Probabilidad y teorema de bayes

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS:

CONTABILIDAD Y AUDITORIA

ASIGNATURA: Estadística IIDEBER Nro.: 2

TEMA: Ejercicios de probabilidades Teorema de bayes

CURSO: CA4-7 AULA: 6

ESTUDIANTE: Guzmán Nancy

PROFESOR: ING. Francisco Bahamonde

LUGAR Y FECHA: QUITO, 17/10/2012

Ejercicios con

probabilidad

Sea la urna U (2B, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuación de la otra. La primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es blanca. Hallar la probabilidad de que la segunda sea roja.

SOLUCIÓN:Una vez es extraída la primera bola que es negra, la urna es U(2B, 2N, 4R). Al extraer lasegunda, pueden ocurrir tres casos: que sea blanca, negra o roja, obteniéndose tres urnasdistintas, con probabilidad 1/4, 1/4 y 1/2 respectivamente. La tercera bola procede de una de estas tres posibles urnas.

O EJERCICIO Nº1

Sabiendo que la tercera bola es blanca, la probabilidad de que la segunda bola haya sido roja ,equivale a la probabilidad de que la tercera bola provenga de U3.

57%

2/8 B

2/8 N

4/8 R

U1 (1B, 2N, 4R) U2 (2B, 1N, 4R) Ω=U1+U2+U3 U3 (2B, 2N, 3R)

O EJERCICI O Nº2

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1)La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2)La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

SOLUCION:

O EJECICIO Nº3

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

O EJERCICIO Nº4

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1)Dos caras.

2)Dos cruces.

3)Una cara y una cruz.

O EJERCICIO Nº5

En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

1)Si se saca una papeleta.

2)Si se extraen dos papeletas.

3)Si se extraen tres papeletas.

O EJERCICIO Nº6

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

O EJERCICIO Nº7

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

O EJERCICIO Nº8

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1)De que ambos vivan 20 años.

2)De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3)De que ambos mueran antes de los 20 años.

O EJERCICIO Nº9

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1) Seleccionar tres niños.

3)Seleccionar por lo menos un niño.

4)Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

2)Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

O EJERCICIO Nº10

Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.

2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.

O EJERCICIO Nº11

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga

1Un número par.

2Un múltiplo de tres.3Mayor que cuatro.

O EJERCICIO Nº12

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

1)Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3)Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

O EJERCICIO Nº 13

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

O EJERCICIO Nº14

Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide

1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.

O EJERCICIO Nº15

Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

O EJERCICIO Nº16

En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

O 2)Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

O EJERCICIO Nº17

2La probabilidad de que el número obtenido sea par.

1)La probabilidad de que salga el 7.

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

O En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:

O EJERCICIO Nº18

1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

O EJERCICIO Nº19

Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1Salga 6 en todos.

2Los puntos obtenidos sumen 7

O EJERCICIO Nº20

TEOREMA DE

BAYES

O EJERCICIO Nº1

O EJERCICIO Nº2

O EJERCICIO Nº3

1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una averíab) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una averíac) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una averíaEmpleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una averíaEmpleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?Se debe calcular las tres probabilidades aposteriori empleando el Teorema de Bayes

La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:

Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad

es la mayor.

O EJERCICIO Nº4

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

O EJERCICIO Nº5

Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:Suceso P: seleccionar el primer aparatoSuceso S: seleccionar el segundo aparatoSuceso T: seleccionar el tercer aparatoSuceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

O EJERCICIO DE PRUEBA

El gerente de crédito sugiere que el futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o mas en sus pagos en 2 ocasiones distintas . la sugerencia del gerente se base en el hecho de que en el pasado, el 901de los clientes que finalmente no pagan sus cuentas. Se habían demorado en sus pagos en por lo menos 2 ocasiones suponga que de una investigación independiente encontramos que el 21de todos los clientes con crédito finalmente no page el 451. Se han demorado en por lo menos 2 ocasiones.Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro en 2 ocasiones finalmente no pago su cuenta y con la información unida analice la política que ha sugerido la gerencia de ventas.

Un almacén esta considerando cambiar su política de otorgamiento de créditos para reducir el numero de clientes que finalmente no pagan sus cuentas .

p(s/p)=P(S/P)=0.08*0.045=0.441

P(SnP.)=P(p)*P(S/P)=0.02*0.90=0.018  

P(p)0.98

P(p)0.20

P(5)p9=0.45

P(5)p)=0.50

p(s/p)=0.40

p(s/p)=0.90

P(P’/S)=P(PnS)/P(S)=P(P)*P(S/P)=P(P)*P(S/P)= P(P)*P(S/P)+P(P’)*P(S/P’)=0.441+0.018=96%

GRACIAS POR SU

ATENCION