFES

LES MÉTHODES D'INTÉGRATION NUMÉRIQUE 

2010 / 2011

MASTER DE CHIMIEOPTION: CIS

1

PL

AN

Introduction

La méthode des rectangles

La méthode des trapèzes

Le méthode de Simpson

2

3

Intro

du

ction

L'intégration numérique est une partie importante

de l'analyse numérique et un

outil indispensable en physique numérique.On intègre

numériquement dans deux cas

principaux:

4

Lorsqu’on ne peut pas intégrer analytiquement.

Lorsque l'intégrande (la fonction à intégrer) est fourni non pas sous la forme d'une fonction mais de tableaux de mesures, cas d'ailleurs le plus fréquent dans la vraie vie.

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En analyse numérique, il

existe toute une famille

d'algorithmes permettant

d'approcher la valeur numérique d'une intégrale.

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Par une formule dite de quadrature, de type

Le choix de p, des pondérations ωi et des nœuds xi dépendent de

la méthode employée.

Toutes consistent à approcher l'intégrale :

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Les méthodes numériques d'intégration sont nombreuses et les techniques sont très diverses. Des très simples, comme la méthode des rectangles aux très complexes comme certaines variétés de la méthode de Monte-Carlo. Mon but est de vous donner un outil pour intégrer des fonctions pas très tourmentées.

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La méthode

des

rectangles

9

10

Considérons donc une fonction continue sur un intervalle [a,b].

Je ne vais pas vous faire un cours sur

l'intégration! Intégrer pour nous, signifie calculer l'aire sous la courbe de la fonction entre a et b.

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La première méthode qui vienne à l'esprit, c'est de découper l'aire entre la courbe f(x), l'axe des x et les droites x= a et x = b, en une multitude de petits rectangles de largeur faible, appelons la h, et de hauteur f(h).

L'aire sous la courbe est obtenue en sommant tous ces petits rectangles. Voyons cela sur un schéma:

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13

Comme vous le constatez, on a le choix entre trois techniques:1 - on fait coïncider le sommet haut gauche du rectangle avec la courbe : c'est la méthode des rectangles à gauche,2 - on fait coïncider le sommet haut droit du rectangle avec la courbe : c'est la méthode des rectangles à droite,3 - on fait coïncider le milieu du coté haut du rectangle avec la courbe: c'est la méthode du point milieu.

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Posons h = (b - a)/n,

où n est le nombre de rectangles avec lesquels nous allons paver l'aire à

calculer.

Évidement, plus n sera grand et plus la précision du calcul sera grande.

Un rapide calcul nous montre que dans le cas:

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1 - méthode des rectangles à gauche, on obtient

2 - méthode des rectangles à droite, on obtient

3 - méthode du point milieux, on obtient

n

i

b

ahiafhxf

1

)1()(

1

0

2/)(n

i

b

ahihafhxf

1

0

)(n

i

b

aihafhxf

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Méthode très simple mais pas très précise. Mais

facile à coder!

Pour des fonctions (polynomiales, sin, cos,

exp), cette méthode donne des résultats acceptables.

con

clusio

n

17

Su

r Fo

rtron

PROGRAM rectangles

*Intégration par la méthode des rectangles (point milieu* a = borne inferieure d'intégration* b = borne supérieure d'intégration* n = nombre de pas (rectangles)* aire = surface retournée

 SUBROUTINE IntRectangles (fn,a,b,n,aire)

    REAL a,b,fn,aire    INTEGER n    EXTERNAL fn    REAL x,h

* Initialisation des variables

    aire = 0    x = a    h = (b-a)/n

* Boucle de calcul

 DO WHILE (x .LT. b)        aire = aire + h*(fn(x+h)+fn(x))/2        x = x+h    ENDDO

    END

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La méthode

des

trapèzes

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La méthode des trapèzes est du même tonneau que celle des

rectangles. Vous avez sans doute

compris qu'on utilise non plus des rectangles pour

paver l'aire mais des trapèzes. Ainsi, la partie

du pavé qui touche la courbe est plus proche.

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Comme plus haut, je partage l'intervalle [a,b] en n petits trapèzes de largeur h = (b-a)/n. Je

sais que l'aire de chaque petit trapèze est :

Ai = (h/2)*(f(a+ih) + f(a+(i-1)h)).

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b

a

n

i

ihafhbfafh

dxxf1

1

)())()((2

)(

Nous obtenons l'aire recherchée en

sommant l'aire de tous les trapèzes entre a et b, ce qui nous donne :

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La méthode des trapèzes standard est une méthode d'ordre 2,(démonstration par développement de Taylor). On peut la pousser à l'ordre 4 en estimant f"(x) par (f'(b)-f'(a))/(b-a). On appelle cette méthode la méthode des trapèzes avec correction aux extrémités. Elle donne :

)(')('12

)())()((2

)(21

1

afbfihafhbfafh

dxxf hb

a

n

i

23

Su

r Fo

rtron

* Intégration par la méthode des trapèzes* a = borne inferieure d'intégration* b = borne supérieure d'intégration* n = nombre de pas* aire = surface retournée

    SUBROUTINE Int Trapèzes (fn,a,b,n,aire)

    REAL a,b,fn,aire    INTEGER n    EXTERNAL fn

    REAL h, app    INTEGER i

* Boucle d'intégration

* Initialisation des variables    aire = 0    h = (b-a)/n

* Calcul de l'aire approximative du trapèze f(a) f(b)

    app = (h/2)*(fn(a)+fn(b))

* Boucle de calcul

    DO i=1, n-1      aire = aire + fn(a+i*h)    ENDDO

* Calcul final de l'aire    aire = app + aire*h

END

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La méthode

de

Simpson

25

Dans la méthode des trapèzes, nous avons en fait interpolé f(x) par une droite entre les points i et i+h de l'intervalle. Dans la méthode de

Simpson, nous n'allons plus interpoler par une droite mais par un polynôme de degré 2, ce qui va améliorer notre précision.

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Plaçons nous autour d'un point x0 appartenant à l'intervalle [a,b], dans la maille de calcul x0-h et x0+h. Pour un accroissement

(x-x0), le développement de Taylor limité au second ordre nous donne:f(x) = f(x0) + (x-x0)f'(x0) +

(1/2)(x-x0)^2f"(x0) + O((x-x0)^3).

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Nous savons que :f'(x0) = f(x0+h) - f(x0-h)/2h et que :f"(x0) = (f(x0+h) - 2f(x0)+ f(x0-h))/h^2 Si nous remplaçons ces valeurs dans le développement limité et que l'on intègre entre x0-h et x0+h, on obtient l'aire élémentaire :

(f(x0+h) + 4f(x0)+ f(x0-h))*h/3.

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L'intégrale recherchée s'obtient en sommant

toutes les aires élémentaires. Il faut

quelques petites manip calculatoires sans intérêt

Et l'on obtient :

b

a

n

i

n

i

ihafihafbfafh

dxxf1

1

2

2

)(2)(4)()(3

)(

29

La méthode de Simpson est une méthode d'ordre

4.

b

a

n

i

n

i

ihafihafbfafh

dxxf1

1

2

2

)(2)(4)()(3

)(

30

En

Fo

rtran

PROGRAM méthodedeSimpson* a = borne inferieure d'intégration* b = borne supérieure d'intégration* n = nombre de pas* aire = surface retournée

    SUBROUTINE Int Simpson(fn,a,b,n,aire)

    REAL a,b,fn,aire    INTEGER n    EXTERNAL fn

    REAL h,SommePaire, SommeImpaire    INTEGER i

* Boucle d'intégration* Initialisation des variables

    aire = 0    h = (b-a)/(n*2)    SommePaire = 0    SommeImpaire = 0

* Calcul de la somme des indices impaires    DO i=1, n-1        SommeImpaire = SommeImpaire + fn(a+h*2*i)    ENDDO

*Calcul de la somme des indices paires    DO i=1, n        SommePaire = SommePaire + fn(a+h*(2*i-1))    ENDDO

*Calcul final de l'aire    aire = h*(fn(a) + fn(b)+ 2*SommePaire + 4*SommeImpaire)/3

END

Merci pour votre attention

Samir Chtita