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Polígonos RegularesPolígonos Regulares
Figura 1 Figura 2
1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência
Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1), dizemos que:
• o polígono está inscrito na circunferência;
• a circunferência está circunscrita ao polígono.
Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2), dizemos que:
• o polígono está circunscrito à circunferência;
• a circunferência está inscrita no polígono.
2. Polígonos regulares
Um polígono é chamado de equiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e equilátero quando possui todos os lados congruentes. Exemplos:
a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.Logo, o retângulo é equiângulo.
b) O losango tem todos os lados congruentes.
Logo, o losango é equilátero.
c) O quadrado tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.
Logo, o quadrado é equilátero e equiângulo.
Todo polígono equilátero e equiângulo é chamado de polígono regular.
Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes
Exemplos:
Propriedade dos polígonos regulares
• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.
• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência.
Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes.
As cordas consecutivas formam um quadrado
inscrito na circunferência.
As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência.
Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que tangencia todos os seus lados.
• Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.
• Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.
Polígonos regulares inscritos Polígonos regulares circunscritos
Se um polígono é regular, consideramos:
• Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).
• Raio do polígono é o raio da circunferência
circunscrita a ele .
• Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados .
• Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos (CÔD).
A medida do ângulo central é dada por:
(n = número de lados) e
Elementos de um polígono regular
3. Relações métricas nos polígonos regulares
Estudaremos a seguir como calcular a medida do lado e a medida do apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência em função da medida do raio.
Quadrado inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r.
Para construir um quadrado ABCD inserido nessa circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si ( e ), determinando o vértices do quadrado. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse quadrado em função de r.
Cálculo da medida do lado Cálculo da medida do apótema (a4)
No AOB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AB)2 = (AO)2 + (OB)2
(r > 0)
No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM)2 + (BM)2 = (OB)2
(r > 0)
Hexágono regular inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa
circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em
função de r.
Cálculo da medida do lado ( )
Cada um dos arcos indicados nessa circunferência mede
Sendo assim temos:
M(AÔB) = 60º, m( ˆABO ) = m (AB) 120º
60º2 2==
e m (BÂO) = »m (BD) 120º
60º2 2==
O ∆AOB, sendo eqüiângulo, é também eqüilátero, ou seja: AB = AO = OB 6 = r Logo: 6 = r
Cálculo da medida do apótema (a6)
No ∆OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM)2 + (MB)2 = (OB)2
22 26 2
ra r+=
22 26 4
ra r+=
22 26 4
ra r=−
226
3
4
ra =
2
6
3
4
ra = (r > 0)
6
3
2
ra =
Triângulo equilátero inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio medida r.
Para construir um triângulo equilátero ABC inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos alternadamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r.
Cálculo da medida do lado ( 3 )
Observe que: • o ∆ADC é retângulo (inscrito na semicircunferência) • DC = 6 = r No ∆ADC, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AC)2 + (DC)2 = (AD)2
2 23 6( ) ( ) (2 )r+=
2 2 23
2 23
4
3
r r
r
+=
=
3 3r=
Cálculo da medida do apótema (a3)
No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OC)2 = (OM)2 + (MB)2
(r > 0)
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