Presentacion 11

Dado un número entero no negativo, calcular su factorial.

Calcular la combinatoria entre dos números enteros no negativos.

Dado un problema real, resolverlo aplicando técnicas de conteo.

Técnicas de Conteo.

Sea n un número entero no negativo, su factorial se calcula de la siguiente manera:

Definición de Factorial

Ejemplos

Sean n, m enteros no negativos tales que , el símbolo que se lee “combinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vez”, se calcula de la siguiente manea:

Definición de Combinatoria.

(85 )Ejemplo

Propiedades de las Combinatorias.

Si un evento A se puede realizar de m maneras diferentes, y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos , entonces el evento A o el evento B se realizarán de maneras diferentes.

Principio de la Suma(Aditivo)

Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es .

Principio Multiplicativo

¿De cuantas maneras puede una persona seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y siete modelos diferentes de licuadoras?

En el aula hay 15,20 y 18 alumnos de las ingenierías de minas y petróleos, industrial y electrónica. Bajo las siguientes condiciones. ¿Cuántas representaciones de 11 alumnos se pueden formar?

1. Si se desea que éstas consten solo de alumnos de ingeniería en minas y petróleos.

2. Si se desea que el presidente sea un alumno de ingeniería industrial.

3. Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de ingeniería electrónica.

Ejemplo

La permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos, considerando el orden en su ubicación. El número de permutaciones posibles de n objetos tomados m de ellos a la vez, se simboliza como:

Permutaciones.

Una combinación es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o con todos los elementos de un conjunto dado, sin considerar el orden en su ubicación. El número de combinaciones posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez, se expresa como:

Combinaciones

Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la cadena MONDAY si:

1. Cuatro letras son usadas al mismo tiempo.2. Se usan todas las letras.3. Se usan todas las letras eligiendo una vocal para

la primera posición. De cuántas maneras pueden siete maestros de

matemáticas ser empleados en la ESPOL de entre 10 catedráticos varones y siete catedráticas mujeres si:

1. Tres han de ser hombres.2. Tres o cuatro han de ser hombres.

Ejemplos

Obtener el desarrollo de un binomio dado. Dada la posición del término de un binomio,

obtener el término sin desarrollar el binomio.

Dadas condiciones sobre el término de un binomio, identificar su posición y otros elementos.

Teorema del Binomio

El desarrollo del binomio está dado por:

Donde: El término general tiene la forma:

Teorema del binomio.

Encontrar el término que no contiene x en el desarrollo de .

Hallar el término que contiene en el desarrollo de

Ejemplos

Expresar con sus propias palabras el concepto de sucesión como una función de N en R

Aplicar la definición de sucesión recursiva para el cálculo de términos de una sucesión.

Reconocer los elementos de una progresión aritmética y geométrica.

Dada una progresión aritmética o geométrica, calcular la suma de los n primeros términos de la sucesión.

Dadas las condiciones de una progresión aritmética o geométrica, encontrar algunos de sus elementos.

Aplicar progresiones aritméticas o geométricas a la resolución de problemas reales.

Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de números reales, los cuales reciben el nombre de términos. Todas las sucesiones tienen un primer término y cada término tienen un siguiente.

Las sucesiones pueden ser definidas como funciones de los números naturales:

Si el está formado por una cantidad finita de términos, la sucesión es finita; en caso contrario se denomina sucesión infinita.

Se dice que una sucesión está dada en forma recursiva cuando el n-ésimo término está definido en término del anterior o de algunos de los anteriores.

Si las sucesiones tienen un patrón algebraico particular se denominan progresiones, existiendo la posibilidad de ser aritméticas o geométricas.

Sucesiones

Se denomina progresión aritmética a aquella sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior. A la diferencia entre dos términos consecutivos se la denota por d.

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, se obtiene con la siguiente expresión:

Progresión Aritmética

Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de intereses de $5,800.00 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20.00. Si el primer pago es de $100, Calcular:

1. Cuántos pagos deberá efectuar con objeto de finiquitar la deuda?.

2. Cuánto cancela en el último pago?. Una compañía manufacturadora instaló una máquina

a un costo de $1,500.00, al cabo de 9 años la máquina tiene un valor de $420.00. Suponiendo que la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual?

Ejemplos

Se denomina progresión geométrica a aquella sucesión de números en la que cada término se obtienen multiplicando por una misma cantidad al término anterior. Por lo tanto, entre dos términos consecutivos es constante y se denomina razón r de la progresión.

La progresión geométrica puede ser expresada de la siguiente manera:

Al sumar los n primeros términos de una progresión geométrica se obtiene la siguiente expresión:

Cuando la cantidad de términos es muy grande y la razón , la suma de los términos se puede calcular por medio de una aproximación:

Progresiones Geométricas

Exprese en forma fraccionaría el siguiente número: 2.343434

Un distribuidor vende 120 teléfonos en 4 días, Si cada día vendió 1/3 de lo que vendió el día anterior. ¿Cuántos teléfonos vendió el primer día?

Encuentre x, de modo que x,x+2,x+3 sean los términos consecutivos de una progresión geométrica.

Ejemplos