1. Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios.

2. Probabilidad de un sucesos.

3. Probabilidad condicionada.

4. Probabilidad total. Teorema de Bayes.

5. Grafica de la función de probabilidad.

6. Variables aleatorias.

7. Parámetros de una distribución.

8. Distribución binomial.

9. Variables aleatorias continuas.

10.Distribución normal.

11.Aproximación de la distribución binomial mediante la normal

Probabilidad. Variables aleatorias.

Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios.

Existen dos tipos de experimentos: deterministas y aleatorios.

Los experimentos deterministas, son aquellos que se puede predecir el

resultado, siempre que se realice en las mismas condiciones.

Los experimentos aleatorios, son aquellos en los que no se puede predecir

el resultado, aunque se realice en las mismas condiciones.

Los posibles resultados de un experimento aleatorio reciben el nombre de

sucesos aleatorios y se pueden clasificar en sucesos elementales o

compuestos: Suceso elemental es aquel que no se puede descomponer en

sucesos mas simples; Suceso compuesto son aquellos que están

compuestos por sucesos elementales.

El espacio muestral es el conjunto formado por todos los sucesos

elementales.

El espacio muestral también se denomina suceso seguro, mientras que

aquel suceso que no ocurre nuca se denomina suceso imposible ()

Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios.

Ejemplo.- La observación de puntuación obtenida en el lanzamiento de un

dado es un experimento aleatorio, cuyos posibles resultado u espacio

muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = “ obtener un 3”, es un suceso

elemental, mientras que B = “ obtener resultado impar” es un suceso

compuesto.

Operaciones con sucesos aleatorios

Dados dos sucesos A y B, de un espacio muestral E, decimos:

A unión B = A B es un suceso de E, cuando todos sus sucesos

elementales son suceso de A o de B

A intersección B = A B es un suceso de E, cuando todos sus sucesos

elementales son de A y de B.

Suceso contrario de A = A es un suceso de E, cuando todos sus sucesos

elementales no son sucesos de A.

Ejemplo.- En el experimento del lanzamiento de un dado, si A = “obtener

resultado par” y B = obtener múltiplo de tres”, será

2,3,4,6 ; 6 ; 1,3,5 ;A B A B A

Probabilidad de un suceso

En un experimento aleatorio de n sucesos elementales, incompatibles

entre sí e igualmente probables (es decir con las mismas posibilidades de

ocurrir). Si A es un suceso, se define la probabilidad de A como:

Nº casos favorables

Nº casos posiblesp A

Ejemplo.- Si se lanzan dos dados sobre un tablero y se suman los valores

de sus caras superiores. Hallar la probabilidad de A = “obtener una suma

de puntos igual a 7”.

Solución: Como los casos posibles serán (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2),

(6,1), se cumplirá

6 1

36 6p A

Propiedades de la Probabilidad

Si A y B son dos sucesos cualesquiera del espacio muestral E, y p es la

probabilidad, se cumplen las siguientes propiedades:

1. 0 1; 0 1

2. 1; 0

3. ;

Si A y B son sucesos incompatibles:

4. 1

p A p B

p E p

p A B p A p B p A B

p A B p A p B

p A p A

Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B condicionado al suceso A (B/A), será:

/p A B

p B Ap A

Si podemos obtener p(B/A) mediante la regla de Laplace, despejando será:

/p A B p A p B A

Ejemplo: Si en una clase de 20 chicos y 10 chicas, 17 chicos y 8 chicas

estudian inglés, y 3 chicos y 2 chicas francés. Calcular la probabilidad de

que un estudiante halla elegido Francés, condicionado a que sea chico.

Solución:

el alumno es chico; el alumno es chica

el alumno estudia Francés; el alumno estudia Inglés

3 330/20 20

30

A A

B B

p A Bp B A

p A

Probabilidad condicionada

Dos sucesos A y B son independientes si y solo si:

/p B A p BQue es equivalente a

p A B p A p B

Ejemplo: Si A1 = “ obtener un 6 al lanzar el primer dado” y A2 = “ obtener un

6 al lanzar el segundo dado”. La probabilidad de obtener dos 6, al lanzar

dos dados serán independientes, ya que

1 2 1 2 1 1 2

1 1 1/

6 6 36p A A p A p A A p A p A

Probabilidad total.

Si E es un espacio muestral, y A1, A2, A3, … , An son n sucesos de E tal que

1

; i, j 1,2,3,...,n (conjuntos disjuntos);n

i i ji j

i

A E A A

1 11

, se cumple:

p A = /n n n

i i i ii ii

A E

p A A p A A p A p A A

Probabilidad total.

Ejemplo.- En una urna hay 3 bolas blancas y 2 negras. Dos jugadores

extraen una bola cada uno sin remplazamiento, de modo que ninguno de

ellos sabe el color del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 2

tenga una bola blanca?

Solución.- Denominando B1 y B2 al suceso de obtener bola blanca, el jugador

1 y jugador 2 respectivamente. Obtendremos

12 1 2 2

11 2 1 2 1

p B

/ /

3 2 2 3 6 6 12 3

5 4 5 4 20 20 20 5

p B B p B B

p B p B B p B p B B

Teorema de Bayes.

Si E es un espacio muestral, y A1, A2, A3, … , An son n sucesos de E tal que

1

; i, j 1,2,3,...,n (conjuntos disjuntos);n

i i ji j

i

A E A A

i

1

, se cumple:

/p A /

/

i i in

i ii

A E

p A A p A p A AA

p A p A p A A

Teorema de Bayes.

Ejemplo.- En una urna hay 3 bolas blancas y 2 negras. Dos jugadores

extraen cada uno una bola sin remplazamiento, de modo que ninguno de

ellos sabe el color del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 1

obtenga bola blanca, condicionado a que el jugador 2, ha obtenido blanca?

Solución.- Denominando B1 y B2 al suceso de obtener bola blanca, el jugador

1 y jugador 2 respectivamente. Obtendremos

1 2 11 2

11 2 1 2 1

3 2/ 15 4/ =

3 2 2 3 2/ /5 4 5 4

p B p B Bp B B

p B p B B p B p B B

Gráfica de la función de probabilidad.

Dependiendo de espacio muestral de un experimento aleatorio, y de los

sucesos de los cuales queremos hallar su probabilidad, su gráfica serán

puntos, curvas, etc.

Ejemplo.- Si al lanzar un dado el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 },

y el dado está desequilibrado de forma que:

Prob (1) = Prob (3) = Prob (5)

Prob (2) = Prob (4) = Prob (6) = 2 . Prob(1)

Como debe de cumplir

Prob Prob 1 2 3 4 5 6

Prob 1 Prob 2 Prob 1 Prob 3 Prob 4 Prob 5 Prob 6

3 Prob 1 3 Prob 2 3 Prob 1 3 2 Prob 1 9 Prob 1 1

1 2Prob 1 Prob 3 Prob 4 ;Prob 2 Prob 4 Prob 6

9 9

E

Gráfica de la función de probabilidad.

Su gráfica será.

Variables aleatorias.

Dado un espacio muestral E, tal que para cada suceso A de E, le podemos

asignar una probabilidad p(A). Una VARIABLE ALEATORIA X (v. a. X) es una

función X : E R (números reales) que cumple que si x(A) = B,

p(X=B) = p(A)

Ejemplo.- En el experimento de lanzar tres veces una moneda

(supuestamente equilibrada), podemos asignar la v. a. X = ‘número de caras

obtenidas’, que si p es la probabilidad cumplirá:

3

3

3

3

1( 0) ( , , )

23

( 1) 3 ( , , ) 23

( 2) 3 ( , , ) 2

1( 3) ( , , )

2

p X P Cruz Cruz Cruz

p X P Cara Cruz Cruz

p X P Cara Cara Cruz

p X P Cara Cara Cara

Si los valores del recorrido X es un conjunto discreto (finito o infinito

numerable) decimos que X es una variable aleatoria discreta, mientras que si

puede tomar cualquier valor de un intervalo decimos que es una variable

aleatoria continua

Parámetros de una distribución.

Los parámetros de una distribución son valores numéricos que caracterizan

la distribución de probabilidad. Estos parámetros suelen aportarnos datos de

centralización o de dispersión de datos.

La Media (valor esperado o esperanza matemática), la Varianza y la

desviación típica de una variable aleatoria discreta de n valores xi (i = 1, 2,

… , n) y de función de probabilidad p, es

1

2 22 2 2

1 1

2 2 2 2

1 1

n

i i ii

n n

i i i i i ii i

n n

i i i i i ii i

E x x p x

V x E x x p x x p x

V x E x x p x x p x

Parámetros de una distribución.

2 1 2 68 4 200 10 24. 6 ;

3 3 3 3 9 9 9iE x

Ejemplo.- Juan le propone a Pedro el siguiente juego: “lanzamos un dado. Si

sale un múltiplo de 3 yo te doy 6 euros y, en caso contrario, tú me das 4

euros”. ¿Debe de aceptar el Pedro?. ¿En que condiciones debería

aceptarlo?. Calcula la media y la desviación típica.

Solución: Si denominamos la variable aleatoria xi = “los euros que gana

Pedro al lanzar el dado”, podemos construir la siguiente tabla y calcular la

media y desviación típica

Suceso xi p(xi) xi . p(xi) xi2 xi

2 . p(xi)

No múltiplo de 3 (1, 2, 4, 5) - 4 2/3 - 8/3 16 32/3

Múltiplo de 3 (3, 6) 6 1/3 6/3 36 36/3

suma 1 - 2/3 52 68/3

No debe de aceptar Pedro, dicho juego, pues la ganancia media es

negativa. Sin embargo, si Juan le diera 8 euros cada vez que saliera un

múltiplo de 3, si seria un juego equitativo, ya que en este caso

E[xi] = (-4) . (2/3) + 8 . (1/3) = 0

Distribución binomial y normal.

En las siguientes diapositivas, podemos ver en la página Web de Jesús

Plaza Martínez, dos ejemplos de distribución discreta (distribución

binomial) y distribución continua (distribución normal)

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de GAUSS del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

atematicas.htm)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/

msadaall/geogebra/)

En la siguiente diapósitiva